Theorem srgbinomlem3 18896

Description: Lemma 3 for srgbinomlem 18898. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.) (Proof shortened by AV, 27-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgbinom.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
srgbinom.m	⊢ × = (.r‘𝑅)
srgbinom.t	⊢ · = (.g‘𝑅)
srgbinom.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
srgbinom.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
srgbinom.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
srgbinomlem.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
srgbinomlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
srgbinomlem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
srgbinomlem.c	⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
srgbinomlem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
srgbinomlem.i	⊢ (𝜓 → (𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))

Assertion

Ref	Expression
srgbinomlem3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐴) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁   𝑅,𝑘   𝑆,𝑘   · ,𝑘   × ,𝑘   ↑ ,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑘)   + (𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem srgbinomlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgbinomlem.i	. . . 4 ⊢ (𝜓 → (𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
2	1	adantl 475	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
3	2	oveq1d 6920	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐴) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) × 𝐴))
4		srgbinom.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
5		srgbinom.a	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑅)
6		srgbinomlem.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
7		srgcmn 18862	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ CMnd)
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
9		srgbinomlem.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
10		simpl 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝜑)
11		elfzelz 12635	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
12		bccl 13402	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
13	9, 11, 12	syl2an 589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
14		fznn0sub 12666	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
15	14	adantl 475	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
16		elfznn0 12727	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
17	16	adantl 475	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
18		srgbinom.m	. . . . . . . 8 ⊢ × = (.r‘𝑅)
19		srgbinom.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝑅)
20		srgbinom.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
21		srgbinom.e	. . . . . . . 8 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
22		srgbinomlem.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
23		srgbinomlem.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
24		srgbinomlem.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
25	4, 18, 19, 5, 20, 21, 6, 22, 23, 24, 9	srgbinomlem2 18895	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑁C𝑘) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
26	10, 13, 15, 17, 25	syl13anc 1495	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
27	4, 5, 8, 9, 26	gsummptfzsplit 18685	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))))
28		srgmnd 18863	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd)
29	6, 28	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
30		ovexd 6939	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ V)
31		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
32	9	nn0zd 11808	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
33	32	peano2zd 11813	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
34		bccl 13402	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
35	9, 33, 34	syl2anc 579	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁C(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
36	9	nn0cnd 11680	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
37		peano2cn 10527	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
39	38	subidd 10701	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) = 0)
40		0nn0 11635	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℕ0
41	39, 40	syl6eqel 2914	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
42		peano2nn0 11660	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
43	9, 42	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
44	4, 18, 19, 5, 20, 21, 6, 22, 23, 24, 9	srgbinomlem2 18895	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑁C(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)) → ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
45	31, 35, 41, 43, 44	syl13anc 1495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
46		oveq2 6913	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑁C𝑘) = (𝑁C(𝑁 + 1)))
47		oveq2 6913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)))
48	47	oveq1d 6920	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) = (((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴))
49		oveq1 6912	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑘 ↑ 𝐵) = ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵))
50	48, 49	oveq12d 6923	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)) = ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵)))
51	46, 50	oveq12d 6923	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) = ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵))))
52	4, 51	gsumsn 18707	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑁 + 1) ∈ V ∧ ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) = ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵))))
53	29, 30, 45, 52	syl3anc 1494	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) = ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵))))
54	9	nn0red 11679	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
55	54	ltp1d 11284	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < (𝑁 + 1))
56	55	olcd 905	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) < 0 ∨ 𝑁 < (𝑁 + 1)))
57		bcval4 13387	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) < 0 ∨ 𝑁 < (𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑁 + 1)) = 0)
58	9, 33, 56, 57	syl3anc 1494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁C(𝑁 + 1)) = 0)
59	58	oveq1d 6920	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵))) = (0 · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵))))
