Theorem wereu2 5682

Description: A nonempty subclass of an 𝑅-well-ordered and 𝑅-setlike class has a unique 𝑅-minimal element. Proposition 6.26 of [TakeutiZaring] p. 31. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jan-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wereu2	⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃!𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Proof of Theorem wereu2

Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4353	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐵)
2		rabeq0 4388	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑧)
3		breq1 5146	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑦𝑅𝑥 ↔ 𝑤𝑅𝑥))
4	3	notbid 318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ¬ 𝑤𝑅𝑥))
5	4	cbvralvw 3237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑥)
6		breq2 5147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑤𝑅𝑥 ↔ 𝑤𝑅𝑧))
7	6	notbid 318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (¬ 𝑤𝑅𝑥 ↔ ¬ 𝑤𝑅𝑧))
8	7	ralbidv 3178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑥 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑧))
9	5, 8	bitrid 283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑧))
10	9	rspcev 3622	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑧) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
11	10	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → (∀𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑧 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
12	11	ad2antll 729	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (∀𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑧 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
13	2, 12	biimtrid 242	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} = ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
14		simprl 771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
15		simplr 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑅 Se 𝐴)
16		sess2 5651	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝑅 Se 𝐴 → 𝑅 Se 𝐵))
17	14, 15, 16	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑅 Se 𝐵)
18		simprr 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
19		seex 5644	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 Se 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ∈ V)
20	17, 18, 19	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ∈ V)
21		wefr 5675	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Fr 𝐴)
22	21	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑅 Fr 𝐴)
23		ssrab2 4080	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ⊆ 𝐵
24	23, 14	sstrid 3995	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ⊆ 𝐴)
25		fri 5642	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ∈ V ∧ 𝑅 Fr 𝐴) ∧ ({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ⊆ 𝐴 ∧ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥)
26	25	expr 456	. . . . . . . . 9 ⊢ ((({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ∈ V ∧ 𝑅 Fr 𝐴) ∧ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ⊆ 𝐴) → ({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥))
27	20, 22, 24, 26	syl21anc 838	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥))
28		breq1 5146	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤𝑅𝑧 ↔ 𝑥𝑅𝑧))
29	28	rexrab 3702	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥𝑅𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥))
30		breq1 5146	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤𝑅𝑧 ↔ 𝑦𝑅𝑧))
31	30	ralrab 3699	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦𝑅𝑧 → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
32		weso 5676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Or 𝐴)
33	32	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑅 Or 𝐴)
34		soss 5612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝑅 Or 𝐴 → 𝑅 Or 𝐵))
35	14, 33, 34	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑅 Or 𝐵)
36	35	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑅 Or 𝐵)
37		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
38		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
39	18	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐵)
40		sotr 5617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 Or 𝐵 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑦𝑅𝑥 ∧ 𝑥𝑅𝑧) → 𝑦𝑅𝑧))
41	36, 37, 38, 39, 40	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑦𝑅𝑥 ∧ 𝑥𝑅𝑧) → 𝑦𝑅𝑧))
42	41	ancomsd 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑦𝑅𝑧))
43	42	expdimp 452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) → (𝑦𝑅𝑥 → 𝑦𝑅𝑧))
44	43	an32s 652	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦𝑅𝑥 → 𝑦𝑅𝑧))
45	44	con3d 152	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑦𝑅𝑧 → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
46		idd 24	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑦𝑅𝑥 → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
47	45, 46	jad 187	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑦𝑅𝑧 → ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
48	47	ralimdva 3167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦𝑅𝑧 → ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
49	31, 48	biimtrid 242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) → (∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
50	49	expimpd 453	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥𝑅𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
51	50	reximdva 3168	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥𝑅𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
52	29, 51	biimtrid 242	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (∃𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
53	27, 52	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
54	13, 53	pm2.61dne 3028	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
55	54	expr 456	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑧 ∈ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
56	55	exlimdv 1933	. . . 4 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
57	1, 56	biimtrid 242	. . 3 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
58	57	impr 454	. 2 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
59		simprl 771	. . . 4 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
60	32	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → 𝑅 Or 𝐴)
61	59, 60, 34	sylc 65	. . 3 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → 𝑅 Or 𝐵)
62		somo 5631	. . 3 ⊢ (𝑅 Or 𝐵 → ∃*𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
63	61, 62	syl 17	. 2 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃*𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
64		reu5 3382	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∃*𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
65	58, 63, 64	sylanbrc 583	1 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃!𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  ∃!wreu 3378  ∃*wrmo 3379  {crab 3436  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333   class class class wbr 5143   Or wor 5591   Fr wfr 5634   Se wse 5635   We wwe 5636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-br 5144  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639

This theorem is referenced by:  tz6.26OLD  6369  weniso  7374  ordtypelem3  9560  dfac8clem  10072  weiunlem2  36464  weiunfrlem  36465