MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltapi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltapi 10122
Description: Ordering property of addition for positive integers. (Contributed by NM, 7-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ltapi (𝐶N → (𝐴 <N 𝐵 ↔ (𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵)))

Proof of Theorem ltapi
StepHypRef Expression
1 dmaddpi 10109 . 2 dom +N = (N × N)
2 ltrelpi 10108 . 2 <N ⊆ (N × N)
3 0npi 10101 . 2 ¬ ∅ ∈ N
4 pinn 10097 . . . . . 6 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
5 pinn 10097 . . . . . 6 (𝐵N𝐵 ∈ ω)
6 pinn 10097 . . . . . 6 (𝐶N𝐶 ∈ ω)
7 nnaord 8045 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵)))
84, 5, 6, 7syl3an 1141 . . . . 5 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵)))
983expa 1099 . . . 4 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵)))
10 ltpiord 10106 . . . . 5 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 <N 𝐵𝐴𝐵))
1110adantr 473 . . . 4 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → (𝐴 <N 𝐵𝐴𝐵))
12 addclpi 10111 . . . . . . . 8 ((𝐶N𝐴N) → (𝐶 +N 𝐴) ∈ N)
13 addclpi 10111 . . . . . . . 8 ((𝐶N𝐵N) → (𝐶 +N 𝐵) ∈ N)
14 ltpiord 10106 . . . . . . . 8 (((𝐶 +N 𝐴) ∈ N ∧ (𝐶 +N 𝐵) ∈ N) → ((𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵) ↔ (𝐶 +N 𝐴) ∈ (𝐶 +N 𝐵)))
1512, 13, 14syl2an 587 . . . . . . 7 (((𝐶N𝐴N) ∧ (𝐶N𝐵N)) → ((𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵) ↔ (𝐶 +N 𝐴) ∈ (𝐶 +N 𝐵)))
16 addpiord 10103 . . . . . . . . 9 ((𝐶N𝐴N) → (𝐶 +N 𝐴) = (𝐶 +o 𝐴))
1716adantr 473 . . . . . . . 8 (((𝐶N𝐴N) ∧ (𝐶N𝐵N)) → (𝐶 +N 𝐴) = (𝐶 +o 𝐴))
18 addpiord 10103 . . . . . . . . 9 ((𝐶N𝐵N) → (𝐶 +N 𝐵) = (𝐶 +o 𝐵))
1918adantl 474 . . . . . . . 8 (((𝐶N𝐴N) ∧ (𝐶N𝐵N)) → (𝐶 +N 𝐵) = (𝐶 +o 𝐵))
2017, 19eleq12d 2855 . . . . . . 7 (((𝐶N𝐴N) ∧ (𝐶N𝐵N)) → ((𝐶 +N 𝐴) ∈ (𝐶 +N 𝐵) ↔ (𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵)))
2115, 20bitrd 271 . . . . . 6 (((𝐶N𝐴N) ∧ (𝐶N𝐵N)) → ((𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵) ↔ (𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵)))
2221anandis 666 . . . . 5 ((𝐶N ∧ (𝐴N𝐵N)) → ((𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵) ↔ (𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵)))
2322ancoms 451 . . . 4 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → ((𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵) ↔ (𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵)))
249, 11, 233bitr4d 303 . . 3 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ (𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵)))
25243impa 1091 . 2 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ (𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵)))
261, 2, 3, 25ndmovord 7153 1 (𝐶N → (𝐴 <N 𝐵 ↔ (𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1508  wcel 2051   class class class wbr 4926  (class class class)co 6975  ωcom 7395   +o coa 7901  Ncnpi 10063   +N cpli 10064   <N clti 10066
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-pss 3840  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-tp 4441  df-op 4443  df-uni 4710  df-iun 4791  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-tr 5028  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-om 7396  df-1st 7500  df-2nd 7501  df-wrecs 7749  df-recs 7811  df-rdg 7849  df-oadd 7908  df-ni 10091  df-pli 10092  df-lti 10094
This theorem is referenced by:  ltanq  10190
  Copyright terms: Public domain W3C validator