Theorem fin2solem 37613

Description: Lemma for fin2so 37614. (Contributed by Brendan Leahy, 29-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fin2solem	⊢ ((𝑅 Or 𝑥 ∧ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) → (𝑦𝑅𝑧 → {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} [⊊] {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧}))

Distinct variable group:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝑅

Proof of Theorem fin2solem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ancom 460	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) ↔ (𝑤 ∈ 𝑥 ∧ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)))
2		3anass 1095	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ (𝑤 ∈ 𝑥 ∧ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)))
3	1, 2	bitr4i 278	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) ↔ (𝑤 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥))
4		sotr 5617	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 Or 𝑥 ∧ (𝑤 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) → ((𝑤𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑤𝑅𝑧))
5	3, 4	sylan2b 594	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 Or 𝑥 ∧ ((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) → ((𝑤𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑤𝑅𝑧))
6	5	anassrs 467	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 Or 𝑥 ∧ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) → ((𝑤𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑤𝑅𝑧))
7	6	ancomsd 465	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 Or 𝑥 ∧ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) → ((𝑦𝑅𝑧 ∧ 𝑤𝑅𝑦) → 𝑤𝑅𝑧))
8	7	expdimp 452	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 Or 𝑥 ∧ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) ∧ 𝑦𝑅𝑧) → (𝑤𝑅𝑦 → 𝑤𝑅𝑧))
9	8	an32s 652	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 Or 𝑥 ∧ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ 𝑦𝑅𝑧) ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) → (𝑤𝑅𝑦 → 𝑤𝑅𝑧))
10	9	ss2rabdv 4076	. . 3 ⊢ (((𝑅 Or 𝑥 ∧ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ 𝑦𝑅𝑧) → {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} ⊆ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧})
11		breq1 5146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤𝑅𝑧 ↔ 𝑦𝑅𝑧))
12	11	elrab 3692	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ↔ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦𝑅𝑧))
13	12	biimpri 228	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧})
14	13	adantll 714	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 Or 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧})
15		sonr 5616	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 Or 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ¬ 𝑦𝑅𝑦)
16		breq1 5146	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤𝑅𝑦 ↔ 𝑦𝑅𝑦))
17	16	elrab 3692	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} ↔ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦𝑅𝑦))
18	17	simprbi 496	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} → 𝑦𝑅𝑦)
19	15, 18	nsyl 140	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 Or 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ¬ 𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦})
20	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 Or 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑦𝑅𝑧) → ¬ 𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦})
21		nelne1 3039	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ∧ ¬ 𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦}) → {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ≠ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦})
22	21	necomd 2996	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ∧ ¬ 𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦}) → {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} ≠ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧})
23	14, 20, 22	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝑅 Or 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑦𝑅𝑧) → {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} ≠ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧})
24	23	adantlrr 721	. . 3 ⊢ (((𝑅 Or 𝑥 ∧ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ 𝑦𝑅𝑧) → {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} ≠ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧})
25		vex 3484	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
26	25	rabex 5339	. . . . 5 ⊢ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ∈ V
27	26	brrpss 7746	. . . 4 ⊢ ({𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} [⊊] {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ↔ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} ⊊ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧})
28		df-pss 3971	. . . 4 ⊢ ({𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} ⊊ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ↔ ({𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} ⊆ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ∧ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} ≠ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧}))
29	27, 28	bitri 275	. . 3 ⊢ ({𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} [⊊] {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ↔ ({𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} ⊆ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ∧ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} ≠ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧}))
30	10, 24, 29	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (((𝑅 Or 𝑥 ∧ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ 𝑦𝑅𝑧) → {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} [⊊] {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧})
31	30	ex 412	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝑥 ∧ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) → (𝑦𝑅𝑧 → {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} [⊊] {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  {crab 3436   ⊆ wss 3951   ⊊ wpss 3952   class class class wbr 5143   Or wor 5591   [⊊] crpss 7742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-br 5144  df-opab 5206  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-rpss 7743

This theorem is referenced by:  fin2so  37614