Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | n0 4261 |
. . . 4
⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔
∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐵) |
2 | | rabeq0 4299 |
. . . . . . . 8
⊢ ({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑧) |
3 | | breq1 5056 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑦𝑅𝑥 ↔ 𝑤𝑅𝑥)) |
4 | 3 | notbid 321 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑦 = 𝑤 → (¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ¬ 𝑤𝑅𝑥)) |
5 | 4 | cbvralvw 3358 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(∀𝑦 ∈
𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑥) |
6 | | breq2 5057 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑤𝑅𝑥 ↔ 𝑤𝑅𝑧)) |
7 | 6 | notbid 321 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 = 𝑧 → (¬ 𝑤𝑅𝑥 ↔ ¬ 𝑤𝑅𝑧)) |
8 | 7 | ralbidv 3118 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑥 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑧)) |
9 | 5, 8 | syl5bb 286 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑧)) |
10 | 9 | rspcev 3537 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑧) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥) |
11 | 10 | ex 416 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → (∀𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑧 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)) |
12 | 11 | ad2antll 729 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (∀𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑧 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)) |
13 | 2, 12 | syl5bi 245 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} = ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)) |
14 | | simprl 771 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ 𝐴) |
15 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑅 Se 𝐴) |
16 | | sess2 5520 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝑅 Se 𝐴 → 𝑅 Se 𝐵)) |
17 | 14, 15, 16 | sylc 65 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑅 Se 𝐵) |
18 | | simprr 773 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝐵) |
19 | | seex 5513 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑅 Se 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ∈ V) |
20 | 17, 18, 19 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ∈ V) |
21 | | wefr 5541 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Fr 𝐴) |
22 | 21 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑅 Fr 𝐴) |
23 | | ssrab2 3993 |
. . . . . . . . . 10
⊢ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ⊆ 𝐵 |
24 | 23, 14 | sstrid 3912 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ⊆ 𝐴) |
25 | | fri 5512 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ∈ V ∧ 𝑅 Fr 𝐴) ∧ ({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ⊆ 𝐴 ∧ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥) |
26 | 25 | expr 460 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ∈ V ∧ 𝑅 Fr 𝐴) ∧ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ⊆ 𝐴) → ({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥)) |
27 | 20, 22, 24, 26 | syl21anc 838 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥)) |
28 | | breq1 5056 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤𝑅𝑧 ↔ 𝑥𝑅𝑧)) |
29 | 28 | rexrab 3609 |
. . . . . . . . 9
⊢
(∃𝑥 ∈
{𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥𝑅𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥)) |
30 | | breq1 5056 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤𝑅𝑧 ↔ 𝑦𝑅𝑧)) |
31 | 30 | ralrab 3607 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(∀𝑦 ∈
{𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦𝑅𝑧 → ¬ 𝑦𝑅𝑥)) |
32 | | weso 5542 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Or 𝐴) |
33 | 32 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑅 Or 𝐴) |
34 | | soss 5488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝑅 Or 𝐴 → 𝑅 Or 𝐵)) |
35 | 14, 33, 34 | sylc 65 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑅 Or 𝐵) |
36 | 35 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑅 Or 𝐵) |
37 | | simpr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵) |
38 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵) |
39 | 18 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐵) |
40 | | sotr 5492 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑅 Or 𝐵 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑦𝑅𝑥 ∧ 𝑥𝑅𝑧) → 𝑦𝑅𝑧)) |
41 | 36, 37, 38, 39, 40 | syl13anc 1374 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑦𝑅𝑥 ∧ 𝑥𝑅𝑧) → 𝑦𝑅𝑧)) |
42 | 41 | ancomsd 469 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑦𝑅𝑧)) |
43 | 42 | expdimp 456 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) → (𝑦𝑅𝑥 → 𝑦𝑅𝑧)) |
44 | 43 | an32s 652 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦𝑅𝑥 → 𝑦𝑅𝑧)) |
45 | 44 | con3d 155 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑦𝑅𝑧 → ¬ 𝑦𝑅𝑥)) |
46 | | idd 24 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑦𝑅𝑥 → ¬ 𝑦𝑅𝑥)) |
47 | 45, 46 | jad 190 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑦𝑅𝑧 → ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ¬ 𝑦𝑅𝑥)) |
48 | 47 | ralimdva 3100 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦𝑅𝑧 → ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)) |
49 | 31, 48 | syl5bi 245 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) → (∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)) |
50 | 49 | expimpd 457 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥𝑅𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)) |
51 | 50 | reximdva 3193 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥𝑅𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)) |
52 | 29, 51 | syl5bi 245 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (∃𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)) |
53 | 27, 52 | syld 47 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)) |
54 | 13, 53 | pm2.61dne 3028 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥) |
55 | 54 | expr 460 |
. . . . 5
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑧 ∈ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)) |
56 | 55 | exlimdv 1941 |
. . . 4
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)) |
57 | 1, 56 | syl5bi 245 |
. . 3
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)) |
58 | 57 | impr 458 |
. 2
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥) |
59 | | simprl 771 |
. . . 4
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → 𝐵 ⊆ 𝐴) |
60 | 32 | ad2antrr 726 |
. . . 4
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → 𝑅 Or 𝐴) |
61 | 59, 60, 34 | sylc 65 |
. . 3
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → 𝑅 Or 𝐵) |
62 | | somo 5505 |
. . 3
⊢ (𝑅 Or 𝐵 → ∃*𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥) |
63 | 61, 62 | syl 17 |
. 2
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃*𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥) |
64 | | reu5 3337 |
. 2
⊢
(∃!𝑥 ∈
𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∃*𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)) |
65 | 58, 63, 64 | sylanbrc 586 |
1
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃!𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥) |