Theorem srgbinomlem3 19959

Description: Lemma 3 for srgbinomlem 19961. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.) (Proof shortened by AV, 27-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgbinom.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
srgbinom.m	⊢ × = (.r‘𝑅)
srgbinom.t	⊢ · = (.g‘𝑅)
srgbinom.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
srgbinom.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
srgbinom.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
srgbinomlem.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
srgbinomlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
srgbinomlem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
srgbinomlem.c	⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
srgbinomlem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
srgbinomlem.i	⊢ (𝜓 → (𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))

Assertion

Ref	Expression
srgbinomlem3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐴) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁   𝑅,𝑘   𝑆,𝑘   · ,𝑘   × ,𝑘   ↑ ,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑘)   + (𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem srgbinomlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgbinomlem.i	. . . 4 ⊢ (𝜓 → (𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
2	1	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
3	2	oveq1d 7372	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐴) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) × 𝐴))
4		srgbinom.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
5		srgbinom.a	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑅)
6		srgbinomlem.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
7		srgcmn 19920	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ CMnd)
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
9		srgbinomlem.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
10		simpl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝜑)
11		elfzelz 13441	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
12		bccl 14222	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
13	9, 11, 12	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
14		fznn0sub 13473	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
15	14	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
16		elfznn0 13534	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
17	16	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
18		srgbinom.m	. . . . . . . 8 ⊢ × = (.r‘𝑅)
19		srgbinom.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝑅)
20		srgbinom.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
21		srgbinom.e	. . . . . . . 8 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
22		srgbinomlem.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
23		srgbinomlem.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
24		srgbinomlem.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
25	4, 18, 19, 5, 20, 21, 6, 22, 23, 24, 9	srgbinomlem2 19958	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑁C𝑘) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
26	10, 13, 15, 17, 25	syl13anc 1372	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
27	4, 5, 8, 9, 26	gsummptfzsplit 19709	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))))
28		srgmnd 19921	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd)
29	6, 28	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
30		ovexd 7392	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ V)
31		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
32	9	nn0zd 12525	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
33	32	peano2zd 12610	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
34		bccl 14222	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
35	9, 33, 34	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁C(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
36	9	nn0cnd 12475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
37		peano2cn 11327	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
39	38	subidd 11500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) = 0)
40		0nn0 12428	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℕ0
41	39, 40	eqeltrdi 2846	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
42		peano2nn0 12453	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
43	9, 42	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
44	4, 18, 19, 5, 20, 21, 6, 22, 23, 24, 9	srgbinomlem2 19958	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑁C(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)) → ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
45	31, 35, 41, 43, 44	syl13anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
46		oveq2 7365	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑁C𝑘) = (𝑁C(𝑁 + 1)))
47		oveq2 7365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)))
48	47	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) = (((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴))
49		oveq1 7364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑘 ↑ 𝐵) = ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵))
50	48, 49	oveq12d 7375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)) = ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵)))
51	46, 50	oveq12d 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) = ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵))))
52	4, 51	gsumsn 19731	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑁 + 1) ∈ V ∧ ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) = ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵))))
53	29, 30, 45, 52	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) = ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵))))
54	9	nn0red 12474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
55	54	ltp1d 12085	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < (𝑁 + 1))
56	55	olcd 872	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) < 0 ∨ 𝑁 < (𝑁 + 1)))
57		bcval4 14207	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) < 0 ∨ 𝑁 < (𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑁 + 1)) = 0)
58	9, 33, 56, 57	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁C(𝑁 + 1)) = 0)
59	58	oveq1d 7372	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵))) = (0 · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵))))
60	4, 18, 19, 5, 20, 21, 6, 22, 23, 24, 9	srgbinomlem1 19957	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)) → ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵)) ∈ 𝑆)
61	31, 41, 43, 60	syl12anc 835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵)) ∈ 𝑆)
62		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
63	4, 62, 19	mulg0 18879	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵)) ∈ 𝑆 → (0 · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵))) = (0g‘𝑅))
64	61, 63	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 · ((((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑁 + 1) ↑ 𝐵))) = (0g‘𝑅))
65	53, 59, 64	3eqtrd 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) = (0g‘𝑅))
66	65	oveq2d 7373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) + (0g‘𝑅)))
67		fzfid 13878	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
68		simpl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝜑)
69		bccl2 14223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ)
70	69	nnnn0d 12473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
71	70	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
72		fzelp1 13493	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
73	72, 15	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
74		elfznn0 13534	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
75	74	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
76	68, 71, 73, 75, 25	syl13anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
77	76	ralrimiva 3143	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
78	4, 8, 67, 77	gsummptcl 19744	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) ∈ 𝑆)
79	4, 5, 62	mndrid 18577	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) ∈ 𝑆) → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) + (0g‘𝑅)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
80	29, 78, 79	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) + (0g‘𝑅)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
81	27, 66, 80	3eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
82	6	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑅 ∈ SRing)
83	22	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
84	23	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ∈ 𝑆)
85	24	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
86		fznn0sub 13473	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0)
87	86	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0)
88	4, 18, 20, 21, 82, 83, 84, 75, 85, 87, 19, 71	srgpcomppsc 19951	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) × 𝐴) = ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 − 𝑘) + 1) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))
89	36	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
90		1cnd 11150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
91		elfzelz 13441	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
92	91	zcnd 12608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
93	92	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
94	89, 90, 93	addsubd 11533	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = ((𝑁 − 𝑘) + 1))
95	94	oveq1d 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) = (((𝑁 − 𝑘) + 1) ↑ 𝐴))
96	95	oveq1d 7372	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)) = ((((𝑁 − 𝑘) + 1) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))
97	96	oveq2d 7373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) = ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 − 𝑘) + 1) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))
98	88, 97	eqtr4d 2779	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) × 𝐴) = ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))
99	98	mpteq2dva 5205	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) × 𝐴)) = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))
100	99	oveq2d 7373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) × 𝐴))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
101		ovexd 7392	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ V)
102	4, 18, 19, 5, 20, 21, 6, 22, 23, 24, 9	srgbinomlem2 19958	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑁C𝑘) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
103	68, 71, 87, 75, 102	syl13anc 1372	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
104		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))) = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))
105		ovexd 7392	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ V)
106		fvexd 6857	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ V)
107	104, 67, 105, 106	fsuppmptdm 9316	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))) finSupp (0g‘𝑅))
108	4, 62, 5, 18, 6, 101, 22, 103, 107	srgsummulcr 19954	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) × 𝐴))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) × 𝐴))
109	81, 100, 108	3eqtr2rd 2783	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) × 𝐴) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
110	109	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) × 𝐴) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
111	3, 110	eqtrd 2776	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐴) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3445  {csn 4586   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   < clt 11189   − cmin 11385  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12499  ...cfz 13424  Ccbc 14202  Basecbs 17083  +_gcplusg 17133  ._rcmulr 17134  0_gc0g 17321   Σ_g cgsu 17322  Mndcmnd 18556  ._gcmg 18872  CMndccmn 19562  mulGrpcmgp 19896  SRingcsrg 19917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-srg 19918

This theorem is referenced by:  srgbinomlem  19961