MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srgbinomlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srgbinomlem3 19286
Description: Lemma 3 for srgbinomlem 19288. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.) (Proof shortened by AV, 27-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srgbinom.s 𝑆 = (Base‘𝑅)
srgbinom.m × = (.r𝑅)
srgbinom.t · = (.g𝑅)
srgbinom.a + = (+g𝑅)
srgbinom.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
srgbinom.e = (.g𝐺)
srgbinomlem.r (𝜑𝑅 ∈ SRing)
srgbinomlem.a (𝜑𝐴𝑆)
srgbinomlem.b (𝜑𝐵𝑆)
srgbinomlem.c (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
srgbinomlem.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
srgbinomlem.i (𝜓 → (𝑁 (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
Assertion
Ref Expression
srgbinomlem3 ((𝜑𝜓) → ((𝑁 (𝐴 + 𝐵)) × 𝐴) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁   𝑅,𝑘   𝑆,𝑘   · ,𝑘   × ,𝑘   ,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑘)   + (𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem srgbinomlem3
StepHypRef Expression
1 srgbinomlem.i . . . 4 (𝜓 → (𝑁 (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
21adantl 484 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝑁 (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
32oveq1d 7165 . 2 ((𝜑𝜓) → ((𝑁 (𝐴 + 𝐵)) × 𝐴) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) × 𝐴))
4 srgbinom.s . . . . . 6 𝑆 = (Base‘𝑅)
5 srgbinom.a . . . . . 6 + = (+g𝑅)
6 srgbinomlem.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ SRing)
7 srgcmn 19252 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ CMnd)
86, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
9 srgbinomlem.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
10 simpl 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝜑)
11 elfzelz 12902 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
12 bccl 13676 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
139, 11, 12syl2an 597 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
14 fznn0sub 12933 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
1514adantl 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
16 elfznn0 12994 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
1716adantl 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
18 srgbinom.m . . . . . . . 8 × = (.r𝑅)
19 srgbinom.t . . . . . . . 8 · = (.g𝑅)
20 srgbinom.g . . . . . . . 8 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
21 srgbinom.e . . . . . . . 8 = (.g𝐺)
22 srgbinomlem.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑆)
23 srgbinomlem.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝑆)
24 srgbinomlem.c . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
254, 18, 19, 5, 20, 21, 6, 22, 23, 24, 9srgbinomlem2 19285 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑁C𝑘) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ 𝑆)
2610, 13, 15, 17, 25syl13anc 1368 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ 𝑆)
274, 5, 8, 9, 26gsummptfzsplit 19046 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))))))
28 srgmnd 19253 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd)
296, 28syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
30 ovexd 7185 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ V)
31 id 22 . . . . . . . . 9 (𝜑𝜑)
329nn0zd 12079 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
3332peano2zd 12084 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
34 bccl 13676 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
359, 33, 34syl2anc 586 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁C(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
369nn0cnd 11951 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
37 peano2cn 10806 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
3938subidd 10979 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) = 0)
40 0nn0 11906 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℕ0
4139, 40eqeltrdi 2921 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
42 peano2nn0 11931 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
439, 42syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
444, 18, 19, 5, 20, 21, 6, 22, 23, 24, 9srgbinomlem2 19285 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑁C(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)) → ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵))) ∈ 𝑆)
4531, 35, 41, 43, 44syl13anc 1368 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵))) ∈ 𝑆)
46 oveq2 7158 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑁C𝑘) = (𝑁C(𝑁 + 1)))
47 oveq2 7158 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)))
4847oveq1d 7165 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) = (((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴))
49 oveq1 7157 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑘 𝐵) = ((𝑁 + 1) 𝐵))
5048, 49oveq12d 7168 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)) = ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵)))
5146, 50oveq12d 7168 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) = ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵))))
524, 51gsumsn 19068 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑁 + 1) ∈ V ∧ ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵))) ∈ 𝑆) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) = ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵))))
5329, 30, 45, 52syl3anc 1367 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) = ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵))))
549nn0red 11950 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
5554ltp1d 11564 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 < (𝑁 + 1))
5655olcd 870 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 + 1) < 0 ∨ 𝑁 < (𝑁 + 1)))
57 bcval4 13661 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) < 0 ∨ 𝑁 < (𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑁 + 1)) = 0)
589, 33, 56, 57syl3anc 1367 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁C(𝑁 + 1)) = 0)
5958oveq1d 7165 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵))) = (0 · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵))))
