Theorem srgbinomlem3 20226

Description: Lemma 3 for srgbinomlem 20228. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.) (Proof shortened by AV, 27-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgbinom.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
srgbinom.m	⊢ × = (.r‘𝑅)
srgbinom.t	⊢ · = (.g‘𝑅)
srgbinom.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
srgbinom.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
srgbinom.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
srgbinomlem.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
srgbinomlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
srgbinomlem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
srgbinomlem.c	⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
srgbinomlem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
srgbinomlem.i	⊢ (𝜓 → (𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))

Assertion

Ref	Expression
srgbinomlem3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐴) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁   𝑅,𝑘   𝑆,𝑘   · ,𝑘   × ,𝑘   ↑ ,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑘)   + (𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem srgbinomlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgbinomlem.i	. . . 4 ⊢ (𝜓 → (𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
3	2	oveq1d 7447	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐴) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) × 𝐴))
4		srgbinom.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
5		srgbinom.a	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑅)
6		srgbinomlem.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
7		srgcmn 20187	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ CMnd)
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
9		srgbinomlem.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
10		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝜑)
11		elfzelz 13565	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
12		bccl 14362	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
13	9, 11, 12	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
14		fznn0sub 13597	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
15	14	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
16		elfznn0 13661	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
17	16	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
18		srgbinom.m	. . . . . . . 8 ⊢ × = (.r‘𝑅)
19		srgbinom.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝑅)
20		srgbinom.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
21		srgbinom.e	. . . . . . . 8 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
22		srgbinomlem.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
23		srgbinomlem.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
24		srgbinomlem.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
25	4, 18, 19, 5, 20, 21, 6, 22, 23, 24, 9	srgbinomlem2 20225	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑁C𝑘) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
26	10, 13, 15, 17, 25	syl13anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
27	4, 5, 8, 9, 26	gsummptfzsplit 19951	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))))
28		srgmnd 20188	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd)
29	6, 28	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
30		ovexd 7467	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ V)
31		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
32	9	nn0zd 12641	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
33	32	peano2zd 12727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
34		bccl 14362	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
35	9, 33, 34	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁C(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
36	9	nn0cnd 12591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
37		peano2cn 11434	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
39	38	subidd 11609	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) = 0)
40		0nn0 12543	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℕ0
41	39, 40	eqeltrdi 2848	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
42		peano2nn0 12568	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
43	9, 42	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
44	4, 18, 19, 5, 20, 21, 6, 22, 23, 24, 9	srgbinomlem2 20225	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑁C(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)) → ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
45	31, 35, 41, 43, 44	syl13anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
46		oveq2 7440	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑁C𝑘) = (𝑁C(𝑁 + 1)))
47		oveq2 7440	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)))
48	47	oveq1d 7447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) = (((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴))
49		oveq1 7439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑘 ↑ 𝐵) = ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵))
50	48, 49	oveq12d 7450	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)) = ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵)))
51	46, 50	oveq12d 7450	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) = ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵))))
52	4, 51	gsumsn 19973	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑁 + 1) ∈ V ∧ ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) = ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵))))
53	29, 30, 45, 52	syl3anc 1372	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) = ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵))))
54	9	nn0red 12590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
55	54	ltp1d 12199	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < (𝑁 + 1))
56	55	olcd 874	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) < 0 ∨ 𝑁 < (𝑁 + 1)))
57		bcval4 14347	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) < 0 ∨ 𝑁 < (𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑁 + 1)) = 0)
58	9, 33, 56, 57	syl3anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁C(𝑁 + 1)) = 0)
59	58	oveq1d 7447	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵))) = (0 · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵))))
60	4, 18, 19, 5, 20, 21, 6, 22, 23, 24, 9	srgbinomlem1 20224	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)) → ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵)) ∈ 𝑆)
61	31, 41, 43, 60	syl12anc 836	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵)) ∈ 𝑆)
62		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
63	4, 62, 19	mulg0 19093	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵)) ∈ 𝑆 → (0 · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵))) = (0g‘𝑅))
64	61, 63	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵))) = (0g‘𝑅))
65	53, 59, 64	3eqtrd 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) = (0g‘𝑅))
66	65	oveq2d 7448	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) + (0g‘𝑅)))
67		fzfid 14015	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
68		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝜑)
69		bccl2 14363	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ)
70	69	nnnn0d 12589	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
71	70	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
72		fzelp1 13617	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
73	72, 15	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
74		elfznn0 13661	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
75	74	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
76	68, 71, 73, 75, 25	syl13anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
77	76	ralrimiva 3145	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
78	4, 8, 67, 77	gsummptcl 19986	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) ∈ 𝑆)
79	4, 5, 62	mndrid 18769	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) ∈ 𝑆) → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) + (0g‘𝑅)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
80	29, 78, 79	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) + (0g‘𝑅)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
81	27, 66, 80	3eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
82	6	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑅 ∈ SRing)
83	22	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
84	23	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ∈ 𝑆)
85	24	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
86		fznn0sub 13597	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0)
87	86	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0)
88	4, 18, 20, 21, 82, 83, 84, 75, 85, 87, 19, 71	srgpcomppsc 20218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) × 𝐴) = ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 − 𝑘) + 1) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))
89	36	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
90		1cnd 11257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
91		elfzelz 13565	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
92	91	zcnd 12725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
93	92	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
94	89, 90, 93	addsubd 11642	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = ((𝑁 − 𝑘) + 1))
95	94	oveq1d 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) = (((𝑁 − 𝑘) + 1) ↑ 𝐴))
96	95	oveq1d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)) = ((((𝑁 − 𝑘) + 1) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))
97	96	oveq2d 7448	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) = ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 − 𝑘) + 1) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))
98	88, 97	eqtr4d 2779	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) × 𝐴) = ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))
99	98	mpteq2dva 5241	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) × 𝐴)) = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))
100	99	oveq2d 7448	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) × 𝐴))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
101		ovexd 7467	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ V)
102	4, 18, 19, 5, 20, 21, 6, 22, 23, 24, 9	srgbinomlem2 20225	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑁C𝑘) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
103	68, 71, 87, 75, 102	syl13anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
104		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))) = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))
105		ovexd 7467	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ V)
106		fvexd 6920	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ V)
107	104, 67, 105, 106	fsuppmptdm 9417	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))) finSupp (0g‘𝑅))
108	4, 62, 5, 18, 6, 101, 22, 103, 107	srgsummulcr 20221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) × 𝐴))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) × 𝐴))
109	81, 100, 108	3eqtr2rd 2783	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) × 𝐴) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
110	109	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) × 𝐴) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
111	3, 110	eqtrd 2776	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐴) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3479  {csn 4625   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5224  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  ℂcc 11154  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   < clt 11296   − cmin 11493  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615  ...cfz 13548  Ccbc 14342  Basecbs 17248  +_gcplusg 17298  ._rcmulr 17299  0_gc0g 17485   Σ_g cgsu 17486  Mndcmnd 18748  ._gcmg 19086  CMndccmn 19799  mulGrpcmgp 20138  SRingcsrg 20184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-fac 14314  df-bc 14343  df-hash 14371  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-submnd 18798  df-mulg 19087  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-mgp 20139  df-ur 20180  df-srg 20185

This theorem is referenced by:  srgbinomlem  20228