Theorem srgbinomlem3 20447

Description: Lemma 3 for srgbinomlem 20449. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.) (Proof shortened by AV, 27-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgbinom.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
srgbinom.m	⊢ × = (.r‘𝑅)
srgbinom.t	⊢ · = (.g‘𝑅)
srgbinom.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
srgbinom.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
srgbinom.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
srgbinomlem.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
srgbinomlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
srgbinomlem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
srgbinomlem.c	⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
srgbinomlem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
srgbinomlem.i	⊢ (𝜓 → (𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))

Assertion

Ref	Expression
srgbinomlem3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐴) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁   𝑅,𝑘   𝑆,𝑘   · ,𝑘   × ,𝑘   ↑ ,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑘)   + (𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem srgbinomlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgbinomlem.i	. . . 4 ⊢ (𝜓 → (𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
2	1	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
3	2	oveq1d 7433	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐴) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) × 𝐴))
4		srgbinom.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
5		srgbinom.a	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑅)
6		srgbinomlem.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
7		srgcmn 20408	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ CMnd)
8	6, 7	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
9		srgbinomlem.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
10		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝜑)
11		elfzelz 13649	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
12		bccl 14459	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
13	9, 11, 12	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
14		fznn0sub 13683	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
15	14	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
16		elfznn0 13747	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
17	16	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
18		srgbinom.m	. . . . . . . 8 ⊢ × = (.r‘𝑅)
19		srgbinom.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝑅)
20		srgbinom.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
21		srgbinom.e	. . . . . . . 8 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
22		srgbinomlem.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
23		srgbinomlem.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
24		srgbinomlem.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
25	4, 18, 19, 5, 20, 21, 6, 22, 23, 24, 9	srgbinomlem2 20446	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑁C𝑘) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
26	10, 13, 15, 17, 25	syl13anc 1399	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
27	4, 5, 8, 9, 26	gsummptfzsplit 20139	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))))
28		srgmnd 20409	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd)
29	6, 28	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
30		ovexd 7453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ V)
31		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
32	9	nn0zd 12711	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
33	32	peano2zd 12799	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
34		bccl 14459	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
35	9, 33, 34	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁C(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
36	9	nn0cnd 12662	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
37		peano2cn 11475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
38	36, 37	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
39	38	subidd 11650	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) = 0)
40		0nn0 12614	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℕ0
41	39, 40	eqeltrdi 2869	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
42		peano2nn0 12639	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
43	9, 42	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
44	4, 18, 19, 5, 20, 21, 6, 22, 23, 24, 9	srgbinomlem2 20446	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑁C(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)) → ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
45	31, 35, 41, 43, 44	syl13anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
46		oveq2 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑁C𝑘) = (𝑁C(𝑁 + 1)))
47		oveq2 7426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)))
48	47	oveq1d 7433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) = (((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴))
49		oveq1 7425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑘 ↑ 𝐵) = ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵))
50	48, 49	oveq12d 7436	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)) = ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵)))
51	46, 50	oveq12d 7436	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) = ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵))))
52	4, 51	gsumsn 20161	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑁 + 1) ∈ V ∧ ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) = ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵))))
53	29, 30, 45, 52	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) = ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵))))
54	9	nn0red 12661	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
55	54	ltp1d 12240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < (𝑁 + 1))
56	55	olcd 888	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) < 0 ∨ 𝑁 < (𝑁 + 1)))
57		bcval4 14444	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) < 0 ∨ 𝑁 < (𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑁 + 1)) = 0)
58	9, 33, 56, 57	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁C(𝑁 + 1)) = 0)
