Theorem ralxp3 33589

Description: Restricted for-all over a triple cross product. (Contributed by Scott Fenton, 21-Aug-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
ralxp3.1	⊢ (𝑝 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
ralxp3	⊢ (∀𝑝 ∈ ((𝐴 × 𝐵) × 𝐶)𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝜓)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑝,𝑥,𝑦,𝑧   𝐶,𝑝,𝑥,𝑦,𝑧   𝜓,𝑝   𝑥,𝑝,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑝)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ralxp3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1918	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		nfv 1918	. 2 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
3		nfv 1918	. 2 ⊢ Ⅎ𝑧𝜑
4		nfv 1918	. 2 ⊢ Ⅎ𝑝𝜓
5		ralxp3.1	. 2 ⊢ (𝑝 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ → (𝜑 ↔ 𝜓))
6	1, 2, 3, 4, 5	ralxp3f 33588	1 ⊢ (∀𝑝 ∈ ((𝐴 × 𝐵) × 𝐶)𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539  ∀wral 3063  ⟨cop 4564   × cxp 5578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-iun 4923  df-opab 5133  df-xp 5586  df-rel 5587

This theorem is referenced by: (None)