Theorem srgcmn 20128

Description: A semiring is a commutative monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
srgcmn	⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ CMnd)

Proof of Theorem srgcmn

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		eqid 2737	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5		eqid 2737	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
6	1, 2, 3, 4, 5	issrg 20127	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ SRing ↔ (𝑅 ∈ CMnd ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))) ∧ (((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = (0g‘𝑅) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))))
7	6	simp1bi 1146	1 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ CMnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  Basecbs 17140  +_gcplusg 17181  ._rcmulr 17182  0_gc0g 17363  Mndcmnd 18663  CMndccmn 19713  mulGrpcmgp 20079  SRingcsrg 20125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-nul 5252

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-iota 6449  df-fv 6501  df-ov 7363  df-srg 20126

This theorem is referenced by:  srgmnd  20129  srgcom  20145  srgsummulcr  20162  sgsummulcl  20163  srgbinomlem3  20167  srgbinomlem4  20168  srgbinomlem  20169  gsumvsca2  33311