MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srgbinomlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srgbinomlem3 19788
Description: Lemma 3 for srgbinomlem 19790. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.) (Proof shortened by AV, 27-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srgbinom.s 𝑆 = (Base‘𝑅)
srgbinom.m × = (.r𝑅)
srgbinom.t · = (.g𝑅)
srgbinom.a + = (+g𝑅)
srgbinom.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
srgbinom.e = (.g𝐺)
srgbinomlem.r (𝜑𝑅 ∈ SRing)
srgbinomlem.a (𝜑𝐴𝑆)
srgbinomlem.b (𝜑𝐵𝑆)
srgbinomlem.c (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
srgbinomlem.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
srgbinomlem.i (𝜓 → (𝑁 (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
Assertion
Ref Expression
srgbinomlem3 ((𝜑𝜓) → ((𝑁 (𝐴 + 𝐵)) × 𝐴) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁   𝑅,𝑘   𝑆,𝑘   · ,𝑘   × ,𝑘   ,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑘)   + (𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem srgbinomlem3
StepHypRef Expression
1 srgbinomlem.i . . . 4 (𝜓 → (𝑁 (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
21adantl 482 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝑁 (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
32oveq1d 7282 . 2 ((𝜑𝜓) → ((𝑁 (𝐴 + 𝐵)) × 𝐴) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) × 𝐴))
4 srgbinom.s . . . . . 6 𝑆 = (Base‘𝑅)
5 srgbinom.a . . . . . 6 + = (+g𝑅)
6 srgbinomlem.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ SRing)
7 srgcmn 19754 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ CMnd)
86, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
9 srgbinomlem.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
10 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝜑)
11 elfzelz 13266 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
12 bccl 14046 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
139, 11, 12syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
14 fznn0sub 13298 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
1514adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
16 elfznn0 13359 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
1716adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
18 srgbinom.m . . . . . . . 8 × = (.r𝑅)
19 srgbinom.t . . . . . . . 8 · = (.g𝑅)
20 srgbinom.g . . . . . . . 8 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
21 srgbinom.e . . . . . . . 8 = (.g𝐺)
22 srgbinomlem.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑆)
23 srgbinomlem.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝑆)
24 srgbinomlem.c . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
254, 18, 19, 5, 20, 21, 6, 22, 23, 24, 9srgbinomlem2 19787 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑁C𝑘) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ 𝑆)
2610, 13, 15, 17, 25syl13anc 1371 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ 𝑆)
274, 5, 8, 9, 26gsummptfzsplit 19543 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))))))
28 srgmnd 19755 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd)
296, 28syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
30 ovexd 7302 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ V)
31 id 22 . . . . . . . . 9 (𝜑𝜑)
329nn0zd 12434 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
3332peano2zd 12439 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
34 bccl 14046 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
359, 33, 34syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁C(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
369nn0cnd 12305 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
37 peano2cn 11157 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
3938subidd 11330 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) = 0)
40 0nn0 12258 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℕ0
4139, 40eqeltrdi 2847 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
42 peano2nn0 12283 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
439, 42syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
444, 18, 19, 5, 20, 21, 6, 22, 23, 24, 9srgbinomlem2 19787 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑁C(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)) → ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵))) ∈ 𝑆)
4531, 35, 41, 43, 44syl13anc 1371 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵))) ∈ 𝑆)
46 oveq2 7275 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑁C𝑘) = (𝑁C(𝑁 + 1)))
47 oveq2 7275 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)))
4847oveq1d 7282 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) = (((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴))
49 oveq1 7274 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑘 𝐵) = ((𝑁 + 1) 𝐵))
5048, 49oveq12d 7285 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)) = ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵)))
5146, 50oveq12d 7285 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) = ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵))))
524, 51gsumsn 19565 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑁 + 1) ∈ V ∧ ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵))) ∈ 𝑆) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) = ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵))))
5329, 30, 45, 52syl3anc 1370 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) = ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵))))
549nn0red 12304 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
5554ltp1d 11915 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 < (𝑁 + 1))
5655olcd 871 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 + 1) < 0 ∨ 𝑁 < (𝑁 + 1)))
57 bcval4 14031 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) < 0 ∨ 𝑁 < (𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑁 + 1)) = 0)
589, 33, 56, 57syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁C(𝑁 + 1)) = 0)
5958oveq1d 7282 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵))) = (0 · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵))))
604, 18, 19, 5, 20, 21, 6, 22, 23, 24, 9srgbinomlem1 19786 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)) → ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵)) ∈ 𝑆)
6131, 41, 43, 60syl12anc 834 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵)) ∈ 𝑆)
