MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issrg 19927
Description: The predicate "is a semiring". (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
issrg.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
issrg.g ๐บ = (mulGrpโ€˜๐‘…)
issrg.p + = (+gโ€˜๐‘…)
issrg.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
issrg.0 0 = (0gโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
issrg (๐‘… โˆˆ SRing โ†” (๐‘… โˆˆ CMnd โˆง ๐บ โˆˆ Mnd โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ + ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) + (๐‘ฆ ยท ๐‘ง))) โˆง (( 0 ยท ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฅ ยท 0 ) = 0 ))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง, +   ๐‘ฅ, 0 ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ฅ, ยท ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ฅ,๐‘…,๐‘ฆ,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐บ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง)

Proof of Theorem issrg
Dummy variables ๐‘› ๐‘ ๐‘ ๐‘Ÿ ๐‘ก are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issrg.g . . . . . 6 ๐บ = (mulGrpโ€˜๐‘…)
21eleq1i 2825 . . . . 5 (๐บ โˆˆ Mnd โ†” (mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ Mnd)
32bicomi 223 . . . 4 ((mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ Mnd โ†” ๐บ โˆˆ Mnd)
4 issrg.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
54fvexi 6860 . . . . 5 ๐ต โˆˆ V
6 issrg.p . . . . . 6 + = (+gโ€˜๐‘…)
76fvexi 6860 . . . . 5 + โˆˆ V
8 issrg.t . . . . . . . 8 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
98fvexi 6860 . . . . . . 7 ยท โˆˆ V
109a1i 11 . . . . . 6 ((๐‘ = ๐ต โˆง ๐‘ = + ) โ†’ ยท โˆˆ V)
11 issrg.0 . . . . . . . . 9 0 = (0gโ€˜๐‘…)
1211fvexi 6860 . . . . . . . 8 0 โˆˆ V
1312a1i 11 . . . . . . 7 (((๐‘ = ๐ต โˆง ๐‘ = + ) โˆง ๐‘ก = ยท ) โ†’ 0 โˆˆ V)
14 simplll 774 . . . . . . . 8 ((((๐‘ = ๐ต โˆง ๐‘ = + ) โˆง ๐‘ก = ยท ) โˆง ๐‘› = 0 ) โ†’ ๐‘ = ๐ต)
15 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ = ๐ต โˆง ๐‘ = + ) โˆง ๐‘ก = ยท ) โˆง ๐‘› = 0 ) โ†’ ๐‘ก = ยท )
16 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ = ๐ต โˆง ๐‘ = + ) โˆง ๐‘ก = ยท ) โˆง ๐‘› = 0 ) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฅ)
17 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ = ๐ต โˆง ๐‘ = + ) โˆง ๐‘ก = ยท ) โˆง ๐‘› = 0 ) โ†’ ๐‘ = + )
1817oveqd 7378 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ = ๐ต โˆง ๐‘ = + ) โˆง ๐‘ก = ยท ) โˆง ๐‘› = 0 ) โ†’ (๐‘ฆ๐‘๐‘ง) = (๐‘ฆ + ๐‘ง))
