MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srgbinomlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srgbinomlem3 19959
Description: Lemma 3 for srgbinomlem 19961. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.) (Proof shortened by AV, 27-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srgbinom.s 𝑆 = (Base‘𝑅)
srgbinom.m × = (.r𝑅)
srgbinom.t · = (.g𝑅)
srgbinom.a + = (+g𝑅)
srgbinom.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
srgbinom.e = (.g𝐺)
srgbinomlem.r (𝜑𝑅 ∈ SRing)
srgbinomlem.a (𝜑𝐴𝑆)
srgbinomlem.b (𝜑𝐵𝑆)
srgbinomlem.c (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
srgbinomlem.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
srgbinomlem.i (𝜓 → (𝑁 (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
Assertion
Ref Expression
srgbinomlem3 ((𝜑𝜓) → ((𝑁 (𝐴 + 𝐵)) × 𝐴) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁   𝑅,𝑘   𝑆,𝑘   · ,𝑘   × ,𝑘   ,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑘)   + (𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem srgbinomlem3
StepHypRef Expression
1 srgbinomlem.i . . . 4 (𝜓 → (𝑁 (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
21adantl 482 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝑁 (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
32oveq1d 7372 . 2 ((𝜑𝜓) → ((𝑁 (𝐴 + 𝐵)) × 𝐴) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) × 𝐴))
4 srgbinom.s . . . . . 6 𝑆 = (Base‘𝑅)
5 srgbinom.a . . . . . 6 + = (+g𝑅)
6 srgbinomlem.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ SRing)
7 srgcmn 19920 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ CMnd)
86, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
9 srgbinomlem.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
10 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝜑)
11 elfzelz 13441 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
12 bccl 14222 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
139, 11, 12syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
14 fznn0sub 13473 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
1514adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
16 elfznn0 13534 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
1716adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
18 srgbinom.m . . . . . . . 8 × = (.r𝑅)
19 srgbinom.t . . . . . . . 8 · = (.g𝑅)
20 srgbinom.g . . . . . . . 8 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
21 srgbinom.e . . . . . . . 8 = (.g𝐺)
22 srgbinomlem.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑆)
23 srgbinomlem.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝑆)
24 srgbinomlem.c . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
254, 18, 19, 5, 20, 21, 6, 22, 23, 24, 9srgbinomlem2 19958 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑁C𝑘) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ 𝑆)
2610, 13, 15, 17, 25syl13anc 1372 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ 𝑆)
274, 5, 8, 9, 26gsummptfzsplit 19709 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))))))
28 srgmnd 19921 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd)
296, 28syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
30 ovexd 7392 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ V)
31 id 22 . . . . . . . . 9 (𝜑𝜑)
329nn0zd 12525 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
3332peano2zd 12610 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
34 bccl 14222 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
359, 33, 34syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁C(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
369nn0cnd 12475 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
37 peano2cn 11327 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
3938subidd 11500 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) = 0)
40 0nn0 12428 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℕ0
4139, 40eqeltrdi 2846 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
42 peano2nn0 12453 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
439, 42syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
444, 18, 19, 5, 20, 21, 6, 22, 23, 24, 9srgbinomlem2 19958 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑁C(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)) → ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵))) ∈ 𝑆)
4531, 35, 41, 43, 44syl13anc 1372 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵))) ∈ 𝑆)
46 oveq2 7365 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑁C𝑘) = (𝑁C(𝑁 + 1)))
47 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)))
4847oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) = (((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴))
49 oveq1 7364 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑘 𝐵) = ((𝑁 + 1) 𝐵))
5048, 49oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)) = ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵)))
5146, 50oveq12d 7375 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) = ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵))))
524, 51gsumsn 19731 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑁 + 1) ∈ V ∧ ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵))) ∈ 𝑆) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) = ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵))))
5329, 30, 45, 52syl3anc 1371 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) = ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵))))
549nn0red 12474 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
5554ltp1d 12085 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 < (𝑁 + 1))
5655olcd 872 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 + 1) < 0 ∨ 𝑁 < (𝑁 + 1)))
57 bcval4 14207 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) < 0 ∨ 𝑁 < (𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑁 + 1)) = 0)
