Theorem srgbinomlem3 20163

Description: Lemma 3 for srgbinomlem 20165. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.) (Proof shortened by AV, 27-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgbinom.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
srgbinom.m	⊢ × = (.r‘𝑅)
srgbinom.t	⊢ · = (.g‘𝑅)
srgbinom.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
srgbinom.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
srgbinom.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
srgbinomlem.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
srgbinomlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
srgbinomlem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
srgbinomlem.c	⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
srgbinomlem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
srgbinomlem.i	⊢ (𝜓 → (𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))

Assertion

Ref	Expression
srgbinomlem3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐴) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁   𝑅,𝑘   𝑆,𝑘   · ,𝑘   × ,𝑘   ↑ ,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑘)   + (𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem srgbinomlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgbinomlem.i	. . . 4 ⊢ (𝜓 → (𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
3	2	oveq1d 7373	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐴) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) × 𝐴))
4		srgbinom.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
5		srgbinom.a	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑅)
6		srgbinomlem.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
7		srgcmn 20124	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ CMnd)
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
9		srgbinomlem.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
10		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝜑)
11		elfzelz 13440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
12		bccl 14245	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
13	9, 11, 12	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
14		fznn0sub 13472	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
15	14	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
16		elfznn0 13536	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
17	16	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
18		srgbinom.m	. . . . . . . 8 ⊢ × = (.r‘𝑅)
19		srgbinom.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝑅)
20		srgbinom.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
21		srgbinom.e	. . . . . . . 8 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
22		srgbinomlem.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
23		srgbinomlem.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
24		srgbinomlem.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
25	4, 18, 19, 5, 20, 21, 6, 22, 23, 24, 9	srgbinomlem2 20162	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑁C𝑘) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
26	10, 13, 15, 17, 25	syl13anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
27	4, 5, 8, 9, 26	gsummptfzsplit 19861	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))))
28		srgmnd 20125	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd)
29	6, 28	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
30		ovexd 7393	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ V)
31		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
32	9	nn0zd 12513	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
33	32	peano2zd 12599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
34		bccl 14245	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
35	9, 33, 34	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁C(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
36	9	nn0cnd 12464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
37		peano2cn 11305	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
39	38	subidd 11480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) = 0)
40		0nn0 12416	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℕ0
41	39, 40	eqeltrdi 2844	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
42		peano2nn0 12441	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
43	9, 42	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
44	4, 18, 19, 5, 20, 21, 6, 22, 23, 24, 9	srgbinomlem2 20162	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑁C(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)) → ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
45	31, 35, 41, 43, 44	syl13anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
46		oveq2 7366	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑁C𝑘) = (𝑁C(𝑁 + 1)))
47		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)))
48	47	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) = (((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴))
49		oveq1 7365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑘 ↑ 𝐵) = ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵))
50	48, 49	oveq12d 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)) = ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵)))
51	46, 50	oveq12d 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) = ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵))))
52	4, 51	gsumsn 19883	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑁 + 1) ∈ V ∧ ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) = ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵))))
53	29, 30, 45, 52	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) = ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵))))
54	9	nn0red 12463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
55	54	ltp1d 12072	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < (𝑁 + 1))
56	55	olcd 874	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) < 0 ∨ 𝑁 < (𝑁 + 1)))
57		bcval4 14230	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) < 0 ∨ 𝑁 < (𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑁 + 1)) = 0)
58	9, 33, 56, 57	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁C(𝑁 + 1)) = 0)
59	58	oveq1d 7373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵))) = (0 · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵))))
60	4, 18, 19, 5, 20, 21, 6, 22, 23, 24, 9	srgbinomlem1 20161	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)) → ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵)) ∈ 𝑆)
61	31, 41, 43, 60	syl12anc 836	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵)) ∈ 𝑆)
62		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
63	4, 62, 19	mulg0 19004	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵)) ∈ 𝑆 → (0 · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵))) = (0g‘𝑅))
64	61, 63	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵))) = (0g‘𝑅))
65	53, 59, 64	3eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) = (0g‘𝑅))
66	65	oveq2d 7374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) + (0g‘𝑅)))
67		fzfid 13896	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
68		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝜑)
69		bccl2 14246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ)
70	69	nnnn0d 12462	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
71	70	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
72		fzelp1 13492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
73	72, 15	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
74		elfznn0 13536	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
75	74	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
76	68, 71, 73, 75, 25	syl13anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
77	76	ralrimiva 3128	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
78	4, 8, 67, 77	gsummptcl 19896	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) ∈ 𝑆)
79	4, 5, 62	mndrid 18680	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) ∈ 𝑆) → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) + (0g‘𝑅)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
80	29, 78, 79	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) + (0g‘𝑅)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
81	27, 66, 80	3eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
82	6	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑅 ∈ SRing)
83	22	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
84	23	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ∈ 𝑆)
85	24	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
86		fznn0sub 13472	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0)
87	86	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0)
88	4, 18, 20, 21, 82, 83, 84, 75, 85, 87, 19, 71	srgpcomppsc 20155	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) × 𝐴) = ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 − 𝑘) + 1) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))
89	36	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
90		1cnd 11127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
91		elfzelz 13440	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
92	91	zcnd 12597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
93	92	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
94	89, 90, 93	addsubd 11513	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = ((𝑁 − 𝑘) + 1))
95	94	oveq1d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) = (((𝑁 − 𝑘) + 1) ↑ 𝐴))
96	95	oveq1d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)) = ((((𝑁 − 𝑘) + 1) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))
97	96	oveq2d 7374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) = ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 − 𝑘) + 1) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))
98	88, 97	eqtr4d 2774	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) × 𝐴) = ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))
99	98	mpteq2dva 5191	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) × 𝐴)) = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))
100	99	oveq2d 7374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) × 𝐴))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
101		ovexd 7393	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ V)
102	4, 18, 19, 5, 20, 21, 6, 22, 23, 24, 9	srgbinomlem2 20162	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑁C𝑘) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
103	68, 71, 87, 75, 102	syl13anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
104		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))) = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))
105		ovexd 7393	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ V)
106		fvexd 6849	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ V)
107	104, 67, 105, 106	fsuppmptdm 9279	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))) finSupp (0g‘𝑅))
108	4, 62, 5, 18, 6, 101, 22, 103, 107	srgsummulcr 20158	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) × 𝐴))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) × 𝐴))
109	81, 100, 108	3eqtr2rd 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) × 𝐴) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
110	109	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) × 𝐴) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
111	3, 110	eqtrd 2771	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐴) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440  {csn 4580   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   < clt 11166   − cmin 11364  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  ...cfz 13423  Ccbc 14225  Basecbs 17136  +_gcplusg 17177  ._rcmulr 17178  0_gc0g 17359   Σ_g cgsu 17360  Mndcmnd 18659  ._gcmg 18997  CMndccmn 19709  mulGrpcmgp 20075  SRingcsrg 20121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-fac 14197  df-bc 14226  df-hash 14254  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18708  df-submnd 18709  df-mulg 18998  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-mgp 20076  df-ur 20117  df-srg 20122

This theorem is referenced by:  srgbinomlem  20165