MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  slttr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem slttr 27620
Description: Surreal less-than is transitive. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
slttr ((𝐴 No 𝐵 No 𝐶 No ) → ((𝐴 <s 𝐵𝐵 <s 𝐶) → 𝐴 <s 𝐶))

Proof of Theorem slttr
StepHypRef Expression
1 sltso 27549 . 2 <s Or No
2 sotr 5603 . 2 (( <s Or No ∧ (𝐴 No 𝐵 No 𝐶 No )) → ((𝐴 <s 𝐵𝐵 <s 𝐶) → 𝐴 <s 𝐶))
31, 2mpan 687 1 ((𝐴 No 𝐵 No 𝐶 No ) → ((𝐴 <s 𝐵𝐵 <s 𝐶) → 𝐴 <s 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1084  wcel 2098   class class class wbr 5139   Or wor 5578   No csur 27513   <s cslt 27514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-ord 6358  df-on 6359  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-fv 6542  df-1o 8462  df-2o 8463  df-no 27516  df-slt 27517
This theorem is referenced by:  slttrd  27632  precsexlem10  28054
  Copyright terms: Public domain W3C validator