Theorem rrhqima 33280

Description: The ℝHom homomorphism leaves rational numbers unchanged. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
rrhqima	⊢ ((𝑅 ∈ ℝExt ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ((ℝHom‘𝑅)‘𝑄) = ((ℚHom‘𝑅)‘𝑄))

Proof of Theorem rrhqima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
2		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
3	1, 2	rrhval 33262	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → (ℝHom‘𝑅) = (((topGen‘ran (,))CnExt(TopOpen‘𝑅))‘(ℚHom‘𝑅)))
4	3	fveq1d 6893	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → ((ℝHom‘𝑅)‘𝑄) = ((((topGen‘ran (,))CnExt(TopOpen‘𝑅))‘(ℚHom‘𝑅))‘𝑄))
5	4	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝExt ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ((ℝHom‘𝑅)‘𝑄) = ((((topGen‘ran (,))CnExt(TopOpen‘𝑅))‘(ℚHom‘𝑅))‘𝑄))
6		uniretop 24499	. . 3 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
7		eqid 2732	. . 3 ⊢ ∪ (TopOpen‘𝑅) = ∪ (TopOpen‘𝑅)
8		retop 24498	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝExt ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
10	2	rrexthaus 33273	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → (TopOpen‘𝑅) ∈ Haus)
11	10	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝExt ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (TopOpen‘𝑅) ∈ Haus)
12		qssre 12947	. . . 4 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝExt ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ℚ ⊆ ℝ)
14		rrextnrg 33267	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → 𝑅 ∈ NrmRing)
15		rrextdrg 33268	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → 𝑅 ∈ DivRing)
16	14, 15	elind 4194	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → 𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing))
17		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (ℤMod‘𝑅) = (ℤMod‘𝑅)
18	17	rrextnlm 33269	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → (ℤMod‘𝑅) ∈ NrmMod)
19		rrextchr 33270	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → (chr‘𝑅) = 0)
20		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ↾s ℚ) = (ℂfld ↾s ℚ)
21		qqtopn 33277	. . . . . . 7 ⊢ ((TopOpen‘ℝfld) ↾t ℚ) = (TopOpen‘(ℂfld ↾s ℚ))
22	20, 21, 17, 2	qqhcn 33257	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ (ℤMod‘𝑅) ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅) ∈ (((TopOpen‘ℝfld) ↾t ℚ) Cn (TopOpen‘𝑅)))
23	16, 18, 19, 22	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → (ℚHom‘𝑅) ∈ (((TopOpen‘ℝfld) ↾t ℚ) Cn (TopOpen‘𝑅)))
24		retopn 25120	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (TopOpen‘ℝfld)
25	24	eqcomi 2741	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℝfld) = (topGen‘ran (,))
26	25	oveq1i 7421	. . . . . 6 ⊢ ((TopOpen‘ℝfld) ↾t ℚ) = ((topGen‘ran (,)) ↾t ℚ)
27	26	oveq1i 7421	. . . . 5 ⊢ (((TopOpen‘ℝfld) ↾t ℚ) Cn (TopOpen‘𝑅)) = (((topGen‘ran (,)) ↾t ℚ) Cn (TopOpen‘𝑅))
28	23, 27	eleqtrdi 2843	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → (ℚHom‘𝑅) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ℚ) Cn (TopOpen‘𝑅)))
29	28	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝExt ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (ℚHom‘𝑅) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ℚ) Cn (TopOpen‘𝑅)))
30		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝExt ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → 𝑄 ∈ ℚ)
31	6, 7, 9, 11, 13, 29, 30	cnextfres 23793	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝExt ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ((((topGen‘ran (,))CnExt(TopOpen‘𝑅))‘(ℚHom‘𝑅))‘𝑄) = ((ℚHom‘𝑅)‘𝑄))
32	5, 31	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝExt ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ((ℝHom‘𝑅)‘𝑄) = ((ℚHom‘𝑅)‘𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948  ∪ cuni 4908  ran crn 5677  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  ℝcr 11111  0cc0 11112  ℚcq 12936  (,)cioo 13328   ↾_s cress 17177   ↾_t crest 17370  TopOpenctopn 17371  topGenctg 17387  DivRingcdr 20500  ℂ_fldccnfld 21144  ℤModczlm 21269  chrcchr 21270  ℝ_fldcrefld 21376  Topctop 22615   Cn ccn 22948  Hauscha 23032  CnExtccnext 23783  NrmRingcnrg 24308  NrmModcnlm 24309  ℚHomcqqh 33238  ℝHomcrrh 33259   ℝExt crrext 33260

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-numer 16675  df-denom 16676  df-gz 16867  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-plusf 18564  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-cntz 19222  df-od 19437  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-rhm 20363  df-nzr 20404  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-drng 20502  df-abv 20568  df-lmod 20616  df-scaf 20617  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-zring 21218  df-zrh 21272  df-zlm 21273  df-chr 21274  df-refld 21377  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-cnext 23784  df-tmd 23796  df-tgp 23797  df-trg 23884  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-nm 24311  df-ngp 24312  df-nrg 24314  df-nlm 24315  df-qqh 33239  df-rrh 33261  df-rrext 33265

This theorem is referenced by:  rrh0  33281