Theorem srgbinomlem 20461

Description: Lemma for srgbinom 20462. Inductive step, analogous to binomlem 16003. (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgbinom.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
srgbinom.m	⊢ × = (.r‘𝑅)
srgbinom.t	⊢ · = (.g‘𝑅)
srgbinom.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
srgbinom.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
srgbinom.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
srgbinomlem.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
srgbinomlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
srgbinomlem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
srgbinomlem.c	⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
srgbinomlem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
srgbinomlem.i	⊢ (𝜓 → (𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))

Assertion

Ref	Expression
srgbinomlem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑁 + 1) ↑ (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁   𝑅,𝑘   𝑆,𝑘   · ,𝑘   × ,𝑘   ↑ ,𝑘   𝜑,𝑘   + ,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem srgbinomlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgbinom.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
2		srgbinom.m	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑅)
3		srgbinom.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝑅)
4		srgbinom.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
5		srgbinom.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
6		srgbinom.e	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
7		srgbinomlem.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
8		srgbinomlem.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
9		srgbinomlem.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
10		srgbinomlem.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
11		srgbinomlem.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
12		srgbinomlem.i	. . . 4 ⊢ (𝜓 → (𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	srgbinomlem3 20459	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐴) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	srgbinomlem4 20460	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐵) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
15	13, 14	oveq12d 7438	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐴) + ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐵)) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))))
16	5	srgmgp 20422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝐺 ∈ Mnd)
17	7, 16	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
18		srgmnd 20421	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd)
19	7, 18	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
20	1, 4	mndcl 18936	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑆)
21	19, 8, 9, 20	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑆)
22	17, 11, 21	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑆))
23	22	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑆))
24	5, 1	mgpbas 20370	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐺)
25	5, 2	mgpplusg 20369	. . . . 5 ⊢ × = (+g‘𝐺)
26	24, 6, 25	mulgnn0p1 19300	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑆) → ((𝑁 + 1) ↑ (𝐴 + 𝐵)) = ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × (𝐴 + 𝐵)))
27	23, 26	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑁 + 1) ↑ (𝐴 + 𝐵)) = ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × (𝐴 + 𝐵)))
28	24, 6, 17, 11, 21	mulgnn0cld 19310	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) ∈ 𝑆)
29	28, 8, 9	3jca 1146	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆))
30	7, 29	jca 521	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)))
31	30	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)))
32	1, 4, 2	srgdi 20428	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × (𝐴 + 𝐵)) = (((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐴) + ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐵)))
33	31, 32	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × (𝐴 + 𝐵)) = (((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐴) + ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐵)))
34	27, 33	eqtrd 2795	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑁 + 1) ↑ (𝐴 + 𝐵)) = (((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐴) + ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐵)))
35		elfzelz 13659	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
36		bcpasc 14468	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝑘))
37	11, 35, 36	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝑘))
38	37	oveq1d 7435	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) = (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))
39	19	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑅 ∈ Mnd)
40		bccl 14469	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
41	11, 35, 40	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
42	35	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
43		peano2zm 12742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
44	42, 43	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
45		bccl 14469	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
46	11, 44, 45	syl2an2r 698	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
47	7	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑅 ∈ SRing)
48	17	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝐺 ∈ Mnd)
49		fznn0sub 13693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
50	49	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
51	8	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ 𝑆)
52	24, 6, 48, 50, 51	mulgnn0cld 19310	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) ∈ 𝑆)
53		elfznn0 13757	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
54	53	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
55	9	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ 𝑆)
56	24, 6, 48, 54, 55	mulgnn0cld 19310	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑘 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆)
57	1, 2	srgcl 20424	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (𝑘 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆) → ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)) ∈ 𝑆)
58	47, 52, 56, 57	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)) ∈ 𝑆)
59	1, 3, 4	mulgnn0dir 19319	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ ((𝑁C𝑘) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)) ∈ 𝑆)) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) = (((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))
60	39, 41, 46, 58, 59	syl13anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) = (((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))
61	38, 60	eqtr3d 2797	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) = (((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))
62	61	mpteq2dva 5197	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))) = (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
63	62	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))))
64		srgcmn 20420	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ CMnd)
65	7, 64	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
66		fzfid 14119	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
67	1, 3, 39, 41, 58	mulgnn0cld 19310	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
68	35, 43	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
69	11, 68, 45	syl2an 608	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
70	1, 3, 39, 69, 58	mulgnn0cld 19310	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
71		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))) = (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))
72		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))) = (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))
73	1, 4, 65, 66, 67, 70, 71, 72	gsummptfidmadd 20144	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))))
74	63, 73	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))))
75	74	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))))
76	15, 34, 75	3eqtr4d 2805	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑁 + 1) ↑ (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11203  1c1 11204   + caddc 11206   − cmin 11544  ℕ₀cn0 12609  ℤcz 12696  ...cfz 13642  Ccbc 14449  Basecbs 17392  +_gcplusg 17433  ._rcmulr 17434   Σ_g cgsu 17616  Mndcmnd 18928  ._gcmg 19282  CMndccmn 19999  mulGrpcmgp 20365  SRingcsrg 20417

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8180  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-map 8852  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9357  df-oi 9507  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-rp 13124  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-seq 14148  df-fac 14421  df-bc 14450  df-hash 14478  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-0g 17617  df-gsum 17618  df-mre 17761  df-mrc 17762  df-acs 17764  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-mhm 18983  df-submnd 18984  df-mulg 19283  df-cntz 19536  df-cmn 20001  df-mgp 20366  df-ur 20413  df-srg 20418

This theorem is used by:  srgbinom  20462