Theorem sn-00idlem2 42394

Description: Lemma for sn-00id 42396. (Contributed by SN, 25-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
sn-00idlem2	⊢ ((0 −ℝ 0) ≠ 0 → (0 −ℝ 0) = 1)

Proof of Theorem sn-00idlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11183	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		rennncan2 42385	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 0) −ℝ (0 −ℝ 0)) = (0 −ℝ 0))
3	1, 1, 1, 2	mp3an 1463	. . . 4 ⊢ ((0 −ℝ 0) −ℝ (0 −ℝ 0)) = (0 −ℝ 0)
4		re1m1e0m0 42392	. . . 4 ⊢ (1 −ℝ 1) = (0 −ℝ 0)
5	3, 4	eqtr4i 2756	. . 3 ⊢ ((0 −ℝ 0) −ℝ (0 −ℝ 0)) = (1 −ℝ 1)
6		rernegcl 42366	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℝ → (0 −ℝ 0) ∈ ℝ)
7	1, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0 −ℝ 0) ∈ ℝ
8		sn-00idlem1 42393	. . . 4 ⊢ ((0 −ℝ 0) ∈ ℝ → ((0 −ℝ 0) · (0 −ℝ 0)) = ((0 −ℝ 0) −ℝ (0 −ℝ 0)))
9	7, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((0 −ℝ 0) · (0 −ℝ 0)) = ((0 −ℝ 0) −ℝ (0 −ℝ 0))
10		1re 11181	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
11		sn-00idlem1 42393	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1 · (0 −ℝ 0)) = (1 −ℝ 1))
12	10, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (1 · (0 −ℝ 0)) = (1 −ℝ 1)
13	5, 9, 12	3eqtr4i 2763	. 2 ⊢ ((0 −ℝ 0) · (0 −ℝ 0)) = (1 · (0 −ℝ 0))
14	7	a1i 11	. . 3 ⊢ ((0 −ℝ 0) ≠ 0 → (0 −ℝ 0) ∈ ℝ)
15		1red 11182	. . 3 ⊢ ((0 −ℝ 0) ≠ 0 → 1 ∈ ℝ)
16		id 22	. . 3 ⊢ ((0 −ℝ 0) ≠ 0 → (0 −ℝ 0) ≠ 0)
17	14, 15, 14, 16	remulcan2d 42252	. 2 ⊢ ((0 −ℝ 0) ≠ 0 → (((0 −ℝ 0) · (0 −ℝ 0)) = (1 · (0 −ℝ 0)) ↔ (0 −ℝ 0) = 1))
18	13, 17	mpbii 233	1 ⊢ ((0 −ℝ 0) ≠ 0 → (0 −ℝ 0) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   · cmul 11080   −_ℝ cresub 42360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220  df-resub 42361

This theorem is referenced by:  sn-00id  42396