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Theorem wereu2 5682
Description: A nonempty subclass of an 𝑅-well-ordered and 𝑅-setlike class has a unique 𝑅-minimal element. Proposition 6.26 of [TakeutiZaring] p. 31. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jan-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
wereu2 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → ∃!𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Proof of Theorem wereu2
Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 4353 . . . 4 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧𝐵)
2 rabeq0 4388 . . . . . . . 8 ({𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} = ∅ ↔ ∀𝑤𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑧)
3 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑤 → (𝑦𝑅𝑥𝑤𝑅𝑥))
43notbid 318 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑤 → (¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ¬ 𝑤𝑅𝑥))
54cbvralvw 3237 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∀𝑤𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑥)
6 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → (𝑤𝑅𝑥𝑤𝑅𝑧))
76notbid 318 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑧 → (¬ 𝑤𝑅𝑥 ↔ ¬ 𝑤𝑅𝑧))
87ralbidv 3178 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑤𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑥 ↔ ∀𝑤𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑧))
95, 8bitrid 283 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∀𝑤𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑧))
109rspcev 3622 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝐵 ∧ ∀𝑤𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑧) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
1110ex 412 . . . . . . . . 9 (𝑧𝐵 → (∀𝑤𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑧 → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
1211ad2antll 729 . . . . . . . 8 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → (∀𝑤𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑧 → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
132, 12biimtrid 242 . . . . . . 7 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → ({𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} = ∅ → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
14 simprl 771 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → 𝐵𝐴)
15 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → 𝑅 Se 𝐴)
16 sess2 5651 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝐴 → (𝑅 Se 𝐴𝑅 Se 𝐵))
1714, 15, 16sylc 65 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → 𝑅 Se 𝐵)
18 simprr 773 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → 𝑧𝐵)
19 seex 5644 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 Se 𝐵𝑧𝐵) → {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ∈ V)
2017, 18, 19syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ∈ V)
21 wefr 5675 . . . . . . . . . 10 (𝑅 We 𝐴𝑅 Fr 𝐴)
2221ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → 𝑅 Fr 𝐴)
23 ssrab2 4080 . . . . . . . . . 10 {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ⊆ 𝐵
2423, 14sstrid 3995 . . . . . . . . 9 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ⊆ 𝐴)
25 fri 5642 . . . . . . . . . 10 ((({𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ∈ V ∧ 𝑅 Fr 𝐴) ∧ ({𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ⊆ 𝐴 ∧ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥)
2625expr 456 . . . . . . . . 9 ((({𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ∈ V ∧ 𝑅 Fr 𝐴) ∧ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ⊆ 𝐴) → ({𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥))
2720, 22, 24, 26syl21anc 838 . . . . . . . 8 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → ({𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥))
28 breq1 5146 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤𝑅𝑧𝑥𝑅𝑧))
2928rexrab 3702 . . . . . . . . 9 (∃𝑥 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∃𝑥𝐵 (𝑥𝑅𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥))
30 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = 𝑦 → (𝑤𝑅𝑧𝑦𝑅𝑧))
3130ralrab 3699 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑦 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑧 → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
32 weso 5676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑅 We 𝐴𝑅 Or 𝐴)
3332ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → 𝑅 Or 𝐴)
34 soss 5612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐵𝐴 → (𝑅 Or 𝐴𝑅 Or 𝐵))
3514, 33, 34sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → 𝑅 Or 𝐵)
3635ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑅 Or 𝐵)
37 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
38 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑥𝐵)
3918ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑧𝐵)
40 sotr 5617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 Or 𝐵 ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑦𝑅𝑥𝑥𝑅𝑧) → 𝑦𝑅𝑧))
4136, 37, 38, 39, 40syl13anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑦𝑅𝑥𝑥𝑅𝑧) → 𝑦𝑅𝑧))
4241ancomsd 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑥𝑅𝑧𝑦𝑅𝑥) → 𝑦𝑅𝑧))
4342expdimp 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) → (𝑦𝑅𝑥𝑦𝑅𝑧))
4443an32s 652 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦𝑅𝑥𝑦𝑅𝑧))
4544con3d 152 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ 𝑦𝐵) → (¬ 𝑦𝑅𝑧 → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
46 idd 24 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ 𝑦𝐵) → (¬ 𝑦𝑅𝑥 → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
4745, 46jad 187 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑦𝑅𝑧 → ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
4847ralimdva 3167 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) → (∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑧 → ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
4931, 48biimtrid 242 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) → (∀𝑦 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥 → ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
5049expimpd 453 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑥𝑅𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
5150reximdva 3168 . . . . . . . . 9 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → (∃𝑥𝐵 (𝑥𝑅𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
5229, 51biimtrid 242 . . . . . . . 8 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → (∃𝑥 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
5327, 52syld 47 . . . . . . 7 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → ({𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ≠ ∅ → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
5413, 53pm2.61dne 3028 . . . . . 6 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
5554expr 456 . . . . 5 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝐵𝐴) → (𝑧𝐵 → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
5655exlimdv 1933 . . . 4 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝐵𝐴) → (∃𝑧 𝑧𝐵 → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
571, 56biimtrid 242 . . 3 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝐵𝐴) → (𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
5857impr 454 . 2 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
59 simprl 771 . . . 4 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → 𝐵𝐴)
6032ad2antrr 726 . . . 4 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → 𝑅 Or 𝐴)
6159, 60, 34sylc 65 . . 3 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → 𝑅 Or 𝐵)
62 somo 5631 . . 3 (𝑅 Or 𝐵 → ∃*𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
6361, 62syl 17 . 2 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → ∃*𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
64 reu5 3382 . 2 (∃!𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ (∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∃*𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
6558, 63, 64sylanbrc 583 1 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → ∃!𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  ∃!wreu 3378  ∃*wrmo 3379  {crab 3436  Vcvv 3480  wss 3951  c0 4333   class class class wbr 5143   Or wor 5591   Fr wfr 5634   Se wse 5635   We wwe 5636
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-br 5144  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639
This theorem is referenced by:  tz6.26OLD  6369  weniso  7374  ordtypelem3  9560  dfac8clem  10072  weiunlem2  36464  weiunfrlem  36465
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