604, 18, 19, 5, 20, 21, 6, 22, 23, 24, 9srgbinomlem1 19284 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)) → ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵)) ∈ 𝑆)
6131, 41, 43, 60syl12anc 834 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵)) ∈ 𝑆)
62 eqid 2821 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) = (0g𝑅)
634, 62, 19mulg0 18225 . . . . . . . 8 (((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵)) ∈ 𝑆 → (0 · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵))) = (0g𝑅))
6461, 63syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) 𝐴) × ((𝑁 + 1) 𝐵))) = (0g𝑅))
6553, 59, 643eqtrd 2860 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) = (0g𝑅))
6665oveq2d 7166 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) + (0g𝑅)))
67 fzfid 13335 . . . . . . 7 (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
68 simpl 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝜑)
69 bccl2 13677 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ)
7069nnnn0d 11949 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
7170adantl 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
72 fzelp1 12953 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
7372, 15sylan2 594 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
74 elfznn0 12994 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7574adantl 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7668, 71, 73, 75, 25syl13anc 1368 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ 𝑆)
7776ralrimiva 3182 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ 𝑆)
784, 8, 67, 77gsummptcl 19081 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) ∈ 𝑆)
794, 5, 62mndrid 17926 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) ∈ 𝑆) → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) + (0g𝑅)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
8029, 78, 79syl2anc 586 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) + (0g𝑅)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
8127, 66, 803eqtrd 2860 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
826adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑅 ∈ SRing)
8322adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴𝑆)
8423adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵𝑆)
8524adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
86 fznn0sub 12933 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ0)
8786adantl 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ0)
884, 18, 20, 21, 82, 83, 84, 75, 85, 87, 19, 71srgpcomppsc 19278 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) × 𝐴) = ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁𝑘) + 1) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))
8936adantr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
90 1cnd 10630 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
91 elfzelz 12902 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
9291zcnd 12082 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
9392adantl 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
9489, 90, 93addsubd 11012 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = ((𝑁𝑘) + 1))
9594oveq1d 7165 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) = (((𝑁𝑘) + 1) 𝐴))
9695oveq1d 7165 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)) = ((((𝑁𝑘) + 1) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))
9796oveq2d 7166 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) = ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁𝑘) + 1) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))
9888, 97eqtr4d 2859 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) × 𝐴) = ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))
9998mpteq2dva 5153 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) × 𝐴)) = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))))
10099oveq2d 7166 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) × 𝐴))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
101 ovexd 7185 . . . . 5 (𝜑 → (0...𝑁) ∈ V)
1024, 18, 19, 5, 20, 21, 6, 22, 23, 24, 9srgbinomlem2 19285 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑁C𝑘) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑘) ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ 𝑆)
10368, 71, 87, 75, 102syl13anc 1368 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ 𝑆)
104 eqid 2821 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))) = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))
105 ovexd 7185 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ V)
106 fvexd 6679 . . . . . 6 (𝜑 → (0g𝑅) ∈ V)
107104, 67, 105, 106fsuppmptdm 8838 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))) finSupp (0g𝑅))
1084, 62, 5, 18, 6, 101, 22, 103, 107srgsummulcr 19281 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) × 𝐴))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) × 𝐴))
10981, 100, 1083eqtr2rd 2863 . . 3 (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) × 𝐴) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
110109adantr 483 . 2 ((𝜑𝜓) → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) × 𝐴) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
1113, 110eqtrd 2856 1 ((𝜑𝜓) → ((𝑁 (𝐴 + 𝐵)) × 𝐴) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  wo 843   = wceq 1533  wcel 2110  Vcvv 3494  {csn 4560   class class class wbr 5058  cmpt 5138  cfv 6349  (class class class)co 7150  cc 10529  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   < clt 10669  cmin 10864  0cn0 11891  cz 11975  ...cfz 12886  Ccbc 13656  Basecbs 16477  +gcplusg 16559  .rcmulr 16560  0gc0g 16707   Σg cgsu 16708  Mndcmnd 17905  .gcmg 18218  CMndccmn 18900  mulGrpcmgp 19233  SRingcsrg 19249
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-iin 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-seq 13364  df-fac 13628  df-bc 13657  df-hash 13685  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-mhm 17950  df-submnd 17951  df-mulg 18219  df-cntz 18441  df-cmn 18902  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-srg 19250
This theorem is referenced by:  srgbinomlem  19288
  Copyright terms: Public domain W3C validator