Theorem mulcan2d 11953

Description: Cancellation law for multiplication. Theorem I.7 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulcand.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulcand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
mulcand.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
mulcand.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
mulcan2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) = (𝐵 · 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem mulcan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcand.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulcand.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
3	1, 2	mulcomd 11333	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐴))
4		mulcand.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	4, 2	mulcomd 11333	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
6	3, 5	eqeq12d 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) = (𝐵 · 𝐶) ↔ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)))
7		mulcand.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
8	1, 4, 2, 7	mulcand 11952	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
9	6, 8	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) = (𝐵 · 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  0cc0 11203   · cmul 11208

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547

This theorem is used by:  mulcan2ad  11955  mulcan2  11957  mul0or  11959  qredeq  16837  cncongr2  16848  dcubic  27179  2lgslem1b  27724  aks6d1c2p2  43262