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Theorem srgbinomlem4 19960
Description: Lemma 4 for srgbinomlem 19961. (Contributed by AV, 24-Aug-2019.) (Proof shortened by AV, 19-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srgbinom.s 𝑆 = (Base‘𝑅)
srgbinom.m × = (.r𝑅)
srgbinom.t · = (.g𝑅)
srgbinom.a + = (+g𝑅)
srgbinom.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
srgbinom.e = (.g𝐺)
srgbinomlem.r (𝜑𝑅 ∈ SRing)
srgbinomlem.a (𝜑𝐴𝑆)
srgbinomlem.b (𝜑𝐵𝑆)
srgbinomlem.c (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
srgbinomlem.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
srgbinomlem.i (𝜓 → (𝑁 (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
Assertion
Ref Expression
srgbinomlem4 ((𝜑𝜓) → ((𝑁 (𝐴 + 𝐵)) × 𝐵) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁   𝑅,𝑘   𝑆,𝑘   · ,𝑘   × ,𝑘   ,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑘)   + (𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem srgbinomlem4
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 srgbinomlem.i . . 3 (𝜓 → (𝑁 (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
21oveq1d 7372 . 2 (𝜓 → ((𝑁 (𝐴 + 𝐵)) × 𝐵) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) × 𝐵))
3 srgbinom.s . . . 4 𝑆 = (Base‘𝑅)
4 eqid 2736 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
5 srgbinom.a . . . 4 + = (+g𝑅)
6 srgbinom.m . . . 4 × = (.r𝑅)
7 srgbinomlem.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ SRing)
8 ovexd 7392 . . . 4 (𝜑 → (0...𝑁) ∈ V)
9 srgbinomlem.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑆)
10 simpl 483 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝜑)
11 srgbinomlem.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
12 elfzelz 13441 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
13 bccl 14222 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
1411, 12, 13syl2an 596 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
15 fznn0sub 13473 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ0)
1615adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ0)
17 elfznn0 13534 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
1817adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
19 srgbinom.t . . . . . 6 · = (.g𝑅)
20 srgbinom.g . . . . . 6 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
21 srgbinom.e . . . . . 6 = (.g𝐺)
22 srgbinomlem.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑆)
23 srgbinomlem.c . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
243, 6, 19, 5, 20, 21, 7, 22, 9, 23, 11srgbinomlem2 19958 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑁C𝑘) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑘) ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ 𝑆)
2510, 14, 16, 18, 24syl13anc 1372 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ 𝑆)
26 eqid 2736 . . . . 5 (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))) = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))
27 fzfid 13878 . . . . 5 (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
28 ovexd 7392 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ V)
29 fvexd 6857 . . . . 5 (𝜑 → (0g𝑅) ∈ V)
3026, 27, 28, 29fsuppmptdm 9316 . . . 4 (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))) finSupp (0g𝑅))
313, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 25, 30srgsummulcr 19954 . . 3 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) × 𝐵))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) × 𝐵))
32 srgcmn 19920 . . . . . 6 (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ CMnd)
337, 32syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
34 1z 12533 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
3534a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
36 0zd 12511 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3711nn0zd 12525 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
387adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑅 ∈ SRing)
399adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵𝑆)
403, 6srgcl 19924 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ 𝑆𝐵𝑆) → (((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) × 𝐵) ∈ 𝑆)
4138, 25, 39, 40syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) × 𝐵) ∈ 𝑆)
42 oveq2 7365 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑁C𝑘) = (𝑁C(𝑗 − 1)))
43 oveq2 7365 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑁𝑘) = (𝑁 − (𝑗 − 1)))
4443oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑗 − 1) → ((𝑁𝑘) 𝐴) = ((𝑁 − (𝑗 − 1)) 𝐴))
45 oveq1 7364 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑘 𝐵) = ((𝑗 − 1) 𝐵))
4644, 45oveq12d 7375 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)) = (((𝑁 − (𝑗 − 1)) 𝐴) × ((𝑗 − 1) 𝐵)))
4742, 46oveq12d 7375 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑗 − 1) → ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) = ((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 − (𝑗 − 1)) 𝐴) × ((𝑗 − 1) 𝐵))))
