Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrhqima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrhqima 31280
Description: The ℝHom homomorphism leaves rational numbers unchanged. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
rrhqima ((𝑅 ∈ ℝExt ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ((ℝHom‘𝑅)‘𝑄) = ((ℚHom‘𝑅)‘𝑄))

Proof of Theorem rrhqima
StepHypRef Expression
1 eqid 2824 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
2 eqid 2824 . . . . 5 (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
31, 2rrhval 31262 . . . 4 (𝑅 ∈ ℝExt → (ℝHom‘𝑅) = (((topGen‘ran (,))CnExt(TopOpen‘𝑅))‘(ℚHom‘𝑅)))
43fveq1d 6660 . . 3 (𝑅 ∈ ℝExt → ((ℝHom‘𝑅)‘𝑄) = ((((topGen‘ran (,))CnExt(TopOpen‘𝑅))‘(ℚHom‘𝑅))‘𝑄))
54adantr 484 . 2 ((𝑅 ∈ ℝExt ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ((ℝHom‘𝑅)‘𝑄) = ((((topGen‘ran (,))CnExt(TopOpen‘𝑅))‘(ℚHom‘𝑅))‘𝑄))
6 uniretop 23364 . . 3 ℝ = (topGen‘ran (,))
7 eqid 2824 . . 3 (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
8 retop 23363 . . . 4 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
98a1i 11 . . 3 ((𝑅 ∈ ℝExt ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
102rrexthaus 31273 . . . 4 (𝑅 ∈ ℝExt → (TopOpen‘𝑅) ∈ Haus)
1110adantr 484 . . 3 ((𝑅 ∈ ℝExt ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (TopOpen‘𝑅) ∈ Haus)
12 qssre 12351 . . . 4 ℚ ⊆ ℝ
1312a1i 11 . . 3 ((𝑅 ∈ ℝExt ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ℚ ⊆ ℝ)
14 rrextnrg 31267 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝExt → 𝑅 ∈ NrmRing)
15 rrextdrg 31268 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝExt → 𝑅 ∈ DivRing)
1614, 15elind 4155 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝExt → 𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing))
17 eqid 2824 . . . . . . 7 (ℤMod‘𝑅) = (ℤMod‘𝑅)
1817rrextnlm 31269 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝExt → (ℤMod‘𝑅) ∈ NrmMod)
19 rrextchr 31270 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝExt → (chr‘𝑅) = 0)
20 eqid 2824 . . . . . . 7 (ℂflds ℚ) = (ℂflds ℚ)
21 qqtopn 31277 . . . . . . 7 ((TopOpen‘ℝfld) ↾t ℚ) = (TopOpen‘(ℂflds ℚ))
2220, 21, 17, 2qqhcn 31257 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ (ℤMod‘𝑅) ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅) ∈ (((TopOpen‘ℝfld) ↾t ℚ) Cn (TopOpen‘𝑅)))
2316, 18, 19, 22syl3anc 1368 . . . . 5 (𝑅 ∈ ℝExt → (ℚHom‘𝑅) ∈ (((TopOpen‘ℝfld) ↾t ℚ) Cn (TopOpen‘𝑅)))
24 retopn 23979 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = (TopOpen‘ℝfld)
2524eqcomi 2833 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℝfld) = (topGen‘ran (,))
2625oveq1i 7155 . . . . . 6 ((TopOpen‘ℝfld) ↾t ℚ) = ((topGen‘ran (,)) ↾t ℚ)
2726oveq1i 7155 . . . . 5 (((TopOpen‘ℝfld) ↾t ℚ) Cn (TopOpen‘𝑅)) = (((topGen‘ran (,)) ↾t ℚ) Cn (TopOpen‘𝑅))
2823, 27eleqtrdi 2926 . . . 4 (𝑅 ∈ ℝExt → (ℚHom‘𝑅) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ℚ) Cn (TopOpen‘𝑅)))
2928adantr 484 . . 3 ((𝑅 ∈ ℝExt ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (ℚHom‘𝑅) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ℚ) Cn (TopOpen‘𝑅)))
30 simpr 488 . . 3 ((𝑅 ∈ ℝExt ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → 𝑄 ∈ ℚ)
