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Theorem remulcan2d 41480
Description: mulcan2d 11853 for real numbers using fewer axioms. (Contributed by Steven Nguyen, 15-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
remulcan2d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
remulcan2d.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
remulcan2d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
remulcan2d.4 (𝜑𝐶 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
remulcan2d (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) = (𝐵 · 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem remulcan2d
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 remulcan2d.3 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2 remulcan2d.4 . . . 4 (𝜑𝐶 ≠ 0)
3 ax-rrecex 11186 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐶 · 𝑥) = 1)
41, 2, 3syl2anc 583 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐶 · 𝑥) = 1)
5 oveq1 7419 . . . 4 ((𝐴 · 𝐶) = (𝐵 · 𝐶) → ((𝐴 · 𝐶) · 𝑥) = ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥))
6 remulcan2d.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
76adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
87recnd 11247 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
91adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → 𝐶 ∈ ℝ)
109recnd 11247 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → 𝐶 ∈ ℂ)
11 simprl 768 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
1211recnd 11247 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
138, 10, 12mulassd 11242 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → ((𝐴 · 𝐶) · 𝑥) = (𝐴 · (𝐶 · 𝑥)))
14 simprr 770 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → (𝐶 · 𝑥) = 1)
1514oveq2d 7428 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · (𝐶 · 𝑥)) = (𝐴 · 1))
16 ax-1rid 11184 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
177, 16syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
1813, 15, 173eqtrd 2775 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → ((𝐴 · 𝐶) · 𝑥) = 𝐴)
19 remulcan2d.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2019adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → 𝐵 ∈ ℝ)
2120recnd 11247 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
2221, 10, 12mulassd 11242 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥) = (𝐵 · (𝐶 · 𝑥)))
2314oveq2d 7428 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → (𝐵 · (𝐶 · 𝑥)) = (𝐵 · 1))
24 ax-1rid 11184 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 1) = 𝐵)
2520, 24syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → (𝐵 · 1) = 𝐵)
2622, 23, 253eqtrd 2775 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥) = 𝐵)
2718, 26eqeq12d 2747 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → (((𝐴 · 𝐶) · 𝑥) = ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥) ↔ 𝐴 = 𝐵))
285, 27imbitrid 243 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → ((𝐴 · 𝐶) = (𝐵 · 𝐶) → 𝐴 = 𝐵))
294, 28rexlimddv 3160 . 2 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) = (𝐵 · 𝐶) → 𝐴 = 𝐵))
30 oveq1 7419 . 2 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 · 𝐶) = (𝐵 · 𝐶))
3129, 30impbid1 224 1 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) = (𝐵 · 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  wrex 3069  (class class class)co 7412  cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   · cmul 11119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-ext 2702  ax-resscn 11171  ax-mulass 11180  ax-1rid 11184  ax-rrecex 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-sb 2067  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-iota 6495  df-fv 6551  df-ov 7415
This theorem is referenced by:  sn-00idlem2  41575  remulinvcom  41608
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