Theorem addnidpi 10837

Description: There is no identity element for addition on positive integers. (Contributed by NM, 28-Nov-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
addnidpi	⊢ (𝐴 ∈ N → ¬ (𝐴 +N 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem addnidpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 10814	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
2		elni2 10813	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ N ↔ (𝐵 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐵))
3		nnaordi 8565	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
4		nna0 8551	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
5	4	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
6		nnord 7810	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
7		ordirr 6335	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
9		eleq2 2826	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 +o 𝐵) = 𝐴 → (𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝐵) ↔ 𝐴 ∈ 𝐴))
10	9	notbid 317	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 +o 𝐵) = 𝐴 → (¬ 𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝐵) ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴))
11	8, 10	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 +o 𝐵) = 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
12	11	con2d 134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝐵) → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴))
13	5, 12	sylbid 239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵) → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴))
14	13	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵) → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴))
15	3, 14	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝐵 → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴))
16	15	expcom 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐵 ∈ ω → (∅ ∈ 𝐵 → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴)))
17	16	imp32 419	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ (𝐵 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐵)) → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴)
18	2, 17	sylan2b 594	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴)
19	1, 18	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴)
20		addpiord 10820	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +o 𝐵))
21	20	eqeq1d 2738	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴))
22	19, 21	mtbird 324	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ¬ (𝐴 +N 𝐵) = 𝐴)
23	22	a1d 25	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ∈ N → ¬ (𝐴 +N 𝐵) = 𝐴))
24		dmaddpi 10826	. . . . . 6 ⊢ dom +N = (N × N)
25	24	ndmov 7538	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐵) = ∅)
26	25	eqeq1d 2738	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) = 𝐴 ↔ ∅ = 𝐴))
27		0npi 10818	. . . . 5 ⊢ ¬ ∅ ∈ N
28		eleq1 2825	. . . . 5 ⊢ (∅ = 𝐴 → (∅ ∈ N ↔ 𝐴 ∈ N))
29	27, 28	mtbii 325	. . . 4 ⊢ (∅ = 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ N)
30	26, 29	syl6bi 252	. . 3 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) = 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ N))
31	30	con2d 134	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ∈ N → ¬ (𝐴 +N 𝐵) = 𝐴))
32	23, 31	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐴 ∈ N → ¬ (𝐴 +N 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∅c0 4282  Ord word 6316  (class class class)co 7357  ωcom 7802   +_o coa 8409  Ncnpi 10780   +_N cpli 10781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pr 5384  ax-un 7672

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-oadd 8416  df-ni 10808  df-pli 10809

This theorem is referenced by: (None)