Theorem sonr 5556

Description: A strict order relation is irreflexive. (Contributed by NM, 24-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
sonr	⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵𝑅𝐵)

Proof of Theorem sonr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sopo 5551	. 2 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 → 𝑅 Po 𝐴)
2		poirr 5544	. 2 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵𝑅𝐵)
3	1, 2	sylan 580	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵𝑅𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098   Po wpo 5530   Or wor 5531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-br 5099  df-po 5532  df-so 5533

This theorem is referenced by:  sotric  5562  sotrieq  5563  soirri  6083  suppr  9375  infpr  9408  hartogslem1  9447  canth4  10558  canthwelem  10561  pwfseqlem4  10573  1ne0sr  11007  ltnr  11228  opsrtoslem2  22011  nodenselem4  27655  nodenselem5  27656  nodenselem7  27658  nolt02o  27663  nogt01o  27664  noresle  27665  nosupbnd1lem1  27676  nosupbnd2lem1  27683  noinfbnd1lem1  27691  noinfbnd2lem1  27698  ltsirr  27714  weiunpo  36659  fin2solem  37803  fin2so  37804