59	58	oveq1d 7433	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵))) = (0 · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵))))
60	4, 18, 19, 5, 20, 21, 6, 22, 23, 24, 9	srgbinomlem1 20445	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)) → ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵)) ∈ 𝑆)
61	31, 41, 43, 60	syl12anc 850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵)) ∈ 𝑆)
62		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
63	4, 62, 19	mulg0 19277	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵)) ∈ 𝑆 → (0 · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵))) = (0g‘𝑅))
64	61, 63	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵))) = (0g‘𝑅))
65	53, 59, 64	3eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) = (0g‘𝑅))
66	65	oveq2d 7434	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) + (0g‘𝑅)))
67		fzfid 14109	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
68		simpl 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝜑)
69		bccl2 14460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ)
70	69	nnnn0d 12660	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
71	70	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
72		fzelp1 13703	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
73	72, 15	sylan2 605	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
74		elfznn0 13747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
75	74	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
76	68, 71, 73, 75, 25	syl13anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
77	76	ralrimiva 3155	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
78	4, 8, 67, 77	gsummptcl 20174	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) ∈ 𝑆)
79	4, 5, 62	mndrid 18938	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) ∈ 𝑆) → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) + (0g‘𝑅)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
80	29, 78, 79	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) + (0g‘𝑅)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
81	27, 66, 80	3eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
82	6	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑅 ∈ SRing)
83	22	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
84	23	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ∈ 𝑆)
85	24	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
86		fznn0sub 13683	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0)
87	86	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0)
88	4, 18, 20, 21, 82, 83, 84, 75, 85, 87, 19, 71	srgpcomppsc 20439	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) × 𝐴) = ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 − 𝑘) + 1) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))
89	36	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
90		1cnd 11295	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
91		elfzelz 13649	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
92	91	zcnd 12797	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
93	92	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
94	89, 90, 93	addsubd 11683	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = ((𝑁 − 𝑘) + 1))
95	94	oveq1d 7433	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) = (((𝑁 − 𝑘) + 1) ↑ 𝐴))
96	95	oveq1d 7433	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)) = ((((𝑁 − 𝑘) + 1) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))
97	96	oveq2d 7434	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) = ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 − 𝑘) + 1) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))
98	88, 97	eqtr4d 2799	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) × 𝐴) = ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))
99	98	mpteq2dva 5198	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) × 𝐴)) = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))
100	99	oveq2d 7434	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) × 𝐴))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
101		ovexd 7453	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ V)
102	4, 18, 19, 5, 20, 21, 6, 22, 23, 24, 9	srgbinomlem2 20446	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑁C𝑘) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
103	68, 71, 87, 75, 102	syl13anc 1399	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
104		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))) = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))
105		ovexd 7453	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ V)
106		fvexd 6898	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ V)
107	104, 67, 105, 106	fsuppmptdm 9361	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))) finSupp (0g‘𝑅))
108	4, 62, 5, 18, 6, 101, 22, 103, 107	srgsummulcr 20442	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) × 𝐴))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) × 𝐴))
109	81, 100, 108	3eqtr2rd 2803	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) × 𝐴) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
110	109	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) × 𝐴) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
111	3, 110	eqtrd 2796	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐴) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  {csn 4584   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  ℂcc 11191  0cc0 11193  1c1 11194   + caddc 11196   < clt 11336   − cmin 11534  ℕ₀cn0 12599  ℤcz 12686  ...cfz 13632  Ccbc 14439  Basecbs 17380  +_gcplusg 17421  ._rcmulr 17422  0_gc0g 17603   Σ_g cgsu 17604  Mndcmnd 18916  ._gcmg 19270  CMndccmn 19987  mulGrpcmgp 20353  SRingcsrg 20405

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8710  df-map 8842  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9347  df-oi 9497  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-rp 13114  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-seq 14138  df-fac 14411  df-bc 14440  df-hash 14468  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-0g 17605  df-gsum 17606  df-mre 17749  df-mrc 17750  df-acs 17752  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-mhm 18971  df-submnd 18972  df-mulg 19271  df-cntz 19524  df-cmn 19989  df-mgp 20354  df-ur 20401  df-srg 20406

This theorem is used by:  srgbinomlem  20449