Theorem rrhqima 34646

Description: The ℝHom homomorphism leaves rational numbers unchanged. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
rrhqima	⊢ ((𝑅 ∈ ℝExt ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ((ℝHom‘𝑅)‘𝑄) = ((ℚHom‘𝑅)‘𝑄))

Proof of Theorem rrhqima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
2		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
3	1, 2	rrhval 34628	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → (ℝHom‘𝑅) = (((topGen‘ran (,))CnExt(TopOpen‘𝑅))‘(ℚHom‘𝑅)))
4	3	fveq1d 6887	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → ((ℝHom‘𝑅)‘𝑄) = ((((topGen‘ran (,))CnExt(TopOpen‘𝑅))‘(ℚHom‘𝑅))‘𝑄))
5	4	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝExt ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ((ℝHom‘𝑅)‘𝑄) = ((((topGen‘ran (,))CnExt(TopOpen‘𝑅))‘(ℚHom‘𝑅))‘𝑄))
6		uniretop 25081	. . 3 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
7		eqid 2761	. . 3 ⊢ ∪ (TopOpen‘𝑅) = ∪ (TopOpen‘𝑅)
8		retop 25080	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝExt ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
10	2	rrexthaus 34639	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → (TopOpen‘𝑅) ∈ Haus)
11	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝExt ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (TopOpen‘𝑅) ∈ Haus)
12		qssre 13086	. . . 4 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝExt ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ℚ ⊆ ℝ)
14		rrextnrg 34633	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → 𝑅 ∈ NrmRing)
15		rrextdrg 34634	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → 𝑅 ∈ DivRing)
16	14, 15	elind 4146	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → 𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing))
17		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (ℤMod‘𝑅) = (ℤMod‘𝑅)
18	17	rrextnlm 34635	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → (ℤMod‘𝑅) ∈ NrmMod)
19		rrextchr 34636	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → (chr‘𝑅) = 0)
20		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ↾s ℚ) = (ℂfld ↾s ℚ)
21		qqtopn 34643	. . . . . . 7 ⊢ ((TopOpen‘ℝfld) ↾t ℚ) = (TopOpen‘(ℂfld ↾s ℚ))
22	20, 21, 17, 2	qqhcn 34623	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ (ℤMod‘𝑅) ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅) ∈ (((TopOpen‘ℝfld) ↾t ℚ) Cn (TopOpen‘𝑅)))
23	16, 18, 19, 22	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → (ℚHom‘𝑅) ∈ (((TopOpen‘ℝfld) ↾t ℚ) Cn (TopOpen‘𝑅)))
24		retopn 25700	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (TopOpen‘ℝfld)
25	24	eqcomi 2770	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℝfld) = (topGen‘ran (,))
26	25	oveq1i 7430	. . . . . 6 ⊢ ((TopOpen‘ℝfld) ↾t ℚ) = ((topGen‘ran (,)) ↾t ℚ)
27	26	oveq1i 7430	. . . . 5 ⊢ (((TopOpen‘ℝfld) ↾t ℚ) Cn (TopOpen‘𝑅)) = (((topGen‘ran (,)) ↾t ℚ) Cn (TopOpen‘𝑅))
28	23, 27	eleqtrdi 2871	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → (ℚHom‘𝑅) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ℚ) Cn (TopOpen‘𝑅)))
29	28	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝExt ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (ℚHom‘𝑅) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ℚ) Cn (TopOpen‘𝑅)))
30		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝExt ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → 𝑄 ∈ ℚ)
31	6, 7, 9, 11, 13, 29, 30	cnextfres 24388	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝExt ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ((((topGen‘ran (,))CnExt(TopOpen‘𝑅))‘(ℚHom‘𝑅))‘𝑄) = ((ℚHom‘𝑅)‘𝑄))
32	5, 31	eqtrd 2796	1 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝExt ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → ((ℝHom‘𝑅)‘𝑄) = ((ℚHom‘𝑅)‘𝑄))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∪ cuni 4867  ran crn 5652  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  0cc0 11200  ℚcq 13075  (,)cioo 13476   ↾_s cress 17408   ↾_t crest 17591  TopOpenctopn 17592  topGenctg 17608  DivRingcdr 20980  ℂ_fldccnfld 21678  ℤModczlm 21806  chrcchr 21807  ℝ_fldcrefld 21910  Topctop 23211   Cn ccn 23542  Hauscha 23626  CnExtccnext 24378  NrmRingcnrg 24898  NrmModcnlm 24899  ℚHomcqqh 34602  ℝHomcrrh 34625   ℝExt crrext 34626

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279  ax-mulf 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-dvds 16423  df-gcd 16665  df-numer 16911  df-denom 16912  df-gz 17108  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-plusf 18815  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-ghm 19428  df-cntz 19531  df-od 19742  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-cring 20462  df-oppr 20567  df-dvdsr 20587  df-unit 20588  df-invr 20618  df-dvr 20631  df-rhm 20702  df-nzr 20763  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-drng 20982  df-abv 21066  df-lmod 21137  df-scaf 21138  df-sra 21448  df-rgmod 21449  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-fbas 21675  df-fg 21676  df-cnfld 21679  df-zring 21753  df-zrh 21809  df-zlm 21810  df-chr 21811  df-refld 21911  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cld 23337  df-ntr 23338  df-cls 23339  df-nei 23416  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-haus 23633  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-fil 24165  df-fm 24257  df-flim 24258  df-flf 24259  df-cnext 24379  df-tmd 24391  df-tgp 24392  df-trg 24479  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-nm 24901  df-ngp 24902  df-nrg 24904  df-nlm 24905  df-qqh 34603  df-rrh 34627  df-rrext 34631

This theorem is used by:  rrh0  34647