MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltmpi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltmpi 10975
Description: Ordering property of multiplication for positive integers. (Contributed by NM, 8-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ltmpi (𝐶N → (𝐴 <N 𝐵 ↔ (𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵)))

Proof of Theorem ltmpi
StepHypRef Expression
1 dmmulpi 10962 . 2 dom ·N = (N × N)
2 ltrelpi 10960 . 2 <N ⊆ (N × N)
3 0npi 10953 . 2 ¬ ∅ ∈ N
4 pinn 10949 . . . . . 6 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
5 pinn 10949 . . . . . 6 (𝐵N𝐵 ∈ ω)
6 elni2 10948 . . . . . . 7 (𝐶N ↔ (𝐶 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐶))
7 iba 527 . . . . . . . . . 10 (∅ ∈ 𝐶 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐶)))
8 nnmord 8690 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐶) ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵)))
97, 8sylan9bbr 510 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵)))
1093exp1 1352 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ω → (𝐵 ∈ ω → (𝐶 ∈ ω → (∅ ∈ 𝐶 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵))))))
1110imp4b 421 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((𝐶 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐶) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵))))
126, 11biimtrid 242 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐶N → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵))))
134, 5, 12syl2an 595 . . . . 5 ((𝐴N𝐵N) → (𝐶N → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵))))
1413imp 406 . . . 4 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵)))
15 ltpiord 10958 . . . . 5 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 <N 𝐵𝐴𝐵))
1615adantr 480 . . . 4 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → (𝐴 <N 𝐵𝐴𝐵))
17 mulclpi 10964 . . . . . . . 8 ((𝐶N𝐴N) → (𝐶 ·N 𝐴) ∈ N)
18 mulclpi 10964 . . . . . . . 8 ((𝐶N𝐵N) → (𝐶 ·N 𝐵) ∈ N)
19 ltpiord 10958 . . . . . . . 8 (((𝐶 ·N 𝐴) ∈ N ∧ (𝐶 ·N 𝐵) ∈ N) → ((𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵) ↔ (𝐶 ·N 𝐴) ∈ (𝐶 ·N 𝐵)))
2017, 18, 19syl2an 595 . . . . . . 7 (((𝐶N𝐴N) ∧ (𝐶N𝐵N)) → ((𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵) ↔ (𝐶 ·N 𝐴) ∈ (𝐶 ·N 𝐵)))
21 mulpiord 10956 . . . . . . . . 9 ((𝐶N𝐴N) → (𝐶 ·N 𝐴) = (𝐶 ·o 𝐴))
2221adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐶N𝐴N) ∧ (𝐶N𝐵N)) → (𝐶 ·N 𝐴) = (𝐶 ·o 𝐴))
23 mulpiord 10956 . . . . . . . . 9 ((𝐶N𝐵N) → (𝐶 ·N 𝐵) = (𝐶 ·o 𝐵))
2423adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝐶N𝐴N) ∧ (𝐶N𝐵N)) → (𝐶 ·N 𝐵) = (𝐶 ·o 𝐵))
2522, 24eleq12d 2838 . . . . . . 7 (((𝐶N𝐴N) ∧ (𝐶N𝐵N)) → ((𝐶 ·N 𝐴) ∈ (𝐶 ·N 𝐵) ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵)))
2620, 25bitrd 279 . . . . . 6 (((𝐶N𝐴N) ∧ (𝐶N𝐵N)) → ((𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵) ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵)))
2726anandis 677 . . . . 5 ((𝐶N ∧ (𝐴N𝐵N)) → ((𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵) ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵)))
2827ancoms 458 . . . 4 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → ((𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵) ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵)))
2914, 16, 283bitr4d 311 . . 3 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ (𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵)))
30293impa 1110 . 2 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ (𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵)))
311, 2, 3, 30ndmovord 7642 1 (𝐶N → (𝐴 <N 𝐵 ↔ (𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2108  c0 4352   class class class wbr 5166  (class class class)co 7450  ωcom 7905   ·o comu 8522  Ncnpi 10915   ·N cmi 10917   <N clti 10918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7772
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-om 7906  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-oadd 8528  df-omul 8529  df-ni 10943  df-mi 10945  df-lti 10946
This theorem is referenced by:  ltsonq  11040  lterpq  11041  ltanq  11042  ltmnq  11043  archnq  11051
  Copyright terms: Public domain W3C validator