MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addasspi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addasspi 10679
Description: Addition of positive integers is associative. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addasspi ((𝐴 +N 𝐵) +N 𝐶) = (𝐴 +N (𝐵 +N 𝐶))

Proof of Theorem addasspi
StepHypRef Expression
1 pinn 10662 . . . 4 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
2 pinn 10662 . . . 4 (𝐵N𝐵 ∈ ω)
3 pinn 10662 . . . 4 (𝐶N𝐶 ∈ ω)
4 nnaass 8473 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝐶) = (𝐴 +o (𝐵 +o 𝐶)))
51, 2, 3, 4syl3an 1158 . . 3 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝐶) = (𝐴 +o (𝐵 +o 𝐶)))
6 addclpi 10676 . . . . . 6 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 +N 𝐵) ∈ N)
7 addpiord 10668 . . . . . 6 (((𝐴 +N 𝐵) ∈ N𝐶N) → ((𝐴 +N 𝐵) +N 𝐶) = ((𝐴 +N 𝐵) +o 𝐶))
86, 7sylan 579 . . . . 5 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → ((𝐴 +N 𝐵) +N 𝐶) = ((𝐴 +N 𝐵) +o 𝐶))
9 addpiord 10668 . . . . . . 7 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +o 𝐵))
109oveq1d 7310 . . . . . 6 ((𝐴N𝐵N) → ((𝐴 +N 𝐵) +o 𝐶) = ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝐶))
1110adantr 480 . . . . 5 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → ((𝐴 +N 𝐵) +o 𝐶) = ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝐶))
128, 11eqtrd 2773 . . . 4 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → ((𝐴 +N 𝐵) +N 𝐶) = ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝐶))
13123impa 1108 . . 3 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → ((𝐴 +N 𝐵) +N 𝐶) = ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝐶))
14 addclpi 10676 . . . . . 6 ((𝐵N𝐶N) → (𝐵 +N 𝐶) ∈ N)
15 addpiord 10668 . . . . . 6 ((𝐴N ∧ (𝐵 +N 𝐶) ∈ N) → (𝐴 +N (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 +o (𝐵 +N 𝐶)))
1614, 15sylan2 592 . . . . 5 ((𝐴N ∧ (𝐵N𝐶N)) → (𝐴 +N (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 +o (𝐵 +N 𝐶)))
17 addpiord 10668 . . . . . . 7 ((𝐵N𝐶N) → (𝐵 +N 𝐶) = (𝐵 +o 𝐶))
1817oveq2d 7311 . . . . . 6 ((𝐵N𝐶N) → (𝐴 +o (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 +o (𝐵 +o 𝐶)))
1918adantl 481 . . . . 5 ((𝐴N ∧ (𝐵N𝐶N)) → (𝐴 +o (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 +o (𝐵 +o 𝐶)))
2016, 19eqtrd 2773 . . . 4 ((𝐴N ∧ (𝐵N𝐶N)) → (𝐴 +N (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 +o (𝐵 +o 𝐶)))
21203impb 1113 . . 3 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → (𝐴 +N (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 +o (𝐵 +o 𝐶)))
225, 13, 213eqtr4d 2783 . 2 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → ((𝐴 +N 𝐵) +N 𝐶) = (𝐴 +N (𝐵 +N 𝐶)))
23 dmaddpi 10674 . . 3 dom +N = (N × N)
24 0npi 10666 . . 3 ¬ ∅ ∈ N
2523, 24ndmovass 7480 . 2 (¬ (𝐴N𝐵N𝐶N) → ((𝐴 +N 𝐵) +N 𝐶) = (𝐴 +N (𝐵 +N 𝐶)))
2622, 25pm2.61i 182 1 ((𝐴 +N 𝐵) +N 𝐶) = (𝐴 +N (𝐵 +N 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395  w3a 1085   = wceq 1537  wcel 2101  (class class class)co 7295  ωcom 7732   +o coa 8314  Ncnpi 10628   +N cpli 10629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pr 5355  ax-un 7608
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-iun 4929  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-tr 5195  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-om 7733  df-1st 7851  df-2nd 7852  df-frecs 8117  df-wrecs 8148  df-recs 8222  df-rdg 8261  df-oadd 8321  df-ni 10656  df-pli 10657
This theorem is referenced by:  addassnq  10742
  Copyright terms: Public domain W3C validator