Theorem wereu2 5548

Description: All nonempty subclasses of a class having a well-ordered and set-like relation have a minimal element for that relation. Proposition 6.26 of [TakeutiZaring] p. 31. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jan-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wereu2	⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃!𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Proof of Theorem wereu2

Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4261	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐵)
2		rabeq0 4299	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑧)
3		breq1 5056	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑦𝑅𝑥 ↔ 𝑤𝑅𝑥))
4	3	notbid 321	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ¬ 𝑤𝑅𝑥))
5	4	cbvralvw 3358	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑥)
6		breq2 5057	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑤𝑅𝑥 ↔ 𝑤𝑅𝑧))
7	6	notbid 321	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (¬ 𝑤𝑅𝑥 ↔ ¬ 𝑤𝑅𝑧))
8	7	ralbidv 3118	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑥 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑧))
9	5, 8	syl5bb 286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑧))
10	9	rspcev 3537	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑧) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
11	10	ex 416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → (∀𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑧 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
12	11	ad2antll 729	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (∀𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑧 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
13	2, 12	syl5bi 245	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} = ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
14		simprl 771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
15		simplr 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑅 Se 𝐴)
16		sess2 5520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝑅 Se 𝐴 → 𝑅 Se 𝐵))
17	14, 15, 16	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑅 Se 𝐵)
18		simprr 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
19		seex 5513	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 Se 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ∈ V)
20	17, 18, 19	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ∈ V)
21		wefr 5541	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Fr 𝐴)
22	21	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑅 Fr 𝐴)
23		ssrab2 3993	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ⊆ 𝐵
24	23, 14	sstrid 3912	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ⊆ 𝐴)
25		fri 5512	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ∈ V ∧ 𝑅 Fr 𝐴) ∧ ({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ⊆ 𝐴 ∧ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥)
26	25	expr 460	. . . . . . . . 9 ⊢ ((({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ∈ V ∧ 𝑅 Fr 𝐴) ∧ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ⊆ 𝐴) → ({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥))
27	20, 22, 24, 26	syl21anc 838	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥))
28		breq1 5056	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤𝑅𝑧 ↔ 𝑥𝑅𝑧))
29	28	rexrab 3609	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥𝑅𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥))
30		breq1 5056	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤𝑅𝑧 ↔ 𝑦𝑅𝑧))
31	30	ralrab 3607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦𝑅𝑧 → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
32		weso 5542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Or 𝐴)
33	32	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑅 Or 𝐴)
34		soss 5488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝑅 Or 𝐴 → 𝑅 Or 𝐵))
35	14, 33, 34	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑅 Or 𝐵)
36	35	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑅 Or 𝐵)
37		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
38		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
39	18	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐵)
40		sotr 5492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 Or 𝐵 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑦𝑅𝑥 ∧ 𝑥𝑅𝑧) → 𝑦𝑅𝑧))
41	36, 37, 38, 39, 40	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑦𝑅𝑥 ∧ 𝑥𝑅𝑧) → 𝑦𝑅𝑧))
42	41	ancomsd 469	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑦𝑅𝑧))
43	42	expdimp 456	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) → (𝑦𝑅𝑥 → 𝑦𝑅𝑧))
44	43	an32s 652	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦𝑅𝑥 → 𝑦𝑅𝑧))
45	44	con3d 155	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑦𝑅𝑧 → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
46		idd 24	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑦𝑅𝑥 → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
47	45, 46	jad 190	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑦𝑅𝑧 → ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
48	47	ralimdva 3100	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦𝑅𝑧 → ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
49	31, 48	syl5bi 245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) → (∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
50	49	expimpd 457	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥𝑅𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
51	50	reximdva 3193	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥𝑅𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
52	29, 51	syl5bi 245	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (∃𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
53	27, 52	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
54	13, 53	pm2.61dne 3028	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
55	54	expr 460	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑧 ∈ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
56	55	exlimdv 1941	. . . 4 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
57	1, 56	syl5bi 245	. . 3 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
58	57	impr 458	. 2 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
59		simprl 771	. . . 4 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
60	32	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → 𝑅 Or 𝐴)
61	59, 60, 34	sylc 65	. . 3 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → 𝑅 Or 𝐵)
62		somo 5505	. . 3 ⊢ (𝑅 Or 𝐵 → ∃*𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
63	61, 62	syl 17	. 2 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃*𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
64		reu5 3337	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∃*𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
65	58, 63, 64	sylanbrc 586	1 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃!𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543  ∃wex 1787   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3062  ∃!wreu 3063  ∃*wrmo 3064  {crab 3065  Vcvv 3408   ⊆ wss 3866  ∅c0 4237   class class class wbr 5053   Or wor 5467   Fr wfr 5506   Se wse 5507   We wwe 5508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-br 5054  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511

This theorem is referenced by:  tz6.26  6201  weniso  7163  ordtypelem3  9136  dfac8clem  9646