MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addasspi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addasspi 10309
Description: Addition of positive integers is associative. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addasspi ((𝐴 +N 𝐵) +N 𝐶) = (𝐴 +N (𝐵 +N 𝐶))

Proof of Theorem addasspi
StepHypRef Expression
1 pinn 10292 . . . 4 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
2 pinn 10292 . . . 4 (𝐵N𝐵 ∈ ω)
3 pinn 10292 . . . 4 (𝐶N𝐶 ∈ ω)
4 nnaass 8241 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝐶) = (𝐴 +o (𝐵 +o 𝐶)))
51, 2, 3, 4syl3an 1154 . . 3 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝐶) = (𝐴 +o (𝐵 +o 𝐶)))
6 addclpi 10306 . . . . . 6 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 +N 𝐵) ∈ N)
7 addpiord 10298 . . . . . 6 (((𝐴 +N 𝐵) ∈ N𝐶N) → ((𝐴 +N 𝐵) +N 𝐶) = ((𝐴 +N 𝐵) +o 𝐶))
86, 7sylan 580 . . . . 5 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → ((𝐴 +N 𝐵) +N 𝐶) = ((𝐴 +N 𝐵) +o 𝐶))
9 addpiord 10298 . . . . . . 7 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +o 𝐵))
109oveq1d 7166 . . . . . 6 ((𝐴N𝐵N) → ((𝐴 +N 𝐵) +o 𝐶) = ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝐶))
1110adantr 481 . . . . 5 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → ((𝐴 +N 𝐵) +o 𝐶) = ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝐶))
128, 11eqtrd 2860 . . . 4 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → ((𝐴 +N 𝐵) +N 𝐶) = ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝐶))
13123impa 1104 . . 3 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → ((𝐴 +N 𝐵) +N 𝐶) = ((𝐴 +o 𝐵) +o 𝐶))
14 addclpi 10306 . . . . . 6 ((𝐵N𝐶N) → (𝐵 +N 𝐶) ∈ N)
15 addpiord 10298 . . . . . 6 ((𝐴N ∧ (𝐵 +N 𝐶) ∈ N) → (𝐴 +N (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 +o (𝐵 +N 𝐶)))
1614, 15sylan2 592 . . . . 5 ((𝐴N ∧ (𝐵N𝐶N)) → (𝐴 +N (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 +o (𝐵 +N 𝐶)))
17 addpiord 10298 . . . . . . 7 ((𝐵N𝐶N) → (𝐵 +N 𝐶) = (𝐵 +o 𝐶))
1817oveq2d 7167 . . . . . 6 ((𝐵N𝐶N) → (𝐴 +o (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 +o (𝐵 +o 𝐶)))
1918adantl 482 . . . . 5 ((𝐴N ∧ (𝐵N𝐶N)) → (𝐴 +o (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 +o (𝐵 +o 𝐶)))
2016, 19eqtrd 2860 . . . 4 ((𝐴N ∧ (𝐵N𝐶N)) → (𝐴 +N (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 +o (𝐵 +o 𝐶)))
21203impb 1109 . . 3 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → (𝐴 +N (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 +o (𝐵 +o 𝐶)))
225, 13, 213eqtr4d 2870 . 2 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → ((𝐴 +N 𝐵) +N 𝐶) = (𝐴 +N (𝐵 +N 𝐶)))
23 dmaddpi 10304 . . 3 dom +N = (N × N)
24 0npi 10296 . . 3 ¬ ∅ ∈ N
2523, 24ndmovass 7329 . 2 (¬ (𝐴N𝐵N𝐶N) → ((𝐴 +N 𝐵) +N 𝐶) = (𝐴 +N (𝐵 +N 𝐶)))
2622, 25pm2.61i 183 1 ((𝐴 +N 𝐵) +N 𝐶) = (𝐴 +N (𝐵 +N 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  (class class class)co 7151  ωcom 7571   +o coa 8093  Ncnpi 10258   +N cpli 10259
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-oadd 8100  df-ni 10286  df-pli 10287
This theorem is referenced by:  addassnq  10372
  Copyright terms: Public domain W3C validator