Theorem remulinvcom 40122

Description: A left multiplicative inverse is a right multiplicative inverse. Proven without ax-mulcom 10793. (Contributed by SN, 5-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
remulinvcom.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
remulinvcom.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
remulinvcom.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = 1)

Assertion

Ref	Expression
remulinvcom	⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐴) = 1)

Proof of Theorem remulinvcom

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remulinvcom.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		remulinvcom.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = 1)
3		ax-1ne0 10798	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 0
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 0)
5	2, 4	eqnetrd 3008	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)
6		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 = 0)
7	6	oveq2d 7229	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 0))
8		remulinvcom.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
10		remul01 40098	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = 0)
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 · 0) = 0)
12	7, 11	eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 · 𝐵) = 0)
13	5, 12	mteqand 3045	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
14		ax-rrecex 10801	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 1)
15	1, 13, 14	syl2anc 587	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 1)
16		simprl 771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
17		simprr 773	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → (𝐵 · 𝑥) = 1)
18	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → 1 ≠ 0)
19	17, 18	eqnetrd 3008	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → (𝐵 · 𝑥) ≠ 0)
20		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝑥 = 0) → 𝑥 = 0)
21	20	oveq2d 7229	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝑥 = 0) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 0))
22	1	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝑥 = 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
23		remul01 40098	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 0) = 0)
24	22, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝑥 = 0) → (𝐵 · 0) = 0)
25	21, 24	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝑥 = 0) → (𝐵 · 𝑥) = 0)
26	19, 25	mteqand 3045	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ≠ 0)
27		ax-rrecex 10801	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≠ 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑦) = 1)
28	16, 26, 27	syl2anc 587	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑦) = 1)
29		simplrr 778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → (𝐵 · 𝑥) = 1)
30	29	oveq2d 7229	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → (𝐴 · (𝐵 · 𝑥)) = (𝐴 · 1))
31	30	oveq1d 7228	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → ((𝐴 · (𝐵 · 𝑥)) · 𝑦) = ((𝐴 · 1) · 𝑦))
32	8	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
33	1	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → 𝐵 ∈ ℝ)
34	32, 33	remulcld 10863	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
35	34	recnd 10861	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
36		simplrl 777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
37	36	recnd 10861	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
38		simprl 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → 𝑦 ∈ ℝ)
39	38	recnd 10861	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → 𝑦 ∈ ℂ)
40	35, 37, 39	mulassd 10856	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → (((𝐴 · 𝐵) · 𝑥) · 𝑦) = ((𝐴 · 𝐵) · (𝑥 · 𝑦)))
41	32	recnd 10861	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
42	33	recnd 10861	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
43	41, 42, 37	mulassd 10856	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝑥) = (𝐴 · (𝐵 · 𝑥)))
44	43	oveq1d 7228	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → (((𝐴 · 𝐵) · 𝑥) · 𝑦) = ((𝐴 · (𝐵 · 𝑥)) · 𝑦))
45	2	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → (𝐴 · 𝐵) = 1)
46		simprr 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → (𝑥 · 𝑦) = 1)
47	45, 46	oveq12d 7231	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → ((𝐴 · 𝐵) · (𝑥 · 𝑦)) = (1 · 1))
48		1t1e1ALT 39999	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 1) = 1
49	47, 48	eqtrdi 2794	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → ((𝐴 · 𝐵) · (𝑥 · 𝑦)) = 1)
50	40, 44, 49	3eqtr3d 2785	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → ((𝐴 · (𝐵 · 𝑥)) · 𝑦) = 1)
51		ax-1rid 10799	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
52	32, 51	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
53	52	oveq1d 7228	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → ((𝐴 · 1) · 𝑦) = (𝐴 · 𝑦))
54	31, 50, 53	3eqtr3rd 2786	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → (𝐴 · 𝑦) = 1)
55	54, 46	eqtr4d 2780	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → (𝐴 · 𝑦) = (𝑥 · 𝑦))
56	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → 1 ≠ 0)
57	46, 56	eqnetrd 3008	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0)
58		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) ∧ 𝑦 = 0) → 𝑦 = 0)
59	58	oveq2d 7229	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) ∧ 𝑦 = 0) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥 · 0))
60	36	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) ∧ 𝑦 = 0) → 𝑥 ∈ ℝ)
61		remul01 40098	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 · 0) = 0)
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) ∧ 𝑦 = 0) → (𝑥 · 0) = 0)
63	59, 62	eqtrd 2777	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) ∧ 𝑦 = 0) → (𝑥 · 𝑦) = 0)
64	57, 63	mteqand 3045	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → 𝑦 ≠ 0)
65	32, 36, 38, 64	remulcan2d 40000	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → ((𝐴 · 𝑦) = (𝑥 · 𝑦) ↔ 𝐴 = 𝑥))
66	55, 65	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → 𝐴 = 𝑥)
67		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) ∧ 𝐴 = 𝑥) → 𝐴 = 𝑥)
68	67	oveq2d 7229	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) ∧ 𝐴 = 𝑥) → (𝐵 · 𝐴) = (𝐵 · 𝑥))
69	17	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) ∧ 𝐴 = 𝑥) → (𝐵 · 𝑥) = 1)
70	68, 69	eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) ∧ 𝐴 = 𝑥) → (𝐵 · 𝐴) = 1)
71	66, 70	mpdan 687	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → (𝐵 · 𝐴) = 1)
72	28, 71	rexlimddv 3210	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → (𝐵 · 𝐴) = 1)
73	15, 72	rexlimddv 3210	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐴) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940  ∃wrex 3062  (class class class)co 7213  ℝcr 10728  0cc0 10729  1c1 10730   · cmul 10734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-ltxr 10872  df-2 11893  df-3 11894  df-resub 40057

This theorem is referenced by:  remulid2  40123  remulcand  40128  retire  40145