Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  remulinvcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem remulinvcom 41306
Description: A left multiplicative inverse is a right multiplicative inverse. Proven without ax-mulcom 11173. (Contributed by SN, 5-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
remulinvcom.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
remulinvcom.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
remulinvcom.3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = 1)
Assertion
Ref Expression
remulinvcom (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท ๐ด) = 1)

Proof of Theorem remulinvcom
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 remulinvcom.2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
2 remulinvcom.3 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = 1)
3 ax-1ne0 11178 . . . . . 6 1 โ‰  0
43a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰  0)
52, 4eqnetrd 3008 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โ‰  0)
6 simpr 485 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = 0) โ†’ ๐ต = 0)
76oveq2d 7424 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ด ยท 0))
8 remulinvcom.1 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
98adantr 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = 0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
10 remul01 41281 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด ยท 0) = 0)
119, 10syl 17 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ด ยท 0) = 0)
127, 11eqtrd 2772 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = 0)
135, 12mteqand 3033 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  0)
14 ax-rrecex 11181 . . 3 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)
151, 13, 14syl2anc 584 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)
16 simprl 769 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
17 simprr 771 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)
183a1i 11 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ 1 โ‰  0)
1917, 18eqnetrd 3008 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฅ) โ‰  0)
20 simpr 485 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐‘ฅ = 0) โ†’ ๐‘ฅ = 0)
2120oveq2d 7424 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐‘ฅ = 0) โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = (๐ต ยท 0))
221ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐‘ฅ = 0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
23 remul01 41281 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต ยท 0) = 0)
2422, 23syl 17 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐‘ฅ = 0) โ†’ (๐ต ยท 0) = 0)
2521, 24eqtrd 2772 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐‘ฅ = 0) โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 0)
2619, 25mteqand 3033 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0)
27 ax-rrecex 11181 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)
2816, 26, 27syl2anc 584 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)
29 simplrr 776 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)
3029oveq2d 7424 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (๐ด ยท (๐ต ยท ๐‘ฅ)) = (๐ด ยท 1))
3130oveq1d 7423 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ((๐ด ยท (๐ต ยท ๐‘ฅ)) ยท ๐‘ฆ) = ((๐ด ยท 1) ยท ๐‘ฆ))
328ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
331ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
3432, 33remulcld 11243 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
3534recnd 11241 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
36 simplrl 775 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
3736recnd 11241 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
38 simprl 769 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
3938recnd 11241 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
4035, 37, 39mulassd 11236 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐‘ฅ) ยท ๐‘ฆ) = ((๐ด ยท ๐ต) ยท (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)))
4132recnd 11241 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4233recnd 11241 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4341, 42, 37mulassd 11236 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐‘ฅ) = (๐ด ยท (๐ต ยท ๐‘ฅ)))
4443oveq1d 7423 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐‘ฅ) ยท ๐‘ฆ) = ((๐ด ยท (๐ต ยท ๐‘ฅ)) ยท ๐‘ฆ))
452ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = 1)
46 simprr 771 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)
4745, 46oveq12d 7426 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = (1 ยท 1))
48 1t1e1ALT 41178 . . . . . . . . 9 (1 ยท 1) = 1
4947, 48eqtrdi 2788 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = 1)
5040, 44, 493eqtr3d 2780 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ((๐ด ยท (๐ต ยท ๐‘ฅ)) ยท ๐‘ฆ) = 1)
51 ax-1rid 11179 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
5232, 51syl 17 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
5352oveq1d 7423 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ((๐ด ยท 1) ยท ๐‘ฆ) = (๐ด ยท ๐‘ฆ))
5431, 50, 533eqtr3rd 2781 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (๐ด ยท ๐‘ฆ) = 1)
5554, 46eqtr4d 2775 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (๐ด ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ))
563a1i 11 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ 1 โ‰  0)
5746, 56eqnetrd 3008 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ‰  0)
58 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โˆง ๐‘ฆ = 0) โ†’ ๐‘ฆ = 0)
5958oveq2d 7424 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โˆง ๐‘ฆ = 0) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยท 0))
6036adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โˆง ๐‘ฆ = 0) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
61 remul01 41281 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ฅ ยท 0) = 0)
6260, 61syl 17 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โˆง ๐‘ฆ = 0) โ†’ (๐‘ฅ ยท 0) = 0)
6359, 62eqtrd 2772 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โˆง ๐‘ฆ = 0) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 0)
6457, 63mteqand 3033 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ๐‘ฆ โ‰  0)
6532, 36, 38, 64remulcan2d 41179 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ†” ๐ด = ๐‘ฅ))
6655, 65mpbid 231 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ๐ด = ๐‘ฅ)
67 simpr 485 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โˆง ๐ด = ๐‘ฅ) โ†’ ๐ด = ๐‘ฅ)
6867oveq2d 7424 . . . . 5 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โˆง ๐ด = ๐‘ฅ) โ†’ (๐ต ยท ๐ด) = (๐ต ยท ๐‘ฅ))
6917ad2antrr 724 . . . . 5 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โˆง ๐ด = ๐‘ฅ) โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)
7068, 69eqtrd 2772 . . . 4 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โˆง ๐ด = ๐‘ฅ) โ†’ (๐ต ยท ๐ด) = 1)
7166, 70mpdan 685 . . 3 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (๐ต ยท ๐ด) = 1)
7228, 71rexlimddv 3161 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ (๐ต ยท ๐ด) = 1)
7315, 72rexlimddv 3161 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท ๐ด) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โˆƒwrex 3070  (class class class)co 7408  โ„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   ยท cmul 11114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252  df-2 12274  df-3 12275  df-resub 41240
This theorem is referenced by:  remullid  41307  remulcand  41312  retire  41341
  Copyright terms: Public domain W3C validator