1915, 16, 18oveq123d 7382 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ = ๐ต โˆง ๐‘ = + ) โˆง ๐‘ก = ยท ) โˆง ๐‘› = 0 ) โ†’ (๐‘ฅ๐‘ก(๐‘ฆ๐‘๐‘ง)) = (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ + ๐‘ง)))
2015oveqd 7378 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ = ๐ต โˆง ๐‘ = + ) โˆง ๐‘ก = ยท ) โˆง ๐‘› = 0 ) โ†’ (๐‘ฅ๐‘ก๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ))
2115oveqd 7378 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ = ๐ต โˆง ๐‘ = + ) โˆง ๐‘ก = ยท ) โˆง ๐‘› = 0 ) โ†’ (๐‘ฅ๐‘ก๐‘ง) = (๐‘ฅ ยท ๐‘ง))
2217, 20, 21oveq123d 7382 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ = ๐ต โˆง ๐‘ = + ) โˆง ๐‘ก = ยท ) โˆง ๐‘› = 0 ) โ†’ ((๐‘ฅ๐‘ก๐‘ฆ)๐‘(๐‘ฅ๐‘ก๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘ง)))
2319, 22eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ = ๐ต โˆง ๐‘ = + ) โˆง ๐‘ก = ยท ) โˆง ๐‘› = 0 ) โ†’ ((๐‘ฅ๐‘ก(๐‘ฆ๐‘๐‘ง)) = ((๐‘ฅ๐‘ก๐‘ฆ)๐‘(๐‘ฅ๐‘ก๐‘ง)) โ†” (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ + ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘ง))))
2417oveqd 7378 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ = ๐ต โˆง ๐‘ = + ) โˆง ๐‘ก = ยท ) โˆง ๐‘› = 0 ) โ†’ (๐‘ฅ๐‘๐‘ฆ) = (๐‘ฅ + ๐‘ฆ))
25 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ = ๐ต โˆง ๐‘ = + ) โˆง ๐‘ก = ยท ) โˆง ๐‘› = 0 ) โ†’ ๐‘ง = ๐‘ง)
2615, 24, 25oveq123d 7382 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ = ๐ต โˆง ๐‘ = + ) โˆง ๐‘ก = ยท ) โˆง ๐‘› = 0 ) โ†’ ((๐‘ฅ๐‘๐‘ฆ)๐‘ก๐‘ง) = ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง))
2715oveqd 7378 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ = ๐ต โˆง ๐‘ = + ) โˆง ๐‘ก = ยท ) โˆง ๐‘› = 0 ) โ†’ (๐‘ฆ๐‘ก๐‘ง) = (๐‘ฆ ยท ๐‘ง))
2817, 21, 27oveq123d 7382 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ = ๐ต โˆง ๐‘ = + ) โˆง ๐‘ก = ยท ) โˆง ๐‘› = 0 ) โ†’ ((๐‘ฅ๐‘ก๐‘ง)๐‘(๐‘ฆ๐‘ก๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) + (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
2926, 28eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ = ๐ต โˆง ๐‘ = + ) โˆง ๐‘ก = ยท ) โˆง ๐‘› = 0 ) โ†’ (((๐‘ฅ๐‘๐‘ฆ)๐‘ก๐‘ง) = ((๐‘ฅ๐‘ก๐‘ง)๐‘(๐‘ฆ๐‘ก๐‘ง)) โ†” ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) + (๐‘ฆ ยท ๐‘ง))))
3023, 29anbi12d 632 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ = ๐ต โˆง ๐‘ = + ) โˆง ๐‘ก = ยท ) โˆง ๐‘› = 0 ) โ†’ (((๐‘ฅ๐‘ก(๐‘ฆ๐‘๐‘ง)) = ((๐‘ฅ๐‘ก๐‘ฆ)๐‘(๐‘ฅ๐‘ก๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ๐‘๐‘ฆ)๐‘ก๐‘ง) = ((๐‘ฅ๐‘ก๐‘ง)๐‘(๐‘ฆ๐‘ก๐‘ง))) โ†” ((๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ + ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) + (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))))
3114, 30raleqbidv 3318 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ = ๐ต โˆง ๐‘ = + ) โˆง ๐‘ก = ยท ) โˆง ๐‘› = 0 ) โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ ((๐‘ฅ๐‘ก(๐‘ฆ๐‘๐‘ง)) = ((๐‘ฅ๐‘ก๐‘ฆ)๐‘(๐‘ฅ๐‘ก๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ๐‘๐‘ฆ)๐‘ก๐‘ง) = ((๐‘ฅ๐‘ก๐‘ง)๐‘(๐‘ฆ๐‘ก๐‘ง))) โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ + ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) + (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))))
3214, 31raleqbidv 3318 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ = ๐ต โˆง ๐‘ = + ) โˆง ๐‘ก = ยท ) โˆง ๐‘› = 0 ) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ ((๐‘ฅ๐‘ก(๐‘ฆ๐‘๐‘ง)) = ((๐‘ฅ๐‘ก๐‘ฆ)๐‘(๐‘ฅ๐‘ก๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ๐‘๐‘ฆ)๐‘ก๐‘ง) = ((๐‘ฅ๐‘ก๐‘ง)๐‘(๐‘ฆ๐‘ก๐‘ง))) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ + ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) + (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))))
33 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ = ๐ต โˆง ๐‘ = + ) โˆง ๐‘ก = ยท ) โˆง ๐‘› = 0 ) โ†’ ๐‘› = 0 )
3415, 33, 16oveq123d 7382 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ = ๐ต โˆง ๐‘ = + ) โˆง ๐‘ก = ยท ) โˆง ๐‘› = 0 ) โ†’ (๐‘›๐‘ก๐‘ฅ) = ( 0 ยท ๐‘ฅ))
3534, 33eqeq12d 2749 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ = ๐ต โˆง ๐‘ = + ) โˆง ๐‘ก = ยท ) โˆง ๐‘› = 0 ) โ†’ ((๐‘›๐‘ก๐‘ฅ) = ๐‘› โ†” ( 0 ยท ๐‘ฅ) = 0 ))
3615, 16, 33oveq123d 7382 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ = ๐ต โˆง ๐‘ = + ) โˆง ๐‘ก = ยท ) โˆง ๐‘› = 0 ) โ†’ (๐‘ฅ๐‘ก๐‘›) = (๐‘ฅ ยท 0 ))
3736, 33eqeq12d 2749 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ = ๐ต โˆง ๐‘ = + ) โˆง ๐‘ก = ยท ) โˆง ๐‘› = 0 ) โ†’ ((๐‘ฅ๐‘ก๐‘›) = ๐‘› โ†” (๐‘ฅ ยท 0 ) = 0 ))
3835, 37anbi12d 632 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ = ๐ต โˆง ๐‘ = + ) โˆง ๐‘ก = ยท ) โˆง ๐‘› = 0 ) โ†’ (((๐‘›๐‘ก๐‘ฅ) = ๐‘› โˆง (๐‘ฅ๐‘ก๐‘›) = ๐‘›) โ†” (( 0 ยท ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฅ ยท 0 ) = 0 )))
3932, 38anbi12d 632 . . . . . . . 8 ((((๐‘ = ๐ต โˆง ๐‘ = + ) โˆง ๐‘ก = ยท ) โˆง ๐‘› = 0 ) โ†’ ((โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ ((๐‘ฅ๐‘ก(๐‘ฆ๐‘๐‘ง)) = ((๐‘ฅ๐‘ก๐‘ฆ)๐‘(๐‘ฅ๐‘ก๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ๐‘๐‘ฆ)๐‘ก๐‘ง) = ((๐‘ฅ๐‘ก๐‘ง)๐‘(๐‘ฆ๐‘ก๐‘ง))) โˆง ((๐‘›๐‘ก๐‘ฅ) = ๐‘› โˆง (๐‘ฅ๐‘ก๐‘›) = ๐‘›)) โ†” (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ + ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) + (๐‘ฆ ยท ๐‘ง))) โˆง (( 0 ยท ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฅ ยท 0 ) = 0 ))))
