MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltmpi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltmpi 10886
Description: Ordering property of multiplication for positive integers. (Contributed by NM, 8-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ltmpi (𝐶N → (𝐴 <N 𝐵 ↔ (𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵)))

Proof of Theorem ltmpi
StepHypRef Expression
1 dmmulpi 10873 . 2 dom ·N = (N × N)
2 ltrelpi 10871 . 2 <N ⊆ (N × N)
3 0npi 10864 . 2 ¬ ∅ ∈ N
4 pinn 10860 . . . . . 6 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
5 pinn 10860 . . . . . 6 (𝐵N𝐵 ∈ ω)
6 elni2 10859 . . . . . . 7 (𝐶N ↔ (𝐶 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐶))
7 iba 529 . . . . . . . . . 10 (∅ ∈ 𝐶 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐶)))
8 nnmord 8620 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐶) ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵)))
97, 8sylan9bbr 512 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵)))
1093exp1 1353 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ω → (𝐵 ∈ ω → (𝐶 ∈ ω → (∅ ∈ 𝐶 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵))))))
1110imp4b 423 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((𝐶 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐶) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵))))
126, 11biimtrid 241 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐶N → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵))))
134, 5, 12syl2an 597 . . . . 5 ((𝐴N𝐵N) → (𝐶N → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵))))
1413imp 408 . . . 4 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵)))
15 ltpiord 10869 . . . . 5 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 <N 𝐵𝐴𝐵))
1615adantr 482 . . . 4 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → (𝐴 <N 𝐵𝐴𝐵))
17 mulclpi 10875 . . . . . . . 8 ((𝐶N𝐴N) → (𝐶 ·N 𝐴) ∈ N)
18 mulclpi 10875 . . . . . . . 8 ((𝐶N𝐵N) → (𝐶 ·N 𝐵) ∈ N)
19 ltpiord 10869 . . . . . . . 8 (((𝐶 ·N 𝐴) ∈ N ∧ (𝐶 ·N 𝐵) ∈ N) → ((𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵) ↔ (𝐶 ·N 𝐴) ∈ (𝐶 ·N 𝐵)))
2017, 18, 19syl2an 597 . . . . . . 7 (((𝐶N𝐴N) ∧ (𝐶N𝐵N)) → ((𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵) ↔ (𝐶 ·N 𝐴) ∈ (𝐶 ·N 𝐵)))
21 mulpiord 10867 . . . . . . . . 9 ((𝐶N𝐴N) → (𝐶 ·N 𝐴) = (𝐶 ·o 𝐴))
2221adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝐶N𝐴N) ∧ (𝐶N𝐵N)) → (𝐶 ·N 𝐴) = (𝐶 ·o 𝐴))
23 mulpiord 10867 . . . . . . . . 9 ((𝐶N𝐵N) → (𝐶 ·N 𝐵) = (𝐶 ·o 𝐵))
2423adantl 483 . . . . . . . 8 (((𝐶N𝐴N) ∧ (𝐶N𝐵N)) → (𝐶 ·N 𝐵) = (𝐶 ·o 𝐵))
2522, 24eleq12d 2828 . . . . . . 7 (((𝐶N𝐴N) ∧ (𝐶N𝐵N)) → ((𝐶 ·N 𝐴) ∈ (𝐶 ·N 𝐵) ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵)))
2620, 25bitrd 279 . . . . . 6 (((𝐶N𝐴N) ∧ (𝐶N𝐵N)) → ((𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵) ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵)))
2726anandis 677 . . . . 5 ((𝐶N ∧ (𝐴N𝐵N)) → ((𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵) ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵)))
2827ancoms 460 . . . 4 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → ((𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵) ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵)))
2914, 16, 283bitr4d 311 . . 3 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ (𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵)))
30293impa 1111 . 2 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ (𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵)))
311, 2, 3, 30ndmovord 7584 1 (𝐶N → (𝐴 <N 𝐵 ↔ (𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  c0 4320   class class class wbr 5144  (class class class)co 7396  ωcom 7842   ·o comu 8451  Ncnpi 10826   ·N cmi 10828   <N clti 10829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pr 5423  ax-un 7712
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-oadd 8457  df-omul 8458  df-ni 10854  df-mi 10856  df-lti 10857
This theorem is referenced by:  ltsonq  10951  lterpq  10952  ltanq  10953  ltmnq  10954  archnq  10962
  Copyright terms: Public domain W3C validator