MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sgsummulcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sgsummulcl 20166
Description: A finite semiring sum multiplied by a constant, analogous to gsummulc2 20255. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srgsummulcr.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
srgsummulcr.z 0 = (0gโ€˜๐‘…)
srgsummulcr.p + = (+gโ€˜๐‘…)
srgsummulcr.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
srgsummulcr.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ SRing)
srgsummulcr.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)
srgsummulcr.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
srgsummulcr.x ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
srgsummulcr.n (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐‘‹) finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
sgsummulcl (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐‘Œ ยท ๐‘‹))) = (๐‘Œ ยท (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐‘‹))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐ต,๐‘˜   ๐œ‘,๐‘˜   ยท ,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘Œ
Allowed substitution hints:   + (๐‘˜)   ๐‘…(๐‘˜)   ๐‘‰(๐‘˜)   ๐‘‹(๐‘˜)   0 (๐‘˜)

Proof of Theorem sgsummulcl
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 srgsummulcr.b . 2 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
2 srgsummulcr.z . 2 0 = (0gโ€˜๐‘…)
3 srgsummulcr.r . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ SRing)
4 srgcmn 20131 . . 3 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ ๐‘… โˆˆ CMnd)
53, 4syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CMnd)
6 srgmnd 20132 . . 3 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
73, 6syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
8 srgsummulcr.a . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)
9 srgsummulcr.y . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
10 srgsummulcr.t . . . 4 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
111, 10srglmhm 20163 . . 3 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘Œ ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ (๐‘… MndHom ๐‘…))
123, 9, 11syl2anc 582 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘Œ ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ (๐‘… MndHom ๐‘…))
13 srgsummulcr.x . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
14 srgsummulcr.n . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐‘‹) finSupp 0 )
15 oveq2 7423 . 2 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘Œ ยท ๐‘ฅ) = (๐‘Œ ยท ๐‘‹))
16 oveq2 7423 . 2 (๐‘ฅ = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐‘‹)) โ†’ (๐‘Œ ยท ๐‘ฅ) = (๐‘Œ ยท (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐‘‹))))
171, 2, 5, 7, 8, 12, 13, 14, 15, 16gsummhm2 19896 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐‘Œ ยท ๐‘‹))) = (๐‘Œ ยท (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐‘‹))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5143   โ†ฆ cmpt 5226  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7415   finSupp cfsupp 9383  Basecbs 17177  +gcplusg 17230  .rcmulr 17231  0gc0g 17418   ฮฃg cgsu 17419  Mndcmnd 18691   MndHom cmhm 18735  CMndccmn 19737  SRingcsrg 20128
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-hash 14320  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-plusg 17243  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mhm 18737  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-mgp 20077  df-srg 20129
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator