Theorem wereu2 5673

Description: A nonempty subclass of an 𝑅-well-ordered and 𝑅-setlike class has a unique 𝑅-minimal element. Proposition 6.26 of [TakeutiZaring] p. 31. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jan-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wereu2	⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃!𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Proof of Theorem wereu2

Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4346	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐵)
2		rabeq0 4384	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑧)
3		breq1 5151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑦𝑅𝑥 ↔ 𝑤𝑅𝑥))
4	3	notbid 318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ¬ 𝑤𝑅𝑥))
5	4	cbvralvw 3235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑥)
6		breq2 5152	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑤𝑅𝑥 ↔ 𝑤𝑅𝑧))
7	6	notbid 318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (¬ 𝑤𝑅𝑥 ↔ ¬ 𝑤𝑅𝑧))
8	7	ralbidv 3178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑥 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑧))
9	5, 8	bitrid 283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑧))
10	9	rspcev 3613	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑧) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
11	10	ex 414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → (∀𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑧 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
12	11	ad2antll 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (∀𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑧 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
13	2, 12	biimtrid 241	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} = ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
14		simprl 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
15		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑅 Se 𝐴)
16		sess2 5645	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝑅 Se 𝐴 → 𝑅 Se 𝐵))
17	14, 15, 16	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑅 Se 𝐵)
18		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
19		seex 5638	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 Se 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ∈ V)
20	17, 18, 19	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ∈ V)
21		wefr 5666	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Fr 𝐴)
22	21	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑅 Fr 𝐴)
23		ssrab2 4077	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ⊆ 𝐵
24	23, 14	sstrid 3993	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ⊆ 𝐴)
25		fri 5636	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ∈ V ∧ 𝑅 Fr 𝐴) ∧ ({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ⊆ 𝐴 ∧ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥)
26	25	expr 458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ∈ V ∧ 𝑅 Fr 𝐴) ∧ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ⊆ 𝐴) → ({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥))
27	20, 22, 24, 26	syl21anc 837	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥))
28		breq1 5151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤𝑅𝑧 ↔ 𝑥𝑅𝑧))
29	28	rexrab 3692	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥𝑅𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥))
30		breq1 5151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤𝑅𝑧 ↔ 𝑦𝑅𝑧))
31	30	ralrab 3689	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦𝑅𝑧 → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
32		weso 5667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Or 𝐴)
33	32	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑅 Or 𝐴)
34		soss 5608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝑅 Or 𝐴 → 𝑅 Or 𝐵))
35	14, 33, 34	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑅 Or 𝐵)
36	35	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑅 Or 𝐵)
37		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
38		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
39	18	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐵)
40		sotr 5612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 Or 𝐵 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑦𝑅𝑥 ∧ 𝑥𝑅𝑧) → 𝑦𝑅𝑧))
41	36, 37, 38, 39, 40	syl13anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑦𝑅𝑥 ∧ 𝑥𝑅𝑧) → 𝑦𝑅𝑧))
42	41	ancomsd 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑦𝑅𝑧))
43	42	expdimp 454	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) → (𝑦𝑅𝑥 → 𝑦𝑅𝑧))
44	43	an32s 651	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦𝑅𝑥 → 𝑦𝑅𝑧))
45	44	con3d 152	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑦𝑅𝑧 → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
46		idd 24	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑦𝑅𝑥 → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
47	45, 46	jad 187	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑦𝑅𝑧 → ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
48	47	ralimdva 3168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦𝑅𝑧 → ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
49	31, 48	biimtrid 241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) → (∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
50	49	expimpd 455	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥𝑅𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
51	50	reximdva 3169	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥𝑅𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
52	29, 51	biimtrid 241	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (∃𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
53	27, 52	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
54	13, 53	pm2.61dne 3029	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
55	54	expr 458	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑧 ∈ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
56	55	exlimdv 1937	. . . 4 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
57	1, 56	biimtrid 241	. . 3 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
58	57	impr 456	. 2 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
59		simprl 770	. . . 4 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
60	32	ad2antrr 725	. . . 4 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → 𝑅 Or 𝐴)
61	59, 60, 34	sylc 65	. . 3 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → 𝑅 Or 𝐵)
62		somo 5625	. . 3 ⊢ (𝑅 Or 𝐵 → ∃*𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
63	61, 62	syl 17	. 2 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃*𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
64		reu5 3379	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∃*𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
65	58, 63, 64	sylanbrc 584	1 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃!𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  ∃wex 1782   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∀wral 3062  ∃wrex 3071  ∃!wreu 3375  ∃*wrmo 3376  {crab 3433  Vcvv 3475   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322   class class class wbr 5148   Or wor 5587   Fr wfr 5628   Se wse 5629   We wwe 5630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-br 5149  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633

This theorem is referenced by:  tz6.26OLD  6347  weniso  7348  ordtypelem3  9512  dfac8clem  10024