Theorem remulinvcom 41306

Description: A left multiplicative inverse is a right multiplicative inverse. Proven without ax-mulcom 11173. (Contributed by SN, 5-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
remulinvcom.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
remulinvcom.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
remulinvcom.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = 1)

Assertion

Ref	Expression
remulinvcom	⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐴) = 1)

Proof of Theorem remulinvcom

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remulinvcom.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		remulinvcom.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = 1)
3		ax-1ne0 11178	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 0
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 0)
5	2, 4	eqnetrd 3008	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)
6		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 = 0)
7	6	oveq2d 7424	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 0))
8		remulinvcom.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
10		remul01 41281	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = 0)
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 · 0) = 0)
12	7, 11	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 · 𝐵) = 0)
13	5, 12	mteqand 3033	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
14		ax-rrecex 11181	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 1)
15	1, 13, 14	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 1)
16		simprl 769	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
17		simprr 771	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → (𝐵 · 𝑥) = 1)
18	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → 1 ≠ 0)
19	17, 18	eqnetrd 3008	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → (𝐵 · 𝑥) ≠ 0)
20		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝑥 = 0) → 𝑥 = 0)
21	20	oveq2d 7424	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝑥 = 0) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 0))
22	1	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝑥 = 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
23		remul01 41281	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 0) = 0)
24	22, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝑥 = 0) → (𝐵 · 0) = 0)
25	21, 24	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝑥 = 0) → (𝐵 · 𝑥) = 0)
26	19, 25	mteqand 3033	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ≠ 0)
27		ax-rrecex 11181	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≠ 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑦) = 1)
28	16, 26, 27	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑦) = 1)
29		simplrr 776	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → (𝐵 · 𝑥) = 1)
30	29	oveq2d 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → (𝐴 · (𝐵 · 𝑥)) = (𝐴 · 1))
31	30	oveq1d 7423	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → ((𝐴 · (𝐵 · 𝑥)) · 𝑦) = ((𝐴 · 1) · 𝑦))
32	8	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
33	1	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → 𝐵 ∈ ℝ)
34	32, 33	remulcld 11243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
35	34	recnd 11241	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
36		simplrl 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
37	36	recnd 11241	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
38		simprl 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → 𝑦 ∈ ℝ)
39	38	recnd 11241	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → 𝑦 ∈ ℂ)
40	35, 37, 39	mulassd 11236	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → (((𝐴 · 𝐵) · 𝑥) · 𝑦) = ((𝐴 · 𝐵) · (𝑥 · 𝑦)))
41	32	recnd 11241	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
42	33	recnd 11241	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
43	41, 42, 37	mulassd 11236	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝑥) = (𝐴 · (𝐵 · 𝑥)))
44	43	oveq1d 7423	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → (((𝐴 · 𝐵) · 𝑥) · 𝑦) = ((𝐴 · (𝐵 · 𝑥)) · 𝑦))
45	2	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → (𝐴 · 𝐵) = 1)
46		simprr 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → (𝑥 · 𝑦) = 1)
47	45, 46	oveq12d 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → ((𝐴 · 𝐵) · (𝑥 · 𝑦)) = (1 · 1))
48		1t1e1ALT 41178	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 1) = 1
49	47, 48	eqtrdi 2788	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → ((𝐴 · 𝐵) · (𝑥 · 𝑦)) = 1)
50	40, 44, 49	3eqtr3d 2780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → ((𝐴 · (𝐵 · 𝑥)) · 𝑦) = 1)
51		ax-1rid 11179	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
52	32, 51	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
53	52	oveq1d 7423	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → ((𝐴 · 1) · 𝑦) = (𝐴 · 𝑦))
54	31, 50, 53	3eqtr3rd 2781	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → (𝐴 · 𝑦) = 1)
55	54, 46	eqtr4d 2775	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → (𝐴 · 𝑦) = (𝑥 · 𝑦))
56	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → 1 ≠ 0)
57	46, 56	eqnetrd 3008	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0)
58		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) ∧ 𝑦 = 0) → 𝑦 = 0)
59	58	oveq2d 7424	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) ∧ 𝑦 = 0) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥 · 0))
60	36	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) ∧ 𝑦 = 0) → 𝑥 ∈ ℝ)
61		remul01 41281	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 · 0) = 0)
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) ∧ 𝑦 = 0) → (𝑥 · 0) = 0)
63	59, 62	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) ∧ 𝑦 = 0) → (𝑥 · 𝑦) = 0)
64	57, 63	mteqand 3033	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → 𝑦 ≠ 0)
65	32, 36, 38, 64	remulcan2d 41179	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → ((𝐴 · 𝑦) = (𝑥 · 𝑦) ↔ 𝐴 = 𝑥))
66	55, 65	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → 𝐴 = 𝑥)
67		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) ∧ 𝐴 = 𝑥) → 𝐴 = 𝑥)
68	67	oveq2d 7424	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) ∧ 𝐴 = 𝑥) → (𝐵 · 𝐴) = (𝐵 · 𝑥))
69	17	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) ∧ 𝐴 = 𝑥) → (𝐵 · 𝑥) = 1)
70	68, 69	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) ∧ 𝐴 = 𝑥) → (𝐵 · 𝐴) = 1)
71	66, 70	mpdan 685	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → (𝐵 · 𝐴) = 1)
72	28, 71	rexlimddv 3161	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → (𝐵 · 𝐴) = 1)
73	15, 72	rexlimddv 3161	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐴) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070  (class class class)co 7408  ℝcr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   · cmul 11114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252  df-2 12274  df-3 12275  df-resub 41240

This theorem is referenced by:  remullid  41307  remulcand  41312  retire  41341