Theorem fin2solem 37630

Description: Lemma for fin2so 37631. (Contributed by Brendan Leahy, 29-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fin2solem	⊢ ((𝑅 Or 𝑥 ∧ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) → (𝑦𝑅𝑧 → {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} [⊊] {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧}))

Distinct variable group:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝑅

Proof of Theorem fin2solem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ancom 460	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) ↔ (𝑤 ∈ 𝑥 ∧ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)))
2		3anass 1094	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ (𝑤 ∈ 𝑥 ∧ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)))
3	1, 2	bitr4i 278	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) ↔ (𝑤 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥))
4		sotr 5586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 Or 𝑥 ∧ (𝑤 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) → ((𝑤𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑤𝑅𝑧))
5	3, 4	sylan2b 594	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 Or 𝑥 ∧ ((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) → ((𝑤𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑤𝑅𝑧))
6	5	anassrs 467	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 Or 𝑥 ∧ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) → ((𝑤𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑤𝑅𝑧))
7	6	ancomsd 465	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 Or 𝑥 ∧ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) → ((𝑦𝑅𝑧 ∧ 𝑤𝑅𝑦) → 𝑤𝑅𝑧))
8	7	expdimp 452	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 Or 𝑥 ∧ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) ∧ 𝑦𝑅𝑧) → (𝑤𝑅𝑦 → 𝑤𝑅𝑧))
9	8	an32s 652	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 Or 𝑥 ∧ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ 𝑦𝑅𝑧) ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) → (𝑤𝑅𝑦 → 𝑤𝑅𝑧))
10	9	ss2rabdv 4051	. . 3 ⊢ (((𝑅 Or 𝑥 ∧ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ 𝑦𝑅𝑧) → {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} ⊆ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧})
11		breq1 5122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤𝑅𝑧 ↔ 𝑦𝑅𝑧))
12	11	elrab 3671	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ↔ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦𝑅𝑧))
13	12	biimpri 228	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧})
14	13	adantll 714	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 Or 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧})
15		sonr 5585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 Or 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ¬ 𝑦𝑅𝑦)
16		breq1 5122	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤𝑅𝑦 ↔ 𝑦𝑅𝑦))
17	16	elrab 3671	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} ↔ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦𝑅𝑦))
18	17	simprbi 496	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} → 𝑦𝑅𝑦)
19	15, 18	nsyl 140	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 Or 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ¬ 𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦})
20	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 Or 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑦𝑅𝑧) → ¬ 𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦})
21		nelne1 3029	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ∧ ¬ 𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦}) → {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ≠ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦})
22	21	necomd 2987	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ∧ ¬ 𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦}) → {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} ≠ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧})
23	14, 20, 22	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝑅 Or 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑦𝑅𝑧) → {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} ≠ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧})
24	23	adantlrr 721	. . 3 ⊢ (((𝑅 Or 𝑥 ∧ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ 𝑦𝑅𝑧) → {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} ≠ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧})
25		vex 3463	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
26	25	rabex 5309	. . . . 5 ⊢ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ∈ V
27	26	brrpss 7720	. . . 4 ⊢ ({𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} [⊊] {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ↔ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} ⊊ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧})
28		df-pss 3946	. . . 4 ⊢ ({𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} ⊊ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ↔ ({𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} ⊆ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ∧ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} ≠ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧}))
29	27, 28	bitri 275	. . 3 ⊢ ({𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} [⊊] {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ↔ ({𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} ⊆ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ∧ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} ≠ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧}))
30	10, 24, 29	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (((𝑅 Or 𝑥 ∧ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ 𝑦𝑅𝑧) → {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} [⊊] {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧})
31	30	ex 412	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝑥 ∧ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) → (𝑦𝑅𝑧 → {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} [⊊] {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  {crab 3415   ⊆ wss 3926   ⊊ wpss 3927   class class class wbr 5119   Or wor 5560   [⊊] crpss 7716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-br 5120  df-opab 5182  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-rpss 7717

This theorem is referenced by:  fin2so  37631