Theorem sn-00idlem2 40303

Description: Lemma for sn-00id 40305. (Contributed by SN, 25-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
sn-00idlem2	⊢ ((0 −ℝ 0) ≠ 0 → (0 −ℝ 0) = 1)

Proof of Theorem sn-00idlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10908	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		rennncan2 40294	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 0) −ℝ (0 −ℝ 0)) = (0 −ℝ 0))
3	1, 1, 1, 2	mp3an 1459	. . . 4 ⊢ ((0 −ℝ 0) −ℝ (0 −ℝ 0)) = (0 −ℝ 0)
4		re1m1e0m0 40301	. . . 4 ⊢ (1 −ℝ 1) = (0 −ℝ 0)
5	3, 4	eqtr4i 2769	. . 3 ⊢ ((0 −ℝ 0) −ℝ (0 −ℝ 0)) = (1 −ℝ 1)
6		rernegcl 40275	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℝ → (0 −ℝ 0) ∈ ℝ)
7	1, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0 −ℝ 0) ∈ ℝ
8		sn-00idlem1 40302	. . . 4 ⊢ ((0 −ℝ 0) ∈ ℝ → ((0 −ℝ 0) · (0 −ℝ 0)) = ((0 −ℝ 0) −ℝ (0 −ℝ 0)))
9	7, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((0 −ℝ 0) · (0 −ℝ 0)) = ((0 −ℝ 0) −ℝ (0 −ℝ 0))
10		1re 10906	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
11		sn-00idlem1 40302	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1 · (0 −ℝ 0)) = (1 −ℝ 1))
12	10, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (1 · (0 −ℝ 0)) = (1 −ℝ 1)
13	5, 9, 12	3eqtr4i 2776	. 2 ⊢ ((0 −ℝ 0) · (0 −ℝ 0)) = (1 · (0 −ℝ 0))
14	7	a1i 11	. . 3 ⊢ ((0 −ℝ 0) ≠ 0 → (0 −ℝ 0) ∈ ℝ)
15		1red 10907	. . 3 ⊢ ((0 −ℝ 0) ≠ 0 → 1 ∈ ℝ)
16		id 22	. . 3 ⊢ ((0 −ℝ 0) ≠ 0 → (0 −ℝ 0) ≠ 0)
17	14, 15, 14, 16	remulcan2d 40214	. 2 ⊢ ((0 −ℝ 0) ≠ 0 → (((0 −ℝ 0) · (0 −ℝ 0)) = (1 · (0 −ℝ 0)) ↔ (0 −ℝ 0) = 1))
18	13, 17	mpbii 232	1 ⊢ ((0 −ℝ 0) ≠ 0 → (0 −ℝ 0) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   · cmul 10807   −_ℝ cresub 40269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-resub 40270

This theorem is referenced by:  sn-00id  40305