MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srgbinomlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srgbinomlem3 20123
Description: Lemma 3 for srgbinomlem 20125. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.) (Proof shortened by AV, 27-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srgbinom.s ๐‘† = (Baseโ€˜๐‘…)
srgbinom.m ร— = (.rโ€˜๐‘…)
srgbinom.t ยท = (.gโ€˜๐‘…)
srgbinom.a + = (+gโ€˜๐‘…)
srgbinom.g ๐บ = (mulGrpโ€˜๐‘…)
srgbinom.e โ†‘ = (.gโ€˜๐บ)
srgbinomlem.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ SRing)
srgbinomlem.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘†)
srgbinomlem.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘†)
srgbinomlem.c (๐œ‘ โ†’ (๐ด ร— ๐ต) = (๐ต ร— ๐ด))
srgbinomlem.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
srgbinomlem.i (๐œ“ โ†’ (๐‘ โ†‘ (๐ด + ๐ต)) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†ฆ ((๐‘C๐‘˜) ยท (((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))))
Assertion
Ref Expression
srgbinomlem3 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐‘ โ†‘ (๐ด + ๐ต)) ร— ๐ด) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1)) โ†ฆ ((๐‘C๐‘˜) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐ต,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘   ๐‘…,๐‘˜   ๐‘†,๐‘˜   ยท ,๐‘˜   ร— ,๐‘˜   โ†‘ ,๐‘˜   ๐œ‘,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐œ“(๐‘˜)   + (๐‘˜)   ๐บ(๐‘˜)

Proof of Theorem srgbinomlem3
StepHypRef Expression
1 srgbinomlem.i . . . 4 (๐œ“ โ†’ (๐‘ โ†‘ (๐ด + ๐ต)) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†ฆ ((๐‘C๐‘˜) ยท (((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))))
21adantl 481 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘ โ†‘ (๐ด + ๐ต)) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†ฆ ((๐‘C๐‘˜) ยท (((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))))
32oveq1d 7427 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐‘ โ†‘ (๐ด + ๐ต)) ร— ๐ด) = ((๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†ฆ ((๐‘C๐‘˜) ยท (((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))) ร— ๐ด))
4 srgbinom.s . . . . . 6 ๐‘† = (Baseโ€˜๐‘…)
5 srgbinom.a . . . . . 6 + = (+gโ€˜๐‘…)
6 srgbinomlem.r . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ SRing)
7 srgcmn 20084 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ ๐‘… โˆˆ CMnd)
86, 7syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CMnd)
9 srgbinomlem.n . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
10 simpl 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1))) โ†’ ๐œ‘)
11 elfzelz 13506 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
12 bccl 14287 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘C๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
139, 11, 12syl2an 595 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1))) โ†’ (๐‘C๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
14 fznn0sub 13538 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1)) โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
1514adantl 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1))) โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
16 elfznn0 13599 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
1716adantl 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
18 srgbinom.m . . . . . . . 8 ร— = (.rโ€˜๐‘…)
19 srgbinom.t . . . . . . . 8 ยท = (.gโ€˜๐‘…)
20 srgbinom.g . . . . . . . 8 ๐บ = (mulGrpโ€˜๐‘…)
21 srgbinom.e . . . . . . . 8 โ†‘ = (.gโ€˜๐บ)
22 srgbinomlem.a . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘†)
23 srgbinomlem.b . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘†)
24 srgbinomlem.c . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ร— ๐ต) = (๐ต ร— ๐ด))
254, 18, 19, 5, 20, 21, 6, 22, 23, 24, 9srgbinomlem2 20122 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘C๐‘˜) โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐‘C๐‘˜) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))) โˆˆ ๐‘†)
2610, 13, 15, 17, 25syl13anc 1371 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1))) โ†’ ((๐‘C๐‘˜) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))) โˆˆ ๐‘†)
274, 5, 8, 9, 26gsummptfzsplit 19842 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1)) โ†ฆ ((๐‘C๐‘˜) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))) = ((๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†ฆ ((๐‘C๐‘˜) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))) + (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ {(๐‘ + 1)} โ†ฆ ((๐‘C๐‘˜) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต)))))))
