Theorem sonr 5563

Description: A strict order relation is irreflexive. (Contributed by NM, 24-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
sonr	⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵𝑅𝐵)

Proof of Theorem sonr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sopo 5558	. 2 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 → 𝑅 Po 𝐴)
2		poirr 5551	. 2 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵𝑅𝐵)
3	1, 2	sylan 581	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵𝑅𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085   Po wpo 5537   Or wor 5538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-br 5086  df-po 5539  df-so 5540

This theorem is referenced by:  sotric  5569  sotrieq  5570  soirri  6089  suppr  9385  infpr  9418  hartogslem1  9457  canth4  10570  canthwelem  10573  pwfseqlem4  10585  1ne0sr  11019  ltnr  11241  opsrtoslem2  22034  nodenselem4  27651  nodenselem5  27652  nodenselem7  27654  nolt02o  27659  nogt01o  27660  noresle  27661  nosupbnd1lem1  27672  nosupbnd2lem1  27679  noinfbnd1lem1  27687  noinfbnd2lem1  27694  ltsirr  27710  weiunpo  36647  fin2solem  37927  fin2so  37928