Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulcompi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulcompi 10316
 Description: Multiplication of positive integers is commutative. (Contributed by NM, 21-Sep-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulcompi (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐵 ·N 𝐴)

Proof of Theorem mulcompi
StepHypRef Expression
1 pinn 10298 . . . 4 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
2 pinn 10298 . . . 4 (𝐵N𝐵 ∈ ω)
3 nnmcom 8248 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ·o 𝐵) = (𝐵 ·o 𝐴))
41, 2, 3syl2an 598 . . 3 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·o 𝐵) = (𝐵 ·o 𝐴))
5 mulpiord 10305 . . 3 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·o 𝐵))
6 mulpiord 10305 . . . 4 ((𝐵N𝐴N) → (𝐵 ·N 𝐴) = (𝐵 ·o 𝐴))
76ancoms 462 . . 3 ((𝐴N𝐵N) → (𝐵 ·N 𝐴) = (𝐵 ·o 𝐴))
84, 5, 73eqtr4d 2869 . 2 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐵 ·N 𝐴))
9 dmmulpi 10311 . . 3 dom ·N = (N × N)
109ndmovcom 7329 . 2 (¬ (𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐵 ·N 𝐴))
118, 10pm2.61i 185 1 (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐵 ·N 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  (class class class)co 7149  ωcom 7574   ·o comu 8096  Ncnpi 10264   ·N cmi 10266 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-oadd 8102  df-omul 8103  df-ni 10292  df-mi 10294 This theorem is referenced by:  enqbreq2  10340  enqer  10341  nqereu  10349  addcompq  10370  mulcompq  10372  adderpqlem  10374  mulerpqlem  10375  addassnq  10378  mulcanenq  10380  distrnq  10381  recmulnq  10384  ltsonq  10389  lterpq  10390  ltanq  10391  ltmnq  10392  ltexnq  10395
 Copyright terms: Public domain W3C validator