4847oveq1d 7372 . . . . 5 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) × 𝐵) = (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 − (𝑗 − 1)) 𝐴) × ((𝑗 − 1) 𝐵))) × 𝐵))
493, 4, 33, 35, 36, 37, 41, 48gsummptshft 19713 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) × 𝐵))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 − (𝑗 − 1)) 𝐴) × ((𝑗 − 1) 𝐵))) × 𝐵))))
5011nn0cnd 12475 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
5150adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
52 elfzelz 13441 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → 𝑗 ∈ ℤ)
5352adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑗 ∈ ℤ)
5453zcnd 12608 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑗 ∈ ℂ)
55 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℂ)
5651, 54, 55subsub3d 11542 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝑁 − (𝑗 − 1)) = ((𝑁 + 1) − 𝑗))
5756oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 − (𝑗 − 1)) 𝐴) = (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴))
5857oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑁 − (𝑗 − 1)) 𝐴) × ((𝑗 − 1) 𝐵)) = ((((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴) × ((𝑗 − 1) 𝐵)))
5958oveq2d 7373 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 − (𝑗 − 1)) 𝐴) × ((𝑗 − 1) 𝐵))) = ((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴) × ((𝑗 − 1) 𝐵))))
6059oveq1d 7372 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 − (𝑗 − 1)) 𝐴) × ((𝑗 − 1) 𝐵))) × 𝐵) = (((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴) × ((𝑗 − 1) 𝐵))) × 𝐵))
617adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑅 ∈ SRing)
62 peano2zm 12546 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
6352, 62syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
64 bccl 14222 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(𝑗 − 1)) ∈ ℕ0)
6511, 63, 64syl2an 596 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑗 − 1)) ∈ ℕ0)
6620, 3mgpbas 19902 . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (Base‘𝐺)
6720srgmgp 19922 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ SRing → 𝐺 ∈ Mnd)
687, 67syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
6968adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝐺 ∈ Mnd)
70 0p1e1 12275 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 + 1) = 1
7170oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) = (1...(𝑁 + 1))
7271eleq2i 2829 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ↔ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1)))
73 fznn0sub 13473 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1) − 𝑗) ∈ ℕ0)
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1) − 𝑗) ∈ ℕ0))
7572, 74biimtrid 241 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1) − 𝑗) ∈ ℕ0))
7675imp 407 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 𝑗) ∈ ℕ0)
7722adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝐴𝑆)
7866, 21, 69, 76, 77mulgnn0cld 18897 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴) ∈ 𝑆)
79 elfznn 13470 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑗 ∈ ℕ)
80 nnm1nn0 12454 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
8179, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
8272, 81sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
8382adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
849adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝐵𝑆)
8566, 21, 69, 83, 84mulgnn0cld 18897 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑗 − 1) 𝐵) ∈ 𝑆)
863, 19, 6srgmulgass 19948 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑁C(𝑗 − 1)) ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ ((𝑗 − 1) 𝐵) ∈ 𝑆)) → (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴)) × ((𝑗 − 1) 𝐵)) = ((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴) × ((𝑗 − 1) 𝐵))))
8761, 65, 78, 85, 86syl13anc 1372 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴)) × ((𝑗 − 1) 𝐵)) = ((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴) × ((𝑗 − 1) 𝐵))))
8887eqcomd 2742 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴) × ((𝑗 − 1) 𝐵))) = (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴)) × ((𝑗 − 1) 𝐵)))
8988oveq1d 7372 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴) × ((𝑗 − 1) 𝐵))) × 𝐵) = ((((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴)) × ((𝑗 − 1) 𝐵)) × 𝐵))
90 srgmnd 19921 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd)
917, 90syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
9291adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑅 ∈ Mnd)
933, 19, 92, 65, 78mulgnn0cld 18897 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴)) ∈ 𝑆)
943, 6srgass 19925 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ SRing ∧ (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴)) ∈ 𝑆 ∧ ((𝑗 − 1) 𝐵) ∈ 𝑆𝐵𝑆)) → ((((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴)) × ((𝑗 − 1) 𝐵)) × 𝐵) = (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴)) × (((𝑗 − 1) 𝐵) × 𝐵)))