60	4, 18, 19, 5, 20, 21, 6, 22, 23, 24, 9	srgbinomlem1 18894	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)) → ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵)) ∈ 𝑆)
61	31, 41, 43, 60	syl12anc 870	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵)) ∈ 𝑆)
62		eqid 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
63	4, 62, 19	mulg0 17900	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵)) ∈ 𝑆 → (0 · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵))) = (0g‘𝑅))
64	61, 63	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵))) = (0g‘𝑅))
65	53, 59, 64	3eqtrd 2865	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) = (0g‘𝑅))
66	65	oveq2d 6921	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) + (0g‘𝑅)))
67		fzfid 13067	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
68		simpl 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝜑)
69		bccl2 13403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ)
70	69	nnnn0d 11678	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
71	70	adantl 475	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
72		fzelp1 12686	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
73	72, 15	sylan2 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
74		elfznn0 12727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
75	74	adantl 475	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
76	68, 71, 73, 75, 25	syl13anc 1495	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
77	76	ralrimiva 3175	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
78	4, 8, 67, 77	gsummptcl 18719	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) ∈ 𝑆)
79	4, 5, 62	mndrid 17665	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) ∈ 𝑆) → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) + (0g‘𝑅)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
80	29, 78, 79	syl2anc 579	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) + (0g‘𝑅)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
81	27, 66, 80	3eqtrd 2865	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
82	6	adantr 474	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑅 ∈ SRing)
83	22	adantr 474	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
84	23	adantr 474	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ∈ 𝑆)
85	24	adantr 474	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
86		fznn0sub 12666	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0)
87	86	adantl 475	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0)
88	4, 18, 20, 21, 82, 83, 84, 75, 85, 87, 19, 71	srgpcomppsc 18888	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) × 𝐴) = ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 − 𝑘) + 1) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))
89	36	adantr 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
90		1cnd 10351	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
91		elfzelz 12635	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
92	91	zcnd 11811	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
93	92	adantl 475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
94	89, 90, 93	addsubd 10734	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = ((𝑁 − 𝑘) + 1))
95	94	oveq1d 6920	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) = (((𝑁 − 𝑘) + 1) ↑ 𝐴))
96	95	oveq1d 6920	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)) = ((((𝑁 − 𝑘) + 1) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))
97	96	oveq2d 6921	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) = ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 − 𝑘) + 1) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))
98	88, 97	eqtr4d 2864	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) × 𝐴) = ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))
99	98	mpteq2dva 4967	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) × 𝐴)) = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))
100	99	oveq2d 6921	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) × 𝐴))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
101		ovexd 6939	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ V)
102	4, 18, 19, 5, 20, 21, 6, 22, 23, 24, 9	srgbinomlem2 18895	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑁C𝑘) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
103	68, 71, 87, 75, 102	syl13anc 1495	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
104		eqid 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))) = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))
105		ovexd 6939	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ V)
106		fvexd 6448	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ V)
107	104, 67, 105, 106	fsuppmptdm 8555	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))) finSupp (0g‘𝑅))
108	4, 62, 5, 18, 6, 101, 22, 103, 107	srgsummulcr 18891	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) × 𝐴))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) × 𝐴))
109	81, 100, 108	3eqtr2rd 2868	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) × 𝐴) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
110	109	adantr 474	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) × 𝐴) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
111	3, 110	eqtrd 2861	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐴) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∨ wo 878   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  Vcvv 3414  {csn 4397   class class class wbr 4873   ↦ cmpt 4952  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  ℂcc 10250  0cc0 10252  1c1 10253   + caddc 10255   < clt 10391   − cmin 10585  ℕ₀cn0 11618  ℤcz 11704  ...cfz 12619  Ccbc 13382  Basecbs 16222  +_gcplusg 16305  ._rcmulr 16306  0_gc0g 16453   Σ_g cgsu 16454  Mndcmnd 17647  ._gcmg 17894  CMndccmn 18546  mulGrpcmgp 18843  SRingcsrg 18859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-iin 4743  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-of 7157  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-supp 7560  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-fsupp 8545  df-oi 8684  df-card 9078  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-rp 12113  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-seq 13096  df-fac 13354  df-bc 13383  df-hash 13411  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-0g 16455  df-gsum 16456  df-mre 16599  df-mrc 16600  df-acs 16602  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-mhm 17688  df-submnd 17689  df-mulg 17895  df-cntz 18100  df-cmn 18548  df-mgp 18844  df-ur 18856  df-srg 18860

This theorem is referenced by:  srgbinomlem  18898