28 srgmnd 20085 . . . . . . . . 9 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
296, 28syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
30 ovexd 7447 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ V)
31 id 22 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐œ‘)
329nn0zd 12589 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
3332peano2zd 12674 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„ค)
34 bccl 14287 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ + 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘C(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„•0)
359, 33, 34syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘C(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„•0)
369nn0cnd 12539 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
37 peano2cn 11391 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„‚)
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„‚)
3938subidd 11564 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ (๐‘ + 1)) = 0)
40 0nn0 12492 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„•0
4139, 40eqeltrdi 2840 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ (๐‘ + 1)) โˆˆ โ„•0)
42 peano2nn0 12517 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•0)
439, 42syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•0)
444, 18, 19, 5, 20, 21, 6, 22, 23, 24, 9srgbinomlem2 20122 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘C(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘ + 1) โˆ’ (๐‘ + 1)) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐‘C(๐‘ + 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ (๐‘ + 1)) โ†‘ ๐ด) ร— ((๐‘ + 1) โ†‘ ๐ต))) โˆˆ ๐‘†)
4531, 35, 41, 43, 44syl13anc 1371 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘C(๐‘ + 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ (๐‘ + 1)) โ†‘ ๐ด) ร— ((๐‘ + 1) โ†‘ ๐ต))) โˆˆ ๐‘†)
46 oveq2 7420 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = (๐‘ + 1) โ†’ (๐‘C๐‘˜) = (๐‘C(๐‘ + 1)))
47 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = (๐‘ + 1) โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) = ((๐‘ + 1) โˆ’ (๐‘ + 1)))
4847oveq1d 7427 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = (๐‘ + 1) โ†’ (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) = (((๐‘ + 1) โˆ’ (๐‘ + 1)) โ†‘ ๐ด))
49 oveq1 7419 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = (๐‘ + 1) โ†’ (๐‘˜ โ†‘ ๐ต) = ((๐‘ + 1) โ†‘ ๐ต))
5048, 49oveq12d 7430 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = (๐‘ + 1) โ†’ ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต)) = ((((๐‘ + 1) โˆ’ (๐‘ + 1)) โ†‘ ๐ด) ร— ((๐‘ + 1) โ†‘ ๐ต)))
5146, 50oveq12d 7430 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = (๐‘ + 1) โ†’ ((๐‘C๐‘˜) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))) = ((๐‘C(๐‘ + 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ (๐‘ + 1)) โ†‘ ๐ด) ร— ((๐‘ + 1) โ†‘ ๐ต))))
524, 51gsumsn 19864 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Mnd โˆง (๐‘ + 1) โˆˆ V โˆง ((๐‘C(๐‘ + 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ (๐‘ + 1)) โ†‘ ๐ด) ร— ((๐‘ + 1) โ†‘ ๐ต))) โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ {(๐‘ + 1)} โ†ฆ ((๐‘C๐‘˜) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))) = ((๐‘C(๐‘ + 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ (๐‘ + 1)) โ†‘ ๐ด) ร— ((๐‘ + 1) โ†‘ ๐ต))))
5329, 30, 45, 52syl3anc 1370 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ {(๐‘ + 1)} โ†ฆ ((๐‘C๐‘˜) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))) = ((๐‘C(๐‘ + 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ (๐‘ + 1)) โ†‘ ๐ด) ร— ((๐‘ + 1) โ†‘ ๐ต))))
549nn0red 12538 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
5554ltp1d 12149 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ < (๐‘ + 1))
5655olcd 871 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ + 1) < 0 โˆจ ๐‘ < (๐‘ + 1)))
57 bcval4 14272 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ + 1) โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ + 1) < 0 โˆจ ๐‘ < (๐‘ + 1))) โ†’ (๐‘C(๐‘ + 1)) = 0)
589, 33, 56, 57syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘C(๐‘ + 1)) = 0)
5958oveq1d 7427 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘C(๐‘ + 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ (๐‘ + 1)) โ†‘ ๐ด) ร— ((๐‘ + 1) โ†‘ ๐ต))) = (0 ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ (๐‘ + 1)) โ†‘ ๐ด) ร— ((๐‘ + 1) โ†‘ ๐ต))))
