Theorem mulasspi 11009

Description: Multiplication of positive integers is associative. (Contributed by NM, 21-Sep-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
mulasspi	⊢ ((𝐴 ·N 𝐵) ·N 𝐶) = (𝐴 ·N (𝐵 ·N 𝐶))

Proof of Theorem mulasspi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 10990	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
2		pinn 10990	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ N → 𝐵 ∈ ω)
3		pinn 10990	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ N → 𝐶 ∈ ω)
4		nnmass 8661	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝐶) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1178	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝐶) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝐶)))
6		mulclpi 11005	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐵) ∈ N)
7		mulpiord 10997	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ·N 𝐵) ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐵) ·N 𝐶) = ((𝐴 ·N 𝐵) ·o 𝐶))
8	6, 7	sylan 592	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐵) ·N 𝐶) = ((𝐴 ·N 𝐵) ·o 𝐶))
9		mulpiord 10997	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·o 𝐵))
10	9	oveq1d 7458	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐵) ·o 𝐶) = ((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝐶))
11	10	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐵) ·o 𝐶) = ((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝐶))
12	8, 11	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐵) ·N 𝐶) = ((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝐶))
13	12	3impa 1127	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐵) ·N 𝐶) = ((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝐶))
14		mulclpi 11005	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐵 ·N 𝐶) ∈ N)
15		mulpiord 10997	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ (𝐵 ·N 𝐶) ∈ N) → (𝐴 ·N (𝐵 ·N 𝐶)) = (𝐴 ·o (𝐵 ·N 𝐶)))
16	14, 15	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ (𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)) → (𝐴 ·N (𝐵 ·N 𝐶)) = (𝐴 ·o (𝐵 ·N 𝐶)))
17		mulpiord 10997	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐵 ·N 𝐶) = (𝐵 ·o 𝐶))
18	17	oveq2d 7459	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 ·o (𝐵 ·N 𝐶)) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝐶)))
19	18	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ (𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)) → (𝐴 ·o (𝐵 ·N 𝐶)) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝐶)))
20	16, 19	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ (𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)) → (𝐴 ·N (𝐵 ·N 𝐶)) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝐶)))
21	20	3impb 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 ·N (𝐵 ·N 𝐶)) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝐶)))
22	5, 13, 21	3eqtr4d 2808	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐵) ·N 𝐶) = (𝐴 ·N (𝐵 ·N 𝐶)))
23		dmmulpi 11003	. . 3 ⊢ dom ·N = (N × N)
24		0npi 10994	. . 3 ⊢ ¬ ∅ ∈ N
25	23, 24	ndmovass 7633	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐵) ·N 𝐶) = (𝐴 ·N (𝐵 ·N 𝐶)))
26	22, 25	pm2.61i 184	1 ⊢ ((𝐴 ·N 𝐵) ·N 𝐶) = (𝐴 ·N (𝐵 ·N 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7443  ωcom 7901   ·_o comu 8502  Ncnpi 10956   ·_N cmi 10958

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-ni 10984  df-mi 10986

This theorem is used by:  enqer  11033  adderpqlem  11066  mulerpqlem  11067  addassnq  11070  mulassnq  11071  mulcanenq  11072  distrnq  11073  ltsonq  11081  lterpq  11082  ltanq  11083  ltmnq  11084  ltexnq  11087