Theorem slttr 27177

Description: Surreal less-than is transitive. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
slttr	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐴 <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝐶) → 𝐴 <s 𝐶))

Proof of Theorem slttr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltso 27106	. 2 ⊢ <s Or No
2		sotr 5605	. 2 ⊢ (( <s Or No ∧ (𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No )) → ((𝐴 <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝐶) → 𝐴 <s 𝐶))
3	1, 2	mpan 688	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐴 <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝐶) → 𝐴 <s 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5141   Or wor 5580   No csur 27070   <s cslt 27071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6356  df-on 6357  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-fv 6540  df-1o 8448  df-2o 8449  df-no 27073  df-slt 27074

This theorem is referenced by:  slttrd  27189