Theorem mulcompi 10891

Description: Multiplication of positive integers is commutative. (Contributed by NM, 21-Sep-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
mulcompi	⊢ (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐵 ·N 𝐴)

Proof of Theorem mulcompi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 10873	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
2		pinn 10873	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ N → 𝐵 ∈ ω)
3		nnmcom 8626	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ·o 𝐵) = (𝐵 ·o 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 597	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·o 𝐵) = (𝐵 ·o 𝐴))
5		mulpiord 10880	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·o 𝐵))
6		mulpiord 10880	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐴 ∈ N) → (𝐵 ·N 𝐴) = (𝐵 ·o 𝐴))
7	6	ancoms 460	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐵 ·N 𝐴) = (𝐵 ·o 𝐴))
8	4, 5, 7	3eqtr4d 2783	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐵 ·N 𝐴))
9		dmmulpi 10886	. . 3 ⊢ dom ·N = (N × N)
10	9	ndmovcom 7594	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐵 ·N 𝐴))
11	8, 10	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐵 ·N 𝐴)

Syntax hints:   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  ωcom 7855   ·_o comu 8464  Ncnpi 10839   ·_N cmi 10841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-ni 10867  df-mi 10869

This theorem is referenced by:  enqbreq2  10915  enqer  10916  nqereu  10924  addcompq  10945  mulcompq  10947  adderpqlem  10949  mulerpqlem  10950  addassnq  10953  mulcanenq  10955  distrnq  10956  recmulnq  10959  ltsonq  10964  lterpq  10965  ltanq  10966  ltmnq  10967  ltexnq  10970