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Theorem srgbinomlem4 19287
 Description: Lemma 4 for srgbinomlem 19288. (Contributed by AV, 24-Aug-2019.) (Proof shortened by AV, 19-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srgbinom.s 𝑆 = (Base‘𝑅)
srgbinom.m × = (.r𝑅)
srgbinom.t · = (.g𝑅)
srgbinom.a + = (+g𝑅)
srgbinom.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
srgbinom.e = (.g𝐺)
srgbinomlem.r (𝜑𝑅 ∈ SRing)
srgbinomlem.a (𝜑𝐴𝑆)
srgbinomlem.b (𝜑𝐵𝑆)
srgbinomlem.c (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
srgbinomlem.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
srgbinomlem.i (𝜓 → (𝑁 (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
Assertion
Ref Expression
srgbinomlem4 ((𝜑𝜓) → ((𝑁 (𝐴 + 𝐵)) × 𝐵) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁   𝑅,𝑘   𝑆,𝑘   · ,𝑘   × ,𝑘   ,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑘)   + (𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem srgbinomlem4
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 srgbinomlem.i . . 3 (𝜓 → (𝑁 (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
21oveq1d 7165 . 2 (𝜓 → ((𝑁 (𝐴 + 𝐵)) × 𝐵) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) × 𝐵))
3 srgbinom.s . . . 4 𝑆 = (Base‘𝑅)
4 eqid 2821 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
5 srgbinom.a . . . 4 + = (+g𝑅)
6 srgbinom.m . . . 4 × = (.r𝑅)
7 srgbinomlem.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ SRing)
8 ovexd 7185 . . . 4 (𝜑 → (0...𝑁) ∈ V)
9 srgbinomlem.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑆)
10 simpl 485 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝜑)
11 srgbinomlem.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
12 elfzelz 12902 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
13 bccl 13676 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
1411, 12, 13syl2an 597 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
15 fznn0sub 12933 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ0)
1615adantl 484 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ0)
17 elfznn0 12994 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
1817adantl 484 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
19 srgbinom.t . . . . . 6 · = (.g𝑅)
20 srgbinom.g . . . . . 6 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
21 srgbinom.e . . . . . 6 = (.g𝐺)
22 srgbinomlem.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑆)
23 srgbinomlem.c . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
243, 6, 19, 5, 20, 21, 7, 22, 9, 23, 11srgbinomlem2 19285 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑁C𝑘) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑘) ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ 𝑆)
2510, 14, 16, 18, 24syl13anc 1368 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ 𝑆)
26 eqid 2821 . . . . 5 (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))) = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))
27 fzfid 13335 . . . . 5 (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
28 ovexd 7185 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ V)
29 fvexd 6680 . . . . 5 (𝜑 → (0g𝑅) ∈ V)
3026, 27, 28, 29fsuppmptdm 8838 . . . 4 (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))) finSupp (0g𝑅))
313, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 25, 30srgsummulcr 19281 . . 3 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) × 𝐵))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) × 𝐵))
32 srgcmn 19252 . . . . . 6 (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ CMnd)
337, 32syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
34 1z 12006 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
3534a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
36 0zd 11987 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3711nn0zd 12079 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
387adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑅 ∈ SRing)
399adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵𝑆)
403, 6srgcl 19256 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ 𝑆𝐵𝑆) → (((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) × 𝐵) ∈ 𝑆)
4138, 25, 39, 40syl3anc 1367 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) × 𝐵) ∈ 𝑆)
42 oveq2 7158 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑁C𝑘) = (𝑁C(𝑗 − 1)))
