MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srgbinomlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srgbinomlem4 19965
Description: Lemma 4 for srgbinomlem 19966. (Contributed by AV, 24-Aug-2019.) (Proof shortened by AV, 19-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srgbinom.s ๐‘† = (Baseโ€˜๐‘…)
srgbinom.m ร— = (.rโ€˜๐‘…)
srgbinom.t ยท = (.gโ€˜๐‘…)
srgbinom.a + = (+gโ€˜๐‘…)
srgbinom.g ๐บ = (mulGrpโ€˜๐‘…)
srgbinom.e โ†‘ = (.gโ€˜๐บ)
srgbinomlem.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ SRing)
srgbinomlem.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘†)
srgbinomlem.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘†)
srgbinomlem.c (๐œ‘ โ†’ (๐ด ร— ๐ต) = (๐ต ร— ๐ด))
srgbinomlem.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
srgbinomlem.i (๐œ“ โ†’ (๐‘ โ†‘ (๐ด + ๐ต)) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†ฆ ((๐‘C๐‘˜) ยท (((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))))
Assertion
Ref Expression
srgbinomlem4 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐‘ โ†‘ (๐ด + ๐ต)) ร— ๐ต) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1)) โ†ฆ ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐ต,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘   ๐‘…,๐‘˜   ๐‘†,๐‘˜   ยท ,๐‘˜   ร— ,๐‘˜   โ†‘ ,๐‘˜   ๐œ‘,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐œ“(๐‘˜)   + (๐‘˜)   ๐บ(๐‘˜)

Proof of Theorem srgbinomlem4
Dummy variable ๐‘— is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 srgbinomlem.i . . 3 (๐œ“ โ†’ (๐‘ โ†‘ (๐ด + ๐ต)) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†ฆ ((๐‘C๐‘˜) ยท (((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))))
21oveq1d 7373 . 2 (๐œ“ โ†’ ((๐‘ โ†‘ (๐ด + ๐ต)) ร— ๐ต) = ((๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†ฆ ((๐‘C๐‘˜) ยท (((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))) ร— ๐ต))
3 srgbinom.s . . . 4 ๐‘† = (Baseโ€˜๐‘…)
4 eqid 2733 . . . 4 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
5 srgbinom.a . . . 4 + = (+gโ€˜๐‘…)
6 srgbinom.m . . . 4 ร— = (.rโ€˜๐‘…)
7 srgbinomlem.r . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ SRing)
8 ovexd 7393 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (0...๐‘) โˆˆ V)
9 srgbinomlem.b . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘†)
10 simpl 484 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ๐œ‘)
11 srgbinomlem.n . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
12 elfzelz 13447 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
13 bccl 14228 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘C๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
1411, 12, 13syl2an 597 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘C๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
15 fznn0sub 13479 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
1615adantl 483 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
17 elfznn0 13540 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
1817adantl 483 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
19 srgbinom.t . . . . . 6 ยท = (.gโ€˜๐‘…)
20 srgbinom.g . . . . . 6 ๐บ = (mulGrpโ€˜๐‘…)
21 srgbinom.e . . . . . 6 โ†‘ = (.gโ€˜๐บ)
22 srgbinomlem.a . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘†)
23 srgbinomlem.c . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ร— ๐ต) = (๐ต ร— ๐ด))
243, 6, 19, 5, 20, 21, 7, 22, 9, 23, 11srgbinomlem2 19963 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘C๐‘˜) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐‘C๐‘˜) ยท (((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))) โˆˆ ๐‘†)
2510, 14, 16, 18, 24syl13anc 1373 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((๐‘C๐‘˜) ยท (((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))) โˆˆ ๐‘†)
26 eqid 2733 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†ฆ ((๐‘C๐‘˜) ยท (((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต)))) = (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†ฆ ((๐‘C๐‘˜) ยท (((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))
27 fzfid 13884 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (0...๐‘) โˆˆ Fin)
28 ovexd 7393 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((๐‘C๐‘˜) ยท (((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))) โˆˆ V)
29 fvexd 6858 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (0gโ€˜๐‘…) โˆˆ V)
3026, 27, 28, 29fsuppmptdm 9321 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†ฆ ((๐‘C๐‘˜) ยท (((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต)))) finSupp (0gโ€˜๐‘…))
313, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 25, 30srgsummulcr 19959 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†ฆ (((๐‘C๐‘˜) ยท (((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))) ร— ๐ต))) = ((๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†ฆ ((๐‘C๐‘˜) ยท (((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))) ร— ๐ต))
32 srgcmn 19925 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ ๐‘… โˆˆ CMnd)
337, 32syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CMnd)
34 1z 12538 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„ค
3534a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
36 0zd 12516 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
3711nn0zd 12530 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
387adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ๐‘… โˆˆ SRing)
399adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘†)
403, 6srgcl 19929 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ((๐‘C๐‘˜) ยท (((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))) โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘†) โ†’ (((๐‘C๐‘˜) ยท (((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))) ร— ๐ต) โˆˆ ๐‘†)
4138, 25, 39, 40syl3anc 1372 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (((๐‘C๐‘˜) ยท (((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))) ร— ๐ต) โˆˆ ๐‘†)
42 oveq2 7366 . . . . . . 7 (๐‘˜ = (๐‘— โˆ’ 1) โ†’ (๐‘C๐‘˜) = (๐‘C(๐‘— โˆ’ 1)))
43 oveq2 7366 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = (๐‘— โˆ’ 1) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) = (๐‘ โˆ’ (๐‘— โˆ’ 1)))
4443oveq1d 7373 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = (๐‘— โˆ’ 1) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) = ((๐‘ โˆ’ (๐‘— โˆ’ 1)) โ†‘ ๐ด))
45 oveq1 7365 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = (๐‘— โˆ’ 1) โ†’ (๐‘˜ โ†‘ ๐ต) = ((๐‘— โˆ’ 1) โ†‘ ๐ต))
4644, 45oveq12d 7376 . . . . . . 7 (๐‘˜ = (๐‘— โˆ’ 1) โ†’ (((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต)) = (((๐‘ โˆ’ (๐‘— โˆ’ 1)) โ†‘ ๐ด) ร— ((๐‘— โˆ’ 1) โ†‘ ๐ต)))
4742, 46oveq12d 7376 . . . . . 6 (๐‘˜ = (๐‘— โˆ’ 1) โ†’ ((๐‘C๐‘˜) ยท (((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))) = ((๐‘C(๐‘— โˆ’ 1)) ยท (((๐‘ โˆ’ (๐‘— โˆ’ 1)) โ†‘ ๐ด) ร— ((๐‘— โˆ’ 1) โ†‘ ๐ต))))
4847oveq1d 7373 . . . . 5 (๐‘˜ = (๐‘— โˆ’ 1) โ†’ (((๐‘C๐‘˜) ยท (((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))) ร— ๐ต) = (((๐‘C(๐‘— โˆ’ 1)) ยท (((๐‘ โˆ’ (๐‘— โˆ’ 1)) โ†‘ ๐ด) ร— ((๐‘— โˆ’ 1) โ†‘ ๐ต))) ร— ๐ต))
493, 4, 33, 35, 36, 37, 41, 48gsummptshft 19718 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†ฆ (((๐‘C๐‘˜) ยท (((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))) ร— ๐ต))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1)) โ†ฆ (((๐‘C(๐‘— โˆ’ 1)) ยท (((๐‘ โˆ’ (๐‘— โˆ’ 1)) โ†‘ ๐ด) ร— ((๐‘— โˆ’ 1) โ†‘ ๐ต))) ร— ๐ต))))
5011nn0cnd 12480 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
5150adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
52 elfzelz 13447 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„ค)
5352adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„ค)
5453zcnd 12613 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„‚)
55 1cnd 11155 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
5651, 54, 55subsub3d 11547 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))) โ†’ (๐‘ โˆ’ (๐‘— โˆ’ 1)) = ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘—))
5756oveq1d 7373 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))) โ†’ ((๐‘ โˆ’ (๐‘— โˆ’ 1)) โ†‘ ๐ด) = (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘—) โ†‘ ๐ด))
5857oveq1d 7373 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))) โ†’ (((๐‘ โˆ’ (๐‘— โˆ’ 1)) โ†‘ ๐ด) ร— ((๐‘— โˆ’ 1) โ†‘ ๐ต)) = ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘—) โ†‘ ๐ด) ร— ((๐‘— โˆ’ 1) โ†‘ ๐ต)))
5958oveq2d 7374 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))) โ†’ ((๐‘C(๐‘— โˆ’ 1)) ยท (((๐‘ โˆ’ (๐‘— โˆ’ 1)) โ†‘ ๐ด) ร— ((๐‘— โˆ’ 1) โ†‘ ๐ต))) = ((๐‘C(๐‘— โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘—) โ†‘ ๐ด) ร— ((๐‘— โˆ’ 1) โ†‘ ๐ต))))
6059oveq1d 7373 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))) โ†’ (((๐‘C(๐‘— โˆ’ 1)) ยท (((๐‘ โˆ’ (๐‘— โˆ’ 1)) โ†‘ ๐ด) ร— ((๐‘— โˆ’ 1) โ†‘ ๐ต))) ร— ๐ต) = (((๐‘C(๐‘— โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘—) โ†‘ ๐ด) ร— ((๐‘— โˆ’ 1) โ†‘ ๐ต))) ร— ๐ต))
617adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))) โ†’ ๐‘… โˆˆ SRing)
62 peano2zm 12551 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘— โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
6352, 62syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1)) โ†’ (๐‘— โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
64 bccl 14228 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘— โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘C(๐‘— โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•0)
6511, 63, 64syl2an 597 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))) โ†’ (๐‘C(๐‘— โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•0)
6620, 3mgpbas 19907 . . . . . . . . . . 11 ๐‘† = (Baseโ€˜๐บ)
6720srgmgp 19927 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
687, 67syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
6968adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))) โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
70 0p1e1 12280 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 + 1) = 1
7170oveq1i 7368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 + 1)...(๐‘ + 1)) = (1...(๐‘ + 1))
7271eleq2i 2826 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1)) โ†” ๐‘— โˆˆ (1...(๐‘ + 1)))
73 fznn0sub 13479 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘— โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘—) โˆˆ โ„•0)
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘— โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘—) โˆˆ โ„•0))
7572, 74biimtrid 241 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1)) โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘—) โˆˆ โ„•0))
7675imp 408 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))) โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘—) โˆˆ โ„•0)
7722adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘†)
7866, 21, 69, 76, 77mulgnn0cld 18902 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))) โ†’ (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘—) โ†‘ ๐ด) โˆˆ ๐‘†)
79 elfznn 13476 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘— โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•)
80 nnm1nn0 12459 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘— โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
8179, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘— โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†’ (๐‘— โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
8272, 81sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1)) โ†’ (๐‘— โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
8382adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))) โ†’ (๐‘— โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
849adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘†)
8566, 21, 69, 83, 84mulgnn0cld 18902 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))) โ†’ ((๐‘— โˆ’ 1) โ†‘ ๐ต) โˆˆ ๐‘†)
863, 19, 6srgmulgass 19953 . . . . . . . . . 10 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ((๐‘C(๐‘— โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•0 โˆง (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘—) โ†‘ ๐ด) โˆˆ ๐‘† โˆง ((๐‘— โˆ’ 1) โ†‘ ๐ต) โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (((๐‘C(๐‘— โˆ’ 1)) ยท (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘—) โ†‘ ๐ด)) ร— ((๐‘— โˆ’ 1) โ†‘ ๐ต)) = ((๐‘C(๐‘— โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘—) โ†‘ ๐ด) ร— ((๐‘— โˆ’ 1) โ†‘ ๐ต))))
8761, 65, 78, 85, 86syl13anc 1373 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))) โ†’ (((๐‘C(๐‘— โˆ’ 1)) ยท (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘—) โ†‘ ๐ด)) ร— ((๐‘— โˆ’ 1) โ†‘ ๐ต)) = ((๐‘C(๐‘— โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘—) โ†‘ ๐ด) ร— ((๐‘— โˆ’ 1) โ†‘ ๐ต))))
8887eqcomd 2739 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))) โ†’ ((๐‘C(๐‘— โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘—) โ†‘ ๐ด) ร— ((๐‘— โˆ’ 1) โ†‘ ๐ต))) = (((๐‘C(๐‘— โˆ’ 1)) ยท (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘—) โ†‘ ๐ด)) ร— ((๐‘— โˆ’ 1) โ†‘ ๐ต)))
8988oveq1d 7373 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))) โ†’ (((๐‘C(๐‘— โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘—) โ†‘ ๐ด) ร— ((๐‘— โˆ’ 1) โ†‘ ๐ต))) ร— ๐ต) = ((((๐‘C(๐‘— โˆ’ 1)) ยท (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘—) โ†‘ ๐ด)) ร— ((๐‘— โˆ’ 1) โ†‘ ๐ต)) ร— ๐ต))
90 srgmnd 19926 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
917, 90syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
9291adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))) โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
933, 19, 92, 65, 78mulgnn0cld 18902 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))) โ†’ ((๐‘C(๐‘— โˆ’ 1)) ยท (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘—) โ†‘ ๐ด)) โˆˆ ๐‘†)
943, 6srgass 19930 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (((๐‘C(๐‘— โˆ’ 1)) ยท (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘—) โ†‘ ๐ด)) โˆˆ ๐‘† โˆง ((๐‘— โˆ’ 1) โ†‘ ๐ต) โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((((๐‘C(๐‘— โˆ’ 1)) ยท (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘—) โ†‘ ๐ด)) ร— ((๐‘— โˆ’ 1) โ†‘ ๐ต)) ร— ๐ต) = (((๐‘C(๐‘— โˆ’ 1)) ยท (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘—) โ†‘ ๐ด)) ร— (((๐‘— โˆ’ 1) โ†‘ ๐ต) ร— ๐ต)))
