Theorem remulcan2d 42252

Description: mulcan2d 11819 for real numbers using fewer axioms. (Contributed by Steven Nguyen, 15-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
remulcan2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
remulcan2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
remulcan2d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
remulcan2d.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
remulcan2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) = (𝐵 · 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem remulcan2d

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remulcan2d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2		remulcan2d.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
3		ax-rrecex 11147	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐶 · 𝑥) = 1)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐶 · 𝑥) = 1)
5		oveq1 7397	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝐶) = (𝐵 · 𝐶) → ((𝐴 · 𝐶) · 𝑥) = ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥))
6		remulcan2d.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	recnd 11209	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
9	1	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → 𝐶 ∈ ℝ)
10	9	recnd 11209	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → 𝐶 ∈ ℂ)
11		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
12	11	recnd 11209	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
13	8, 10, 12	mulassd 11204	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → ((𝐴 · 𝐶) · 𝑥) = (𝐴 · (𝐶 · 𝑥)))
14		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → (𝐶 · 𝑥) = 1)
15	14	oveq2d 7406	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · (𝐶 · 𝑥)) = (𝐴 · 1))
16		ax-1rid 11145	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
17	7, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
18	13, 15, 17	3eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → ((𝐴 · 𝐶) · 𝑥) = 𝐴)
19		remulcan2d.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
20	19	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → 𝐵 ∈ ℝ)
21	20	recnd 11209	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
22	21, 10, 12	mulassd 11204	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥) = (𝐵 · (𝐶 · 𝑥)))
23	14	oveq2d 7406	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → (𝐵 · (𝐶 · 𝑥)) = (𝐵 · 1))
24		ax-1rid 11145	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 1) = 𝐵)
25	20, 24	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → (𝐵 · 1) = 𝐵)
26	22, 23, 25	3eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥) = 𝐵)
27	18, 26	eqeq12d 2746	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → (((𝐴 · 𝐶) · 𝑥) = ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥) ↔ 𝐴 = 𝐵))
28	5, 27	imbitrid 244	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → ((𝐴 · 𝐶) = (𝐵 · 𝐶) → 𝐴 = 𝐵))
29	4, 28	rexlimddv 3141	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) = (𝐵 · 𝐶) → 𝐴 = 𝐵))
30		oveq1 7397	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 · 𝐶) = (𝐵 · 𝐶))
31	29, 30	impbid1 225	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) = (𝐵 · 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∃wrex 3054  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   · cmul 11080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2702  ax-resscn 11132  ax-mulass 11141  ax-1rid 11145  ax-rrecex 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-iota 6467  df-fv 6522  df-ov 7393

This theorem is referenced by:  sn-00idlem2  42394  sn-remul0ord  42403  remulinvcom  42428