9561, 93, 85, 84, 94syl13anc 1372 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴)) × ((𝑗 − 1) 𝐵)) × 𝐵) = (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴)) × (((𝑗 − 1) 𝐵) × 𝐵)))
9620, 6mgpplusg 19900 . . . . . . . . . . . 12 × = (+g𝐺)
9766, 21, 96mulgnn0p1 18887 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℕ0𝐵𝑆) → (((𝑗 − 1) + 1) 𝐵) = (((𝑗 − 1) 𝐵) × 𝐵))
9897eqcomd 2742 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℕ0𝐵𝑆) → (((𝑗 − 1) 𝐵) × 𝐵) = (((𝑗 − 1) + 1) 𝐵))
9969, 83, 84, 98syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑗 − 1) 𝐵) × 𝐵) = (((𝑗 − 1) + 1) 𝐵))
10099oveq2d 7373 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴)) × (((𝑗 − 1) 𝐵) × 𝐵)) = (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴)) × (((𝑗 − 1) + 1) 𝐵)))
10152zcnd 12608 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → 𝑗 ∈ ℂ)
102 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → 1 ∈ ℂ)
103101, 102npcand 11516 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → ((𝑗 − 1) + 1) = 𝑗)
104103adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑗 − 1) + 1) = 𝑗)
105104oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑗 − 1) + 1) 𝐵) = (𝑗 𝐵))
106105oveq2d 7373 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴)) × (((𝑗 − 1) + 1) 𝐵)) = (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴)) × (𝑗 𝐵)))
10795, 100, 1063eqtrd 2780 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴)) × ((𝑗 − 1) 𝐵)) × 𝐵) = (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴)) × (𝑗 𝐵)))
10860, 89, 1073eqtrd 2780 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 − (𝑗 − 1)) 𝐴) × ((𝑗 − 1) 𝐵))) × 𝐵) = (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴)) × (𝑗 𝐵)))
109108mpteq2dva 5205 . . . . 5 (𝜑 → (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 − (𝑗 − 1)) 𝐴) × ((𝑗 − 1) 𝐵))) × 𝐵)) = (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴)) × (𝑗 𝐵))))
110109oveq2d 7373 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 − (𝑗 − 1)) 𝐴) × ((𝑗 − 1) 𝐵))) × 𝐵))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴)) × (𝑗 𝐵)))))
11171mpteq1i 5201 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴)) × (𝑗 𝐵))) = (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴)) × (𝑗 𝐵)))
112 oveq1 7364 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 − 1) = (𝑘 − 1))
113112oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → (𝑁C(𝑗 − 1)) = (𝑁C(𝑘 − 1)))
114 oveq2 7365 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁 + 1) − 𝑗) = ((𝑁 + 1) − 𝑘))
115114oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴) = (((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴))
116113, 115oveq12d 7375 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴)) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴)))
117 oveq1 7364 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 𝐵) = (𝑘 𝐵))
118116, 117oveq12d 7375 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴)) × (𝑗 𝐵)) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴)) × (𝑘 𝐵)))
119118cbvmptv 5218 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴)) × (𝑗 𝐵))) = (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴)) × (𝑘 𝐵)))
120111, 119eqtri 2764 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴)) × (𝑗 𝐵))) = (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴)) × (𝑘 𝐵)))
121120oveq2i 7368 . . . . 5 (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴)) × (𝑗 𝐵)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴)) × (𝑘 𝐵))))
122 fzfid 13878 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
123 simpl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝜑)
124 elfzelz 13441 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
125 peano2zm 12546 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
126124, 125syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
127 bccl 14222 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
12811, 126, 127syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
129 fznn0sub 13473 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
130129adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
131 elfznn 13470 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
132131nnnn0d 12473 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
133132adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
1343, 6, 19, 5, 20, 21, 7, 22, 9, 23, 11srgbinomlem2 19958 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ 𝑆)
135123, 128, 130, 133, 134syl13anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ 𝑆)
136135ralrimiva 3143 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ 𝑆)
1373, 33, 122, 136gsummptcl 19744 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) ∈ 𝑆)
1383, 5, 4mndlid 18576 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) ∈ 𝑆) → ((0g𝑅) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
13991, 137, 138syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0g𝑅) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