604, 18, 19, 5, 20, 21, 6, 22, 23, 24, 9srgbinomlem1 20121 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (((๐‘ + 1) โˆ’ (๐‘ + 1)) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((((๐‘ + 1) โˆ’ (๐‘ + 1)) โ†‘ ๐ด) ร— ((๐‘ + 1) โ†‘ ๐ต)) โˆˆ ๐‘†)
6131, 41, 43, 60syl12anc 834 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘ + 1) โˆ’ (๐‘ + 1)) โ†‘ ๐ด) ร— ((๐‘ + 1) โ†‘ ๐ต)) โˆˆ ๐‘†)
62 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
634, 62, 19mulg0 18994 . . . . . . . 8 (((((๐‘ + 1) โˆ’ (๐‘ + 1)) โ†‘ ๐ด) ร— ((๐‘ + 1) โ†‘ ๐ต)) โˆˆ ๐‘† โ†’ (0 ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ (๐‘ + 1)) โ†‘ ๐ด) ร— ((๐‘ + 1) โ†‘ ๐ต))) = (0gโ€˜๐‘…))
6461, 63syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (0 ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ (๐‘ + 1)) โ†‘ ๐ด) ร— ((๐‘ + 1) โ†‘ ๐ต))) = (0gโ€˜๐‘…))
6553, 59, 643eqtrd 2775 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ {(๐‘ + 1)} โ†ฆ ((๐‘C๐‘˜) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))) = (0gโ€˜๐‘…))
6665oveq2d 7428 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†ฆ ((๐‘C๐‘˜) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))) + (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ {(๐‘ + 1)} โ†ฆ ((๐‘C๐‘˜) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต)))))) = ((๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†ฆ ((๐‘C๐‘˜) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))) + (0gโ€˜๐‘…)))
67 fzfid 13943 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (0...๐‘) โˆˆ Fin)
68 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ๐œ‘)
69 bccl2 14288 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘C๐‘˜) โˆˆ โ„•)
7069nnnn0d 12537 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘C๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
7170adantl 481 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘C๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
72 fzelp1 13558 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1)))
7372, 15sylan2 592 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
74 elfznn0 13599 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
7574adantl 481 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
7668, 71, 73, 75, 25syl13anc 1371 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((๐‘C๐‘˜) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))) โˆˆ ๐‘†)
7776ralrimiva 3145 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))) โˆˆ ๐‘†)
784, 8, 67, 77gsummptcl 19877 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†ฆ ((๐‘C๐‘˜) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))) โˆˆ ๐‘†)
794, 5, 62mndrid 18681 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Mnd โˆง (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†ฆ ((๐‘C๐‘˜) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))) โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†ฆ ((๐‘C๐‘˜) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))) + (0gโ€˜๐‘…)) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†ฆ ((๐‘C๐‘˜) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))))
8029, 78, 79syl2anc 583 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†ฆ ((๐‘C๐‘˜) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))) + (0gโ€˜๐‘…)) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†ฆ ((๐‘C๐‘˜) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))))
8127, 66, 803eqtrd 2775 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1)) โ†ฆ ((๐‘C๐‘˜) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†ฆ ((๐‘C๐‘˜) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))))
826adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ๐‘… โˆˆ SRing)
8322adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘†)
8423adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘†)
8524adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐ด ร— ๐ต) = (๐ต ร— ๐ด))
86 fznn0sub 13538 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
8786adantl 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
884, 18, 20, 21, 82, 83, 84, 75, 85, 87, 19, 71srgpcomppsc 20115 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (((๐‘C๐‘˜) ยท (((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))) ร— ๐ด) = ((๐‘C๐‘˜) ยท ((((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))
8936adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
90 1cnd 11214 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