9561, 93, 85, 84, 94syl13anc 1373 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))) โ†’ ((((๐‘C(๐‘— โˆ’ 1)) ยท (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘—) โ†‘ ๐ด)) ร— ((๐‘— โˆ’ 1) โ†‘ ๐ต)) ร— ๐ต) = (((๐‘C(๐‘— โˆ’ 1)) ยท (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘—) โ†‘ ๐ด)) ร— (((๐‘— โˆ’ 1) โ†‘ ๐ต) ร— ๐ต)))
9620, 6mgpplusg 19905 . . . . . . . . . . . 12 ร— = (+gโ€˜๐บ)
9766, 21, 96mulgnn0p1 18892 . . . . . . . . . . 11 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘— โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘†) โ†’ (((๐‘— โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐ต) = (((๐‘— โˆ’ 1) โ†‘ ๐ต) ร— ๐ต))
9897eqcomd 2739 . . . . . . . . . 10 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘— โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘†) โ†’ (((๐‘— โˆ’ 1) โ†‘ ๐ต) ร— ๐ต) = (((๐‘— โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐ต))
9969, 83, 84, 98syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))) โ†’ (((๐‘— โˆ’ 1) โ†‘ ๐ต) ร— ๐ต) = (((๐‘— โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐ต))
10099oveq2d 7374 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))) โ†’ (((๐‘C(๐‘— โˆ’ 1)) ยท (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘—) โ†‘ ๐ด)) ร— (((๐‘— โˆ’ 1) โ†‘ ๐ต) ร— ๐ต)) = (((๐‘C(๐‘— โˆ’ 1)) ยท (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘—) โ†‘ ๐ด)) ร— (((๐‘— โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐ต)))
10152zcnd 12613 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„‚)
102 1cnd 11155 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
103101, 102npcand 11521 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1)) โ†’ ((๐‘— โˆ’ 1) + 1) = ๐‘—)
104103adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))) โ†’ ((๐‘— โˆ’ 1) + 1) = ๐‘—)
105104oveq1d 7373 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))) โ†’ (((๐‘— โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐ต) = (๐‘— โ†‘ ๐ต))
106105oveq2d 7374 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))) โ†’ (((๐‘C(๐‘— โˆ’ 1)) ยท (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘—) โ†‘ ๐ด)) ร— (((๐‘— โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐ต)) = (((๐‘C(๐‘— โˆ’ 1)) ยท (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘—) โ†‘ ๐ด)) ร— (๐‘— โ†‘ ๐ต)))
10795, 100, 1063eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))) โ†’ ((((๐‘C(๐‘— โˆ’ 1)) ยท (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘—) โ†‘ ๐ด)) ร— ((๐‘— โˆ’ 1) โ†‘ ๐ต)) ร— ๐ต) = (((๐‘C(๐‘— โˆ’ 1)) ยท (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘—) โ†‘ ๐ด)) ร— (๐‘— โ†‘ ๐ต)))
10860, 89, 1073eqtrd 2777 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))) โ†’ (((๐‘C(๐‘— โˆ’ 1)) ยท (((๐‘ โˆ’ (๐‘— โˆ’ 1)) โ†‘ ๐ด) ร— ((๐‘— โˆ’ 1) โ†‘ ๐ต))) ร— ๐ต) = (((๐‘C(๐‘— โˆ’ 1)) ยท (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘—) โ†‘ ๐ด)) ร— (๐‘— โ†‘ ๐ต)))
109108mpteq2dva 5206 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1)) โ†ฆ (((๐‘C(๐‘— โˆ’ 1)) ยท (((๐‘ โˆ’ (๐‘— โˆ’ 1)) โ†‘ ๐ด) ร— ((๐‘— โˆ’ 1) โ†‘ ๐ต))) ร— ๐ต)) = (๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1)) โ†ฆ (((๐‘C(๐‘— โˆ’ 1)) ยท (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘—) โ†‘ ๐ด)) ร— (๐‘— โ†‘ ๐ต))))
110109oveq2d 7374 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1)) โ†ฆ (((๐‘C(๐‘— โˆ’ 1)) ยท (((๐‘ โˆ’ (๐‘— โˆ’ 1)) โ†‘ ๐ด) ร— ((๐‘— โˆ’ 1) โ†‘ ๐ต))) ร— ๐ต))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1)) โ†ฆ (((๐‘C(๐‘— โˆ’ 1)) ยท (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘—) โ†‘ ๐ด)) ร— (๐‘— โ†‘ ๐ต)))))
11171mpteq1i 5202 . . . . . . 7 (๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1)) โ†ฆ (((๐‘C(๐‘— โˆ’ 1)) ยท (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘—) โ†‘ ๐ด)) ร— (๐‘— โ†‘ ๐ต))) = (๐‘— โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†ฆ (((๐‘C(๐‘— โˆ’ 1)) ยท (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘—) โ†‘ ๐ด)) ร— (๐‘— โ†‘ ๐ต)))
112 oveq1 7365 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐‘— โˆ’ 1) = (๐‘˜ โˆ’ 1))
113112oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐‘C(๐‘— โˆ’ 1)) = (๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)))
114 oveq2 7366 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘—) = ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜))
115114oveq1d 7373 . . . . . . . . . 10 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘—) โ†‘ ๐ด) = (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด))
