Theorem addnidpi 10853

Description: There is no identity element for addition on positive integers. (Contributed by NM, 28-Nov-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
addnidpi	⊢ (𝐴 ∈ N → ¬ (𝐴 +N 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem addnidpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 10830	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
2		elni2 10829	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ N ↔ (𝐵 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐵))
3		nnaordi 8582	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
4		nna0 8568	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
5	4	eleq1d 2846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
6		nnord 7849	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
7		ordirr 6359	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
9		eleq2 2850	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 +o 𝐵) = 𝐴 → (𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝐵) ↔ 𝐴 ∈ 𝐴))
10	9	notbid 320	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 +o 𝐵) = 𝐴 → (¬ 𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝐵) ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴))
11	8, 10	syl5ibrcom 249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 +o 𝐵) = 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
12	11	con2d 134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝐵) → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴))
13	5, 12	sylbid 242	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵) → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴))
14	13	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵) → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴))
15	3, 14	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝐵 → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴))
16	15	expcom 417	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐵 ∈ ω → (∅ ∈ 𝐵 → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴)))
17	16	imp32 422	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ (𝐵 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐵)) → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴)
18	2, 17	sylan2b 603	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴)
19	1, 18	sylan 589	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴)
20		addpiord 10836	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +o 𝐵))
21	20	eqeq1d 2763	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴))
22	19, 21	mtbird 327	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ¬ (𝐴 +N 𝐵) = 𝐴)
23	22	a1d 25	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ∈ N → ¬ (𝐴 +N 𝐵) = 𝐴))
24		dmaddpi 10842	. . . . . 6 ⊢ dom +N = (N × N)
25	24	ndmov 7575	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐵) = ∅)
26	25	eqeq1d 2763	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) = 𝐴 ↔ ∅ = 𝐴))
27		0npi 10834	. . . . 5 ⊢ ¬ ∅ ∈ N
28		eleq1 2849	. . . . 5 ⊢ (∅ = 𝐴 → (∅ ∈ N ↔ 𝐴 ∈ N))
29	27, 28	mtbii 328	. . . 4 ⊢ (∅ = 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ N)
30	26, 29	biimtrdi 255	. . 3 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) = 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ N))
31	30	con2d 134	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ∈ N → ¬ (𝐴 +N 𝐵) = 𝐴))
32	23, 31	pm2.61i 183	1 ⊢ (𝐴 ∈ N → ¬ (𝐴 +N 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∅c0 4283  Ord word 6340  (class class class)co 7391  ωcom 7841   +_o coa 8428  Ncnpi 10796   +_N cpli 10797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5387  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-oadd 8435  df-ni 10824  df-pli 10825

This theorem is referenced by: (None)