Theorem mulcompi 10982

Description: Multiplication of positive integers is commutative. (Contributed by NM, 21-Sep-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
mulcompi	⊢ (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐵 ·N 𝐴)

Proof of Theorem mulcompi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 10964	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
2		pinn 10964	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ N → 𝐵 ∈ ω)
3		nnmcom 8636	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ·o 𝐵) = (𝐵 ·o 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·o 𝐵) = (𝐵 ·o 𝐴))
5		mulpiord 10971	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·o 𝐵))
6		mulpiord 10971	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐴 ∈ N) → (𝐵 ·N 𝐴) = (𝐵 ·o 𝐴))
7	6	ancoms 464	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐵 ·N 𝐴) = (𝐵 ·o 𝐴))
8	4, 5, 7	3eqtr4d 2805	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐵 ·N 𝐴))
9		dmmulpi 10977	. . 3 ⊢ dom ·N = (N × N)
10	9	ndmovcom 7608	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐵 ·N 𝐴))
11	8, 10	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐵 ·N 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7420  ωcom 7877   ·_o comu 8475  Ncnpi 10930   ·_N cmi 10932

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-oadd 8481  df-omul 8482  df-ni 10958  df-mi 10960

This theorem is used by:  enqbreq2  11006  enqer  11007  nqereu  11015  addcompq  11036  mulcompq  11038  adderpqlem  11040  mulerpqlem  11041  addassnq  11044  mulcanenq  11046  distrnq  11047  recmulnq  11050  ltsonq  11055  lterpq  11056  ltanq  11057  ltmnq  11058  ltexnq  11061