Theorem sgsummulcl 20133

Description: A finite semiring sum multiplied by a constant, analogous to gsummulc2 20226. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgsummulcr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
srgsummulcr.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
srgsummulcr.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
srgsummulcr.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
srgsummulcr.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
srgsummulcr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
srgsummulcr.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
srgsummulcr.x	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
srgsummulcr.n	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
sgsummulcl	⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑌 · 𝑋))) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   · ,𝑘   𝑘,𝑌

Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝑅(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)   0 (𝑘)

Proof of Theorem sgsummulcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgsummulcr.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		srgsummulcr.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		srgsummulcr.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
4		srgcmn 20098	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ CMnd)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
6		srgmnd 20099	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd)
7	3, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
8		srgsummulcr.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
9		srgsummulcr.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
10		srgsummulcr.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
11	1, 10	srglmhm 20130	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑌 · 𝑥)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))
12	3, 9, 11	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑌 · 𝑥)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))
13		srgsummulcr.x	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
14		srgsummulcr.n	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp 0 )
15		oveq2 7395	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑌 · 𝑥) = (𝑌 · 𝑋))
16		oveq2 7395	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) → (𝑌 · 𝑥) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))))
17	1, 2, 5, 7, 8, 12, 13, 14, 15, 16	gsummhm2 19869	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑌 · 𝑋))) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   finSupp cfsupp 9312  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  ._rcmulr 17221  0_gc0g 17402   Σ_g cgsu 17403  Mndcmnd 18661   MndHom cmhm 18708  CMndccmn 19710  SRingcsrg 20095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-hash 14296  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-mgp 20050  df-srg 20096

This theorem is referenced by: (None)