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Theorem remulcan2d 42277
Description: mulcan2d 11895 for real numbers using fewer axioms. (Contributed by Steven Nguyen, 15-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
remulcan2d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
remulcan2d.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
remulcan2d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
remulcan2d.4 (𝜑𝐶 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
remulcan2d (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) = (𝐵 · 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem remulcan2d
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 remulcan2d.3 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2 remulcan2d.4 . . . 4 (𝜑𝐶 ≠ 0)
3 ax-rrecex 11225 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐶 · 𝑥) = 1)
41, 2, 3syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐶 · 𝑥) = 1)
5 oveq1 7438 . . . 4 ((𝐴 · 𝐶) = (𝐵 · 𝐶) → ((𝐴 · 𝐶) · 𝑥) = ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥))
6 remulcan2d.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
76adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
87recnd 11287 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
91adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → 𝐶 ∈ ℝ)
109recnd 11287 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → 𝐶 ∈ ℂ)
11 simprl 771 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
1211recnd 11287 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
138, 10, 12mulassd 11282 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → ((𝐴 · 𝐶) · 𝑥) = (𝐴 · (𝐶 · 𝑥)))
14 simprr 773 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → (𝐶 · 𝑥) = 1)
1514oveq2d 7447 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · (𝐶 · 𝑥)) = (𝐴 · 1))
16 ax-1rid 11223 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
177, 16syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
1813, 15, 173eqtrd 2779 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → ((𝐴 · 𝐶) · 𝑥) = 𝐴)
19 remulcan2d.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2019adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → 𝐵 ∈ ℝ)
2120recnd 11287 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
2221, 10, 12mulassd 11282 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥) = (𝐵 · (𝐶 · 𝑥)))
2314oveq2d 7447 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → (𝐵 · (𝐶 · 𝑥)) = (𝐵 · 1))
24 ax-1rid 11223 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 1) = 𝐵)
2520, 24syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → (𝐵 · 1) = 𝐵)
2622, 23, 253eqtrd 2779 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥) = 𝐵)
2718, 26eqeq12d 2751 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → (((𝐴 · 𝐶) · 𝑥) = ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥) ↔ 𝐴 = 𝐵))
285, 27imbitrid 244 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → ((𝐴 · 𝐶) = (𝐵 · 𝐶) → 𝐴 = 𝐵))
294, 28rexlimddv 3159 . 2 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) = (𝐵 · 𝐶) → 𝐴 = 𝐵))
30 oveq1 7438 . 2 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 · 𝐶) = (𝐵 · 𝐶))
3129, 30impbid1 225 1 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) = (𝐵 · 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706  ax-resscn 11210  ax-mulass 11219  ax-1rid 11223  ax-rrecex 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-iota 6516  df-fv 6571  df-ov 7434
This theorem is referenced by:  sn-00idlem2  42406  remulinvcom  42439
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