Theorem rrhqima 34702

Description: The ℝHom homomorphism leaves rational numbers unchanged. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
rrhqima	⊢ ((𝑅 ∈ ℝExt ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ((ℝHom‘𝑅)‘𝑄) = ((ℚHom‘𝑅)‘𝑄))

Proof of Theorem rrhqima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
2		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
3	1, 2	rrhval 34684	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → (ℝHom‘𝑅) = (((topGen‘ran (,))CnExt(TopOpen‘𝑅))‘(ℚHom‘𝑅)))
4	3	fveq1d 6898	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → ((ℝHom‘𝑅)‘𝑄) = ((((topGen‘ran (,))CnExt(TopOpen‘𝑅))‘(ℚHom‘𝑅))‘𝑄))
5	4	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝExt ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ((ℝHom‘𝑅)‘𝑄) = ((((topGen‘ran (,))CnExt(TopOpen‘𝑅))‘(ℚHom‘𝑅))‘𝑄))
6		uniretop 25096	. . 3 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
7		eqid 2763	. . 3 ⊢ ∪ (TopOpen‘𝑅) = ∪ (TopOpen‘𝑅)
8		retop 25095	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝExt ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
10	2	rrexthaus 34695	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → (TopOpen‘𝑅) ∈ Haus)
11	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝExt ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (TopOpen‘𝑅) ∈ Haus)
12		qssre 13099	. . . 4 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝExt ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ℚ ⊆ ℝ)
14		rrextnrg 34689	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → 𝑅 ∈ NrmRing)
15		rrextdrg 34690	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → 𝑅 ∈ DivRing)
16	14, 15	elind 4100	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → 𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing))
17		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (ℤMod‘𝑅) = (ℤMod‘𝑅)
18	17	rrextnlm 34691	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → (ℤMod‘𝑅) ∈ NrmMod)
19		rrextchr 34692	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → (chr‘𝑅) = 0)
20		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ↾s ℚ) = (ℂfld ↾s ℚ)
21		qqtopn 34699	. . . . . . 7 ⊢ ((TopOpen‘ℝfld) ↾t ℚ) = (TopOpen‘(ℂfld ↾s ℚ))
22	20, 21, 17, 2	qqhcn 34679	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ (ℤMod‘𝑅) ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅) ∈ (((TopOpen‘ℝfld) ↾t ℚ) Cn (TopOpen‘𝑅)))
23	16, 18, 19, 22	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → (ℚHom‘𝑅) ∈ (((TopOpen‘ℝfld) ↾t ℚ) Cn (TopOpen‘𝑅)))
24		retopn 25715	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (TopOpen‘ℝfld)
25	24	eqcomi 2772	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℝfld) = (topGen‘ran (,))
26	25	oveq1i 7440	. . . . . 6 ⊢ ((TopOpen‘ℝfld) ↾t ℚ) = ((topGen‘ran (,)) ↾t ℚ)
27	26	oveq1i 7440	. . . . 5 ⊢ (((TopOpen‘ℝfld) ↾t ℚ) Cn (TopOpen‘𝑅)) = (((topGen‘ran (,)) ↾t ℚ) Cn (TopOpen‘𝑅))
28	23, 27	eleqtrdi 2874	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → (ℚHom‘𝑅) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ℚ) Cn (TopOpen‘𝑅)))
29	28	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝExt ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (ℚHom‘𝑅) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ℚ) Cn (TopOpen‘𝑅)))
30		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝExt ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → 𝑄 ∈ ℚ)
31	6, 7, 9, 11, 13, 29, 30	cnextfres 24403	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝExt ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ((((topGen‘ran (,))CnExt(TopOpen‘𝑅))‘(ℚHom‘𝑅))‘𝑄) = ((ℚHom‘𝑅)‘𝑄))
32	5, 31	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝExt ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ((ℝHom‘𝑅)‘𝑄) = ((ℚHom‘𝑅)‘𝑄))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092  ∪ cuni 4870  ran crn 5656  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  ℝcr 11212  0cc0 11213  ℚcq 13088  (,)cioo 13489   ↾_s cress 17423   ↾_t crest 17606  TopOpenctopn 17607  topGenctg 17623  DivRingcdr 20995  ℂ_fldccnfld 21693  ℤModczlm 21821  chrcchr 21822  ℝ_fldcrefld 21925  Topctop 23226   Cn ccn 23557  Hauscha 23641  CnExtccnext 24393  NrmRingcnrg 24913  NrmModcnlm 24914  ℚHomcqqh 34658  ℝHomcrrh 34681   ℝExt crrext 34682

