Theorem addnidpi 10932

Description: There is no identity element for addition on positive integers. (Contributed by NM, 28-Nov-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
addnidpi	⊢ (𝐴 ∈ N → ¬ (𝐴 +N 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem addnidpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 10909	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
2		elni2 10908	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ N ↔ (𝐵 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐵))
3		nnaordi 8645	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
4		nna0 8631	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
5	4	eleq1d 2814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
6		nnord 7884	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
7		ordirr 6392	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
9		eleq2 2818	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 +o 𝐵) = 𝐴 → (𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝐵) ↔ 𝐴 ∈ 𝐴))
10	9	notbid 317	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 +o 𝐵) = 𝐴 → (¬ 𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝐵) ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴))
11	8, 10	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 +o 𝐵) = 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
12	11	con2d 134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝐵) → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴))
13	5, 12	sylbid 239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵) → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴))
14	13	adantl 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵) → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴))
15	3, 14	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝐵 → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴))
16	15	expcom 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐵 ∈ ω → (∅ ∈ 𝐵 → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴)))
17	16	imp32 417	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ (𝐵 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐵)) → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴)
18	2, 17	sylan2b 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴)
19	1, 18	sylan 578	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴)
20		addpiord 10915	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +o 𝐵))
21	20	eqeq1d 2730	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴))
22	19, 21	mtbird 324	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ¬ (𝐴 +N 𝐵) = 𝐴)
23	22	a1d 25	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ∈ N → ¬ (𝐴 +N 𝐵) = 𝐴))
24		dmaddpi 10921	. . . . . 6 ⊢ dom +N = (N × N)
25	24	ndmov 7611	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐵) = ∅)
26	25	eqeq1d 2730	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) = 𝐴 ↔ ∅ = 𝐴))
27		0npi 10913	. . . . 5 ⊢ ¬ ∅ ∈ N
28		eleq1 2817	. . . . 5 ⊢ (∅ = 𝐴 → (∅ ∈ N ↔ 𝐴 ∈ N))
29	27, 28	mtbii 325	. . . 4 ⊢ (∅ = 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ N)
30	26, 29	biimtrdi 252	. . 3 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) = 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ N))
31	30	con2d 134	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ∈ N → ¬ (𝐴 +N 𝐵) = 𝐴))
32	23, 31	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐴 ∈ N → ¬ (𝐴 +N 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∅c0 4326  Ord word 6373  (class class class)co 7426  ωcom 7876   +_o coa 8490  Ncnpi 10875   +_N cpli 10876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-oadd 8497  df-ni 10903  df-pli 10904

This theorem is referenced by: (None)