Theorem mulcompi 10844

Description: Multiplication of positive integers is commutative. (Contributed by NM, 21-Sep-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
mulcompi	⊢ (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐵 ·N 𝐴)

Proof of Theorem mulcompi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 10826	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
2		pinn 10826	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ N → 𝐵 ∈ ω)
3		nnmcom 8584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ·o 𝐵) = (𝐵 ·o 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 604	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·o 𝐵) = (𝐵 ·o 𝐴))
5		mulpiord 10833	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·o 𝐵))
6		mulpiord 10833	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐴 ∈ N) → (𝐵 ·N 𝐴) = (𝐵 ·o 𝐴))
7	6	ancoms 461	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐵 ·N 𝐴) = (𝐵 ·o 𝐴))
8	4, 5, 7	3eqtr4d 2801	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐵 ·N 𝐴))
9		dmmulpi 10839	. . 3 ⊢ dom ·N = (N × N)
10	9	ndmovcom 7572	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐵 ·N 𝐴))
11	8, 10	pm2.61i 183	1 ⊢ (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐵 ·N 𝐴)

Syntax hints:   ∧ wa 398   = wceq 1554   ∈ wcel 2136  (class class class)co 7385  ωcom 7835   ·_o comu 8423  Ncnpi 10792   ·_N cmi 10794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pr 5384  ax-un 7707

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-ral 3071  df-rex 3081  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-oadd 8429  df-omul 8430  df-ni 10820  df-mi 10822

This theorem is referenced by:  enqbreq2  10868  enqer  10869  nqereu  10877  addcompq  10898  mulcompq  10900  adderpqlem  10902  mulerpqlem  10903  addassnq  10906  mulcanenq  10908  distrnq  10909  recmulnq  10912  ltsonq  10917  lterpq  10918  ltanq  10919  ltmnq  10920  ltexnq  10923