MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addnidpi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addnidpi 10941
Description: There is no identity element for addition on positive integers. (Contributed by NM, 28-Nov-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addnidpi (𝐴N → ¬ (𝐴 +N 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem addnidpi
StepHypRef Expression
1 pinn 10918 . . . . 5 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
2 elni2 10917 . . . . . 6 (𝐵N ↔ (𝐵 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐵))
3 nnaordi 8656 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
4 nna0 8642 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
54eleq1d 2826 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
6 nnord 7895 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
7 ordirr 6402 . . . . . . . . . . . . . 14 (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴𝐴)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ω → ¬ 𝐴𝐴)
9 eleq2 2830 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 +o 𝐵) = 𝐴 → (𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝐵) ↔ 𝐴𝐴))
109notbid 318 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 +o 𝐵) = 𝐴 → (¬ 𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝐵) ↔ ¬ 𝐴𝐴))
118, 10syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 +o 𝐵) = 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
1211con2d 134 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝐵) → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴))
135, 12sylbid 240 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵) → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴))
1413adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵) → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴))
153, 14syld 47 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝐵 → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴))
1615expcom 413 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ω → (𝐵 ∈ ω → (∅ ∈ 𝐵 → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴)))
1716imp32 418 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ω ∧ (𝐵 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐵)) → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴)
182, 17sylan2b 594 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴)
191, 18sylan 580 . . . 4 ((𝐴N𝐵N) → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴)
20 addpiord 10924 . . . . 5 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +o 𝐵))
2120eqeq1d 2739 . . . 4 ((𝐴N𝐵N) → ((𝐴 +N 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴))
2219, 21mtbird 325 . . 3 ((𝐴N𝐵N) → ¬ (𝐴 +N 𝐵) = 𝐴)
2322a1d 25 . 2 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴N → ¬ (𝐴 +N 𝐵) = 𝐴))
24 dmaddpi 10930 . . . . . 6 dom +N = (N × N)
2524ndmov 7617 . . . . 5 (¬ (𝐴N𝐵N) → (𝐴 +N 𝐵) = ∅)
2625eqeq1d 2739 . . . 4 (¬ (𝐴N𝐵N) → ((𝐴 +N 𝐵) = 𝐴 ↔ ∅ = 𝐴))
27 0npi 10922 . . . . 5 ¬ ∅ ∈ N
28 eleq1 2829 . . . . 5 (∅ = 𝐴 → (∅ ∈ N𝐴N))
2927, 28mtbii 326 . . . 4 (∅ = 𝐴 → ¬ 𝐴N)
3026, 29biimtrdi 253 . . 3 (¬ (𝐴N𝐵N) → ((𝐴 +N 𝐵) = 𝐴 → ¬ 𝐴N))
3130con2d 134 . 2 (¬ (𝐴N𝐵N) → (𝐴N → ¬ (𝐴 +N 𝐵) = 𝐴))
3223, 31pm2.61i 182 1 (𝐴N → ¬ (𝐴 +N 𝐵) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  c0 4333  Ord word 6383  (class class class)co 7431  ωcom 7887   +o coa 8503  Ncnpi 10884   +N cpli 10885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-oadd 8510  df-ni 10912  df-pli 10913
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator