Theorem srgbinomlem4 20194

Description: Lemma 4 for srgbinomlem 20195. (Contributed by AV, 24-Aug-2019.) (Proof shortened by AV, 19-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgbinom.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
srgbinom.m	⊢ × = (.r‘𝑅)
srgbinom.t	⊢ · = (.g‘𝑅)
srgbinom.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
srgbinom.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
srgbinom.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
srgbinomlem.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
srgbinomlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
srgbinomlem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
srgbinomlem.c	⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
srgbinomlem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
srgbinomlem.i	⊢ (𝜓 → (𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))

Assertion

Ref	Expression
srgbinomlem4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐵) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁   𝑅,𝑘   𝑆,𝑘   · ,𝑘   × ,𝑘   ↑ ,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑘)   + (𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem srgbinomlem4

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgbinomlem.i	. . 3 ⊢ (𝜓 → (𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
2	1	oveq1d 7425	. 2 ⊢ (𝜓 → ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐵) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) × 𝐵))
3		srgbinom.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
4		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
5		srgbinom.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
6		srgbinom.m	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑅)
7		srgbinomlem.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
8		ovexd 7445	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ V)
9		srgbinomlem.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
10		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝜑)
11		srgbinomlem.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
12		elfzelz 13546	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
13		bccl 14345	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
14	11, 12, 13	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
15		fznn0sub 13578	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0)
16	15	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0)
17		elfznn0 13642	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
18	17	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
19		srgbinom.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝑅)
20		srgbinom.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
21		srgbinom.e	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
22		srgbinomlem.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
23		srgbinomlem.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
24	3, 6, 19, 5, 20, 21, 7, 22, 9, 23, 11	srgbinomlem2 20192	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑁C𝑘) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
25	10, 14, 16, 18, 24	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
26		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))) = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))
27		fzfid 13996	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
28		ovexd 7445	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ V)
29		fvexd 6896	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ V)
30	26, 27, 28, 29	fsuppmptdm 9393	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))) finSupp (0g‘𝑅))
31	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 25, 30	srgsummulcr 20188	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) × 𝐵))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) × 𝐵))
32		srgcmn 20154	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ CMnd)
33	7, 32	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
34		1z 12627	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
35	34	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
36		0zd 12605	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
37	11	nn0zd 12619	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
38	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑅 ∈ SRing)
39	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ∈ 𝑆)
40	3, 6	srgcl 20158	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) × 𝐵) ∈ 𝑆)
41	38, 25, 39, 40	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) × 𝐵) ∈ 𝑆)
42		oveq2 7418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑁C𝑘) = (𝑁C(𝑗 − 1)))
43		oveq2 7418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑁 − 𝑘) = (𝑁 − (𝑗 − 1)))
44	43	oveq1d 7425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → ((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) = ((𝑁 − (𝑗 − 1)) ↑ 𝐴))
45		oveq1 7417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑘 ↑ 𝐵) = ((𝑗 − 1) ↑ 𝐵))
46	44, 45	oveq12d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)) = (((𝑁 − (𝑗 − 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑗 − 1) ↑ 𝐵)))
47	42, 46	oveq12d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) = ((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 − (𝑗 − 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑗 − 1) ↑ 𝐵))))
