Theorem ltmpi 10896

Description: Ordering property of multiplication for positive integers. (Contributed by NM, 8-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ltmpi	⊢ (𝐶 ∈ N → (𝐴 <N 𝐵 ↔ (𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵)))

Proof of Theorem ltmpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmmulpi 10883	. 2 ⊢ dom ·N = (N × N)
2		ltrelpi 10881	. 2 ⊢ <N ⊆ (N × N)
3		0npi 10874	. 2 ⊢ ¬ ∅ ∈ N
4		pinn 10870	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
5		pinn 10870	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ N → 𝐵 ∈ ω)
6		elni2 10869	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ N ↔ (𝐶 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐶))
7		iba 529	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅ ∈ 𝐶 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐶)))
8		nnmord 8629	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐶) ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵)))
9	7, 8	sylan9bbr 512	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵)))
10	9	3exp1 1353	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐵 ∈ ω → (𝐶 ∈ ω → (∅ ∈ 𝐶 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵))))))
11	10	imp4b 423	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((𝐶 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐶) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵))))
12	6, 11	biimtrid 241	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐶 ∈ N → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵))))
13	4, 5, 12	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐶 ∈ N → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵))))
14	13	imp 408	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵)))
15		ltpiord 10879	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
16	15	adantr 482	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
17		mulclpi 10885	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ N ∧ 𝐴 ∈ N) → (𝐶 ·N 𝐴) ∈ N)
18		mulclpi 10885	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐶 ·N 𝐵) ∈ N)
19		ltpiord 10879	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ·N 𝐴) ∈ N ∧ (𝐶 ·N 𝐵) ∈ N) → ((𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵) ↔ (𝐶 ·N 𝐴) ∈ (𝐶 ·N 𝐵)))
20	17, 18, 19	syl2an 597	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ N ∧ 𝐴 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) → ((𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵) ↔ (𝐶 ·N 𝐴) ∈ (𝐶 ·N 𝐵)))
21		mulpiord 10877	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ N ∧ 𝐴 ∈ N) → (𝐶 ·N 𝐴) = (𝐶 ·o 𝐴))
22	21	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ N ∧ 𝐴 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) → (𝐶 ·N 𝐴) = (𝐶 ·o 𝐴))
23		mulpiord 10877	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐶 ·N 𝐵) = (𝐶 ·o 𝐵))
24	23	adantl 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ N ∧ 𝐴 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) → (𝐶 ·N 𝐵) = (𝐶 ·o 𝐵))
25	22, 24	eleq12d 2828	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ N ∧ 𝐴 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) → ((𝐶 ·N 𝐴) ∈ (𝐶 ·N 𝐵) ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵)))
26	20, 25	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ N ∧ 𝐴 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) → ((𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵) ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵)))
27	26	anandis 677	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ N ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) → ((𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵) ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵)))
28	27	ancoms 460	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵) ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵)))
29	14, 16, 28	3bitr4d 311	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ (𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵)))
30	29	3impa 1111	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ (𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵)))
31	1, 2, 3, 30	ndmovord 7594	1 ⊢ (𝐶 ∈ N → (𝐴 <N 𝐵 ↔ (𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∅c0 4322   class class class wbr 5148  (class class class)co 7406  ωcom 7852   ·_o comu 8461  Ncnpi 10836   ·_N cmi 10838   <_N clti 10839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-oadd 8467  df-omul 8468  df-ni 10864  df-mi 10866  df-lti 10867

This theorem is referenced by:  ltsonq  10961  lterpq  10962  ltanq  10963  ltmnq  10964  archnq  10972