MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltmpi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltmpi 10903
Description: Ordering property of multiplication for positive integers. (Contributed by NM, 8-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ltmpi (๐ถ โˆˆ N โ†’ (๐ด <N ๐ต โ†” (๐ถ ยทN ๐ด) <N (๐ถ ยทN ๐ต)))

Proof of Theorem ltmpi
StepHypRef Expression
1 dmmulpi 10890 . 2 dom ยทN = (N ร— N)
2 ltrelpi 10888 . 2 <N โŠ† (N ร— N)
3 0npi 10881 . 2 ยฌ โˆ… โˆˆ N
4 pinn 10877 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ N โ†’ ๐ด โˆˆ ฯ‰)
5 pinn 10877 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ N โ†’ ๐ต โˆˆ ฯ‰)
6 elni2 10876 . . . . . . 7 (๐ถ โˆˆ N โ†” (๐ถ โˆˆ ฯ‰ โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ))
7 iba 526 . . . . . . . . . 10 (โˆ… โˆˆ ๐ถ โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†” (๐ด โˆˆ ๐ต โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ)))
8 nnmord 8636 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐ต โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†” (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต)))
97, 8sylan9bbr 509 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ โˆˆ ฯ‰) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†” (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต)))
1093exp1 1350 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐ต โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐ถ โˆˆ ฯ‰ โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ถ โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†” (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต))))))
1110imp4b 420 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ถ โˆˆ ฯ‰ โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†” (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต))))
126, 11biimtrid 241 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ถ โˆˆ N โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†” (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต))))
134, 5, 12syl2an 594 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โ†’ (๐ถ โˆˆ N โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†” (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต))))
1413imp 405 . . . 4 (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†” (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต)))
15 ltpiord 10886 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โ†’ (๐ด <N ๐ต โ†” ๐ด โˆˆ ๐ต))
1615adantr 479 . . . 4 (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ (๐ด <N ๐ต โ†” ๐ด โˆˆ ๐ต))
17 mulclpi 10892 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ด โˆˆ N) โ†’ (๐ถ ยทN ๐ด) โˆˆ N)
18 mulclpi 10892 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โ†’ (๐ถ ยทN ๐ต) โˆˆ N)
19 ltpiord 10886 . . . . . . . 8 (((๐ถ ยทN ๐ด) โˆˆ N โˆง (๐ถ ยทN ๐ต) โˆˆ N) โ†’ ((๐ถ ยทN ๐ด) <N (๐ถ ยทN ๐ต) โ†” (๐ถ ยทN ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทN ๐ต)))
2017, 18, 19syl2an 594 . . . . . . 7 (((๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ด โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N)) โ†’ ((๐ถ ยทN ๐ด) <N (๐ถ ยทN ๐ต) โ†” (๐ถ ยทN ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทN ๐ต)))
21 mulpiord 10884 . . . . . . . . 9 ((๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ด โˆˆ N) โ†’ (๐ถ ยทN ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐ด))
2221adantr 479 . . . . . . . 8 (((๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ด โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N)) โ†’ (๐ถ ยทN ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐ด))
23 mulpiord 10884 . . . . . . . . 9 ((๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โ†’ (๐ถ ยทN ๐ต) = (๐ถ ยทo ๐ต))
2423adantl 480 . . . . . . . 8 (((๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ด โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N)) โ†’ (๐ถ ยทN ๐ต) = (๐ถ ยทo ๐ต))
2522, 24eleq12d 2825 . . . . . . 7 (((๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ด โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N)) โ†’ ((๐ถ ยทN ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทN ๐ต) โ†” (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต)))
2620, 25bitrd 278 . . . . . 6 (((๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ด โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N)) โ†’ ((๐ถ ยทN ๐ด) <N (๐ถ ยทN ๐ต) โ†” (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต)))
2726anandis 674 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ N โˆง (๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N)) โ†’ ((๐ถ ยทN ๐ด) <N (๐ถ ยทN ๐ต) โ†” (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต)))
2827ancoms 457 . . . 4 (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ ((๐ถ ยทN ๐ด) <N (๐ถ ยทN ๐ต) โ†” (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต)))
2914, 16, 283bitr4d 310 . . 3 (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ (๐ด <N ๐ต โ†” (๐ถ ยทN ๐ด) <N (๐ถ ยทN ๐ต)))
30293impa 1108 . 2 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ (๐ด <N ๐ต โ†” (๐ถ ยทN ๐ด) <N (๐ถ ยทN ๐ต)))
311, 2, 3, 30ndmovord 7601 1 (๐ถ โˆˆ N โ†’ (๐ด <N ๐ต โ†” (๐ถ ยทN ๐ด) <N (๐ถ ยทN ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โˆ…c0 4323   class class class wbr 5149  (class class class)co 7413  ฯ‰com 7859   ยทo comu 8468  Ncnpi 10843   ยทN cmi 10845   <N clti 10846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-oadd 8474  df-omul 8475  df-ni 10871  df-mi 10873  df-lti 10874
This theorem is referenced by:  ltsonq  10968  lterpq  10969  ltanq  10970  ltmnq  10971  archnq  10979
  Copyright terms: Public domain W3C validator