Theorem srgbinomlem 20257

Description: Lemma for srgbinom 20258. Inductive step, analogous to binomlem 15877. (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgbinom.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
srgbinom.m	⊢ × = (.r‘𝑅)
srgbinom.t	⊢ · = (.g‘𝑅)
srgbinom.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
srgbinom.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
srgbinom.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
srgbinomlem.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
srgbinomlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
srgbinomlem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
srgbinomlem.c	⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
srgbinomlem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
srgbinomlem.i	⊢ (𝜓 → (𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))

Assertion

Ref	Expression
srgbinomlem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑁 + 1) ↑ (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁   𝑅,𝑘   𝑆,𝑘   · ,𝑘   × ,𝑘   ↑ ,𝑘   𝜑,𝑘   + ,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem srgbinomlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgbinom.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
2		srgbinom.m	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑅)
3		srgbinom.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝑅)
4		srgbinom.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
5		srgbinom.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
6		srgbinom.e	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
7		srgbinomlem.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
8		srgbinomlem.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
9		srgbinomlem.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
10		srgbinomlem.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
11		srgbinomlem.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
12		srgbinomlem.i	. . . 4 ⊢ (𝜓 → (𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	srgbinomlem3 20255	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐴) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	srgbinomlem4 20256	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐵) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
15	13, 14	oveq12d 7466	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐴) + ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐵)) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))))
16	5	srgmgp 20218	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝐺 ∈ Mnd)
17	7, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
18		srgmnd 20217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd)
19	7, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
20	1, 4	mndcl 18780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑆)
21	19, 8, 9, 20	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑆)
22	17, 11, 21	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑆))
23	22	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑆))
24	5, 1	mgpbas 20167	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐺)
25	5, 2	mgpplusg 20165	. . . . 5 ⊢ × = (+g‘𝐺)
26	24, 6, 25	mulgnn0p1 19125	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑆) → ((𝑁 + 1) ↑ (𝐴 + 𝐵)) = ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × (𝐴 + 𝐵)))
27	23, 26	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑁 + 1) ↑ (𝐴 + 𝐵)) = ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × (𝐴 + 𝐵)))
28	24, 6, 17, 11, 21	mulgnn0cld 19135	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) ∈ 𝑆)
29	28, 8, 9	3jca 1128	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆))
30	7, 29	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)))
31	30	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)))
32	1, 4, 2	srgdi 20224	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × (𝐴 + 𝐵)) = (((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐴) + ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐵)))
33	31, 32	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × (𝐴 + 𝐵)) = (((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐴) + ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐵)))
34	27, 33	eqtrd 2780	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑁 + 1) ↑ (𝐴 + 𝐵)) = (((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐴) + ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐵)))
35		elfzelz 13584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
36		bcpasc 14370	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝑘))
37	11, 35, 36	syl2an 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝑘))
38	37	oveq1d 7463	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) = (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))
39	19	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑅 ∈ Mnd)
40		bccl 14371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
41	11, 35, 40	syl2an 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
42	35	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
43		peano2zm 12686	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
45		bccl 14371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
46	11, 44, 45	syl2an2r 684	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
47	7	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑅 ∈ SRing)
48	17	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝐺 ∈ Mnd)
49		fznn0sub 13616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
50	49	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
51	8	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ 𝑆)
52	24, 6, 48, 50, 51	mulgnn0cld 19135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) ∈ 𝑆)
53		elfznn0 13677	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
54	53	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
55	9	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ 𝑆)
56	24, 6, 48, 54, 55	mulgnn0cld 19135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑘 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆)
57	1, 2	srgcl 20220	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (𝑘 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆) → ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)) ∈ 𝑆)
58	47, 52, 56, 57	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)) ∈ 𝑆)
59	1, 3, 4	mulgnn0dir 19144	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ ((𝑁C𝑘) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)) ∈ 𝑆)) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) = (((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))
60	39, 41, 46, 58, 59	syl13anc 1372	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) = (((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))
61	38, 60	eqtr3d 2782	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) = (((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))
62	61	mpteq2dva 5266	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))) = (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
63	62	oveq2d 7464	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))))
64		srgcmn 20216	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ CMnd)
65	7, 64	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
66		fzfid 14024	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
67	1, 3, 39, 41, 58	mulgnn0cld 19135	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
68	35, 43	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
69	11, 68, 45	syl2an 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
70	1, 3, 39, 69, 58	mulgnn0cld 19135	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
71		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))) = (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))
72		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))) = (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))
73	1, 4, 65, 66, 67, 70, 71, 72	gsummptfidmadd 19967	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))))
74	63, 73	eqtrd 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))))
75	74	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))))
76	15, 34, 75	3eqtr4d 2790	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑁 + 1) ↑ (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ↦ cmpt 5249  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   − cmin 11520  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639  ...cfz 13567  Ccbc 14351  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  ._rcmulr 17312   Σ_g cgsu 17500  Mndcmnd 18772  ._gcmg 19107  CMndccmn 19822  mulGrpcmgp 20161  SRingcsrg 20213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-mgp 20162  df-ur 20209  df-srg 20214

This theorem is referenced by:  srgbinom  20258