48	47	oveq1d 7425	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → (((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) × 𝐵) = (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 − (𝑗 − 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑗 − 1) ↑ 𝐵))) × 𝐵))
49	3, 4, 33, 35, 36, 37, 41, 48	gsummptshft 19922	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) × 𝐵))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 − (𝑗 − 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑗 − 1) ↑ 𝐵))) × 𝐵))))
50	11	nn0cnd 12569	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
51	50	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
52		elfzelz 13546	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → 𝑗 ∈ ℤ)
53	52	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑗 ∈ ℤ)
54	53	zcnd 12703	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑗 ∈ ℂ)
55		1cnd 11235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℂ)
56	51, 54, 55	subsub3d 11629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝑁 − (𝑗 − 1)) = ((𝑁 + 1) − 𝑗))
57	56	oveq1d 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 − (𝑗 − 1)) ↑ 𝐴) = (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴))
58	57	oveq1d 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑁 − (𝑗 − 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑗 − 1) ↑ 𝐵)) = ((((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴) × ((𝑗 − 1) ↑ 𝐵)))
59	58	oveq2d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 − (𝑗 − 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑗 − 1) ↑ 𝐵))) = ((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴) × ((𝑗 − 1) ↑ 𝐵))))
60	59	oveq1d 7425	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 − (𝑗 − 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑗 − 1) ↑ 𝐵))) × 𝐵) = (((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴) × ((𝑗 − 1) ↑ 𝐵))) × 𝐵))
61	7	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑅 ∈ SRing)
62		peano2zm 12640	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
63	52, 62	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
64		bccl 14345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(𝑗 − 1)) ∈ ℕ0)
65	11, 63, 64	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑗 − 1)) ∈ ℕ0)
66	20, 3	mgpbas 20110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐺)
67	20	srgmgp 20156	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝐺 ∈ Mnd)
68	7, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
69	68	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝐺 ∈ Mnd)
70		0p1e1 12367	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 + 1) = 1
71	70	oveq1i 7420	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) = (1...(𝑁 + 1))
72	71	eleq2i 2827	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ↔ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1)))
73		fznn0sub 13578	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1) − 𝑗) ∈ ℕ0)
74	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1) − 𝑗) ∈ ℕ0))
75	72, 74	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1) − 𝑗) ∈ ℕ0))
76	75	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 𝑗) ∈ ℕ0)
77	22	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ 𝑆)
78	66, 21, 69, 76, 77	mulgnn0cld 19083	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴) ∈ 𝑆)
79		elfznn 13575	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑗 ∈ ℕ)
80		nnm1nn0 12547	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
81	79, 80	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
82	72, 81	sylbi 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
83	82	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
84	9	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ 𝑆)
85	66, 21, 69, 83, 84	mulgnn0cld 19083	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑗 − 1) ↑ 𝐵) ∈ 𝑆)
86	3, 19, 6	srgmulgass 20182	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑁C(𝑗 − 1)) ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ ((𝑗 − 1) ↑ 𝐵) ∈ 𝑆)) → (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴)) × ((𝑗 − 1) ↑ 𝐵)) = ((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴) × ((𝑗 − 1) ↑ 𝐵))))
87	61, 65, 78, 85, 86	syl13anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴)) × ((𝑗 − 1) ↑ 𝐵)) = ((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴) × ((𝑗 − 1) ↑ 𝐵))))
88	87	eqcomd 2742	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴) × ((𝑗 − 1) ↑ 𝐵))) = (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴)) × ((𝑗 − 1) ↑ 𝐵)))
89	88	oveq1d 7425	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴) × ((𝑗 − 1) ↑ 𝐵))) × 𝐵) = ((((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴)) × ((𝑗 − 1) ↑ 𝐵)) × 𝐵))
90		srgmnd 20155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd)
91	7, 90	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
92	91	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑅 ∈ Mnd)
93	3, 19, 92, 65, 78	mulgnn0cld 19083	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴)) ∈ 𝑆)
94	3, 6	srgass 20159	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴)) ∈ 𝑆 ∧ ((𝑗 − 1) ↑ 𝐵) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → ((((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴)) × ((𝑗 − 1) ↑ 𝐵)) × 𝐵) = (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴)) × (((𝑗 − 1) ↑ 𝐵) × 𝐵)))
