Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  remulinvcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem remulinvcom 41899
Description: A left multiplicative inverse is a right multiplicative inverse. Proven without ax-mulcom 11188. (Contributed by SN, 5-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
remulinvcom.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
remulinvcom.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
remulinvcom.3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = 1)
Assertion
Ref Expression
remulinvcom (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท ๐ด) = 1)

Proof of Theorem remulinvcom
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 remulinvcom.2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
2 remulinvcom.3 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = 1)
3 ax-1ne0 11193 . . . . . 6 1 โ‰  0
43a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰  0)
52, 4eqnetrd 3003 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โ‰  0)
6 simpr 484 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = 0) โ†’ ๐ต = 0)
76oveq2d 7430 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ด ยท 0))
8 remulinvcom.1 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
98adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = 0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
10 remul01 41874 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด ยท 0) = 0)
119, 10syl 17 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ด ยท 0) = 0)
127, 11eqtrd 2767 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = 0)
135, 12mteqand 3028 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  0)
14 ax-rrecex 11196 . . 3 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)
151, 13, 14syl2anc 583 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)
16 simprl 770 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
17 simprr 772 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)
183a1i 11 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ 1 โ‰  0)
1917, 18eqnetrd 3003 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฅ) โ‰  0)
20 simpr 484 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐‘ฅ = 0) โ†’ ๐‘ฅ = 0)
2120oveq2d 7430 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐‘ฅ = 0) โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = (๐ต ยท 0))
221ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐‘ฅ = 0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
23 remul01 41874 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต ยท 0) = 0)
2422, 23syl 17 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐‘ฅ = 0) โ†’ (๐ต ยท 0) = 0)
2521, 24eqtrd 2767 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐‘ฅ = 0) โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 0)
2619, 25mteqand 3028 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0)
27 ax-rrecex 11196 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)
2816, 26, 27syl2anc 583 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)
29 simplrr 777 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)
3029oveq2d 7430 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (๐ด ยท (๐ต ยท ๐‘ฅ)) = (๐ด ยท 1))
3130oveq1d 7429 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ((๐ด ยท (๐ต ยท ๐‘ฅ)) ยท ๐‘ฆ) = ((๐ด ยท 1) ยท ๐‘ฆ))
328ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
331ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
3432, 33remulcld 11260 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
3534recnd 11258 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
36 simplrl 776 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
3736recnd 11258 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
38 simprl 770 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
3938recnd 11258 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
4035, 37, 39mulassd 11253 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐‘ฅ) ยท ๐‘ฆ) = ((๐ด ยท ๐ต) ยท (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)))
4132recnd 11258 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4233recnd 11258 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4341, 42, 37mulassd 11253 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐‘ฅ) = (๐ด ยท (๐ต ยท ๐‘ฅ)))
4443oveq1d 7429 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐‘ฅ) ยท ๐‘ฆ) = ((๐ด ยท (๐ต ยท ๐‘ฅ)) ยท ๐‘ฆ))
452ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = 1)
46 simprr 772 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)
4745, 46oveq12d 7432 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = (1 ยท 1))
48 1t1e1ALT 41749 . . . . . . . . 9 (1 ยท 1) = 1
4947, 48eqtrdi 2783 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = 1)
5040, 44, 493eqtr3d 2775 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ((๐ด ยท (๐ต ยท ๐‘ฅ)) ยท ๐‘ฆ) = 1)
51 ax-1rid 11194 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
5232, 51syl 17 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
5352oveq1d 7429 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ((๐ด ยท 1) ยท ๐‘ฆ) = (๐ด ยท ๐‘ฆ))
5431, 50, 533eqtr3rd 2776 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (๐ด ยท ๐‘ฆ) = 1)
5554, 46eqtr4d 2770 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (๐ด ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ))
563a1i 11 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ 1 โ‰  0)
5746, 56eqnetrd 3003 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ‰  0)
58 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โˆง ๐‘ฆ = 0) โ†’ ๐‘ฆ = 0)
5958oveq2d 7430 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โˆง ๐‘ฆ = 0) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยท 0))
6036adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โˆง ๐‘ฆ = 0) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
61 remul01 41874 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ฅ ยท 0) = 0)
6260, 61syl 17 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โˆง ๐‘ฆ = 0) โ†’ (๐‘ฅ ยท 0) = 0)
6359, 62eqtrd 2767 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โˆง ๐‘ฆ = 0) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 0)
6457, 63mteqand 3028 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ๐‘ฆ โ‰  0)
6532, 36, 38, 64remulcan2d 41750 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ†” ๐ด = ๐‘ฅ))
6655, 65mpbid 231 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ๐ด = ๐‘ฅ)
67 simpr 484 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โˆง ๐ด = ๐‘ฅ) โ†’ ๐ด = ๐‘ฅ)
6867oveq2d 7430 . . . . 5 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โˆง ๐ด = ๐‘ฅ) โ†’ (๐ต ยท ๐ด) = (๐ต ยท ๐‘ฅ))
6917ad2antrr 725 . . . . 5 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โˆง ๐ด = ๐‘ฅ) โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)
7068, 69eqtrd 2767 . . . 4 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โˆง ๐ด = ๐‘ฅ) โ†’ (๐ต ยท ๐ด) = 1)
7166, 70mpdan 686 . . 3 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (๐ต ยท ๐ด) = 1)
7228, 71rexlimddv 3156 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ (๐ต ยท ๐ด) = 1)
7315, 72rexlimddv 3156 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท ๐ด) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2935  โˆƒwrex 3065  (class class class)co 7414  โ„cr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   ยท cmul 11129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-ltxr 11269  df-2 12291  df-3 12292  df-resub 41833
This theorem is referenced by:  remullid  41900  remulcand  41905  sn-retire  41934
  Copyright terms: Public domain W3C validator