116113, 115oveq12d 7376 . . . . . . . . 9 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘C(๐‘— โˆ’ 1)) ยท (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘—) โ†‘ ๐ด)) = ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด)))
117 oveq1 7365 . . . . . . . . 9 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐‘— โ†‘ ๐ต) = (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))
118116, 117oveq12d 7376 . . . . . . . 8 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (((๐‘C(๐‘— โˆ’ 1)) ยท (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘—) โ†‘ ๐ด)) ร— (๐‘— โ†‘ ๐ต)) = (((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด)) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต)))
119118cbvmptv 5219 . . . . . . 7 (๐‘— โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†ฆ (((๐‘C(๐‘— โˆ’ 1)) ยท (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘—) โ†‘ ๐ด)) ร— (๐‘— โ†‘ ๐ต))) = (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†ฆ (((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด)) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต)))
120111, 119eqtri 2761 . . . . . 6 (๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1)) โ†ฆ (((๐‘C(๐‘— โˆ’ 1)) ยท (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘—) โ†‘ ๐ด)) ร— (๐‘— โ†‘ ๐ต))) = (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†ฆ (((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด)) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต)))
121120oveq2i 7369 . . . . 5 (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1)) โ†ฆ (((๐‘C(๐‘— โˆ’ 1)) ยท (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘—) โ†‘ ๐ด)) ร— (๐‘— โ†‘ ๐ต)))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†ฆ (((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด)) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))
122 fzfid 13884 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (1...(๐‘ + 1)) โˆˆ Fin)
123 simpl 484 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ ๐œ‘)
124 elfzelz 13447 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
125 peano2zm 12551 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘˜ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
126124, 125syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†’ (๐‘˜ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
127 bccl 14228 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘˜ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•0)
12811, 126, 127syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ (๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•0)
129 fznn0sub 13479 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
130129adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
131 elfznn 13476 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
132131nnnn0d 12478 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
133132adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
1343, 6, 19, 5, 20, 21, 7, 22, 9, 23, 11srgbinomlem2 19963 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))) โˆˆ ๐‘†)
135123, 128, 130, 133, 134syl13anc 1373 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))) โˆˆ ๐‘†)
136135ralrimiva 3140 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ + 1))((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))) โˆˆ ๐‘†)
1373, 33, 122, 136gsummptcl 19749 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†ฆ ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))) โˆˆ ๐‘†)
1383, 5, 4mndlid 18581 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Mnd โˆง (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†ฆ ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))) โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((0gโ€˜๐‘…) + (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†ฆ ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต)))))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†ฆ ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))))
13991, 137, 138syl2anc 585 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((0gโ€˜๐‘…) + (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†ฆ ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต)))))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†ฆ ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))))
140 0nn0 12433 . . . . . . . . . . 11 0 โˆˆ โ„•0
141140a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„•0)
142 id 22 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐œ‘)
143 0z 12515 . . . . . . . . . . . . . 14 0 โˆˆ โ„ค
144143, 34pm3.2i 472 . . . . . . . . . . . . 13 (0 โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค)