140 0nn0 12428 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℕ0
141140a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
142 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝜑)
143 0z 12510 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℤ
144143, 34pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)
145 zsubcl 12545 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (0 − 1) ∈ ℤ)
146144, 145mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 − 1) ∈ ℤ)
147 bccl 14222 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (0 − 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(0 − 1)) ∈ ℕ0)
14811, 146, 147syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁C(0 − 1)) ∈ ℕ0)
149 nn0cn 12423 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
150 peano2cn 11327 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
151149, 150syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
152151subid1d 11501 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 0) = (𝑁 + 1))
153 peano2nn0 12453 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
154152, 153eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 0) ∈ ℕ0)
15511, 154syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 0) ∈ ℕ0)
1563, 6, 19, 5, 20, 21, 7, 22, 9, 23, 11srgbinomlem2 19958 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝑁C(0 − 1)) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) − 0) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0)) → ((𝑁C(0 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 0) 𝐴) × (0 𝐵))) ∈ 𝑆)
157142, 148, 155, 141, 156syl13anc 1372 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁C(0 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 0) 𝐴) × (0 𝐵))) ∈ 𝑆)
158 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 0 → (𝑘 − 1) = (0 − 1))
159158oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 0 → (𝑁C(𝑘 − 1)) = (𝑁C(0 − 1)))
160 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 0 → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = ((𝑁 + 1) − 0))
161160oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 0 → (((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) = (((𝑁 + 1) − 0) 𝐴))
162 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 0 → (𝑘 𝐵) = (0 𝐵))
163161, 162oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 0 → ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)) = ((((𝑁 + 1) − 0) 𝐴) × (0 𝐵)))
164159, 163oveq12d 7375 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) = ((𝑁C(0 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 0) 𝐴) × (0 𝐵))))
1653, 164gsumsn 19731 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁C(0 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 0) 𝐴) × (0 𝐵))) ∈ 𝑆) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) = ((𝑁C(0 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 0) 𝐴) × (0 𝐵))))
16691, 141, 157, 165syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) = ((𝑁C(0 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 0) 𝐴) × (0 𝐵))))
167 0lt1 11677 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 1
168167a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 1)
169168, 70breqtrrdi 5147 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < (0 + 1))
170 0re 11157 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ
171 1re 11155 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ
172170, 171, 1703pm3.2i 1339 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ)
173 ltsubadd 11625 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 − 1) < 0 ↔ 0 < (0 + 1)))
174172, 173mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((0 − 1) < 0 ↔ 0 < (0 + 1)))
175169, 174mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 − 1) < 0)
176175orcd 871 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((0 − 1) < 0 ∨ 𝑁 < (0 − 1)))
177 bcval4 14207 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (0 − 1) ∈ ℤ ∧ ((0 − 1) < 0 ∨ 𝑁 < (0 − 1))) → (𝑁C(0 − 1)) = 0)
17811, 146, 176, 177syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁C(0 − 1)) = 0)
179178oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁C(0 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 0) 𝐴) × (0 𝐵))) = (0 · ((((𝑁 + 1) − 0) 𝐴) × (0 𝐵))))
18066, 21, 68, 155, 22mulgnn0cld 18897 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑁 + 1) − 0) 𝐴) ∈ 𝑆)
18166, 21, 68, 141, 9mulgnn0cld 18897 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0 𝐵) ∈ 𝑆)
1823, 6srgcl 19924 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ SRing ∧ (((𝑁 + 1) − 0) 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (0 𝐵) ∈ 𝑆) → ((((𝑁 + 1) − 0) 𝐴) × (0 𝐵)) ∈ 𝑆)
1837, 180, 181, 182syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝑁 + 1) − 0) 𝐴) × (0 𝐵)) ∈ 𝑆)
1843, 4, 19mulg0 18879 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 + 1) − 0) 𝐴) × (0 𝐵)) ∈ 𝑆 → (0 · ((((𝑁 + 1) − 0) 𝐴) × (0 𝐵))) = (0g𝑅))
185183, 184syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 · ((((𝑁 + 1) − 0) 𝐴) × (0 𝐵))) = (0g𝑅))
