Theorem ltapi 10804

Description: Ordering property of addition for positive integers. (Contributed by NM, 7-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ltapi	⊢ (𝐶 ∈ N → (𝐴 <N 𝐵 ↔ (𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵)))

Proof of Theorem ltapi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmaddpi 10791	. 2 ⊢ dom +N = (N × N)
2		ltrelpi 10790	. 2 ⊢ <N ⊆ (N × N)
3		0npi 10783	. 2 ⊢ ¬ ∅ ∈ N
4		pinn 10779	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
5		pinn 10779	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ N → 𝐵 ∈ ω)
6		pinn 10779	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ N → 𝐶 ∈ ω)
7		nnaord 8543	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵)))
8	4, 5, 6, 7	syl3an 1160	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵)))
9	8	3expa 1118	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵)))
10		ltpiord 10788	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
11	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
12		addclpi 10793	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ N ∧ 𝐴 ∈ N) → (𝐶 +N 𝐴) ∈ N)
13		addclpi 10793	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐶 +N 𝐵) ∈ N)
14		ltpiord 10788	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 +N 𝐴) ∈ N ∧ (𝐶 +N 𝐵) ∈ N) → ((𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵) ↔ (𝐶 +N 𝐴) ∈ (𝐶 +N 𝐵)))
15	12, 13, 14	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ N ∧ 𝐴 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) → ((𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵) ↔ (𝐶 +N 𝐴) ∈ (𝐶 +N 𝐵)))
16		addpiord 10785	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ N ∧ 𝐴 ∈ N) → (𝐶 +N 𝐴) = (𝐶 +o 𝐴))
17	16	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ N ∧ 𝐴 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) → (𝐶 +N 𝐴) = (𝐶 +o 𝐴))
18		addpiord 10785	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐶 +N 𝐵) = (𝐶 +o 𝐵))
19	18	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ N ∧ 𝐴 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) → (𝐶 +N 𝐵) = (𝐶 +o 𝐵))
20	17, 19	eleq12d 2827	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ N ∧ 𝐴 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) → ((𝐶 +N 𝐴) ∈ (𝐶 +N 𝐵) ↔ (𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵)))
21	15, 20	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ N ∧ 𝐴 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) → ((𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵) ↔ (𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵)))
22	21	anandis 678	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ N ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) → ((𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵) ↔ (𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵)))
23	22	ancoms 458	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵) ↔ (𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵)))
24	9, 11, 23	3bitr4d 311	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ (𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵)))
25	24	3impa 1109	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ (𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵)))
26	1, 2, 3, 25	ndmovord 7545	1 ⊢ (𝐶 ∈ N → (𝐴 <N 𝐵 ↔ (𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095  (class class class)co 7355  ωcom 7805   +_o coa 8391  Ncnpi 10745   +_N cpli 10746   <_N clti 10748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-oadd 8398  df-ni 10773  df-pli 10774  df-lti 10776

This theorem is referenced by:  ltanq  10872