Theorem fin2solem 38285

Description: Lemma for fin2so 38286. (Contributed by Brendan Leahy, 29-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fin2solem	⊢ ((𝑅 Or 𝑥 ∧ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) → (𝑦𝑅𝑧 → {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} [⊊] {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧}))

Distinct variable group:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝑅

Proof of Theorem fin2solem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ancom 465	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) ↔ (𝑤 ∈ 𝑥 ∧ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)))
2		3anass 1110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ (𝑤 ∈ 𝑥 ∧ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)))
3	1, 2	bitr4i 281	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) ↔ (𝑤 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥))
4		sotr 5593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 Or 𝑥 ∧ (𝑤 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) → ((𝑤𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑤𝑅𝑧))
5	3, 4	sylan2b 605	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 Or 𝑥 ∧ ((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) → ((𝑤𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑤𝑅𝑧))
6	5	anassrs 472	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 Or 𝑥 ∧ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) → ((𝑤𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑤𝑅𝑧))
7	6	ancomsd 470	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 Or 𝑥 ∧ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) → ((𝑦𝑅𝑧 ∧ 𝑤𝑅𝑦) → 𝑤𝑅𝑧))
8	7	expdimp 457	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 Or 𝑥 ∧ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) ∧ 𝑦𝑅𝑧) → (𝑤𝑅𝑦 → 𝑤𝑅𝑧))
9	8	an32s 664	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 Or 𝑥 ∧ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ 𝑦𝑅𝑧) ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) → (𝑤𝑅𝑦 → 𝑤𝑅𝑧))
10	9	ss2rabdv 4028	. . 3 ⊢ (((𝑅 Or 𝑥 ∧ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ 𝑦𝑅𝑧) → {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} ⊆ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧})
11		breq1 5111	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤𝑅𝑧 ↔ 𝑦𝑅𝑧))
12	11	elrab 3649	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ↔ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦𝑅𝑧))
13	12	biimpri 231	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧})
14	13	adantll 726	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 Or 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧})
15		sonr 5592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 Or 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ¬ 𝑦𝑅𝑦)
16		breq1 5111	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤𝑅𝑦 ↔ 𝑦𝑅𝑦))
17	16	elrab 3649	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} ↔ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦𝑅𝑦))
18	17	simprbi 502	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} → 𝑦𝑅𝑦)
19	15, 18	nsyl 141	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 Or 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ¬ 𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦})
20	19	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 Or 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑦𝑅𝑧) → ¬ 𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦})
21		nelne1 3054	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ∧ ¬ 𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦}) → {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ≠ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦})
22	21	necomd 3012	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ∧ ¬ 𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦}) → {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} ≠ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧})
23	14, 20, 22	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (((𝑅 Or 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑦𝑅𝑧) → {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} ≠ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧})
24	23	adantlrr 733	. . 3 ⊢ (((𝑅 Or 𝑥 ∧ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ 𝑦𝑅𝑧) → {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} ≠ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧})
25		vex 3458	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
26	25	rabex 5308	. . . . 5 ⊢ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ∈ V
27	26	brrpss 7725	. . . 4 ⊢ ({𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} [⊊] {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ↔ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} ⊊ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧})
28		df-pss 3924	. . . 4 ⊢ ({𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} ⊊ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ↔ ({𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} ⊆ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ∧ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} ≠ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧}))
29	27, 28	bitri 278	. . 3 ⊢ ({𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} [⊊] {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ↔ ({𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} ⊆ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ∧ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} ≠ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧}))
30	10, 24, 29	sylanbrc 594	. 2 ⊢ (((𝑅 Or 𝑥 ∧ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ 𝑦𝑅𝑧) → {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} [⊊] {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧})
31	30	ex 417	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝑥 ∧ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) → (𝑦𝑅𝑧 → {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑦} [⊊] {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ 𝑤𝑅𝑧}))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  {crab 3415   ⊆ wss 3904   ⊊ wpss 3905   class class class wbr 5108   Or wor 5567   [⊊] crpss 7721

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-pr 5403

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-sb 2096  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-br 5109  df-opab 5173  df-po 5568  df-so 5569  df-xp 5666  df-rel 5667  df-rpss 7722

This theorem is used by:  fin2so  38286