Theorem sonr 5495

Description: A strict order relation is irreflexive. (Contributed by NM, 24-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
sonr	⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵𝑅𝐵)

Proof of Theorem sonr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sopo 5491	. 2 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 → 𝑅 Po 𝐴)
2		poirr 5484	. 2 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵𝑅𝐵)
3	1, 2	sylan 582	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵𝑅𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5065   Po wpo 5471   Or wor 5472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rab 3147  df-v 3496  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-br 5066  df-po 5473  df-so 5474

This theorem is referenced by:  sotric  5500  sotrieq  5501  soirri  5985  suppr  8934  infpr  8966  hartogslem1  9005  canth4  10068  canthwelem  10071  pwfseqlem4  10083  1ne0sr  10517  ltnr  10734  opsrtoslem2  20264  nodenselem4  33191  nodenselem5  33192  nodenselem7  33194  nolt02o  33199  noresle  33200  noprefixmo  33202  nosupbnd1lem1  33208  nosupbnd2lem1  33215  sltirr  33225  fin2solem  34877  fin2so  34878