Theorem rrhqima 33977

Description: The ℝHom homomorphism leaves rational numbers unchanged. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
rrhqima	⊢ ((𝑅 ∈ ℝExt ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ((ℝHom‘𝑅)‘𝑄) = ((ℚHom‘𝑅)‘𝑄))

Proof of Theorem rrhqima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
2		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
3	1, 2	rrhval 33959	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → (ℝHom‘𝑅) = (((topGen‘ran (,))CnExt(TopOpen‘𝑅))‘(ℚHom‘𝑅)))
4	3	fveq1d 6842	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → ((ℝHom‘𝑅)‘𝑄) = ((((topGen‘ran (,))CnExt(TopOpen‘𝑅))‘(ℚHom‘𝑅))‘𝑄))
5	4	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝExt ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ((ℝHom‘𝑅)‘𝑄) = ((((topGen‘ran (,))CnExt(TopOpen‘𝑅))‘(ℚHom‘𝑅))‘𝑄))
6		uniretop 24626	. . 3 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
7		eqid 2729	. . 3 ⊢ ∪ (TopOpen‘𝑅) = ∪ (TopOpen‘𝑅)
8		retop 24625	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝExt ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
10	2	rrexthaus 33970	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → (TopOpen‘𝑅) ∈ Haus)
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝExt ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (TopOpen‘𝑅) ∈ Haus)
12		qssre 12894	. . . 4 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝExt ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ℚ ⊆ ℝ)
14		rrextnrg 33964	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → 𝑅 ∈ NrmRing)
15		rrextdrg 33965	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → 𝑅 ∈ DivRing)
16	14, 15	elind 4159	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → 𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing))
17		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (ℤMod‘𝑅) = (ℤMod‘𝑅)
18	17	rrextnlm 33966	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → (ℤMod‘𝑅) ∈ NrmMod)
19		rrextchr 33967	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → (chr‘𝑅) = 0)
20		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ↾s ℚ) = (ℂfld ↾s ℚ)
21		qqtopn 33974	. . . . . . 7 ⊢ ((TopOpen‘ℝfld) ↾t ℚ) = (TopOpen‘(ℂfld ↾s ℚ))
22	20, 21, 17, 2	qqhcn 33954	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ (ℤMod‘𝑅) ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅) ∈ (((TopOpen‘ℝfld) ↾t ℚ) Cn (TopOpen‘𝑅)))
23	16, 18, 19, 22	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → (ℚHom‘𝑅) ∈ (((TopOpen‘ℝfld) ↾t ℚ) Cn (TopOpen‘𝑅)))
24		retopn 25255	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (TopOpen‘ℝfld)
25	24	eqcomi 2738	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℝfld) = (topGen‘ran (,))
26	25	oveq1i 7379	. . . . . 6 ⊢ ((TopOpen‘ℝfld) ↾t ℚ) = ((topGen‘ran (,)) ↾t ℚ)
27	26	oveq1i 7379	. . . . 5 ⊢ (((TopOpen‘ℝfld) ↾t ℚ) Cn (TopOpen‘𝑅)) = (((topGen‘ran (,)) ↾t ℚ) Cn (TopOpen‘𝑅))
28	23, 27	eleqtrdi 2838	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → (ℚHom‘𝑅) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ℚ) Cn (TopOpen‘𝑅)))
29	28	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝExt ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (ℚHom‘𝑅) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ℚ) Cn (TopOpen‘𝑅)))
30		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝExt ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → 𝑄 ∈ ℚ)
31	6, 7, 9, 11, 13, 29, 30	cnextfres 23932	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝExt ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ((((topGen‘ran (,))CnExt(TopOpen‘𝑅))‘(ℚHom‘𝑅))‘𝑄) = ((ℚHom‘𝑅)‘𝑄))
32	5, 31	eqtrd 2764	1 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝExt ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ((ℝHom‘𝑅)‘𝑄) = ((ℚHom‘𝑅)‘𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911  ∪ cuni 4867  ran crn 5632  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  0cc0 11044  ℚcq 12883  (,)cioo 13282   ↾_s cress 17176   ↾_t crest 17359  TopOpenctopn 17360  topGenctg 17376  DivRingcdr 20614  ℂ_fldccnfld 21240  ℤModczlm 21386  chrcchr 21387  ℝ_fldcrefld 21489  Topctop 22756   Cn ccn 23087  Hauscha 23171  CnExtccnext 23922  NrmRingcnrg 24443  NrmModcnlm 24444  ℚHomcqqh 33933  ℝHomcrrh 33956   ℝExt crrext 33957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-addf 11123  ax-mulf 11124

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-ioo 13286  df-ico 13288  df-icc 13289  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-mod 13808  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-dvds 16199  df-gcd 16441  df-numer 16681  df-denom 16682  df-gz 16877  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17361  df-topn 17362  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-topgen 17382  df-pt 17383  df-prds 17386  df-xrs 17441  df-qtop 17446  df-imas 17447  df-xps 17449  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-plusf 18542  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-mhm 18686  df-submnd 18687  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-mulg 18976  df-subg 19031  df-ghm 19121  df-cntz 19225  df-od 19434  df-cmn 19688  df-abl 19689  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-cring 20121  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-invr 20273  df-dvr 20286  df-rhm 20357  df-nzr 20398  df-subrng 20431  df-subrg 20455  df-drng 20616  df-abv 20694  df-lmod 20744  df-scaf 20745  df-sra 21056  df-rgmod 21057  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-zring 21333  df-zrh 21389  df-zlm 21390  df-chr 21391  df-refld 21490  df-top 22757  df-topon 22774  df-topsp 22796  df-bases 22809  df-cld 22882  df-ntr 22883  df-cls 22884  df-nei 22961  df-cn 23090  df-cnp 23091  df-haus 23178  df-tx 23425  df-hmeo 23618  df-fil 23709  df-fm 23801  df-flim 23802  df-flf 23803  df-cnext 23923  df-tmd 23935  df-tgp 23936  df-trg 24023  df-xms 24184  df-ms 24185  df-tms 24186  df-nm 24446  df-ngp 24447  df-nrg 24449  df-nlm 24450  df-qqh 33934  df-rrh 33958  df-rrext 33962

This theorem is referenced by:  rrh0  33978