4014, 39raleqbidv 3318 . . . . . . 7 ((((๐‘ = ๐ต โˆง ๐‘ = + ) โˆง ๐‘ก = ยท ) โˆง ๐‘› = 0 ) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ ((๐‘ฅ๐‘ก(๐‘ฆ๐‘๐‘ง)) = ((๐‘ฅ๐‘ก๐‘ฆ)๐‘(๐‘ฅ๐‘ก๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ๐‘๐‘ฆ)๐‘ก๐‘ง) = ((๐‘ฅ๐‘ก๐‘ง)๐‘(๐‘ฆ๐‘ก๐‘ง))) โˆง ((๐‘›๐‘ก๐‘ฅ) = ๐‘› โˆง (๐‘ฅ๐‘ก๐‘›) = ๐‘›)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ + ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) + (๐‘ฆ ยท ๐‘ง))) โˆง (( 0 ยท ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฅ ยท 0 ) = 0 ))))
4113, 40sbcied 3788 . . . . . 6 (((๐‘ = ๐ต โˆง ๐‘ = + ) โˆง ๐‘ก = ยท ) โ†’ ([ 0 / ๐‘›]โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ ((๐‘ฅ๐‘ก(๐‘ฆ๐‘๐‘ง)) = ((๐‘ฅ๐‘ก๐‘ฆ)๐‘(๐‘ฅ๐‘ก๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ๐‘๐‘ฆ)๐‘ก๐‘ง) = ((๐‘ฅ๐‘ก๐‘ง)๐‘(๐‘ฆ๐‘ก๐‘ง))) โˆง ((๐‘›๐‘ก๐‘ฅ) = ๐‘› โˆง (๐‘ฅ๐‘ก๐‘›) = ๐‘›)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ + ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) + (๐‘ฆ ยท ๐‘ง))) โˆง (( 0 ยท ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฅ ยท 0 ) = 0 ))))
4210, 41sbcied 3788 . . . . 5 ((๐‘ = ๐ต โˆง ๐‘ = + ) โ†’ ([ ยท / ๐‘ก][ 0 / ๐‘›]โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ ((๐‘ฅ๐‘ก(๐‘ฆ๐‘๐‘ง)) = ((๐‘ฅ๐‘ก๐‘ฆ)๐‘(๐‘ฅ๐‘ก๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ๐‘๐‘ฆ)๐‘ก๐‘ง) = ((๐‘ฅ๐‘ก๐‘ง)๐‘(๐‘ฆ๐‘ก๐‘ง))) โˆง ((๐‘›๐‘ก๐‘ฅ) = ๐‘› โˆง (๐‘ฅ๐‘ก๐‘›) = ๐‘›)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ + ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) + (๐‘ฆ ยท ๐‘ง))) โˆง (( 0 ยท ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฅ ยท 0 ) = 0 ))))
435, 7, 42sbc2ie 3826 . . . 4 ([๐ต / ๐‘][ + / ๐‘][ ยท / ๐‘ก][ 0 / ๐‘›]โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ ((๐‘ฅ๐‘ก(๐‘ฆ๐‘๐‘ง)) = ((๐‘ฅ๐‘ก๐‘ฆ)๐‘(๐‘ฅ๐‘ก๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ๐‘๐‘ฆ)๐‘ก๐‘ง) = ((๐‘ฅ๐‘ก๐‘ง)๐‘(๐‘ฆ๐‘ก๐‘ง))) โˆง ((๐‘›๐‘ก๐‘ฅ) = ๐‘› โˆง (๐‘ฅ๐‘ก๐‘›) = ๐‘›)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ + ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) + (๐‘ฆ ยท ๐‘ง))) โˆง (( 0 ยท ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฅ ยท 0 ) = 0 )))
443, 43anbi12i 628 . . 3 (((mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ Mnd โˆง [๐ต / ๐‘][ + / ๐‘][ ยท / ๐‘ก][ 0 / ๐‘›]โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ ((๐‘ฅ๐‘ก(๐‘ฆ๐‘๐‘ง)) = ((๐‘ฅ๐‘ก๐‘ฆ)๐‘(๐‘ฅ๐‘ก๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ๐‘๐‘ฆ)๐‘ก๐‘ง) = ((๐‘ฅ๐‘ก๐‘ง)๐‘(๐‘ฆ๐‘ก๐‘ง))) โˆง ((๐‘›๐‘ก๐‘ฅ) = ๐‘› โˆง (๐‘ฅ๐‘ก๐‘›) = ๐‘›))) โ†” (๐บ โˆˆ Mnd โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ + ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) + (๐‘ฆ ยท ๐‘ง))) โˆง (( 0 ยท ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฅ ยท 0 ) = 0 ))))
4544anbi2i 624 . 2 ((๐‘… โˆˆ CMnd โˆง ((mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ Mnd โˆง [๐ต / ๐‘][ + / ๐‘][ ยท / ๐‘ก][ 0 / ๐‘›]โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ ((๐‘ฅ๐‘ก(๐‘ฆ๐‘๐‘ง)) = ((๐‘ฅ๐‘ก๐‘ฆ)๐‘(๐‘ฅ๐‘ก๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ๐‘๐‘ฆ)๐‘ก๐‘ง) = ((๐‘ฅ๐‘ก๐‘ง)๐‘(๐‘ฆ๐‘ก๐‘ง))) โˆง ((๐‘›๐‘ก๐‘ฅ) = ๐‘› โˆง (๐‘ฅ๐‘ก๐‘›) = ๐‘›)))) โ†” (๐‘… โˆˆ CMnd โˆง (๐บ โˆˆ Mnd โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ + ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) + (๐‘ฆ ยท ๐‘ง))) โˆง (( 0 ยท ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฅ ยท 0 ) = 0 )))))
46 fveq2 6846 . . . . 5 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘Ÿ) = (mulGrpโ€˜๐‘…))
4746eleq1d 2819 . . . 4 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘Ÿ) โˆˆ Mnd โ†” (mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ Mnd))
48 fveq2 6846 . . . . . 6 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (Baseโ€˜๐‘Ÿ) = (Baseโ€˜๐‘…))
4948, 4eqtr4di 2791 . . . . 5 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (Baseโ€˜๐‘Ÿ) = ๐ต)
50 fveq2 6846 . . . . . . 7 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (+gโ€˜๐‘Ÿ) = (+gโ€˜๐‘…))
5150, 6eqtr4di 2791 . . . . . 6 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (+gโ€˜๐‘Ÿ) = + )
52 fveq2 6846 . . . . . . . 8 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (.rโ€˜๐‘Ÿ) = (.rโ€˜๐‘…))
5352, 8eqtr4di 2791 . . . . . . 7 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (.rโ€˜๐‘Ÿ) = ยท )
54 fveq2 6846 . . . . . . . . 9 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (0gโ€˜๐‘Ÿ) = (0gโ€˜๐‘…))
5554, 11eqtr4di 2791 . . . . . . . 8 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (0gโ€˜๐‘Ÿ) = 0 )
5655sbceq1d 3748 . . . . . . 7 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ ([(0gโ€˜๐‘Ÿ) / ๐‘›]โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ ((๐‘ฅ๐‘ก(๐‘ฆ๐‘๐‘ง)) = ((๐‘ฅ๐‘ก๐‘ฆ)๐‘(๐‘ฅ๐‘ก๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ๐‘๐‘ฆ)๐‘ก๐‘ง) = ((๐‘ฅ๐‘ก๐‘ง)๐‘(๐‘ฆ๐‘ก๐‘ง))) โˆง ((๐‘›๐‘ก๐‘ฅ) = ๐‘› โˆง (๐‘ฅ๐‘ก๐‘›) = ๐‘›)) โ†” [ 0 / ๐‘›]โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ ((๐‘ฅ๐‘ก(๐‘ฆ๐‘๐‘ง)) = ((๐‘ฅ๐‘ก๐‘ฆ)๐‘(๐‘ฅ๐‘ก๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ๐‘๐‘ฆ)๐‘ก๐‘ง) = ((๐‘ฅ๐‘ก๐‘ง)๐‘(๐‘ฆ๐‘ก๐‘ง))) โˆง ((๐‘›๐‘ก๐‘ฅ) = ๐‘› โˆง (๐‘ฅ๐‘ก๐‘›) = ๐‘›))))
5753, 56sbceqbid 3750 . . . . . 6 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ ([(.rโ€˜๐‘Ÿ) / ๐‘ก][(0gโ€˜๐‘Ÿ) / ๐‘›]โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ ((๐‘ฅ๐‘ก(๐‘ฆ๐‘๐‘ง)) = ((๐‘ฅ๐‘ก๐‘ฆ)๐‘(๐‘ฅ๐‘ก๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ๐‘๐‘ฆ)๐‘ก๐‘ง) = ((๐‘ฅ๐‘ก๐‘ง)๐‘(๐‘ฆ๐‘ก๐‘ง))) โˆง ((๐‘›๐‘ก๐‘ฅ) = ๐‘› โˆง (๐‘ฅ๐‘ก๐‘›) = ๐‘›)) โ†” [ ยท / ๐‘ก][ 0 / ๐‘›]โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ ((๐‘ฅ๐‘ก(๐‘ฆ๐‘๐‘ง)) = ((๐‘ฅ๐‘ก๐‘ฆ)๐‘(๐‘ฅ๐‘ก๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ๐‘๐‘ฆ)๐‘ก๐‘ง) = ((๐‘ฅ๐‘ก๐‘ง)๐‘(๐‘ฆ๐‘ก๐‘ง))) โˆง ((๐‘›๐‘ก๐‘ฅ) = ๐‘› โˆง (๐‘ฅ๐‘ก๐‘›) = ๐‘›))))
5851, 57sbceqbid 3750 . . . . 5 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ ([(+gโ€˜๐‘Ÿ) / ๐‘][(.rโ€˜๐‘Ÿ) / ๐‘ก][(0gโ€˜๐‘Ÿ) / ๐‘›]โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ ((๐‘ฅ๐‘ก(๐‘ฆ๐‘๐‘ง)) = ((๐‘ฅ๐‘ก๐‘ฆ)๐‘(๐‘ฅ๐‘ก๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ๐‘๐‘ฆ)๐‘ก๐‘ง) = ((๐‘ฅ๐‘ก๐‘ง)๐‘(๐‘ฆ๐‘ก๐‘ง))) โˆง ((๐‘›๐‘ก๐‘ฅ) = ๐‘› โˆง (๐‘ฅ๐‘ก๐‘›) = ๐‘›)) โ†” [ + / ๐‘][ ยท / ๐‘ก][ 0 / ๐‘›]โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ ((๐‘ฅ๐‘ก(๐‘ฆ๐‘๐‘ง)) = ((๐‘ฅ๐‘ก๐‘ฆ)๐‘(๐‘ฅ๐‘ก๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ๐‘๐‘ฆ)๐‘ก๐‘ง) = ((๐‘ฅ๐‘ก๐‘ง)๐‘(๐‘ฆ๐‘ก๐‘ง))) โˆง ((๐‘›๐‘ก๐‘ฅ) = ๐‘› โˆง (๐‘ฅ๐‘ก๐‘›) = ๐‘›))))
5949, 58sbceqbid 3750 . . . 4 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ ([(Baseโ€˜๐‘Ÿ) / ๐‘][(+gโ€˜๐‘Ÿ) / ๐‘][(.rโ€˜๐‘Ÿ) / ๐‘ก][(0gโ€˜๐‘Ÿ) / ๐‘›]โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ ((๐‘ฅ๐‘ก(๐‘ฆ๐‘๐‘ง)) = ((๐‘ฅ๐‘ก๐‘ฆ)๐‘(๐‘ฅ๐‘ก๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ๐‘๐‘ฆ)๐‘ก๐‘ง) = ((๐‘ฅ๐‘ก๐‘ง)๐‘(๐‘ฆ๐‘ก๐‘ง))) โˆง ((๐‘›๐‘ก๐‘ฅ) = ๐‘› โˆง (๐‘ฅ๐‘ก๐‘›) = ๐‘›)) โ†” [๐ต / ๐‘][ + / ๐‘][ ยท / ๐‘ก][ 0 / ๐‘›]โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ ((๐‘ฅ๐‘ก(๐‘ฆ๐‘๐‘ง)) = ((๐‘ฅ๐‘ก๐‘ฆ)๐‘(๐‘ฅ๐‘ก๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ๐‘๐‘ฆ)๐‘ก๐‘ง) = ((๐‘ฅ๐‘ก๐‘ง)๐‘(๐‘ฆ๐‘ก๐‘ง))) โˆง ((๐‘›๐‘ก๐‘ฅ) = ๐‘› โˆง (๐‘ฅ๐‘ก๐‘›) = ๐‘›))))
6047, 59anbi12d 632 . . 3 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (((mulGrpโ€˜๐‘Ÿ) โˆˆ Mnd โˆง [(Baseโ€˜๐‘Ÿ) / ๐‘][(+gโ€˜๐‘Ÿ) / ๐‘][(.rโ€˜๐‘Ÿ) / ๐‘ก][(0gโ€˜๐‘Ÿ) / ๐‘›]โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ ((๐‘ฅ๐‘ก(๐‘ฆ๐‘๐‘ง)) = ((๐‘ฅ๐‘ก๐‘ฆ)๐‘(๐‘ฅ๐‘ก๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ๐‘๐‘ฆ)๐‘ก๐‘ง) = ((๐‘ฅ๐‘ก๐‘ง)๐‘(๐‘ฆ๐‘ก๐‘ง))) โˆง ((๐‘›๐‘ก๐‘ฅ) = ๐‘› โˆง (๐‘ฅ๐‘ก๐‘›) = ๐‘›))) โ†” ((mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ Mnd โˆง [๐ต / ๐‘][ + / ๐‘][ ยท / ๐‘ก][ 0 / ๐‘›]โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ ((๐‘ฅ๐‘ก(๐‘ฆ๐‘๐‘ง)) = ((๐‘ฅ๐‘ก๐‘ฆ)๐‘(๐‘ฅ๐‘ก๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ๐‘๐‘ฆ)๐‘ก๐‘ง) = ((๐‘ฅ๐‘ก๐‘ง)๐‘(๐‘ฆ๐‘ก๐‘ง))) โˆง ((๐‘›๐‘ก๐‘ฅ) = ๐‘› โˆง (๐‘ฅ๐‘ก๐‘›) = ๐‘›)))))
