Theorem sonr 5584

Description: A strict order relation is irreflexive. (Contributed by NM, 24-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
sonr	⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵𝑅𝐵)

Proof of Theorem sonr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sopo 5579	. 2 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 → 𝑅 Po 𝐴)
2		poirr 5572	. 2 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵𝑅𝐵)
3	1, 2	sylan 591	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵𝑅𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5105   Po wpo 5558   Or wor 5559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2737

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-sb 2094  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ral 3080  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-br 5106  df-po 5560  df-so 5561

This theorem is referenced by:  sotric  5590  sotrieq  5591  soirri  6117  suppr  9420  infpr  9453  hartogslem1  9492  canth4  10620  canthwelem  10623  pwfseqlem4  10635  1ne0sr  11069  ltnr  11293  opsrtoslem2  22167  nodenselem4  27809  nodenselem5  27810  nodenselem7  27812  nolt02o  27817  nogt01o  27818  noresle  27819  nosupbnd1lem1  27830  nosupbnd2lem1  27837  noinfbnd1lem1  27845  noinfbnd2lem1  27852  ltsirr  27868  weiunpo  36838  fin2solem  38117  fin2so  38118