145 zsubcl 12550 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
146144, 145mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (0 โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
147 bccl 14228 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (0 โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘C(0 โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•0)
14811, 146, 147syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘C(0 โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•0)
149 nn0cn 12428 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
150 peano2cn 11332 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„‚)
151149, 150syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„‚)
152151subid1d 11506 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ 0) = (๐‘ + 1))
153 peano2nn0 12458 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•0)
154152, 153eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ 0) โˆˆ โ„•0)
15511, 154syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ 0) โˆˆ โ„•0)
1563, 6, 19, 5, 20, 21, 7, 22, 9, 23, 11srgbinomlem2 19963 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘C(0 โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘ + 1) โˆ’ 0) โˆˆ โ„•0 โˆง 0 โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐‘C(0 โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ 0) โ†‘ ๐ด) ร— (0 โ†‘ ๐ต))) โˆˆ ๐‘†)
157142, 148, 155, 141, 156syl13anc 1373 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘C(0 โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ 0) โ†‘ ๐ด) ร— (0 โ†‘ ๐ต))) โˆˆ ๐‘†)
158 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = 0 โ†’ (๐‘˜ โˆ’ 1) = (0 โˆ’ 1))
159158oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = 0 โ†’ (๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) = (๐‘C(0 โˆ’ 1)))
160 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ = 0 โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) = ((๐‘ + 1) โˆ’ 0))
161160oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = 0 โ†’ (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) = (((๐‘ + 1) โˆ’ 0) โ†‘ ๐ด))
162 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = 0 โ†’ (๐‘˜ โ†‘ ๐ต) = (0 โ†‘ ๐ต))
163161, 162oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = 0 โ†’ ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต)) = ((((๐‘ + 1) โˆ’ 0) โ†‘ ๐ด) ร— (0 โ†‘ ๐ต)))
164159, 163oveq12d 7376 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = 0 โ†’ ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))) = ((๐‘C(0 โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ 0) โ†‘ ๐ด) ร— (0 โ†‘ ๐ต))))
1653, 164gsumsn 19736 . . . . . . . . . 10 ((๐‘… โˆˆ Mnd โˆง 0 โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘C(0 โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ 0) โ†‘ ๐ด) ร— (0 โ†‘ ๐ต))) โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))) = ((๐‘C(0 โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ 0) โ†‘ ๐ด) ร— (0 โ†‘ ๐ต))))
16691, 141, 157, 165syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))) = ((๐‘C(0 โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ 0) โ†‘ ๐ด) ร— (0 โ†‘ ๐ต))))
167 0lt1 11682 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 1
168167a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 0 < 1)
169168, 70breqtrrdi 5148 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 0 < (0 + 1))
170 0re 11162 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 โˆˆ โ„
171 1re 11160 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 โˆˆ โ„
172170, 171, 1703pm3.2i 1340 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„)
173 ltsubadd 11630 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ ((0 โˆ’ 1) < 0 โ†” 0 < (0 + 1)))
174172, 173mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((0 โˆ’ 1) < 0 โ†” 0 < (0 + 1)))
175169, 174mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (0 โˆ’ 1) < 0)
176175orcd 872 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((0 โˆ’ 1) < 0 โˆจ ๐‘ < (0 โˆ’ 1)))
177 bcval4 14213 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (0 โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โˆง ((0 โˆ’ 1) < 0 โˆจ ๐‘ < (0 โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘C(0 โˆ’ 1)) = 0)
17811, 146, 176, 177syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘C(0 โˆ’ 1)) = 0)
179178oveq1d 7373 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘C(0 โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ 0) โ†‘ ๐ด) ร— (0 โ†‘ ๐ต))) = (0 ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ 0) โ†‘ ๐ด) ร— (0 โ†‘ ๐ต))))
18066, 21, 68, 155, 22mulgnn0cld 18902 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ + 1) โˆ’ 0) โ†‘ ๐ด) โˆˆ ๐‘†)
