Theorem sonr 5588

Description: A strict order relation is irreflexive. (Contributed by NM, 24-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
sonr	⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵𝑅𝐵)

Proof of Theorem sonr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sopo 5583	. 2 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 → 𝑅 Po 𝐴)
2		poirr 5576	. 2 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵𝑅𝐵)
3	1, 2	sylan 592	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵𝑅𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106   Po wpo 5562   Or wor 5563

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ral 3081  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-br 5107  df-po 5564  df-so 5565

This theorem is used by:  sotric  5594  sotrieq  5595  soirri  6133  suppr  9494  infpr  9527  hartogslem1  9566  canth4  10762  canthwelem  10765  pwfseqlem4  10777  1ne0sr  11211  ltnr  11435  opsrtoslem2  22398  nodenselem4  28077  nodenselem5  28078  nodenselem7  28080  nolt02o  28085  nogt01o  28086  noresle  28087  nosupbnd1lem1  28098  nosupbnd2lem1  28105  noinfbnd1lem1  28113  noinfbnd2lem1  28120  ltsirr  28136  weiunpo  37444  fin2solem  38734  fin2so  38735