Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addasspi Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: Addition of positive integers is associative. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addasspi ((𝐴 +N 𝐵) +N 𝐶) = (𝐴 +N (𝐵 +N 𝐶))

StepHypRef Expression
1 pinn 10022 . . . 4 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
2 pinn 10022 . . . 4 (𝐵N𝐵 ∈ ω)
3 pinn 10022 . . . 4 (𝐶N𝐶 ∈ ω)
4 nnaass 7974 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝐶) = (𝐴 +o (𝐵 +o 𝐶)))
51, 2, 3, 4syl3an 1203 . . 3 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝐶) = (𝐴 +o (𝐵 +o 𝐶)))
6 addclpi 10036 . . . . . 6 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 +N 𝐵) ∈ N)
7 addpiord 10028 . . . . . 6 (((𝐴 +N 𝐵) ∈ N𝐶N) → ((𝐴 +N 𝐵) +N 𝐶) = ((𝐴 +N 𝐵) +o 𝐶))
86, 7sylan 575 . . . . 5 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → ((𝐴 +N 𝐵) +N 𝐶) = ((𝐴 +N 𝐵) +o 𝐶))
9 addpiord 10028 . . . . . . 7 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +o 𝐵))
109oveq1d 6925 . . . . . 6 ((𝐴N𝐵N) → ((𝐴 +N 𝐵) +o 𝐶) = ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝐶))
1110adantr 474 . . . . 5 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → ((𝐴 +N 𝐵) +o 𝐶) = ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝐶))
128, 11eqtrd 2861 . . . 4 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → ((𝐴 +N 𝐵) +N 𝐶) = ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝐶))
13123impa 1140 . . 3 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → ((𝐴 +N 𝐵) +N 𝐶) = ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝐶))
14 addclpi 10036 . . . . . 6 ((𝐵N𝐶N) → (𝐵 +N 𝐶) ∈ N)
15 addpiord 10028 . . . . . 6 ((𝐴N ∧ (𝐵 +N 𝐶) ∈ N) → (𝐴 +N (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 +o (𝐵 +N 𝐶)))
1614, 15sylan2 586 . . . . 5 ((𝐴N ∧ (𝐵N𝐶N)) → (𝐴 +N (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 +o (𝐵 +N 𝐶)))
17 addpiord 10028 . . . . . . 7 ((𝐵N𝐶N) → (𝐵 +N 𝐶) = (𝐵 +o 𝐶))
1817oveq2d 6926 . . . . . 6 ((𝐵N𝐶N) → (𝐴 +o (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 +o (𝐵 +o 𝐶)))
1918adantl 475 . . . . 5 ((𝐴N ∧ (𝐵N𝐶N)) → (𝐴 +o (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 +o (𝐵 +o 𝐶)))
2016, 19eqtrd 2861 . . . 4 ((𝐴N ∧ (𝐵N𝐶N)) → (𝐴 +N (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 +o (𝐵 +o 𝐶)))
21203impb 1147 . . 3 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → (𝐴 +N (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 +o (𝐵 +o 𝐶)))
225, 13, 213eqtr4d 2871 . 2 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → ((𝐴 +N 𝐵) +N 𝐶) = (𝐴 +N (𝐵 +N 𝐶)))
23 dmaddpi 10034 . . 3 dom +N = (N × N)
24 0npi 10026 . . 3 ¬ ∅ ∈ N
2523, 24ndmovass 7087 . 2 (¬ (𝐴N𝐵N𝐶N) → ((𝐴 +N 𝐵) +N 𝐶) = (𝐴 +N (𝐵 +N 𝐶)))
2622, 25pm2.61i 177 1 ((𝐴 +N 𝐵) +N 𝐶) = (𝐴 +N (𝐵 +N 𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 386   ∧ w3a 1111   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  (class class class)co 6910  ωcom 7331   +o coa 7828  Ncnpi 9988   +N cpli 9989 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-oadd 7835  df-ni 10016  df-pli 10017 This theorem is referenced by:  addassnq  10102
 Copyright terms: Public domain W3C validator