Theorem remulinvcom 43042

Description: A left multiplicative inverse is a right multiplicative inverse. Proven without ax-mulcom 11137. (Contributed by SN, 5-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
remulinvcom.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
remulinvcom.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
remulinvcom.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = 1)

Assertion

Ref	Expression
remulinvcom	⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐴) = 1)

Proof of Theorem remulinvcom

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remulinvcom.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		remulinvcom.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = 1)
3		ax-1ne0 11142	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 0
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 0)
5	2, 4	eqnetrd 3024	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)
6		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 = 0)
7	6	oveq2d 7412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 0))
8		remulinvcom.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
10		remul01 43016	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = 0)
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 · 0) = 0)
12	7, 11	eqtrd 2797	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 · 𝐵) = 0)
13	5, 12	mteqand 3048	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
14		ax-rrecex 11145	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 1)
15	1, 13, 14	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 1)
16		simprl 780	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
17		simprr 782	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → (𝐵 · 𝑥) = 1)
18	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → 1 ≠ 0)
19	17, 18	eqnetrd 3024	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → (𝐵 · 𝑥) ≠ 0)
20		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝑥 = 0) → 𝑥 = 0)
21	20	oveq2d 7412	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝑥 = 0) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 0))
22	1	ad2antrr 736	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝑥 = 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
23		remul01 43016	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 0) = 0)
24	22, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝑥 = 0) → (𝐵 · 0) = 0)
25	21, 24	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝑥 = 0) → (𝐵 · 𝑥) = 0)
26	19, 25	mteqand 3048	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ≠ 0)
27		ax-rrecex 11145	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≠ 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑦) = 1)
28	16, 26, 27	syl2anc 593	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑦) = 1)
29		simplrr 787	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → (𝐵 · 𝑥) = 1)
30	29	oveq2d 7412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → (𝐴 · (𝐵 · 𝑥)) = (𝐴 · 1))
31	30	oveq1d 7411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → ((𝐴 · (𝐵 · 𝑥)) · 𝑦) = ((𝐴 · 1) · 𝑦))
32	8	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
33	1	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → 𝐵 ∈ ℝ)
34	32, 33	remulcld 11212	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
35	34	recnd 11210	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
36		simplrl 786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
37	36	recnd 11210	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
38		simprl 780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → 𝑦 ∈ ℝ)
39	38	recnd 11210	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → 𝑦 ∈ ℂ)
40	35, 37, 39	mulassd 11205	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → (((𝐴 · 𝐵) · 𝑥) · 𝑦) = ((𝐴 · 𝐵) · (𝑥 · 𝑦)))
41	32	recnd 11210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
42	33	recnd 11210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
43	41, 42, 37	mulassd 11205	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝑥) = (𝐴 · (𝐵 · 𝑥)))
44	43	oveq1d 7411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → (((𝐴 · 𝐵) · 𝑥) · 𝑦) = ((𝐴 · (𝐵 · 𝑥)) · 𝑦))
45	2	ad2antrr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → (𝐴 · 𝐵) = 1)
46		simprr 782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → (𝑥 · 𝑦) = 1)
47	45, 46	oveq12d 7414	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → ((𝐴 · 𝐵) · (𝑥 · 𝑦)) = (1 · 1))
48		1t1e1ALT 12268	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 1) = 1
49	47, 48	eqtrdi 2813	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → ((𝐴 · 𝐵) · (𝑥 · 𝑦)) = 1)
50	40, 44, 49	3eqtr3d 2805	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → ((𝐴 · (𝐵 · 𝑥)) · 𝑦) = 1)
51		ax-1rid 11143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
52	32, 51	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
53	52	oveq1d 7411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → ((𝐴 · 1) · 𝑦) = (𝐴 · 𝑦))
54	31, 50, 53	3eqtr3rd 2806	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → (𝐴 · 𝑦) = 1)
55	54, 46	eqtr4d 2800	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → (𝐴 · 𝑦) = (𝑥 · 𝑦))
56	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → 1 ≠ 0)
57	46, 56	eqnetrd 3024	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0)
58		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) ∧ 𝑦 = 0) → 𝑦 = 0)
59	58	oveq2d 7412	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) ∧ 𝑦 = 0) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥 · 0))
60	36	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) ∧ 𝑦 = 0) → 𝑥 ∈ ℝ)
61		remul01 43016	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 · 0) = 0)
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) ∧ 𝑦 = 0) → (𝑥 · 0) = 0)
63	59, 62	eqtrd 2797	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) ∧ 𝑦 = 0) → (𝑥 · 𝑦) = 0)
64	57, 63	mteqand 3048	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → 𝑦 ≠ 0)
65	32, 36, 38, 64	remulcan2d 42872	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → ((𝐴 · 𝑦) = (𝑥 · 𝑦) ↔ 𝐴 = 𝑥))
66	55, 65	mpbid 234	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → 𝐴 = 𝑥)
67		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) ∧ 𝐴 = 𝑥) → 𝐴 = 𝑥)
68	67	oveq2d 7412	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) ∧ 𝐴 = 𝑥) → (𝐵 · 𝐴) = (𝐵 · 𝑥))
69	17	ad2antrr 736	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) ∧ 𝐴 = 𝑥) → (𝐵 · 𝑥) = 1)
70	68, 69	eqtrd 2797	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) ∧ 𝐴 = 𝑥) → (𝐵 · 𝐴) = 1)
71	66, 70	mpdan 697	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → (𝐵 · 𝐴) = 1)
72	28, 71	rexlimddv 3169	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → (𝐵 · 𝐴) = 1)
73	15, 72	rexlimddv 3169	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐴) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∃wrex 3086  (class class class)co 7396  ℝcr 11072  0cc0 11073  1c1 11074   · cmul 11078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-ltxr 11221  df-2 12280  df-3 12281  df-resub 42975

This theorem is referenced by:  remullid  43043  remulcand  43048  rerecid2d  43067