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-pre-sup 11291  ax-addf 11292  ax-mulf 11293

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7703  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-supp 8191  df-tpos 8257  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-2o 8491  df-er 8731  df-map 8863  df-pm 8864  df-ixp 8940  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-fsupp 9368  df-fi 9416  df-sup 9447  df-inf 9448  df-oi 9517  df-card 10033  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-div 11987  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-5 12421  df-6 12422  df-7 12423  df-8 12424  df-9 12425  df-n0 12620  df-z 12707  df-dec 12828  df-uz 12979  df-q 13089  df-rp 13134  df-xneg 13254  df-xadd 13255  df-xmul 13256  df-ioo 13493  df-ico 13495  df-icc 13496  df-fz 13653  df-fzo 13802  df-fl 13945  df-mod 14023  df-seq 14158  df-exp 14218  df-hash 14488  df-cj 15281  df-re 15282  df-im 15283  df-sqrt 15417  df-abs 15418  df-dvds 16438  df-gcd 16680  df-numer 16926  df-denom 16927  df-gz 17123  df-struct 17340  df-sets 17357  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-ress 17424  df-plusg 17456  df-mulr 17457  df-starv 17458  df-sca 17459  df-vsca 17460  df-ip 17461  df-tset 17462  df-ple 17463  df-ds 17465  df-unif 17466  df-hom 17467  df-cco 17468  df-rest 17608  df-topn 17609  df-0g 17627  df-gsum 17628  df-topgen 17629  df-pt 17630  df-prds 17633  df-xrs 17689  df-qtop 17694  df-imas 17695  df-xps 17697  df-mre 17771  df-mrc 17772  df-acs 17774  df-plusf 18830  df-mgm 18831  df-sgrp 18923  df-mnd 18939  df-mhm 18993  df-submnd 18994  df-grp 19162  df-minusg 19163  df-sbg 19164  df-mulg 19293  df-subg 19348  df-ghm 19443  df-cntz 19546  df-od 19757  df-cmn 20011  df-abl 20012  df-mgp 20376  df-rng 20390  df-ur 20423  df-ring 20476  df-cring 20477  df-oppr 20582  df-dvdsr 20602  df-unit 20603  df-invr 20633  df-dvr 20646  df-rhm 20717  df-nzr 20778  df-subrng 20813  df-subrg 20837  df-drng 20997  df-abv 21081  df-lmod 21152  df-scaf 21153  df-sra 21463  df-rgmod 21464  df-psmet 21685  df-xmet 21686  df-met 21687  df-bl 21688  df-mopn 21689  df-fbas 21690  df-fg 21691  df-cnfld 21694  df-zring 21768  df-zrh 21824  df-zlm 21825  df-chr 21826  df-refld 21926  df-top 23227  df-topon 23244  df-topsp 23266  df-bases 23279  df-cld 23352  df-ntr 23353  df-cls 23354  df-nei 23431  df-cn 23560  df-cnp 23561  df-haus 23648  df-tx 23896  df-hmeo 24089  df-fil 24180  df-fm 24272  df-flim 24273  df-flf 24274  df-cnext 24394  df-tmd 24406  df-tgp 24407  df-trg 24494  df-xms 24654  df-ms 24655  df-tms 24656  df-nm 24916  df-ngp 24917  df-nrg 24919  df-nlm 24920  df-qqh 34659  df-rrh 34683  df-rrext 34687

This theorem is used by:  rrh0  34703