Theorem srgbinomlem 20131

Description: Lemma for srgbinom 20132. Inductive step, analogous to binomlem 15782. (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgbinom.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
srgbinom.m	⊢ × = (.r‘𝑅)
srgbinom.t	⊢ · = (.g‘𝑅)
srgbinom.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
srgbinom.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
srgbinom.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
srgbinomlem.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
srgbinomlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
srgbinomlem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
srgbinomlem.c	⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
srgbinomlem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
srgbinomlem.i	⊢ (𝜓 → (𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))

Assertion

Ref	Expression
srgbinomlem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑁 + 1) ↑ (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁   𝑅,𝑘   𝑆,𝑘   · ,𝑘   × ,𝑘   ↑ ,𝑘   𝜑,𝑘   + ,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem srgbinomlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgbinom.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
2		srgbinom.m	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑅)
3		srgbinom.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝑅)
4		srgbinom.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
5		srgbinom.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
6		srgbinom.e	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
7		srgbinomlem.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
8		srgbinomlem.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
9		srgbinomlem.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
10		srgbinomlem.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
11		srgbinomlem.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
12		srgbinomlem.i	. . . 4 ⊢ (𝜓 → (𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	srgbinomlem3 20129	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐴) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	srgbinomlem4 20130	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐵) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
15	13, 14	oveq12d 7430	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐴) + ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐵)) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))))
16	5	srgmgp 20092	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝐺 ∈ Mnd)
17	7, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
18		srgmnd 20091	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd)
19	7, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
20	1, 4	mndcl 18673	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑆)
21	19, 8, 9, 20	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑆)
22	17, 11, 21	3jca 1127	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑆))
23	22	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑆))
24	5, 1	mgpbas 20041	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐺)
25	5, 2	mgpplusg 20039	. . . . 5 ⊢ × = (+g‘𝐺)
26	24, 6, 25	mulgnn0p1 19008	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑆) → ((𝑁 + 1) ↑ (𝐴 + 𝐵)) = ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × (𝐴 + 𝐵)))
27	23, 26	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑁 + 1) ↑ (𝐴 + 𝐵)) = ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × (𝐴 + 𝐵)))
28	24, 6, 17, 11, 21	mulgnn0cld 19018	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) ∈ 𝑆)
29	28, 8, 9	3jca 1127	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆))
30	7, 29	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)))
31	30	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)))
32	1, 4, 2	srgdi 20098	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × (𝐴 + 𝐵)) = (((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐴) + ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐵)))
33	31, 32	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × (𝐴 + 𝐵)) = (((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐴) + ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐵)))
34	27, 33	eqtrd 2771	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑁 + 1) ↑ (𝐴 + 𝐵)) = (((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐴) + ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐵)))
35		elfzelz 13508	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
36		bcpasc 14288	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝑘))
37	11, 35, 36	syl2an 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝑘))
38	37	oveq1d 7427	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) = (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))
39	19	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑅 ∈ Mnd)
40		bccl 14289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
41	11, 35, 40	syl2an 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
42	35	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
43		peano2zm 12612	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
45		bccl 14289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
46	11, 44, 45	syl2an2r 682	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
47	7	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑅 ∈ SRing)
48	17	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝐺 ∈ Mnd)
49		fznn0sub 13540	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
50	49	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
51	8	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ 𝑆)
52	24, 6, 48, 50, 51	mulgnn0cld 19018	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) ∈ 𝑆)
53		elfznn0 13601	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
54	53	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
55	9	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ 𝑆)
56	24, 6, 48, 54, 55	mulgnn0cld 19018	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑘 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆)
57	1, 2	srgcl 20094	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (𝑘 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆) → ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)) ∈ 𝑆)
58	47, 52, 56, 57	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)) ∈ 𝑆)
59	1, 3, 4	mulgnn0dir 19027	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ ((𝑁C𝑘) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)) ∈ 𝑆)) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) = (((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))
60	39, 41, 46, 58, 59	syl13anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) = (((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))
61	38, 60	eqtr3d 2773	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) = (((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))
62	61	mpteq2dva 5248	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))) = (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
63	62	oveq2d 7428	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))))
64		srgcmn 20090	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ CMnd)
65	7, 64	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
66		fzfid 13945	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
67	1, 3, 39, 41, 58	mulgnn0cld 19018	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
68	35, 43	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
69	11, 68, 45	syl2an 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
70	1, 3, 39, 69, 58	mulgnn0cld 19018	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
71		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))) = (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))
72		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))) = (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))
73	1, 4, 65, 66, 67, 70, 71, 72	gsummptfidmadd 19841	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))))
74	63, 73	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))))
75	74	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))))
76	15, 34, 75	3eqtr4d 2781	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑁 + 1) ↑ (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119   − cmin 11451  ℕ₀cn0 12479  ℤcz 12565  ...cfz 13491  Ccbc 14269  Basecbs 17151  +_gcplusg 17204  ._rcmulr 17205   Σ_g cgsu 17393  Mndcmnd 18665  ._gcmg 18993  CMndccmn 19696  mulGrpcmgp 20035  SRingcsrg 20087

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-fac 14241  df-bc 14270  df-hash 14298  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-submnd 18712  df-mulg 18994  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-mgp 20036  df-ur 20083  df-srg 20088

This theorem is referenced by:  srgbinom  20132