Theorem sonr 5556

Description: A strict order relation is irreflexive. (Contributed by NM, 24-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
sonr	⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵𝑅𝐵)

Proof of Theorem sonr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sopo 5551	. 2 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 → 𝑅 Po 𝐴)
2		poirr 5544	. 2 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵𝑅𝐵)
3	1, 2	sylan 581	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵𝑅𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086   Po wpo 5530   Or wor 5531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-br 5087  df-po 5532  df-so 5533

This theorem is referenced by:  sotric  5562  sotrieq  5563  soirri  6083  suppr  9378  infpr  9411  hartogslem1  9450  canth4  10561  canthwelem  10564  pwfseqlem4  10576  1ne0sr  11010  ltnr  11232  opsrtoslem2  22044  nodenselem4  27665  nodenselem5  27666  nodenselem7  27668  nolt02o  27673  nogt01o  27674  noresle  27675  nosupbnd1lem1  27686  nosupbnd2lem1  27693  noinfbnd1lem1  27701  noinfbnd2lem1  27708  ltsirr  27724  weiunpo  36663  fin2solem  37941  fin2so  37942