186166, 179, 1853eqtrrd 2781 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0g𝑅) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
187186oveq1d 7372 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0g𝑅) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))))))
188139, 187eqtr3d 2778 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))))))
1897adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑅 ∈ SRing)
19068adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝐺 ∈ Mnd)
19122adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝐴𝑆)
19266, 21, 190, 130, 191mulgnn0cld 18897 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) ∈ 𝑆)
1939adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝐵𝑆)
19466, 21, 190, 133, 193mulgnn0cld 18897 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑘 𝐵) ∈ 𝑆)
1953, 19, 6srgmulgass 19948 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (𝑘 𝐵) ∈ 𝑆)) → (((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴)) × (𝑘 𝐵)) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))
196189, 128, 192, 194, 195syl13anc 1372 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴)) × (𝑘 𝐵)) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))
197196mpteq2dva 5205 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴)) × (𝑘 𝐵))) = (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))))
198197oveq2d 7373 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴)) × (𝑘 𝐵)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
19911, 153syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
200 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝜑)
201 elfzelz 13441 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
202201, 125syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
20311, 202, 127syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
204 fznn0sub 13473 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
205204adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
206 elfznn0 13534 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
207206adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
208200, 203, 205, 207, 134syl13anc 1372 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ 𝑆)
2093, 5, 33, 199, 208gsummptfzsplitl 19710 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))))))
210 snfi 8988 . . . . . . . . . 10 {0} ∈ Fin
211210a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {0} ∈ Fin)
212164eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 0 → (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑁C(0 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 0) 𝐴) × (0 𝐵))) ∈ 𝑆))
213212ralsng 4634 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℕ0 → (∀𝑘 ∈ {0} ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑁C(0 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 0) 𝐴) × (0 𝐵))) ∈ 𝑆))
214140, 213ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (∀𝑘 ∈ {0} ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑁C(0 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 0) 𝐴) × (0 𝐵))) ∈ 𝑆)
215157, 214sylibr 233 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ {0} ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ 𝑆)
2163, 33, 211, 215gsummptcl 19744 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) ∈ 𝑆)
2173, 5cmncom 19580 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CMnd ∧ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) ∈ 𝑆 ∧ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) ∈ 𝑆) → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))))))
21833, 137, 216, 217syl3anc 1371 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))))))
219209, 218eqtrd 2776 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))))))
220188, 198, 2193eqtr4d 2786 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴)) × (𝑘 𝐵)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
221121, 220eqtrid 2788 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴)) × (𝑗 𝐵)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
22249, 110, 2213eqtrd 2780 . . 3 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) × 𝐵))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
22331, 222eqtr3d 2778 . 2 (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) × 𝐵) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
2242, 223sylan9eqr 2798 1 ((𝜑𝜓) → ((𝑁 (𝐴 + 𝐵)) × 𝐵) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  Vcvv 3445  {csn 4586   class class class wbr 5105  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   < clt 11189  cmin 11385  cn 12153  0cn0 12413  cz 12499  ...cfz 13424  Ccbc 14202  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  .rcmulr 17134  0gc0g 17321   Σg cgsu 17322  Mndcmnd 18556  .gcmg 18872  CMndccmn 19562  mulGrpcmgp 19896  SRingcsrg 19917
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-mgp 19897  df-srg 19918
This theorem is referenced by:  srgbinomlem  19961
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