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Theorem remulcan2d 39034
Description: mulcan2d 11262 for real numbers using fewer axioms. (Contributed by Steven Nguyen, 15-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
remulcan2d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
remulcan2d.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
remulcan2d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
remulcan2d.4 (𝜑𝐶 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
remulcan2d (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) = (𝐵 · 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem remulcan2d
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 remulcan2d.3 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2 remulcan2d.4 . . . 4 (𝜑𝐶 ≠ 0)
3 ax-rrecex 10597 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐶 · 𝑥) = 1)
41, 2, 3syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐶 · 𝑥) = 1)
5 oveq1 7152 . . . 4 ((𝐴 · 𝐶) = (𝐵 · 𝐶) → ((𝐴 · 𝐶) · 𝑥) = ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥))
6 remulcan2d.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
76adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
87recnd 10657 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
91adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → 𝐶 ∈ ℝ)
109recnd 10657 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → 𝐶 ∈ ℂ)
11 simprl 767 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
1211recnd 10657 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
138, 10, 12mulassd 10652 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → ((𝐴 · 𝐶) · 𝑥) = (𝐴 · (𝐶 · 𝑥)))
14 simprr 769 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → (𝐶 · 𝑥) = 1)
1514oveq2d 7161 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · (𝐶 · 𝑥)) = (𝐴 · 1))
16 ax-1rid 10595 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
177, 16syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
1813, 15, 173eqtrd 2857 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → ((𝐴 · 𝐶) · 𝑥) = 𝐴)
19 remulcan2d.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2019adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → 𝐵 ∈ ℝ)
2120recnd 10657 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
2221, 10, 12mulassd 10652 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥) = (𝐵 · (𝐶 · 𝑥)))
2314oveq2d 7161 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → (𝐵 · (𝐶 · 𝑥)) = (𝐵 · 1))
24 ax-1rid 10595 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 1) = 𝐵)
2520, 24syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → (𝐵 · 1) = 𝐵)
2622, 23, 253eqtrd 2857 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥) = 𝐵)
2718, 26eqeq12d 2834 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → (((𝐴 · 𝐶) · 𝑥) = ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥) ↔ 𝐴 = 𝐵))
285, 27syl5ib 245 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → ((𝐴 · 𝐶) = (𝐵 · 𝐶) → 𝐴 = 𝐵))
294, 28rexlimddv 3288 . 2 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) = (𝐵 · 𝐶) → 𝐴 = 𝐵))
30 oveq1 7152 . 2 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 · 𝐶) = (𝐵 · 𝐶))
3129, 30impbid1 226 1 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) = (𝐵 · 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wrex 3136  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   · cmul 10530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-resscn 10582  ax-mulass 10591  ax-1rid 10595  ax-rrecex 10597
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-iota 6307  df-fv 6356  df-ov 7148
This theorem is referenced by:  sn-00idlem2  39107  remulinvcom  39126
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