589, 33, 56, 57syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁C(𝑁 + 1)) = 0)
5958oveq1d 7372 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵))) = (0 · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵))))
604, 18, 19, 5, 20, 21, 6, 22, 23, 24, 9srgbinomlem1 19957 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)) → ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵)) ∈ 𝑆)
6131, 41, 43, 60syl12anc 835 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵)) ∈ 𝑆)
62 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) = (0g𝑅)
634, 62, 19mulg0 18879 . . . . . . . 8 (((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵)) ∈ 𝑆 → (0 · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵))) = (0g𝑅))
6461, 63syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵))) = (0g𝑅))
6553, 59, 643eqtrd 2780 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) = (0g𝑅))
6665oveq2d 7373 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) + (0g𝑅)))
67 fzfid 13878 . . . . . . 7 (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
68 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝜑)
69 bccl2 14223 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ)
7069nnnn0d 12473 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
7170adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
72 fzelp1 13493 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
7372, 15sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
74 elfznn0 13534 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7574adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7668, 71, 73, 75, 25syl13anc 1372 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ 𝑆)
7776ralrimiva 3143 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ 𝑆)
784, 8, 67, 77gsummptcl 19744 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) ∈ 𝑆)
794, 5, 62mndrid 18577 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) ∈ 𝑆) → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) + (0g𝑅)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
8029, 78, 79syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) + (0g𝑅)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
8127, 66, 803eqtrd 2780 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
826adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑅 ∈ SRing)
8322adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴𝑆)
8423adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵𝑆)
8524adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
86 fznn0sub 13473 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ0)
8786adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ0)
884, 18, 20, 21, 82, 83, 84, 75, 85, 87, 19, 71srgpcomppsc 19951 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) × 𝐴) = ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁𝑘) + 1) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))
8936adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
90 1cnd 11150 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
91 elfzelz 13441 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
9291zcnd 12608 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
9392adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
9489, 90, 93addsubd 11533 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = ((𝑁𝑘) + 1))
9594oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) = (((𝑁𝑘) + 1) 𝐴))
9695oveq1d 7372 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)) = ((((𝑁𝑘) + 1) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))
9796oveq2d 7373 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) = ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁𝑘) + 1) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))
9888, 97eqtr4d 2779 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) × 𝐴) = ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))
9998mpteq2dva 5205 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) × 𝐴)) = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))))
10099oveq2d 7373 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) × 𝐴))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
101 ovexd 7392 . . . . 5 (𝜑 → (0...𝑁) ∈ V)
1024, 18, 19, 5, 20, 21, 6, 22, 23, 24, 9srgbinomlem2 19958 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑁C𝑘) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑘) ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ 𝑆)
10368, 71, 87, 75, 102syl13anc 1372 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ 𝑆)
104 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))) = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))
105 ovexd 7392 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ V)
106 fvexd 6857 . . . . . 6 (𝜑 → (0g𝑅) ∈ V)
107104, 67, 105, 106fsuppmptdm 9316 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))) finSupp (0g𝑅))
1084, 62, 5, 18, 6, 101, 22, 103, 107srgsummulcr 19954 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) × 𝐴))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) × 𝐴))
10981, 100, 1083eqtr2rd 2783 . . 3 (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) × 𝐴) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
110109adantr 481 . 2 ((𝜑𝜓) → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) × 𝐴) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
1113, 110eqtrd 2776 1 ((𝜑𝜓) → ((𝑁 (𝐴 + 𝐵)) × 𝐴) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  {csn 4586   class class class wbr 5105  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   < clt 11189  cmin 11385  0cn0 12413  cz 12499  ...cfz 13424  Ccbc 14202  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  .rcmulr 17134  0gc0g 17321   Σg cgsu 17322  Mndcmnd 18556  .gcmg 18872  CMndccmn 19562  mulGrpcmgp 19896  SRingcsrg 19917
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-srg 19918
This theorem is referenced by:  srgbinomlem  19961
  Copyright terms: Public domain W3C validator