95	61, 93, 85, 84, 94	syl13anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴)) × ((𝑗 − 1) ↑ 𝐵)) × 𝐵) = (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴)) × (((𝑗 − 1) ↑ 𝐵) × 𝐵)))
96	20, 6	mgpplusg 20109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ × = (+g‘𝐺)
97	66, 21, 96	mulgnn0p1 19073	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (((𝑗 − 1) + 1) ↑ 𝐵) = (((𝑗 − 1) ↑ 𝐵) × 𝐵))
98	97	eqcomd 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (((𝑗 − 1) ↑ 𝐵) × 𝐵) = (((𝑗 − 1) + 1) ↑ 𝐵))
99	69, 83, 84, 98	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑗 − 1) ↑ 𝐵) × 𝐵) = (((𝑗 − 1) + 1) ↑ 𝐵))
100	99	oveq2d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴)) × (((𝑗 − 1) ↑ 𝐵) × 𝐵)) = (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴)) × (((𝑗 − 1) + 1) ↑ 𝐵)))
101	52	zcnd 12703	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → 𝑗 ∈ ℂ)
102		1cnd 11235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → 1 ∈ ℂ)
103	101, 102	npcand 11603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → ((𝑗 − 1) + 1) = 𝑗)
104	103	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑗 − 1) + 1) = 𝑗)
105	104	oveq1d 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑗 − 1) + 1) ↑ 𝐵) = (𝑗 ↑ 𝐵))
106	105	oveq2d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴)) × (((𝑗 − 1) + 1) ↑ 𝐵)) = (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴)) × (𝑗 ↑ 𝐵)))
107	95, 100, 106	3eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴)) × ((𝑗 − 1) ↑ 𝐵)) × 𝐵) = (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴)) × (𝑗 ↑ 𝐵)))
108	60, 89, 107	3eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 − (𝑗 − 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑗 − 1) ↑ 𝐵))) × 𝐵) = (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴)) × (𝑗 ↑ 𝐵)))
109	108	mpteq2dva 5219	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 − (𝑗 − 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑗 − 1) ↑ 𝐵))) × 𝐵)) = (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴)) × (𝑗 ↑ 𝐵))))
110	109	oveq2d 7426	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 − (𝑗 − 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑗 − 1) ↑ 𝐵))) × 𝐵))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴)) × (𝑗 ↑ 𝐵)))))
111	71	mpteq1i 5216	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴)) × (𝑗 ↑ 𝐵))) = (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴)) × (𝑗 ↑ 𝐵)))
112		oveq1 7417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 − 1) = (𝑘 − 1))
113	112	oveq2d 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑁C(𝑗 − 1)) = (𝑁C(𝑘 − 1)))
114		oveq2 7418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁 + 1) − 𝑗) = ((𝑁 + 1) − 𝑘))
115	114	oveq1d 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴) = (((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴))
116	113, 115	oveq12d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴)) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴)))
117		oveq1 7417	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 ↑ 𝐵) = (𝑘 ↑ 𝐵))
118	116, 117	oveq12d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴)) × (𝑗 ↑ 𝐵)) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝐵)))
119	118	cbvmptv 5230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴)) × (𝑗 ↑ 𝐵))) = (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝐵)))
120	111, 119	eqtri 2759	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴)) × (𝑗 ↑ 𝐵))) = (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝐵)))
121	120	oveq2i 7421	. . . . 5 ⊢ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴)) × (𝑗 ↑ 𝐵)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝐵))))
122		fzfid 13996	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
123		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝜑)
124		elfzelz 13546	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
125		peano2zm 12640	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
126	124, 125	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
127		bccl 14345	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
128	11, 126, 127	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
129		fznn0sub 13578	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
130	129	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
131		elfznn 13575	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
132	131	nnnn0d 12567	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
133	132	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
134	3, 6, 19, 5, 20, 21, 7, 22, 9, 23, 11	srgbinomlem2 20192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
135	123, 128, 130, 133, 134	syl13anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
136	135	ralrimiva 3133	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
137	3, 33, 122, 136	gsummptcl 19953	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) ∈ 𝑆)
138	3, 5, 4	mndlid 18737	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) ∈ 𝑆) → ((0g‘𝑅) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
139	91, 137, 138	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
140		0nn0 12521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℕ0
