MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltmpi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltmpi 10919
Description: Ordering property of multiplication for positive integers. (Contributed by NM, 8-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ltmpi (๐ถ โˆˆ N โ†’ (๐ด <N ๐ต โ†” (๐ถ ยทN ๐ด) <N (๐ถ ยทN ๐ต)))

Proof of Theorem ltmpi
StepHypRef Expression
1 dmmulpi 10906 . 2 dom ยทN = (N ร— N)
2 ltrelpi 10904 . 2 <N โІ (N ร— N)
3 0npi 10897 . 2 ยฌ โˆ… โˆˆ N
4 pinn 10893 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ N โ†’ ๐ด โˆˆ ฯ‰)
5 pinn 10893 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ N โ†’ ๐ต โˆˆ ฯ‰)
6 elni2 10892 . . . . . . 7 (๐ถ โˆˆ N โ†” (๐ถ โˆˆ ฯ‰ โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ))
7 iba 527 . . . . . . . . . 10 (โˆ… โˆˆ ๐ถ โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†” (๐ด โˆˆ ๐ต โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ)))
8 nnmord 8646 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐ต โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†” (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต)))
97, 8sylan9bbr 510 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ โˆˆ ฯ‰) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†” (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต)))
1093exp1 1350 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐ต โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐ถ โˆˆ ฯ‰ โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ถ โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†” (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต))))))
1110imp4b 421 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ถ โˆˆ ฯ‰ โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†” (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต))))
126, 11biimtrid 241 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ถ โˆˆ N โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†” (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต))))
134, 5, 12syl2an 595 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โ†’ (๐ถ โˆˆ N โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†” (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต))))
1413imp 406 . . . 4 (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†” (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต)))
15 ltpiord 10902 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โ†’ (๐ด <N ๐ต โ†” ๐ด โˆˆ ๐ต))
1615adantr 480 . . . 4 (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ (๐ด <N ๐ต โ†” ๐ด โˆˆ ๐ต))
17 mulclpi 10908 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ด โˆˆ N) โ†’ (๐ถ ยทN ๐ด) โˆˆ N)
18 mulclpi 10908 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โ†’ (๐ถ ยทN ๐ต) โˆˆ N)
19 ltpiord 10902 . . . . . . . 8 (((๐ถ ยทN ๐ด) โˆˆ N โˆง (๐ถ ยทN ๐ต) โˆˆ N) โ†’ ((๐ถ ยทN ๐ด) <N (๐ถ ยทN ๐ต) โ†” (๐ถ ยทN ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทN ๐ต)))
2017, 18, 19syl2an 595 . . . . . . 7 (((๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ด โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N)) โ†’ ((๐ถ ยทN ๐ด) <N (๐ถ ยทN ๐ต) โ†” (๐ถ ยทN ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทN ๐ต)))
21 mulpiord 10900 . . . . . . . . 9 ((๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ด โˆˆ N) โ†’ (๐ถ ยทN ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐ด))
2221adantr 480 . . . . . . . 8 (((๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ด โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N)) โ†’ (๐ถ ยทN ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐ด))
23 mulpiord 10900 . . . . . . . . 9 ((๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โ†’ (๐ถ ยทN ๐ต) = (๐ถ ยทo ๐ต))
2423adantl 481 . . . . . . . 8 (((๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ด โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N)) โ†’ (๐ถ ยทN ๐ต) = (๐ถ ยทo ๐ต))
2522, 24eleq12d 2822 . . . . . . 7 (((๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ด โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N)) โ†’ ((๐ถ ยทN ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทN ๐ต) โ†” (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต)))
2620, 25bitrd 279 . . . . . 6 (((๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ด โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N)) โ†’ ((๐ถ ยทN ๐ด) <N (๐ถ ยทN ๐ต) โ†” (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต)))
2726anandis 677 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ N โˆง (๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N)) โ†’ ((๐ถ ยทN ๐ด) <N (๐ถ ยทN ๐ต) โ†” (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต)))
2827ancoms 458 . . . 4 (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ ((๐ถ ยทN ๐ด) <N (๐ถ ยทN ๐ต) โ†” (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต)))
2914, 16, 283bitr4d 311 . . 3 (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ (๐ด <N ๐ต โ†” (๐ถ ยทN ๐ด) <N (๐ถ ยทN ๐ต)))
30293impa 1108 . 2 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ (๐ด <N ๐ต โ†” (๐ถ ยทN ๐ด) <N (๐ถ ยทN ๐ต)))
311, 2, 3, 30ndmovord 7605 1 (๐ถ โˆˆ N โ†’ (๐ด <N ๐ต โ†” (๐ถ ยทN ๐ด) <N (๐ถ ยทN ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆ…c0 4318   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  ฯ‰com 7864   ยทo comu 8478  Ncnpi 10859   ยทN cmi 10861   <N clti 10862
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-ni 10887  df-mi 10889  df-lti 10890
This theorem is referenced by:  ltsonq  10984  lterpq  10985  ltanq  10986  ltmnq  10987  archnq  10995
  Copyright terms: Public domain W3C validator