91 elfzelz 13506 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
9291zcnd 12672 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
9392adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
9489, 90, 93addsubd 11597 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) = ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1))
9594oveq1d 7427 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) = (((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1) โ†‘ ๐ด))
9695oveq1d 7427 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต)) = ((((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต)))
9796oveq2d 7428 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((๐‘C๐‘˜) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))) = ((๐‘C๐‘˜) ยท ((((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))
9888, 97eqtr4d 2774 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (((๐‘C๐‘˜) ยท (((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))) ร— ๐ด) = ((๐‘C๐‘˜) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))
9998mpteq2dva 5249 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†ฆ (((๐‘C๐‘˜) ยท (((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))) ร— ๐ด)) = (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†ฆ ((๐‘C๐‘˜) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต)))))
10099oveq2d 7428 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†ฆ (((๐‘C๐‘˜) ยท (((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))) ร— ๐ด))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†ฆ ((๐‘C๐‘˜) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))))
101 ovexd 7447 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (0...๐‘) โˆˆ V)
1024, 18, 19, 5, 20, 21, 6, 22, 23, 24, 9srgbinomlem2 20122 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘C๐‘˜) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐‘C๐‘˜) ยท (((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))) โˆˆ ๐‘†)
10368, 71, 87, 75, 102syl13anc 1371 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((๐‘C๐‘˜) ยท (((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))) โˆˆ ๐‘†)
104 eqid 2731 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†ฆ ((๐‘C๐‘˜) ยท (((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต)))) = (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†ฆ ((๐‘C๐‘˜) ยท (((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))
105 ovexd 7447 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((๐‘C๐‘˜) ยท (((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))) โˆˆ V)
106 fvexd 6907 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (0gโ€˜๐‘…) โˆˆ V)
107104, 67, 105, 106fsuppmptdm 9377 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†ฆ ((๐‘C๐‘˜) ยท (((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต)))) finSupp (0gโ€˜๐‘…))
1084, 62, 5, 18, 6, 101, 22, 103, 107srgsummulcr 20118 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†ฆ (((๐‘C๐‘˜) ยท (((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))) ร— ๐ด))) = ((๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†ฆ ((๐‘C๐‘˜) ยท (((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))) ร— ๐ด))
10981, 100, 1083eqtr2rd 2778 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†ฆ ((๐‘C๐‘˜) ยท (((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))) ร— ๐ด) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1)) โ†ฆ ((๐‘C๐‘˜) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))))
110109adantr 480 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†ฆ ((๐‘C๐‘˜) ยท (((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))) ร— ๐ด) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1)) โ†ฆ ((๐‘C๐‘˜) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))))
1113, 110eqtrd 2771 1 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐‘ โ†‘ (๐ด + ๐ต)) ร— ๐ด) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1)) โ†ฆ ((๐‘C๐‘˜) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  Vcvv 3473  {csn 4629   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11111  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   < clt 11253   โˆ’ cmin 11449  โ„•0cn0 12477  โ„คcz 12563  ...cfz 13489  Ccbc 14267  Basecbs 17149  +gcplusg 17202  .rcmulr 17203  0gc0g 17390   ฮฃg cgsu 17391  Mndcmnd 18660  .gcmg 18987  CMndccmn 19690  mulGrpcmgp 20029  SRingcsrg 20081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-mgp 20030  df-ur 20077  df-srg 20082
This theorem is referenced by:  srgbinomlem  20125
  Copyright terms: Public domain W3C validator