18166, 21, 68, 141, 9mulgnn0cld 18902 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (0 โ†‘ ๐ต) โˆˆ ๐‘†)
1823, 6srgcl 19929 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (((๐‘ + 1) โˆ’ 0) โ†‘ ๐ด) โˆˆ ๐‘† โˆง (0 โ†‘ ๐ต) โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((((๐‘ + 1) โˆ’ 0) โ†‘ ๐ด) ร— (0 โ†‘ ๐ต)) โˆˆ ๐‘†)
1837, 180, 181, 182syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘ + 1) โˆ’ 0) โ†‘ ๐ด) ร— (0 โ†‘ ๐ต)) โˆˆ ๐‘†)
1843, 4, 19mulg0 18884 . . . . . . . . . 10 (((((๐‘ + 1) โˆ’ 0) โ†‘ ๐ด) ร— (0 โ†‘ ๐ต)) โˆˆ ๐‘† โ†’ (0 ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ 0) โ†‘ ๐ด) ร— (0 โ†‘ ๐ต))) = (0gโ€˜๐‘…))
185183, 184syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (0 ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ 0) โ†‘ ๐ด) ร— (0 โ†‘ ๐ต))) = (0gโ€˜๐‘…))
186166, 179, 1853eqtrrd 2778 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (0gโ€˜๐‘…) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))))
187186oveq1d 7373 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((0gโ€˜๐‘…) + (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†ฆ ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต)))))) = ((๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))) + (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†ฆ ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต)))))))
188139, 187eqtr3d 2775 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†ฆ ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))) = ((๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))) + (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†ฆ ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต)))))))
1897adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ ๐‘… โˆˆ SRing)
19068adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
19122adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘†)
19266, 21, 190, 130, 191mulgnn0cld 18902 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) โˆˆ ๐‘†)
1939adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘†)
19466, 21, 190, 133, 193mulgnn0cld 18902 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ (๐‘˜ โ†‘ ๐ต) โˆˆ ๐‘†)
1953, 19, 6srgmulgass 19953 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•0 โˆง (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) โˆˆ ๐‘† โˆง (๐‘˜ โ†‘ ๐ต) โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด)) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต)) = ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))
196189, 128, 192, 194, 195syl13anc 1373 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ (((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด)) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต)) = ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))
197196mpteq2dva 5206 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†ฆ (((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด)) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))) = (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†ฆ ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต)))))
198197oveq2d 7374 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†ฆ (((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด)) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต)))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†ฆ ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))))
19911, 153syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•0)
200 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1))) โ†’ ๐œ‘)
201 elfzelz 13447 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
202201, 125syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1)) โ†’ (๐‘˜ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
20311, 202, 127syl2an 597 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1))) โ†’ (๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•0)
204 fznn0sub 13479 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1)) โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
205204adantl 483 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1))) โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
206 elfznn0 13540 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
207206adantl 483 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
208200, 203, 205, 207, 134syl13anc 1373 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1))) โ†’ ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))) โˆˆ ๐‘†)
2093, 5, 33, 199, 208gsummptfzsplitl 19715 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1)) โ†ฆ ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))) = ((๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†ฆ ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))) + (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต)))))))