316, 7, 9, 11, 13, 29, 30cnextfres 22670 . 2 ((𝑅 ∈ ℝExt ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ((((topGen‘ran (,))CnExt(TopOpen‘𝑅))‘(ℚHom‘𝑅))‘𝑄) = ((ℚHom‘𝑅)‘𝑄))
325, 31eqtrd 2859 1 ((𝑅 ∈ ℝExt ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ((ℝHom‘𝑅)‘𝑄) = ((ℚHom‘𝑅)‘𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  cin 3918  wss 3919   cuni 4824  ran crn 5543  cfv 6343  (class class class)co 7145  cr 10528  0cc0 10529  cq 12341  (,)cioo 12731  s cress 16480  t crest 16690  TopOpenctopn 16691  topGenctg 16707  DivRingcdr 19495  fldccnfld 20538  ℤModczlm 20641  chrcchr 20642  fldcrefld 20741  Topctop 21494   Cn ccn 21825  Hauscha 21909  CnExtccnext 22660  NrmRingcnrg 23182  NrmModcnlm 23183  ℚHomcqqh 31238  ℝHomcrrh 31259   ℝExt crrext 31260
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7399  df-om 7571  df-1st 7679  df-2nd 7680  df-supp 7821  df-tpos 7882  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-2o 8093  df-oadd 8096  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-ixp 8452  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-fsupp 8825  df-fi 8866  df-sup 8897  df-inf 8898  df-oi 8965  df-card 9359  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11693  df-3 11694  df-4 11695  df-5 11696  df-6 11697  df-7 11698  df-8 11699  df-9 11700  df-n0 11891  df-z 11975  df-dec 12092  df-uz 12237  df-q 12342  df-rp 12383  df-xneg 12500  df-xadd 12501  df-xmul 12502  df-ioo 12735  df-ico 12737  df-icc 12738  df-fz 12891  df-fzo 13034  df-fl 13162  df-mod 13238  df-seq 13370  df-exp 13431  df-hash 13692  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-dvds 15604  df-gcd 15838  df-numer 16069  df-denom 16070  df-gz 16260  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-hom 16585  df-cco 16586  df-rest 16692  df-topn 16693  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-topgen 16713  df-pt 16714  df-prds 16717  df-xrs 16771  df-qtop 16776  df-imas 16777  df-xps 16779  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-plusf 17847  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-mhm 17952  df-submnd 17953  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-sbg 18104  df-mulg 18221  df-subg 18272  df-ghm 18352  df-cntz 18443  df-od 18652  df-cmn 18904  df-abl 18905  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-cring 19296  df-oppr 19369  df-dvdsr 19387  df-unit 19388  df-invr 19418  df-dvr 19429  df-rnghom 19463  df-drng 19497  df-subrg 19526  df-abv 19581  df-lmod 19629  df-scaf 19630  df-sra 19937  df-rgmod 19938  df-nzr 20024  df-psmet 20530  df-xmet 20531  df-met 20532  df-bl 20533  df-mopn 20534  df-fbas 20535  df-fg 20536  df-cnfld 20539  df-zring 20611  df-zrh 20644  df-zlm 20645  df-chr 20646  df-refld 20742  df-top 21495  df-topon 21512  df-topsp 21534  df-bases 21547  df-cld 21620  df-ntr 21621  df-cls 21622  df-nei 21699  df-cn 21828  df-cnp 21829  df-haus 21916  df-tx 22163  df-hmeo 22356  df-fil 22447  df-fm 22539  df-flim 22540  df-flf 22541  df-cnext 22661  df-tmd 22673  df-tgp 22674  df-trg 22761  df-xms 22923  df-ms 22924  df-tms 22925  df-nm 23185  df-ngp 23186  df-nrg 23188  df-nlm 23189  df-qqh 31239  df-rrh 31261  df-rrext 31265
This theorem is referenced by:  rrh0  31281
  Copyright terms: Public domain W3C validator