Theorem sn-00idlem2 43180

Description: Lemma for sn-00id 43182. (Contributed by SN, 25-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
sn-00idlem2	⊢ ((0 −ℝ 0) ≠ 0 → (0 −ℝ 0) = 1)

Proof of Theorem sn-00idlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11205	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		rennncan2 43171	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 0) −ℝ (0 −ℝ 0)) = (0 −ℝ 0))
3	1, 1, 1, 2	mp3an 1490	. . . 4 ⊢ ((0 −ℝ 0) −ℝ (0 −ℝ 0)) = (0 −ℝ 0)
4		re1m1e0m0 43178	. . . 4 ⊢ (1 −ℝ 1) = (0 −ℝ 0)
5	3, 4	eqtr4i 2789	. . 3 ⊢ ((0 −ℝ 0) −ℝ (0 −ℝ 0)) = (1 −ℝ 1)
6		rernegcl 43152	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℝ → (0 −ℝ 0) ∈ ℝ)
7	1, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0 −ℝ 0) ∈ ℝ
8		sn-00idlem1 43179	. . . 4 ⊢ ((0 −ℝ 0) ∈ ℝ → ((0 −ℝ 0) · (0 −ℝ 0)) = ((0 −ℝ 0) −ℝ (0 −ℝ 0)))
9	7, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((0 −ℝ 0) · (0 −ℝ 0)) = ((0 −ℝ 0) −ℝ (0 −ℝ 0))
10		1re 11203	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
11		sn-00idlem1 43179	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1 · (0 −ℝ 0)) = (1 −ℝ 1))
12	10, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (1 · (0 −ℝ 0)) = (1 −ℝ 1)
13	5, 9, 12	3eqtr4i 2796	. 2 ⊢ ((0 −ℝ 0) · (0 −ℝ 0)) = (1 · (0 −ℝ 0))
14	7	a1i 11	. . 3 ⊢ ((0 −ℝ 0) ≠ 0 → (0 −ℝ 0) ∈ ℝ)
15		1red 11204	. . 3 ⊢ ((0 −ℝ 0) ≠ 0 → 1 ∈ ℝ)
16		id 23	. . 3 ⊢ ((0 −ℝ 0) ≠ 0 → (0 −ℝ 0) ≠ 0)
17	14, 15, 14, 16	remulcan2d 43044	. 2 ⊢ ((0 −ℝ 0) ≠ 0 → (((0 −ℝ 0) · (0 −ℝ 0)) = (1 · (0 −ℝ 0)) ↔ (0 −ℝ 0) = 1))
18	13, 17	mpbii 236	1 ⊢ ((0 −ℝ 0) ≠ 0 → (0 −ℝ 0) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  (class class class)co 7410  ℝcr 11094  0cc0 11095  1c1 11096   · cmul 11100   −_ℝ cresub 43146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-ltxr 11243  df-resub 43147

This theorem is referenced by:  sn-00id  43182