43 oveq2 7158 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑁𝑘) = (𝑁 − (𝑗 − 1)))
4443oveq1d 7165 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑗 − 1) → ((𝑁𝑘) 𝐴) = ((𝑁 − (𝑗 − 1)) 𝐴))
45 oveq1 7157 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑘 𝐵) = ((𝑗 − 1) 𝐵))
4644, 45oveq12d 7168 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)) = (((𝑁 − (𝑗 − 1)) 𝐴) × ((𝑗 − 1) 𝐵)))
4742, 46oveq12d 7168 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑗 − 1) → ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) = ((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 − (𝑗 − 1)) 𝐴) × ((𝑗 − 1) 𝐵))))
4847oveq1d 7165 . . . . 5 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) × 𝐵) = (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 − (𝑗 − 1)) 𝐴) × ((𝑗 − 1) 𝐵))) × 𝐵))
493, 4, 33, 35, 36, 37, 41, 48gsummptshft 19050 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) × 𝐵))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 − (𝑗 − 1)) 𝐴) × ((𝑗 − 1) 𝐵))) × 𝐵))))
5011nn0cnd 11951 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
5150adantr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
52 elfzelz 12902 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → 𝑗 ∈ ℤ)
5352adantl 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑗 ∈ ℤ)
5453zcnd 12082 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑗 ∈ ℂ)
55 1cnd 10630 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℂ)
5651, 54, 55subsub3d 11021 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝑁 − (𝑗 − 1)) = ((𝑁 + 1) − 𝑗))
5756oveq1d 7165 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 − (𝑗 − 1)) 𝐴) = (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴))
5857oveq1d 7165 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑁 − (𝑗 − 1)) 𝐴) × ((𝑗 − 1) 𝐵)) = ((((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴) × ((𝑗 − 1) 𝐵)))
5958oveq2d 7166 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 − (𝑗 − 1)) 𝐴) × ((𝑗 − 1) 𝐵))) = ((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴) × ((𝑗 − 1) 𝐵))))
6059oveq1d 7165 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 − (𝑗 − 1)) 𝐴) × ((𝑗 − 1) 𝐵))) × 𝐵) = (((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴) × ((𝑗 − 1) 𝐵))) × 𝐵))
617adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑅 ∈ SRing)
62 peano2zm 12019 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
6352, 62syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
64 bccl 13676 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(𝑗 − 1)) ∈ ℕ0)
6511, 63, 64syl2an 597 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑗 − 1)) ∈ ℕ0)
6620srgmgp 19254 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ SRing → 𝐺 ∈ Mnd)
677, 66syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
6867adantr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝐺 ∈ Mnd)
69 0p1e1 11753 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 + 1) = 1
7069oveq1i 7160 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) = (1...(𝑁 + 1))
7170eleq2i 2904 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ↔ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1)))
72 fznn0sub 12933 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1) − 𝑗) ∈ ℕ0)
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1) − 𝑗) ∈ ℕ0))
7471, 73syl5bi 244 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1) − 𝑗) ∈ ℕ0))
7574imp 409 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 𝑗) ∈ ℕ0)
7622adantr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝐴𝑆)
7720, 3mgpbas 19239 . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = (Base‘𝐺)
7877, 21mulgnn0cl 18238 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑗) ∈ ℕ0𝐴𝑆) → (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴) ∈ 𝑆)
7968, 75, 76, 78syl3anc 1367 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴) ∈ 𝑆)
80 elfznn 12930 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑗 ∈ ℕ)
81 nnm1nn0 11932 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
8280, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
8371, 82sylbi 219 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
8483adantl 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
859adantr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝐵𝑆)
8677, 21mulgnn0cl 18238 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℕ0𝐵𝑆) → ((𝑗 − 1) 𝐵) ∈ 𝑆)
