Theorem mulcompi 10943

Description: Multiplication of positive integers is commutative. (Contributed by NM, 21-Sep-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
mulcompi	⊢ (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐵 ·N 𝐴)

Proof of Theorem mulcompi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 10925	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
2		pinn 10925	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ N → 𝐵 ∈ ω)
3		nnmcom 8672	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ·o 𝐵) = (𝐵 ·o 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·o 𝐵) = (𝐵 ·o 𝐴))
5		mulpiord 10932	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·o 𝐵))
6		mulpiord 10932	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐴 ∈ N) → (𝐵 ·N 𝐴) = (𝐵 ·o 𝐴))
7	6	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐵 ·N 𝐴) = (𝐵 ·o 𝐴))
8	4, 5, 7	3eqtr4d 2787	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐵 ·N 𝐴))
9		dmmulpi 10938	. . 3 ⊢ dom ·N = (N × N)
10	9	ndmovcom 7627	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐵 ·N 𝐴))
11	8, 10	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐵 ·N 𝐴)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7438  ωcom 7894   ·_o comu 8512  Ncnpi 10891   ·_N cmi 10893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pr 5441  ax-un 7761

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-pss 3986  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-tr 5269  df-id 5587  df-eprel 5593  df-po 5601  df-so 5602  df-fr 5645  df-we 5647  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-pred 6329  df-ord 6395  df-on 6396  df-lim 6397  df-suc 6398  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-om 7895  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8314  df-wrecs 8345  df-recs 8419  df-rdg 8458  df-oadd 8518  df-omul 8519  df-ni 10919  df-mi 10921

This theorem is referenced by:  enqbreq2  10967  enqer  10968  nqereu  10976  addcompq  10997  mulcompq  10999  adderpqlem  11001  mulerpqlem  11002  addassnq  11005  mulcanenq  11007  distrnq  11008  recmulnq  11011  ltsonq  11016  lterpq  11017  ltanq  11018  ltmnq  11019  ltexnq  11022