Theorem mulidpi 11001

Description: 1 is an identity element for multiplication on positive integers. (Contributed by NM, 4-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
mulidpi	⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ·N 1o) = 𝐴)

Proof of Theorem mulidpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 10998	. . 3 ⊢ 1o ∈ N
2		mulpiord 11000	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 1o ∈ N) → (𝐴 ·N 1o) = (𝐴 ·o 1o))
3	1, 2	mpan2 704	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ·N 1o) = (𝐴 ·o 1o))
4		pinn 10993	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
5		nnm1 8692	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o 1o) = 𝐴)
6	4, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ·o 1o) = 𝐴)
7	3, 6	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ·N 1o) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7446  ωcom 7904  1_oc1o 8500   ·_o comu 8505  Ncnpi 10959   ·_N cmi 10961

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pr 5396  ax-un 7778

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-oadd 8511  df-omul 8512  df-ni 10987  df-mi 10989

This theorem is used by:  1nqenq  11077  mulidnq  11078  1lt2nq  11088  archnq  11095  prlem934  11148