MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addnidpi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addnidpi 10413
Description: There is no identity element for addition on positive integers. (Contributed by NM, 28-Nov-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addnidpi (𝐴N → ¬ (𝐴 +N 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem addnidpi
StepHypRef Expression
1 pinn 10390 . . . . 5 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
2 elni2 10389 . . . . . 6 (𝐵N ↔ (𝐵 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐵))
3 nnaordi 8287 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
4 nna0 8273 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
54eleq1d 2818 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
6 nnord 7619 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
7 ordirr 6200 . . . . . . . . . . . . . 14 (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴𝐴)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ω → ¬ 𝐴𝐴)
9 eleq2 2822 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 +o 𝐵) = 𝐴 → (𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝐵) ↔ 𝐴𝐴))
109notbid 321 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 +o 𝐵) = 𝐴 → (¬ 𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝐵) ↔ ¬ 𝐴𝐴))
118, 10syl5ibrcom 250 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 +o 𝐵) = 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
1211con2d 136 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝐵) → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴))
135, 12sylbid 243 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵) → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴))
1413adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵) → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴))
153, 14syld 47 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝐵 → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴))
1615expcom 417 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ω → (𝐵 ∈ ω → (∅ ∈ 𝐵 → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴)))
1716imp32 422 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ω ∧ (𝐵 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐵)) → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴)
182, 17sylan2b 597 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴)
191, 18sylan 583 . . . 4 ((𝐴N𝐵N) → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴)
20 addpiord 10396 . . . . 5 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +o 𝐵))
2120eqeq1d 2741 . . . 4 ((𝐴N𝐵N) → ((𝐴 +N 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴))
2219, 21mtbird 328 . . 3 ((𝐴N𝐵N) → ¬ (𝐴 +N 𝐵) = 𝐴)
2322a1d 25 . 2 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴N → ¬ (𝐴 +N 𝐵) = 𝐴))
24 dmaddpi 10402 . . . . . 6 dom +N = (N × N)
2524ndmov 7360 . . . . 5 (¬ (𝐴N𝐵N) → (𝐴 +N 𝐵) = ∅)
2625eqeq1d 2741 . . . 4 (¬ (𝐴N𝐵N) → ((𝐴 +N 𝐵) = 𝐴 ↔ ∅ = 𝐴))
27 0npi 10394 . . . . 5 ¬ ∅ ∈ N
28 eleq1 2821 . . . . 5 (∅ = 𝐴 → (∅ ∈ N𝐴N))
2927, 28mtbii 329 . . . 4 (∅ = 𝐴 → ¬ 𝐴N)
3026, 29syl6bi 256 . . 3 (¬ (𝐴N𝐵N) → ((𝐴 +N 𝐵) = 𝐴 → ¬ 𝐴N))
3130con2d 136 . 2 (¬ (𝐴N𝐵N) → (𝐴N → ¬ (𝐴 +N 𝐵) = 𝐴))
3223, 31pm2.61i 185 1 (𝐴N → ¬ (𝐴 +N 𝐵) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  c0 4221  Ord word 6181  (class class class)co 7182  ωcom 7611   +o coa 8140  Ncnpi 10356   +N cpli 10357
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pr 5306  ax-un 7491
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6185  df-on 6186  df-lim 6187  df-suc 6188  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-om 7612  df-1st 7726  df-2nd 7727  df-wrecs 7988  df-recs 8049  df-rdg 8087  df-oadd 8147  df-ni 10384  df-pli 10385
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator