Theorem srgbinomlem 20228

Description: Lemma for srgbinom 20229. Inductive step, analogous to binomlem 15866. (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgbinom.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
srgbinom.m	⊢ × = (.r‘𝑅)
srgbinom.t	⊢ · = (.g‘𝑅)
srgbinom.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
srgbinom.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
srgbinom.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
srgbinomlem.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
srgbinomlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
srgbinomlem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
srgbinomlem.c	⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
srgbinomlem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
srgbinomlem.i	⊢ (𝜓 → (𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))

Assertion

Ref	Expression
srgbinomlem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑁 + 1) ↑ (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁   𝑅,𝑘   𝑆,𝑘   · ,𝑘   × ,𝑘   ↑ ,𝑘   𝜑,𝑘   + ,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem srgbinomlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgbinom.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
2		srgbinom.m	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑅)
3		srgbinom.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝑅)
4		srgbinom.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
5		srgbinom.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
6		srgbinom.e	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
7		srgbinomlem.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
8		srgbinomlem.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
9		srgbinomlem.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
10		srgbinomlem.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
11		srgbinomlem.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
12		srgbinomlem.i	. . . 4 ⊢ (𝜓 → (𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	srgbinomlem3 20226	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐴) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	srgbinomlem4 20227	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐵) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
15	13, 14	oveq12d 7450	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐴) + ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐵)) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))))
16	5	srgmgp 20189	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝐺 ∈ Mnd)
17	7, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
18		srgmnd 20188	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd)
19	7, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
20	1, 4	mndcl 18756	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑆)
21	19, 8, 9, 20	syl3anc 1372	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑆)
22	17, 11, 21	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑆))
23	22	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑆))
24	5, 1	mgpbas 20143	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐺)
25	5, 2	mgpplusg 20142	. . . . 5 ⊢ × = (+g‘𝐺)
26	24, 6, 25	mulgnn0p1 19104	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑆) → ((𝑁 + 1) ↑ (𝐴 + 𝐵)) = ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × (𝐴 + 𝐵)))
27	23, 26	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑁 + 1) ↑ (𝐴 + 𝐵)) = ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × (𝐴 + 𝐵)))
28	24, 6, 17, 11, 21	mulgnn0cld 19114	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) ∈ 𝑆)
29	28, 8, 9	3jca 1128	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆))
30	7, 29	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)))
31	30	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)))
32	1, 4, 2	srgdi 20195	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × (𝐴 + 𝐵)) = (((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐴) + ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐵)))
33	31, 32	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × (𝐴 + 𝐵)) = (((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐴) + ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐵)))
34	27, 33	eqtrd 2776	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑁 + 1) ↑ (𝐴 + 𝐵)) = (((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐴) + ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐵)))
35		elfzelz 13565	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
36		bcpasc 14361	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝑘))
37	11, 35, 36	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝑘))
38	37	oveq1d 7447	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) = (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))
39	19	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑅 ∈ Mnd)
40		bccl 14362	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
41	11, 35, 40	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
42	35	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
43		peano2zm 12662	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
45		bccl 14362	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
46	11, 44, 45	syl2an2r 685	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
47	7	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑅 ∈ SRing)
48	17	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝐺 ∈ Mnd)
49		fznn0sub 13597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
50	49	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
51	8	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ 𝑆)
52	24, 6, 48, 50, 51	mulgnn0cld 19114	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) ∈ 𝑆)
53		elfznn0 13661	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
54	53	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
55	9	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ 𝑆)
56	24, 6, 48, 54, 55	mulgnn0cld 19114	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑘 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆)
57	1, 2	srgcl 20191	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (𝑘 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆) → ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)) ∈ 𝑆)
58	47, 52, 56, 57	syl3anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)) ∈ 𝑆)
59	1, 3, 4	mulgnn0dir 19123	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ ((𝑁C𝑘) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)) ∈ 𝑆)) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) = (((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))
60	39, 41, 46, 58, 59	syl13anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) = (((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))
61	38, 60	eqtr3d 2778	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) = (((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))
62	61	mpteq2dva 5241	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))) = (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
63	62	oveq2d 7448	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))))
64		srgcmn 20187	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ CMnd)
65	7, 64	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
66		fzfid 14015	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
67	1, 3, 39, 41, 58	mulgnn0cld 19114	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
68	35, 43	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
69	11, 68, 45	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
70	1, 3, 39, 69, 58	mulgnn0cld 19114	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
71		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))) = (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))
72		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))) = (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))
73	1, 4, 65, 66, 67, 70, 71, 72	gsummptfidmadd 19944	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))))
74	63, 73	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))))
75	74	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))))
76	15, 34, 75	3eqtr4d 2786	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑁 + 1) ↑ (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ↦ cmpt 5224  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   − cmin 11493  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615  ...cfz 13548  Ccbc 14342  Basecbs 17248  +_gcplusg 17298  ._rcmulr 17299   Σ_g cgsu 17486  Mndcmnd 18748  ._gcmg 19086  CMndccmn 19799  mulGrpcmgp 20138  SRingcsrg 20184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-fac 14314  df-bc 14343  df-hash 14371  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-submnd 18798  df-mulg 19087  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-mgp 20139  df-ur 20180  df-srg 20185

This theorem is referenced by:  srgbinom  20229