Theorem ltapi 10122

Description: Ordering property of addition for positive integers. (Contributed by NM, 7-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ltapi	⊢ (𝐶 ∈ N → (𝐴 <N 𝐵 ↔ (𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵)))

Proof of Theorem ltapi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmaddpi 10109	. 2 ⊢ dom +N = (N × N)
2		ltrelpi 10108	. 2 ⊢ <N ⊆ (N × N)
3		0npi 10101	. 2 ⊢ ¬ ∅ ∈ N
4		pinn 10097	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
5		pinn 10097	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ N → 𝐵 ∈ ω)
6		pinn 10097	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ N → 𝐶 ∈ ω)
7		nnaord 8045	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵)))
8	4, 5, 6, 7	syl3an 1141	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵)))
9	8	3expa 1099	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵)))
10		ltpiord 10106	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
11	10	adantr 473	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
12		addclpi 10111	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ N ∧ 𝐴 ∈ N) → (𝐶 +N 𝐴) ∈ N)
13		addclpi 10111	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐶 +N 𝐵) ∈ N)
14		ltpiord 10106	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 +N 𝐴) ∈ N ∧ (𝐶 +N 𝐵) ∈ N) → ((𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵) ↔ (𝐶 +N 𝐴) ∈ (𝐶 +N 𝐵)))
15	12, 13, 14	syl2an 587	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ N ∧ 𝐴 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) → ((𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵) ↔ (𝐶 +N 𝐴) ∈ (𝐶 +N 𝐵)))
16		addpiord 10103	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ N ∧ 𝐴 ∈ N) → (𝐶 +N 𝐴) = (𝐶 +o 𝐴))
17	16	adantr 473	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ N ∧ 𝐴 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) → (𝐶 +N 𝐴) = (𝐶 +o 𝐴))
18		addpiord 10103	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐶 +N 𝐵) = (𝐶 +o 𝐵))
19	18	adantl 474	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ N ∧ 𝐴 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) → (𝐶 +N 𝐵) = (𝐶 +o 𝐵))
20	17, 19	eleq12d 2855	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ N ∧ 𝐴 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) → ((𝐶 +N 𝐴) ∈ (𝐶 +N 𝐵) ↔ (𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵)))
21	15, 20	bitrd 271	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ N ∧ 𝐴 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) → ((𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵) ↔ (𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵)))
22	21	anandis 666	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ N ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) → ((𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵) ↔ (𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵)))
23	22	ancoms 451	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵) ↔ (𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵)))
24	9, 11, 23	3bitr4d 303	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ (𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵)))
25	24	3impa 1091	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ (𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵)))
26	1, 2, 3, 25	ndmovord 7153	1 ⊢ (𝐶 ∈ N → (𝐴 <N 𝐵 ↔ (𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1508   ∈ wcel 2051   class class class wbr 4926  (class class class)co 6975  ωcom 7395   +_o coa 7901  Ncnpi 10063   +_N cpli 10064   <_N clti 10066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-pss 3840  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-tp 4441  df-op 4443  df-uni 4710  df-iun 4791  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-tr 5028  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-om 7396  df-1st 7500  df-2nd 7501  df-wrecs 7749  df-recs 7811  df-rdg 7849  df-oadd 7908  df-ni 10091  df-pli 10092  df-lti 10094

This theorem is referenced by:  ltanq  10190