MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulidpi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulidpi 10818
Description: 1 is an identity element for multiplication on positive integers. (Contributed by NM, 4-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulidpi (𝐴N → (𝐴 ·N 1o) = 𝐴)

Proof of Theorem mulidpi
StepHypRef Expression
1 1pi 10815 . . 3 1oN
2 mulpiord 10817 . . 3 ((𝐴N ∧ 1oN) → (𝐴 ·N 1o) = (𝐴 ·o 1o))
31, 2mpan2 689 . 2 (𝐴N → (𝐴 ·N 1o) = (𝐴 ·o 1o))
4 pinn 10810 . . 3 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
5 nnm1 8594 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o 1o) = 𝐴)
64, 5syl 17 . 2 (𝐴N → (𝐴 ·o 1o) = 𝐴)
73, 6eqtrd 2776 1 (𝐴N → (𝐴 ·N 1o) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  (class class class)co 7353  ωcom 7798  1oc1o 8401   ·o comu 8406  Ncnpi 10776   ·N cmi 10778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382  ax-un 7668
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-oadd 8412  df-omul 8413  df-ni 10804  df-mi 10806
This theorem is referenced by:  1nqenq  10894  mulidnq  10895  1lt2nq  10905  archnq  10912  prlem934  10965
  Copyright terms: Public domain W3C validator