141	140	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
142		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
143		0z 12604	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℤ
144	143, 34	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)
145		zsubcl 12639	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (0 − 1) ∈ ℤ)
146	144, 145	mp1i 13	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0 − 1) ∈ ℤ)
147		bccl 14345	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (0 − 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(0 − 1)) ∈ ℕ0)
148	11, 146, 147	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁C(0 − 1)) ∈ ℕ0)
149		nn0cn 12516	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
150		peano2cn 11412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
151	149, 150	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
152	151	subid1d 11588	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 0) = (𝑁 + 1))
153		peano2nn0 12546	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
154	152, 153	eqeltrd 2835	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 0) ∈ ℕ0)
155	11, 154	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 0) ∈ ℕ0)
156	3, 6, 19, 5, 20, 21, 7, 22, 9, 23, 11	srgbinomlem2 20192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑁C(0 − 1)) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) − 0) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0)) → ((𝑁C(0 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 0) ↑ 𝐴) × (0 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
157	142, 148, 155, 141, 156	syl13anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C(0 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 0) ↑ 𝐴) × (0 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
158		oveq1 7417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 − 1) = (0 − 1))
159	158	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑁C(𝑘 − 1)) = (𝑁C(0 − 1)))
160		oveq2 7418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = ((𝑁 + 1) − 0))
161	160	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 0 → (((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) = (((𝑁 + 1) − 0) ↑ 𝐴))
162		oveq1 7417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 ↑ 𝐵) = (0 ↑ 𝐵))
163	161, 162	oveq12d 7428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 0 → ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)) = ((((𝑁 + 1) − 0) ↑ 𝐴) × (0 ↑ 𝐵)))
164	159, 163	oveq12d 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) = ((𝑁C(0 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 0) ↑ 𝐴) × (0 ↑ 𝐵))))
165	3, 164	gsumsn 19940	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁C(0 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 0) ↑ 𝐴) × (0 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) = ((𝑁C(0 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 0) ↑ 𝐴) × (0 ↑ 𝐵))))
166	91, 141, 157, 165	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) = ((𝑁C(0 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 0) ↑ 𝐴) × (0 ↑ 𝐵))))
167		0lt1 11764	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 1
168	167	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
169	168, 70	breqtrrdi 5166	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 < (0 + 1))
170		0re 11242	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℝ
171		1re 11240	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ
172	170, 171, 170	3pm3.2i 1340	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ)
173		ltsubadd 11712	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 − 1) < 0 ↔ 0 < (0 + 1)))
174	172, 173	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((0 − 1) < 0 ↔ 0 < (0 + 1)))
175	169, 174	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0 − 1) < 0)
176	175	orcd 873	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((0 − 1) < 0 ∨ 𝑁 < (0 − 1)))
177		bcval4 14330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (0 − 1) ∈ ℤ ∧ ((0 − 1) < 0 ∨ 𝑁 < (0 − 1))) → (𝑁C(0 − 1)) = 0)
178	11, 146, 176, 177	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁C(0 − 1)) = 0)
179	178	oveq1d 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C(0 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 0) ↑ 𝐴) × (0 ↑ 𝐵))) = (0 · ((((𝑁 + 1) − 0) ↑ 𝐴) × (0 ↑ 𝐵))))
180	66, 21, 68, 155, 22	mulgnn0cld 19083	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 1) − 0) ↑ 𝐴) ∈ 𝑆)
181	66, 21, 68, 141, 9	mulgnn0cld 19083	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆)
182	3, 6	srgcl 20158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (((𝑁 + 1) − 0) ↑ 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (0 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆) → ((((𝑁 + 1) − 0) ↑ 𝐴) × (0 ↑ 𝐵)) ∈ 𝑆)
183	7, 180, 181, 182	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝑁 + 1) − 0) ↑ 𝐴) × (0 ↑ 𝐵)) ∈ 𝑆)
184	3, 4, 19	mulg0 19062	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 + 1) − 0) ↑ 𝐴) × (0 ↑ 𝐵)) ∈ 𝑆 → (0 · ((((𝑁 + 1) − 0) ↑ 𝐴) × (0 ↑ 𝐵))) = (0g‘𝑅))
185	183, 184	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 · ((((𝑁 + 1) − 0) ↑ 𝐴) × (0 ↑ 𝐵))) = (0g‘𝑅))
186	166, 179, 185	3eqtrrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
