MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltapi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltapi 10894
Description: Ordering property of addition for positive integers. (Contributed by NM, 7-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ltapi (𝐶N → (𝐴 <N 𝐵 ↔ (𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵)))

Proof of Theorem ltapi
StepHypRef Expression
1 dmaddpi 10881 . 2 dom +N = (N × N)
2 ltrelpi 10880 . 2 <N ⊆ (N × N)
3 0npi 10873 . 2 ¬ ∅ ∈ N
4 pinn 10869 . . . . . 6 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
5 pinn 10869 . . . . . 6 (𝐵N𝐵 ∈ ω)
6 pinn 10869 . . . . . 6 (𝐶N𝐶 ∈ ω)
7 nnaord 8615 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵)))
84, 5, 6, 7syl3an 1160 . . . . 5 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵)))
983expa 1118 . . . 4 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵)))
10 ltpiord 10878 . . . . 5 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 <N 𝐵𝐴𝐵))
1110adantr 481 . . . 4 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → (𝐴 <N 𝐵𝐴𝐵))
12 addclpi 10883 . . . . . . . 8 ((𝐶N𝐴N) → (𝐶 +N 𝐴) ∈ N)
13 addclpi 10883 . . . . . . . 8 ((𝐶N𝐵N) → (𝐶 +N 𝐵) ∈ N)
14 ltpiord 10878 . . . . . . . 8 (((𝐶 +N 𝐴) ∈ N ∧ (𝐶 +N 𝐵) ∈ N) → ((𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵) ↔ (𝐶 +N 𝐴) ∈ (𝐶 +N 𝐵)))
1512, 13, 14syl2an 596 . . . . . . 7 (((𝐶N𝐴N) ∧ (𝐶N𝐵N)) → ((𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵) ↔ (𝐶 +N 𝐴) ∈ (𝐶 +N 𝐵)))
16 addpiord 10875 . . . . . . . . 9 ((𝐶N𝐴N) → (𝐶 +N 𝐴) = (𝐶 +o 𝐴))
1716adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐶N𝐴N) ∧ (𝐶N𝐵N)) → (𝐶 +N 𝐴) = (𝐶 +o 𝐴))
18 addpiord 10875 . . . . . . . . 9 ((𝐶N𝐵N) → (𝐶 +N 𝐵) = (𝐶 +o 𝐵))
1918adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝐶N𝐴N) ∧ (𝐶N𝐵N)) → (𝐶 +N 𝐵) = (𝐶 +o 𝐵))
2017, 19eleq12d 2827 . . . . . . 7 (((𝐶N𝐴N) ∧ (𝐶N𝐵N)) → ((𝐶 +N 𝐴) ∈ (𝐶 +N 𝐵) ↔ (𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵)))
2115, 20bitrd 278 . . . . . 6 (((𝐶N𝐴N) ∧ (𝐶N𝐵N)) → ((𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵) ↔ (𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵)))
2221anandis 676 . . . . 5 ((𝐶N ∧ (𝐴N𝐵N)) → ((𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵) ↔ (𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵)))
2322ancoms 459 . . . 4 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → ((𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵) ↔ (𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵)))
249, 11, 233bitr4d 310 . . 3 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ (𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵)))
25243impa 1110 . 2 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ (𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵)))
261, 2, 3, 25ndmovord 7593 1 (𝐶N → (𝐴 <N 𝐵 ↔ (𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5147  (class class class)co 7405  ωcom 7851   +o coa 8459  Ncnpi 10835   +N cpli 10836   <N clti 10838
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-oadd 8466  df-ni 10863  df-pli 10864  df-lti 10866
This theorem is referenced by:  ltanq  10962
  Copyright terms: Public domain W3C validator