Theorem addnidpi 10922

Description: There is no identity element for addition on positive integers. (Contributed by NM, 28-Nov-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
addnidpi	⊢ (𝐴 ∈ N → ¬ (𝐴 +N 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem addnidpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 10899	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
2		elni2 10898	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ N ↔ (𝐵 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐵))
3		nnaordi 8635	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
4		nna0 8621	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
5	4	eleq1d 2810	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
6		nnord 7874	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
7		ordirr 6380	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
9		eleq2 2814	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 +o 𝐵) = 𝐴 → (𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝐵) ↔ 𝐴 ∈ 𝐴))
10	9	notbid 317	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 +o 𝐵) = 𝐴 → (¬ 𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝐵) ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴))
11	8, 10	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 +o 𝐵) = 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
12	11	con2d 134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝐵) → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴))
13	5, 12	sylbid 239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵) → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴))
14	13	adantl 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵) → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴))
15	3, 14	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝐵 → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴))
16	15	expcom 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐵 ∈ ω → (∅ ∈ 𝐵 → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴)))
17	16	imp32 417	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ (𝐵 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐵)) → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴)
18	2, 17	sylan2b 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴)
19	1, 18	sylan 578	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴)
20		addpiord 10905	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +o 𝐵))
21	20	eqeq1d 2727	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴))
22	19, 21	mtbird 324	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ¬ (𝐴 +N 𝐵) = 𝐴)
23	22	a1d 25	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ∈ N → ¬ (𝐴 +N 𝐵) = 𝐴))
24		dmaddpi 10911	. . . . . 6 ⊢ dom +N = (N × N)
25	24	ndmov 7600	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐵) = ∅)
26	25	eqeq1d 2727	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) = 𝐴 ↔ ∅ = 𝐴))
27		0npi 10903	. . . . 5 ⊢ ¬ ∅ ∈ N
28		eleq1 2813	. . . . 5 ⊢ (∅ = 𝐴 → (∅ ∈ N ↔ 𝐴 ∈ N))
29	27, 28	mtbii 325	. . . 4 ⊢ (∅ = 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ N)
30	26, 29	biimtrdi 252	. . 3 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) = 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ N))
31	30	con2d 134	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ∈ N → ¬ (𝐴 +N 𝐵) = 𝐴))
32	23, 31	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐴 ∈ N → ¬ (𝐴 +N 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∅c0 4316  Ord word 6361  (class class class)co 7414  ωcom 7866   +_o coa 8480  Ncnpi 10865   +_N cpli 10866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5421  ax-un 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-oadd 8487  df-ni 10893  df-pli 10894

This theorem is referenced by: (None)