Theorem ralxp3 33686

Description: Restricted for-all over a triple cross product. (Contributed by Scott Fenton, 21-Aug-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
ralxp3.1	⊢ (𝑝 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
ralxp3	⊢ (∀𝑝 ∈ ((𝐴 × 𝐵) × 𝐶)𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝜓)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑝,𝑥,𝑦,𝑧   𝐶,𝑝,𝑥,𝑦,𝑧   𝜓,𝑝   𝑥,𝑝,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑝)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ralxp3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1917	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		nfv 1917	. 2 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
3		nfv 1917	. 2 ⊢ Ⅎ𝑧𝜑
4		nfv 1917	. 2 ⊢ Ⅎ𝑝𝜓
5		ralxp3.1	. 2 ⊢ (𝑝 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ → (𝜑 ↔ 𝜓))
6	1, 2, 3, 4, 5	ralxp3f 33685	1 ⊢ (∀𝑝 ∈ ((𝐴 × 𝐵) × 𝐶)𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539  ∀wral 3064  ⟨cop 4567   × cxp 5587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-iun 4926  df-opab 5137  df-xp 5595  df-rel 5596

This theorem is referenced by: (None)