Theorem sn-00idlem2 42876

Description: Lemma for sn-00id 42878. (Contributed by SN, 25-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
sn-00idlem2	⊢ ((0 −ℝ 0) ≠ 0 → (0 −ℝ 0) = 1)

Proof of Theorem sn-00idlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11137	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		rennncan2 42867	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 0) −ℝ (0 −ℝ 0)) = (0 −ℝ 0))
3	1, 1, 1, 2	mp3an 1469	. . . 4 ⊢ ((0 −ℝ 0) −ℝ (0 −ℝ 0)) = (0 −ℝ 0)
4		re1m1e0m0 42874	. . . 4 ⊢ (1 −ℝ 1) = (0 −ℝ 0)
5	3, 4	eqtr4i 2765	. . 3 ⊢ ((0 −ℝ 0) −ℝ (0 −ℝ 0)) = (1 −ℝ 1)
6		rernegcl 42848	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℝ → (0 −ℝ 0) ∈ ℝ)
7	1, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0 −ℝ 0) ∈ ℝ
8		sn-00idlem1 42875	. . . 4 ⊢ ((0 −ℝ 0) ∈ ℝ → ((0 −ℝ 0) · (0 −ℝ 0)) = ((0 −ℝ 0) −ℝ (0 −ℝ 0)))
9	7, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((0 −ℝ 0) · (0 −ℝ 0)) = ((0 −ℝ 0) −ℝ (0 −ℝ 0))
10		1re 11135	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
11		sn-00idlem1 42875	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1 · (0 −ℝ 0)) = (1 −ℝ 1))
12	10, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (1 · (0 −ℝ 0)) = (1 −ℝ 1)
13	5, 9, 12	3eqtr4i 2772	. 2 ⊢ ((0 −ℝ 0) · (0 −ℝ 0)) = (1 · (0 −ℝ 0))
14	7	a1i 11	. . 3 ⊢ ((0 −ℝ 0) ≠ 0 → (0 −ℝ 0) ∈ ℝ)
15		1red 11136	. . 3 ⊢ ((0 −ℝ 0) ≠ 0 → 1 ∈ ℝ)
16		id 22	. . 3 ⊢ ((0 −ℝ 0) ≠ 0 → (0 −ℝ 0) ≠ 0)
17	14, 15, 14, 16	remulcan2d 42740	. 2 ⊢ ((0 −ℝ 0) ≠ 0 → (((0 −ℝ 0) · (0 −ℝ 0)) = (1 · (0 −ℝ 0)) ↔ (0 −ℝ 0) = 1))
18	13, 17	mpbii 234	1 ⊢ ((0 −ℝ 0) ≠ 0 → (0 −ℝ 0) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  (class class class)co 7356  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   · cmul 11034   −_ℝ cresub 42842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-resub 42843

This theorem is referenced by:  sn-00id  42878