![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > sgsummulcl | Structured version Visualization version GIF version |
Description: A finite semiring sum multiplied by a constant, analogous to gsummulc2 20216. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.) |
Ref | Expression |
---|---|
srgsummulcr.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ ) |
srgsummulcr.z | โข 0 = (0gโ๐ ) |
srgsummulcr.p | โข + = (+gโ๐ ) |
srgsummulcr.t | โข ยท = (.rโ๐ ) |
srgsummulcr.r | โข (๐ โ ๐ โ SRing) |
srgsummulcr.a | โข (๐ โ ๐ด โ ๐) |
srgsummulcr.y | โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) |
srgsummulcr.x | โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ โ ๐ต) |
srgsummulcr.n | โข (๐ โ (๐ โ ๐ด โฆ ๐) finSupp 0 ) |
Ref | Expression |
---|---|
sgsummulcl | โข (๐ โ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ด โฆ (๐ ยท ๐))) = (๐ ยท (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ด โฆ ๐)))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | srgsummulcr.b | . 2 โข ๐ต = (Baseโ๐ ) | |
2 | srgsummulcr.z | . 2 โข 0 = (0gโ๐ ) | |
3 | srgsummulcr.r | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ SRing) | |
4 | srgcmn 20094 | . . 3 โข (๐ โ SRing โ ๐ โ CMnd) | |
5 | 3, 4 | syl 17 | . 2 โข (๐ โ ๐ โ CMnd) |
6 | srgmnd 20095 | . . 3 โข (๐ โ SRing โ ๐ โ Mnd) | |
7 | 3, 6 | syl 17 | . 2 โข (๐ โ ๐ โ Mnd) |
8 | srgsummulcr.a | . 2 โข (๐ โ ๐ด โ ๐) | |
9 | srgsummulcr.y | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) | |
10 | srgsummulcr.t | . . . 4 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
11 | 1, 10 | srglmhm 20126 | . . 3 โข ((๐ โ SRing โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ฅ โ ๐ต โฆ (๐ ยท ๐ฅ)) โ (๐ MndHom ๐ )) |
12 | 3, 9, 11 | syl2anc 583 | . 2 โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ต โฆ (๐ ยท ๐ฅ)) โ (๐ MndHom ๐ )) |
13 | srgsummulcr.x | . 2 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ โ ๐ต) | |
14 | srgsummulcr.n | . 2 โข (๐ โ (๐ โ ๐ด โฆ ๐) finSupp 0 ) | |
15 | oveq2 7413 | . 2 โข (๐ฅ = ๐ โ (๐ ยท ๐ฅ) = (๐ ยท ๐)) | |
16 | oveq2 7413 | . 2 โข (๐ฅ = (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ด โฆ ๐)) โ (๐ ยท ๐ฅ) = (๐ ยท (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ด โฆ ๐)))) | |
17 | 1, 2, 5, 7, 8, 12, 13, 14, 15, 16 | gsummhm2 19859 | 1 โข (๐ โ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ด โฆ (๐ ยท ๐))) = (๐ ยท (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ด โฆ ๐)))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1533 โ wcel 2098 class class class wbr 5141 โฆ cmpt 5224 โcfv 6537 (class class class)co 7405 finSupp cfsupp 9363 Basecbs 17153 +gcplusg 17206 .rcmulr 17207 0gc0g 17394 ฮฃg cgsu 17395 Mndcmnd 18667 MndHom cmhm 18711 CMndccmn 19700 SRingcsrg 20091 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-rep 5278 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7722 ax-cnex 11168 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-int 4944 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-se 5625 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6294 df-ord 6361 df-on 6362 df-lim 6363 df-suc 6364 df-iota 6489 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-isom 6546 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-om 7853 df-1st 7974 df-2nd 7975 df-supp 8147 df-frecs 8267 df-wrecs 8298 df-recs 8372 df-rdg 8411 df-1o 8467 df-er 8705 df-map 8824 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-fin 8945 df-fsupp 9364 df-oi 9507 df-card 9936 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-xr 11256 df-ltxr 11257 df-le 11258 df-sub 11450 df-neg 11451 df-nn 12217 df-2 12279 df-n0 12477 df-z 12563 df-uz 12827 df-fz 13491 df-fzo 13634 df-seq 13973 df-hash 14296 df-sets 17106 df-slot 17124 df-ndx 17136 df-base 17154 df-plusg 17219 df-0g 17396 df-gsum 17397 df-mgm 18573 df-sgrp 18652 df-mnd 18668 df-mhm 18713 df-cntz 19233 df-cmn 19702 df-mgp 20040 df-srg 20092 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |