Theorem sonr 5564

Description: A strict order relation is irreflexive. (Contributed by NM, 24-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
sonr	⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵𝑅𝐵)

Proof of Theorem sonr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sopo 5559	. 2 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 → 𝑅 Po 𝐴)
2		poirr 5552	. 2 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵𝑅𝐵)
3	1, 2	sylan 581	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵𝑅𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100   Po wpo 5538   Or wor 5539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-po 5540  df-so 5541

This theorem is referenced by:  sotric  5570  sotrieq  5571  soirri  6091  suppr  9387  infpr  9420  hartogslem1  9459  canth4  10570  canthwelem  10573  pwfseqlem4  10585  1ne0sr  11019  ltnr  11240  opsrtoslem2  22023  nodenselem4  27667  nodenselem5  27668  nodenselem7  27670  nolt02o  27675  nogt01o  27676  noresle  27677  nosupbnd1lem1  27688  nosupbnd2lem1  27695  noinfbnd1lem1  27703  noinfbnd2lem1  27710  ltsirr  27726  weiunpo  36678  fin2solem  37851  fin2so  37852