Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  remulcan2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem remulcan2d 41902
Description: mulcan2d 11876 for real numbers using fewer axioms. (Contributed by Steven Nguyen, 15-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
remulcan2d.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
remulcan2d.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
remulcan2d.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
remulcan2d.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰  0)
Assertion
Ref Expression
remulcan2d (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ) โ†” ๐ด = ๐ต))

Proof of Theorem remulcan2d
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 remulcan2d.3 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
2 remulcan2d.4 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰  0)
3 ax-rrecex 11208 . . . 4 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โ‰  0) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1)
41, 2, 3syl2anc 582 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1)
5 oveq1 7422 . . . 4 ((๐ด ยท ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) ยท ๐‘ฅ) = ((๐ต ยท ๐ถ) ยท ๐‘ฅ))
6 remulcan2d.1 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
76adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
87recnd 11270 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
91adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
109recnd 11270 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
11 simprl 769 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
1211recnd 11270 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
138, 10, 12mulassd 11265 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) ยท ๐‘ฅ) = (๐ด ยท (๐ถ ยท ๐‘ฅ)))
14 simprr 771 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1)
1514oveq2d 7431 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ (๐ด ยท (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) = (๐ด ยท 1))
16 ax-1rid 11206 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
177, 16syl 17 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
1813, 15, 173eqtrd 2769 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) ยท ๐‘ฅ) = ๐ด)
19 remulcan2d.2 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
2019adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
2120recnd 11270 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
2221, 10, 12mulassd 11265 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) ยท ๐‘ฅ) = (๐ต ยท (๐ถ ยท ๐‘ฅ)))
2314oveq2d 7431 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ (๐ต ยท (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) = (๐ต ยท 1))
24 ax-1rid 11206 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต ยท 1) = ๐ต)
2520, 24syl 17 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ (๐ต ยท 1) = ๐ต)
2622, 23, 253eqtrd 2769 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) ยท ๐‘ฅ) = ๐ต)
2718, 26eqeq12d 2741 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ (((๐ด ยท ๐ถ) ยท ๐‘ฅ) = ((๐ต ยท ๐ถ) ยท ๐‘ฅ) โ†” ๐ด = ๐ต))
285, 27imbitrid 243 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ) โ†’ ๐ด = ๐ต))
294, 28rexlimddv 3151 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ) โ†’ ๐ด = ๐ต))
30 oveq1 7422 . 2 (๐ด = ๐ต โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ))
3129, 30impbid1 224 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ) โ†” ๐ด = ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2930  โˆƒwrex 3060  (class class class)co 7415  โ„cr 11135  0cc0 11136  1c1 11137   ยท cmul 11141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2696  ax-resscn 11193  ax-mulass 11202  ax-1rid 11206  ax-rrecex 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3943  df-un 3945  df-ss 3957  df-nul 4319  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5144  df-iota 6494  df-fv 6550  df-ov 7418
This theorem is referenced by:  sn-00idlem2  42018  remulinvcom  42051
  Copyright terms: Public domain W3C validator