187	186	oveq1d 7425	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))))
188	139, 187	eqtr3d 2773	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))))
189	7	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑅 ∈ SRing)
190	68	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝐺 ∈ Mnd)
191	22	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ 𝑆)
192	66, 21, 190, 130, 191	mulgnn0cld 19083	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) ∈ 𝑆)
193	9	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ 𝑆)
194	66, 21, 190, 133, 193	mulgnn0cld 19083	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑘 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆)
195	3, 19, 6	srgmulgass 20182	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (𝑘 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆)) → (((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝐵)) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))
196	189, 128, 192, 194, 195	syl13anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝐵)) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))
197	196	mpteq2dva 5219	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝐵))) = (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))
198	197	oveq2d 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝐵)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
199	11, 153	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
200		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝜑)
201		elfzelz 13546	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
202	201, 125	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
203	11, 202, 127	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
204		fznn0sub 13578	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
205	204	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
206		elfznn0 13642	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
207	206	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
208	200, 203, 205, 207, 134	syl13anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
209	3, 5, 33, 199, 208	gsummptfzsplitl 19919	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))))
210		snfi 9062	. . . . . . . . . 10 ⊢ {0} ∈ Fin
211	210	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {0} ∈ Fin)
212	164	eleq1d 2820	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 0 → (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑁C(0 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 0) ↑ 𝐴) × (0 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆))
213	212	ralsng 4656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (∀𝑘 ∈ {0} ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑁C(0 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 0) ↑ 𝐴) × (0 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆))
214	140, 213	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑘 ∈ {0} ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑁C(0 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 0) ↑ 𝐴) × (0 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
215	157, 214	sylibr 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ {0} ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
216	3, 33, 211, 215	gsummptcl 19953	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) ∈ 𝑆)
217	3, 5	cmncom 19784	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CMnd ∧ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) ∈ 𝑆 ∧ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) ∈ 𝑆) → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))))
218	33, 137, 216, 217	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))))
219	209, 218	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))))
220	188, 198, 219	3eqtr4d 2781	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝐵)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
221	121, 220	eqtrid 2783	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴)) × (𝑗 ↑ 𝐵)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
222	49, 110, 221	3eqtrd 2775	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) × 𝐵))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
223	31, 222	eqtr3d 2773	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) × 𝐵) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
224	2, 223	sylan9eqr 2793	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐵) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052  Vcvv 3464  {csn 4606   class class class wbr 5124   ↦ cmpt 5206  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8964  ℂcc 11132  ℝcr 11133  0cc0 11134  1c1 11135   + caddc 11137   < clt 11274   − cmin 11471  ℕcn 12245  ℕ₀cn0 12506  ℤcz 12593  ...cfz 13529  Ccbc 14325  Basecbs 17233  +_gcplusg 17276  ._rcmulr 17277  0_gc0g 17458   Σ_g cgsu 17459  Mndcmnd 18717  ._gcmg 19055  CMndccmn 19766  mulGrpcmgp 20105  SRingcsrg 20151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-rp 13014  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-fac 14297  df-bc 14326  df-hash 14354  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-acs 17606  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-mhm 18766  df-submnd 18767  df-mulg 19056  df-cntz 19305  df-cmn 19768  df-mgp 20106  df-srg 20152

This theorem is referenced by:  srgbinomlem  20195