| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | remulinvcom.2 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ) |
| 2 | | remulinvcom.3 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = 1) |
| 3 | | ax-1ne0 11224 |
. . . . . 6
⊢ 1 ≠
0 |
| 4 | 3 | a1i 11 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 1 ≠ 0) |
| 5 | 2, 4 | eqnetrd 3008 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0) |
| 6 | | simpr 484 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 = 0) |
| 7 | 6 | oveq2d 7447 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 0)) |
| 8 | | remulinvcom.1 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ) |
| 9 | 8 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 ∈ ℝ) |
| 10 | | remul01 42437 |
. . . . . 6
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) =
0) |
| 11 | 9, 10 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 · 0) = 0) |
| 12 | 7, 11 | eqtrd 2777 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 · 𝐵) = 0) |
| 13 | 5, 12 | mteqand 3033 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0) |
| 14 | | ax-rrecex 11227 |
. . 3
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 1) |
| 15 | 1, 13, 14 | syl2anc 584 |
. 2
⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 1) |
| 16 | | simprl 771 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℝ) |
| 17 | | simprr 773 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → (𝐵 · 𝑥) = 1) |
| 18 | 3 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → 1 ≠ 0) |
| 19 | 17, 18 | eqnetrd 3008 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → (𝐵 · 𝑥) ≠ 0) |
| 20 | | simpr 484 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝑥 = 0) → 𝑥 = 0) |
| 21 | 20 | oveq2d 7447 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝑥 = 0) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 0)) |
| 22 | 1 | ad2antrr 726 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝑥 = 0) → 𝐵 ∈ ℝ) |
| 23 | | remul01 42437 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 0) =
0) |
| 24 | 22, 23 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝑥 = 0) → (𝐵 · 0) = 0) |
| 25 | 21, 24 | eqtrd 2777 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝑥 = 0) → (𝐵 · 𝑥) = 0) |
| 26 | 19, 25 | mteqand 3033 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ≠ 0) |
| 27 | | ax-rrecex 11227 |
. . . 4
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≠ 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑦) = 1) |
| 28 | 16, 26, 27 | syl2anc 584 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑦) = 1) |
| 29 | | simplrr 778 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → (𝐵 · 𝑥) = 1) |
| 30 | 29 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → (𝐴 · (𝐵 · 𝑥)) = (𝐴 · 1)) |
| 31 | 30 | oveq1d 7446 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → ((𝐴 · (𝐵 · 𝑥)) · 𝑦) = ((𝐴 · 1) · 𝑦)) |
| 32 | 8 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ) |
| 33 | 1 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → 𝐵 ∈ ℝ) |
| 34 | 32, 33 | remulcld 11291 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ) |
| 35 | 34 | recnd 11289 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ) |
| 36 | | simplrl 777 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → 𝑥 ∈ ℝ) |
| 37 | 36 | recnd 11289 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → 𝑥 ∈ ℂ) |
| 38 | | simprl 771 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → 𝑦 ∈ ℝ) |
| 39 | 38 | recnd 11289 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → 𝑦 ∈ ℂ) |
| 40 | 35, 37, 39 | mulassd 11284 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → (((𝐴 · 𝐵) · 𝑥) · 𝑦) = ((𝐴 · 𝐵) · (𝑥 · 𝑦))) |
| 41 | 32 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ) |
| 42 | 33 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → 𝐵 ∈ ℂ) |
| 43 | 41, 42, 37 | mulassd 11284 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝑥) = (𝐴 · (𝐵 · 𝑥))) |
| 44 | 43 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → (((𝐴 · 𝐵) · 𝑥) · 𝑦) = ((𝐴 · (𝐵 · 𝑥)) · 𝑦)) |
| 45 | 2 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → (𝐴 · 𝐵) = 1) |
| 46 | | simprr 773 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → (𝑥 · 𝑦) = 1) |
| 47 | 45, 46 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → ((𝐴 · 𝐵) · (𝑥 · 𝑦)) = (1 · 1)) |
| 48 | | 1t1e1ALT 42296 |
. . . . . . . . 9
⊢ (1
· 1) = 1 |
| 49 | 47, 48 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → ((𝐴 · 𝐵) · (𝑥 · 𝑦)) = 1) |
| 50 | 40, 44, 49 | 3eqtr3d 2785 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → ((𝐴 · (𝐵 · 𝑥)) · 𝑦) = 1) |
| 51 | | ax-1rid 11225 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴) |
| 52 | 32, 51 | syl 17 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → (𝐴 · 1) = 𝐴) |
| 53 | 52 | oveq1d 7446 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → ((𝐴 · 1) · 𝑦) = (𝐴 · 𝑦)) |
| 54 | 31, 50, 53 | 3eqtr3rd 2786 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → (𝐴 · 𝑦) = 1) |
| 55 | 54, 46 | eqtr4d 2780 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → (𝐴 · 𝑦) = (𝑥 · 𝑦)) |
| 56 | 3 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → 1 ≠ 0) |
| 57 | 46, 56 | eqnetrd 3008 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0) |
| 58 | | simpr 484 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) ∧ 𝑦 = 0) → 𝑦 = 0) |
| 59 | 58 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) ∧ 𝑦 = 0) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥 · 0)) |
| 60 | 36 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) ∧ 𝑦 = 0) → 𝑥 ∈ ℝ) |
| 61 | | remul01 42437 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 · 0) =
0) |
| 62 | 60, 61 | syl 17 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) ∧ 𝑦 = 0) → (𝑥 · 0) = 0) |
| 63 | 59, 62 | eqtrd 2777 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) ∧ 𝑦 = 0) → (𝑥 · 𝑦) = 0) |
| 64 | 57, 63 | mteqand 3033 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → 𝑦 ≠ 0) |
| 65 | 32, 36, 38, 64 | remulcan2d 42298 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → ((𝐴 · 𝑦) = (𝑥 · 𝑦) ↔ 𝐴 = 𝑥)) |
| 66 | 55, 65 | mpbid 232 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → 𝐴 = 𝑥) |
| 67 | | simpr 484 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) ∧ 𝐴 = 𝑥) → 𝐴 = 𝑥) |
| 68 | 67 | oveq2d 7447 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) ∧ 𝐴 = 𝑥) → (𝐵 · 𝐴) = (𝐵 · 𝑥)) |
| 69 | 17 | ad2antrr 726 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) ∧ 𝐴 = 𝑥) → (𝐵 · 𝑥) = 1) |
| 70 | 68, 69 | eqtrd 2777 |
. . . 4
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) ∧ 𝐴 = 𝑥) → (𝐵 · 𝐴) = 1) |
| 71 | 66, 70 | mpdan 687 |
. . 3
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 𝑦) = 1)) → (𝐵 · 𝐴) = 1) |
| 72 | 28, 71 | rexlimddv 3161 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝑥) = 1)) → (𝐵 · 𝐴) = 1) |
| 73 | 15, 72 | rexlimddv 3161 |
1
⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐴) = 1) |