Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrhqima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrhqima 30604
Description: The ℝHom homomorphism leaves rational numbers unchanged. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
rrhqima ((𝑅 ∈ ℝExt ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ((ℝHom‘𝑅)‘𝑄) = ((ℚHom‘𝑅)‘𝑄))

Proof of Theorem rrhqima
StepHypRef Expression
1 eqid 2826 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
2 eqid 2826 . . . . 5 (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
31, 2rrhval 30586 . . . 4 (𝑅 ∈ ℝExt → (ℝHom‘𝑅) = (((topGen‘ran (,))CnExt(TopOpen‘𝑅))‘(ℚHom‘𝑅)))
43fveq1d 6436 . . 3 (𝑅 ∈ ℝExt → ((ℝHom‘𝑅)‘𝑄) = ((((topGen‘ran (,))CnExt(TopOpen‘𝑅))‘(ℚHom‘𝑅))‘𝑄))
54adantr 474 . 2 ((𝑅 ∈ ℝExt ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ((ℝHom‘𝑅)‘𝑄) = ((((topGen‘ran (,))CnExt(TopOpen‘𝑅))‘(ℚHom‘𝑅))‘𝑄))
6 uniretop 22937 . . 3 ℝ = (topGen‘ran (,))
7 eqid 2826 . . 3 (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
8 retop 22936 . . . 4 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
98a1i 11 . . 3 ((𝑅 ∈ ℝExt ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
102rrexthaus 30597 . . . 4 (𝑅 ∈ ℝExt → (TopOpen‘𝑅) ∈ Haus)
1110adantr 474 . . 3 ((𝑅 ∈ ℝExt ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (TopOpen‘𝑅) ∈ Haus)
12 qssre 12082 . . . 4 ℚ ⊆ ℝ
1312a1i 11 . . 3 ((𝑅 ∈ ℝExt ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ℚ ⊆ ℝ)
14 rrextnrg 30591 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝExt → 𝑅 ∈ NrmRing)
15 rrextdrg 30592 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝExt → 𝑅 ∈ DivRing)
1614, 15elind 4026 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝExt → 𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing))
17 eqid 2826 . . . . . . 7 (ℤMod‘𝑅) = (ℤMod‘𝑅)
1817rrextnlm 30593 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝExt → (ℤMod‘𝑅) ∈ NrmMod)
19 rrextchr 30594 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝExt → (chr‘𝑅) = 0)
20 eqid 2826 . . . . . . 7 (ℂflds ℚ) = (ℂflds ℚ)
21 qqtopn 30601 . . . . . . 7 ((TopOpen‘ℝfld) ↾t ℚ) = (TopOpen‘(ℂflds ℚ))
2220, 21, 17, 2qqhcn 30581 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ (ℤMod‘𝑅) ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅) ∈ (((TopOpen‘ℝfld) ↾t ℚ) Cn (TopOpen‘𝑅)))
2316, 18, 19, 22syl3anc 1496 . . . . 5 (𝑅 ∈ ℝExt → (ℚHom‘𝑅) ∈ (((TopOpen‘ℝfld) ↾t ℚ) Cn (TopOpen‘𝑅)))
24 retopn 23548 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = (TopOpen‘ℝfld)
2524eqcomi 2835 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℝfld) = (topGen‘ran (,))
2625oveq1i 6916 . . . . . 6 ((TopOpen‘ℝfld) ↾t ℚ) = ((topGen‘ran (,)) ↾t ℚ)
2726oveq1i 6916 . . . . 5 (((TopOpen‘ℝfld) ↾t ℚ) Cn (TopOpen‘𝑅)) = (((topGen‘ran (,)) ↾t ℚ) Cn (TopOpen‘𝑅))
2823, 27syl6eleq 2917 . . . 4 (𝑅 ∈ ℝExt → (ℚHom‘𝑅) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ℚ) Cn (TopOpen‘𝑅)))
2928adantr 474 . . 3 ((𝑅 ∈ ℝExt ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (ℚHom‘𝑅) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ℚ) Cn (TopOpen‘𝑅)))
30 simpr 479 . . 3 ((𝑅 ∈ ℝExt ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → 𝑄 ∈ ℚ)
316, 7, 9, 11, 13, 29, 30cnextfres 22244 . 2 ((𝑅 ∈ ℝExt ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ((((topGen‘ran (,))CnExt(TopOpen‘𝑅))‘(ℚHom‘𝑅))‘𝑄) = ((ℚHom‘𝑅)‘𝑄))
325, 31eqtrd 2862 1 ((𝑅 ∈ ℝExt ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ((ℝHom‘𝑅)‘𝑄) = ((ℚHom‘𝑅)‘𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  cin 3798  wss 3799   cuni 4659  ran crn 5344  cfv 6124  (class class class)co 6906  cr 10252  0cc0 10253  cq 12072  (,)cioo 12464  s cress 16224  t crest 16435  TopOpenctopn 16436  topGenctg 16452  DivRingcdr 19104  fldccnfld 20107  ℤModczlm 20210  chrcchr 20211  fldcrefld 20312  Topctop 21069   Cn ccn 21400  Hauscha 21484  CnExtccnext 22234  NrmRingcnrg 22755  NrmModcnlm 22756  ℚHomcqqh 30562  ℝHomcrrh 30583   ℝExt crrext 30584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-inf2 8816  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-pre-sup 10331  ax-addf 10332  ax-mulf 10333
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-iin 4744  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-se 5303  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-isom 6133  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-of 7158  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-supp 7561  df-tpos 7618  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-2o 7828  df-oadd 7831  df-er 8010  df-map 8125  df-pm 8126  df-ixp 8177  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-fsupp 8546  df-fi 8587  df-sup 8618  df-inf 8619  df-oi 8685  df-card 9079  df-cda 9306  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419  df-7 11420  df-8 11421  df-9 11422  df-n0 11620  df-z 11706  df-dec 11823  df-uz 11970  df-q 12073  df-rp 12114  df-xneg 12233  df-xadd 12234  df-xmul 12235  df-ioo 12468  df-ico 12470  df-icc 12471  df-fz 12621  df-fzo 12762  df-fl 12889  df-mod 12965  df-seq 13097  df-exp 13156  df-hash 13412  df-cj 14217  df-re 14218  df-im 14219  df-sqrt 14353  df-abs 14354  df-dvds 15359  df-gcd 15591  df-numer 15815  df-denom 15816  df-gz 16006  df-struct 16225  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-ress 16231  df-plusg 16319  df-mulr 16320  df-starv 16321  df-sca 16322  df-vsca 16323  df-ip 16324  df-tset 16325  df-ple 16326  df-ds 16328  df-unif 16329  df-hom 16330  df-cco 16331  df-rest 16437  df-topn 16438  df-0g 16456  df-gsum 16457  df-topgen 16458  df-pt 16459  df-prds 16462  df-xrs 16516  df-qtop 16521  df-imas 16522  df-xps 16524  df-mre 16600  df-mrc 16601  df-acs 16603  df-plusf 17595  df-mgm 17596  df-sgrp 17638  df-mnd 17649  df-mhm 17689  df-submnd 17690  df-grp 17780  df-minusg 17781  df-sbg 17782  df-mulg 17896  df-subg 17943  df-ghm 18010  df-cntz 18101  df-od 18300  df-cmn 18549  df-abl 18550  df-mgp 18845  df-ur 18857  df-ring 18904  df-cring 18905  df-oppr 18978  df-dvdsr 18996  df-unit 18997  df-invr 19027  df-dvr 19038  df-rnghom 19072  df-drng 19106  df-subrg 19135  df-abv 19174  df-lmod 19222  df-scaf 19223  df-sra 19534  df-rgmod 19535  df-nzr 19620  df-psmet 20099  df-xmet 20100  df-met 20101  df-bl 20102  df-mopn 20103  df-fbas 20104  df-fg 20105  df-cnfld 20108  df-zring 20180  df-zrh 20213  df-zlm 20214  df-chr 20215  df-refld 20313  df-top 21070  df-topon 21087  df-topsp 21109  df-bases 21122  df-cld 21195  df-ntr 21196  df-cls 21197  df-nei 21274  df-cn 21403  df-cnp 21404  df-haus 21491  df-tx 21737  df-hmeo 21930  df-fil 22021  df-fm 22113  df-flim 22114  df-flf 22115  df-cnext 22235  df-tmd 22247  df-tgp 22248  df-trg 22334  df-xms 22496  df-ms 22497  df-tms 22498  df-nm 22758  df-ngp 22759  df-nrg 22761  df-nlm 22762  df-qqh 30563  df-rrh 30585  df-rrext 30589
This theorem is referenced by:  rrh0  30605
  Copyright terms: Public domain W3C validator