210 snfi 8991 . . . . . . . . . 10 {0} โˆˆ Fin
211210a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ {0} โˆˆ Fin)
212164eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = 0 โ†’ (((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))) โˆˆ ๐‘† โ†” ((๐‘C(0 โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ 0) โ†‘ ๐ด) ร— (0 โ†‘ ๐ต))) โˆˆ ๐‘†))
213212ralsng 4635 . . . . . . . . . . 11 (0 โˆˆ โ„•0 โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ {0} ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))) โˆˆ ๐‘† โ†” ((๐‘C(0 โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ 0) โ†‘ ๐ด) ร— (0 โ†‘ ๐ต))) โˆˆ ๐‘†))
214140, 213ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (โˆ€๐‘˜ โˆˆ {0} ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))) โˆˆ ๐‘† โ†” ((๐‘C(0 โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ 0) โ†‘ ๐ด) ร— (0 โ†‘ ๐ต))) โˆˆ ๐‘†)
215157, 214sylibr 233 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ {0} ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))) โˆˆ ๐‘†)
2163, 33, 211, 215gsummptcl 19749 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))) โˆˆ ๐‘†)
2173, 5cmncom 19585 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ CMnd โˆง (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†ฆ ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))) โˆˆ ๐‘† โˆง (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))) โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†ฆ ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))) + (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต)))))) = ((๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))) + (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†ฆ ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต)))))))
21833, 137, 216, 217syl3anc 1372 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†ฆ ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))) + (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต)))))) = ((๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))) + (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†ฆ ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต)))))))
219209, 218eqtrd 2773 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1)) โ†ฆ ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))) = ((๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))) + (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†ฆ ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต)))))))
220188, 198, 2193eqtr4d 2783 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†ฆ (((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด)) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต)))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1)) โ†ฆ ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))))
221121, 220eqtrid 2785 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1)) โ†ฆ (((๐‘C(๐‘— โˆ’ 1)) ยท (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘—) โ†‘ ๐ด)) ร— (๐‘— โ†‘ ๐ต)))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1)) โ†ฆ ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))))
22249, 110, 2213eqtrd 2777 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†ฆ (((๐‘C๐‘˜) ยท (((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))) ร— ๐ต))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1)) โ†ฆ ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))))
22331, 222eqtr3d 2775 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†ฆ ((๐‘C๐‘˜) ยท (((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))) ร— ๐ต) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1)) โ†ฆ ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))))
2242, 223sylan9eqr 2795 1 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐‘ โ†‘ (๐ด + ๐ต)) ร— ๐ต) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1)) โ†ฆ ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061  Vcvv 3444  {csn 4587   class class class wbr 5106   โ†ฆ cmpt 5189  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Fincfn 8886  โ„‚cc 11054  โ„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   < clt 11194   โˆ’ cmin 11390  โ„•cn 12158  โ„•0cn0 12418  โ„คcz 12504  ...cfz 13430  Ccbc 14208  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  .rcmulr 17139  0gc0g 17326   ฮฃg cgsu 17327  Mndcmnd 18561  .gcmg 18877  CMndccmn 19567  mulGrpcmgp 19901  SRingcsrg 19922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-mgp 19902  df-srg 19923
This theorem is referenced by:  srgbinomlem  19966
  Copyright terms: Public domain W3C validator