61 df-srg 19926 . . 3 SRing = {๐‘Ÿ โˆˆ CMnd โˆฃ ((mulGrpโ€˜๐‘Ÿ) โˆˆ Mnd โˆง [(Baseโ€˜๐‘Ÿ) / ๐‘][(+gโ€˜๐‘Ÿ) / ๐‘][(.rโ€˜๐‘Ÿ) / ๐‘ก][(0gโ€˜๐‘Ÿ) / ๐‘›]โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ ((๐‘ฅ๐‘ก(๐‘ฆ๐‘๐‘ง)) = ((๐‘ฅ๐‘ก๐‘ฆ)๐‘(๐‘ฅ๐‘ก๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ๐‘๐‘ฆ)๐‘ก๐‘ง) = ((๐‘ฅ๐‘ก๐‘ง)๐‘(๐‘ฆ๐‘ก๐‘ง))) โˆง ((๐‘›๐‘ก๐‘ฅ) = ๐‘› โˆง (๐‘ฅ๐‘ก๐‘›) = ๐‘›)))}
6260, 61elrab2 3652 . 2 (๐‘… โˆˆ SRing โ†” (๐‘… โˆˆ CMnd โˆง ((mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ Mnd โˆง [๐ต / ๐‘][ + / ๐‘][ ยท / ๐‘ก][ 0 / ๐‘›]โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ ((๐‘ฅ๐‘ก(๐‘ฆ๐‘๐‘ง)) = ((๐‘ฅ๐‘ก๐‘ฆ)๐‘(๐‘ฅ๐‘ก๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ๐‘๐‘ฆ)๐‘ก๐‘ง) = ((๐‘ฅ๐‘ก๐‘ง)๐‘(๐‘ฆ๐‘ก๐‘ง))) โˆง ((๐‘›๐‘ก๐‘ฅ) = ๐‘› โˆง (๐‘ฅ๐‘ก๐‘›) = ๐‘›)))))
63 3anass 1096 . 2 ((๐‘… โˆˆ CMnd โˆง ๐บ โˆˆ Mnd โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ + ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) + (๐‘ฆ ยท ๐‘ง))) โˆง (( 0 ยท ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฅ ยท 0 ) = 0 ))) โ†” (๐‘… โˆˆ CMnd โˆง (๐บ โˆˆ Mnd โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ + ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) + (๐‘ฆ ยท ๐‘ง))) โˆง (( 0 ยท ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฅ ยท 0 ) = 0 )))))
6445, 62, 633bitr4i 303 1 (๐‘… โˆˆ SRing โ†” (๐‘… โˆˆ CMnd โˆง ๐บ โˆˆ Mnd โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ + ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) + (๐‘ฆ ยท ๐‘ง))) โˆง (( 0 ยท ๐‘ฅ) = 0 โˆง (๐‘ฅ ยท 0 ) = 0 ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061  Vcvv 3447  [wsbc 3743  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  .rcmulr 17142  0gc0g 17329  Mndcmnd 18564  CMndccmn 19570  mulGrpcmgp 19904  SRingcsrg 19925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-nul 5267
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-iota 6452  df-fv 6508  df-ov 7364  df-srg 19926
This theorem is referenced by:  srgcmn  19928  srgmgp  19930  srgdilem  19931  srgrz  19946  srglz  19947  ringsrg  20021  nn0srg  20890  rge0srg  20891
  Copyright terms: Public domain W3C validator