Theorem fin2solem 35690

Description: Lemma for fin2so 35691. (Contributed by Brendan Leahy, 29-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fin2solem	⊢ ((𝑅 Or 𝑥 ∧ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) → (𝑦𝑅𝑧 → {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} [⊊] {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧}))

Distinct variable group:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝑅

Proof of Theorem fin2solem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ancom 460	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) ↔ (𝑤 ∈ 𝑥 ∧ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)))
2		3anass 1093	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ (𝑤 ∈ 𝑥 ∧ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)))
3	1, 2	bitr4i 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) ↔ (𝑤 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥))
4		sotr 5518	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 Or 𝑥 ∧ (𝑤 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) → ((𝑤𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑤𝑅𝑧))
5	3, 4	sylan2b 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 Or 𝑥 ∧ ((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) → ((𝑤𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑤𝑅𝑧))
6	5	anassrs 467	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 Or 𝑥 ∧ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) → ((𝑤𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑤𝑅𝑧))
7	6	ancomsd 465	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 Or 𝑥 ∧ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) → ((𝑦𝑅𝑧 ∧ 𝑤𝑅𝑦) → 𝑤𝑅𝑧))
8	7	expdimp 452	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 Or 𝑥 ∧ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) ∧ 𝑦𝑅𝑧) → (𝑤𝑅𝑦 → 𝑤𝑅𝑧))
9	8	an32s 648	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 Or 𝑥 ∧ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ 𝑦𝑅𝑧) ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) → (𝑤𝑅𝑦 → 𝑤𝑅𝑧))
10	9	ss2rabdv 4005	. . 3 ⊢ (((𝑅 Or 𝑥 ∧ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ 𝑦𝑅𝑧) → {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} ⊆ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧})
11		breq1 5073	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤𝑅𝑧 ↔ 𝑦𝑅𝑧))
12	11	elrab 3617	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ↔ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦𝑅𝑧))
13	12	biimpri 227	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧})
14	13	adantll 710	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 Or 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧})
15		sonr 5517	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 Or 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ¬ 𝑦𝑅𝑦)
16		breq1 5073	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤𝑅𝑦 ↔ 𝑦𝑅𝑦))
17	16	elrab 3617	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} ↔ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦𝑅𝑦))
18	17	simprbi 496	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} → 𝑦𝑅𝑦)
19	15, 18	nsyl 140	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 Or 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ¬ 𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦})
20	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 Or 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑦𝑅𝑧) → ¬ 𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦})
21		nelne1 3040	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ∧ ¬ 𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦}) → {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ≠ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦})
22	21	necomd 2998	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ∧ ¬ 𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦}) → {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} ≠ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧})
23	14, 20, 22	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (((𝑅 Or 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑦𝑅𝑧) → {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} ≠ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧})
24	23	adantlrr 717	. . 3 ⊢ (((𝑅 Or 𝑥 ∧ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ 𝑦𝑅𝑧) → {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} ≠ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧})
25		vex 3426	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
26	25	rabex 5251	. . . . 5 ⊢ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ∈ V
27	26	brrpss 7557	. . . 4 ⊢ ({𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} [⊊] {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ↔ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} ⊊ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧})
28		df-pss 3902	. . . 4 ⊢ ({𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} ⊊ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ↔ ({𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} ⊆ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ∧ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} ≠ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧}))
29	27, 28	bitri 274	. . 3 ⊢ ({𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} [⊊] {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ↔ ({𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} ⊆ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ∧ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} ≠ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧}))
30	10, 24, 29	sylanbrc 582	. 2 ⊢ (((𝑅 Or 𝑥 ∧ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ 𝑦𝑅𝑧) → {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} [⊊] {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧})
31	30	ex 412	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝑥 ∧ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) → (𝑦𝑅𝑧 → {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} [⊊] {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  {crab 3067   ⊆ wss 3883   ⊊ wpss 3884   class class class wbr 5070   Or wor 5493   [⊊] crpss 7553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-br 5071  df-opab 5133  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-rpss 7554

This theorem is referenced by:  fin2so  35691