62 eqid 2738 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) = (0g𝑅)
634, 62, 19mulg0 18717 . . . . . . . 8 (((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵)) ∈ 𝑆 → (0 · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵))) = (0g𝑅))
6461, 63syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵))) = (0g𝑅))
6553, 59, 643eqtrd 2782 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) = (0g𝑅))
6665oveq2d 7283 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) + (0g𝑅)))
67 fzfid 13703 . . . . . . 7 (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
68 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝜑)
69 bccl2 14047 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ)
7069nnnn0d 12303 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
7170adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
72 fzelp1 13318 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
7372, 15sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
74 elfznn0 13359 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7574adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7668, 71, 73, 75, 25syl13anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ 𝑆)
7776ralrimiva 3108 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ 𝑆)
784, 8, 67, 77gsummptcl 19578 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) ∈ 𝑆)
794, 5, 62mndrid 18416 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) ∈ 𝑆) → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) + (0g𝑅)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
8029, 78, 79syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) + (0g𝑅)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
8127, 66, 803eqtrd 2782 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
826adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑅 ∈ SRing)
8322adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴𝑆)
8423adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵𝑆)
8524adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
86 fznn0sub 13298 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ0)
8786adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ0)
884, 18, 20, 21, 82, 83, 84, 75, 85, 87, 19, 71srgpcomppsc 19780 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) × 𝐴) = ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁𝑘) + 1) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))
8936adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
90 1cnd 10980 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
91 elfzelz 13266 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
9291zcnd 12437 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
9392adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
9489, 90, 93addsubd 11363 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = ((𝑁𝑘) + 1))
9594oveq1d 7282 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) = (((𝑁𝑘) + 1) 𝐴))
9695oveq1d 7282 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)) = ((((𝑁𝑘) + 1) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))
9796oveq2d 7283 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) = ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁𝑘) + 1) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))
9888, 97eqtr4d 2781 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) × 𝐴) = ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))
9998mpteq2dva 5173 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) × 𝐴)) = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))))
10099oveq2d 7283 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) × 𝐴))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
101 ovexd 7302 . . . . 5 (𝜑 → (0...𝑁) ∈ V)
1024, 18, 19, 5, 20, 21, 6, 22, 23, 24, 9srgbinomlem2 19787 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑁C𝑘) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑘) ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ 𝑆)
10368, 71, 87, 75, 102syl13anc 1371 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ 𝑆)
104 eqid 2738 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))) = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))
105 ovexd 7302 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ V)
106 fvexd 6781 . . . . . 6 (𝜑 → (0g𝑅) ∈ V)
107104, 67, 105, 106fsuppmptdm 9126 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))) finSupp (0g𝑅))
1084, 62, 5, 18, 6, 101, 22, 103, 107srgsummulcr 19783 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) × 𝐴))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) × 𝐴))
10981, 100, 1083eqtr2rd 2785 . . 3 (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) × 𝐴) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
110109adantr 481 . 2 ((𝜑𝜓) → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) × 𝐴) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
1113, 110eqtrd 2778 1 ((𝜑𝜓) → ((𝑁 (𝐴 + 𝐵)) × 𝐴) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 844   = wceq 1539  wcel 2106  Vcvv 3429  {csn 4561   class class class wbr 5073  cmpt 5156  cfv 6426  (class class class)co 7267  cc 10879  0cc0 10881  1c1 10882   + caddc 10884   < clt 11019  cmin 11215  0cn0 12243  cz 12329  ...cfz 13249  Ccbc 14026  Basecbs 16922  +gcplusg 16972  .rcmulr 16973  0gc0g 17160   Σg cgsu 17161  Mndcmnd 18395  .gcmg 18710  CMndccmn 19396  mulGrpcmgp 19730  SRingcsrg 19751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-se 5540  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-isom 6435  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-of 7523  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-supp 7965  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-er 8485  df-map 8604  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-fsupp 9116  df-oi 9256  df-card 9707  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-div 11643  df-nn 11984  df-2 12046  df-n0 12244  df-z 12330  df-uz 12593  df-rp 12741  df-fz 13250  df-fzo 13393  df-seq 13732  df-fac 13998  df-bc 14027  df-hash 14055  df-sets 16875  df-slot 16893  df-ndx 16905  df-base 16923  df-ress 16952  df-plusg 16985  df-0g 17162  df-gsum 17163  df-mre 17305  df-mrc 17306  df-acs 17308  df-mgm 18336  df-sgrp 18385  df-mnd 18396  df-mhm 18440  df-submnd 18441  df-mulg 18711  df-cntz 18933  df-cmn 19398  df-mgp 19731  df-ur 19748  df-srg 19752
This theorem is referenced by:  srgbinomlem  19790
  Copyright terms: Public domain W3C validator