Theorem remulcan2d 41480

Description: mulcan2d 11853 for real numbers using fewer axioms. (Contributed by Steven Nguyen, 15-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
remulcan2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
remulcan2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
remulcan2d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
remulcan2d.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
remulcan2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) = (𝐵 · 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem remulcan2d

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remulcan2d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2		remulcan2d.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
3		ax-rrecex 11186	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐶 · 𝑥) = 1)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐶 · 𝑥) = 1)
5		oveq1 7419	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝐶) = (𝐵 · 𝐶) → ((𝐴 · 𝐶) · 𝑥) = ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥))
6		remulcan2d.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	recnd 11247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
9	1	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → 𝐶 ∈ ℝ)
10	9	recnd 11247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → 𝐶 ∈ ℂ)
11		simprl 768	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
12	11	recnd 11247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
13	8, 10, 12	mulassd 11242	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → ((𝐴 · 𝐶) · 𝑥) = (𝐴 · (𝐶 · 𝑥)))
14		simprr 770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → (𝐶 · 𝑥) = 1)
15	14	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · (𝐶 · 𝑥)) = (𝐴 · 1))
16		ax-1rid 11184	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
17	7, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
18	13, 15, 17	3eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → ((𝐴 · 𝐶) · 𝑥) = 𝐴)
19		remulcan2d.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
20	19	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → 𝐵 ∈ ℝ)
21	20	recnd 11247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
22	21, 10, 12	mulassd 11242	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥) = (𝐵 · (𝐶 · 𝑥)))
23	14	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → (𝐵 · (𝐶 · 𝑥)) = (𝐵 · 1))
24		ax-1rid 11184	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 1) = 𝐵)
25	20, 24	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → (𝐵 · 1) = 𝐵)
26	22, 23, 25	3eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥) = 𝐵)
27	18, 26	eqeq12d 2747	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → (((𝐴 · 𝐶) · 𝑥) = ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥) ↔ 𝐴 = 𝐵))
28	5, 27	imbitrid 243	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → ((𝐴 · 𝐶) = (𝐵 · 𝐶) → 𝐴 = 𝐵))
29	4, 28	rexlimddv 3160	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) = (𝐵 · 𝐶) → 𝐴 = 𝐵))
30		oveq1 7419	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 · 𝐶) = (𝐵 · 𝐶))
31	29, 30	impbid1 224	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) = (𝐵 · 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  ∃wrex 3069  (class class class)co 7412  ℝcr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   · cmul 11119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-ext 2702  ax-resscn 11171  ax-mulass 11180  ax-1rid 11184  ax-rrecex 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-sb 2067  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-iota 6495  df-fv 6551  df-ov 7415

This theorem is referenced by:  sn-00idlem2  41575  remulinvcom  41608