8768, 84, 85, 86syl3anc 1367 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑗 − 1) 𝐵) ∈ 𝑆)
883, 19, 6srgmulgass 19275 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑁C(𝑗 − 1)) ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ ((𝑗 − 1) 𝐵) ∈ 𝑆)) → (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴)) × ((𝑗 − 1) 𝐵)) = ((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴) × ((𝑗 − 1) 𝐵))))
8961, 65, 79, 87, 88syl13anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴)) × ((𝑗 − 1) 𝐵)) = ((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴) × ((𝑗 − 1) 𝐵))))
9089eqcomd 2827 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴) × ((𝑗 − 1) 𝐵))) = (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴)) × ((𝑗 − 1) 𝐵)))
9190oveq1d 7165 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴) × ((𝑗 − 1) 𝐵))) × 𝐵) = ((((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴)) × ((𝑗 − 1) 𝐵)) × 𝐵))
92 srgmnd 19253 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd)
937, 92syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
9493adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑅 ∈ Mnd)
953, 19mulgnn0cl 18238 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑁C(𝑗 − 1)) ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴) ∈ 𝑆) → ((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴)) ∈ 𝑆)
9694, 65, 79, 95syl3anc 1367 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴)) ∈ 𝑆)
973, 6srgass 19257 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ SRing ∧ (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴)) ∈ 𝑆 ∧ ((𝑗 − 1) 𝐵) ∈ 𝑆𝐵𝑆)) → ((((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴)) × ((𝑗 − 1) 𝐵)) × 𝐵) = (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴)) × (((𝑗 − 1) 𝐵) × 𝐵)))
9861, 96, 87, 85, 97syl13anc 1368 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴)) × ((𝑗 − 1) 𝐵)) × 𝐵) = (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴)) × (((𝑗 − 1) 𝐵) × 𝐵)))
9920, 6mgpplusg 19237 . . . . . . . . . . . 12 × = (+g𝐺)
10077, 21, 99mulgnn0p1 18233 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℕ0𝐵𝑆) → (((𝑗 − 1) + 1) 𝐵) = (((𝑗 − 1) 𝐵) × 𝐵))
101100eqcomd 2827 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℕ0𝐵𝑆) → (((𝑗 − 1) 𝐵) × 𝐵) = (((𝑗 − 1) + 1) 𝐵))
10268, 84, 85, 101syl3anc 1367 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑗 − 1) 𝐵) × 𝐵) = (((𝑗 − 1) + 1) 𝐵))
103102oveq2d 7166 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴)) × (((𝑗 − 1) 𝐵) × 𝐵)) = (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴)) × (((𝑗 − 1) + 1) 𝐵)))
10452zcnd 12082 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → 𝑗 ∈ ℂ)
105 1cnd 10630 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → 1 ∈ ℂ)
106104, 105npcand 10995 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → ((𝑗 − 1) + 1) = 𝑗)
107106adantl 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑗 − 1) + 1) = 𝑗)
108107oveq1d 7165 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑗 − 1) + 1) 𝐵) = (𝑗 𝐵))
109108oveq2d 7166 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴)) × (((𝑗 − 1) + 1) 𝐵)) = (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴)) × (𝑗 𝐵)))
11098, 103, 1093eqtrd 2860 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴)) × ((𝑗 − 1) 𝐵)) × 𝐵) = (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴)) × (𝑗 𝐵)))
11160, 91, 1103eqtrd 2860 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 − (𝑗 − 1)) 𝐴) × ((𝑗 − 1) 𝐵))) × 𝐵) = (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴)) × (𝑗 𝐵)))
112111mpteq2dva 5154 . . . . 5 (𝜑 → (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 − (𝑗 − 1)) 𝐴) × ((𝑗 − 1) 𝐵))) × 𝐵)) = (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴)) × (𝑗 𝐵))))
113112oveq2d 7166 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 − (𝑗 − 1)) 𝐴) × ((𝑗 − 1) 𝐵))) × 𝐵))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴)) × (𝑗 𝐵)))))
11470mpteq1i 5149 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴)) × (𝑗 𝐵))) = (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴)) × (𝑗 𝐵)))
115 oveq1 7157 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 − 1) = (𝑘 − 1))
116115oveq2d 7166 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → (𝑁C(𝑗 − 1)) = (𝑁C(𝑘 − 1)))
117 oveq2 7158 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁 + 1) − 𝑗) = ((𝑁 + 1) − 𝑘))
118117oveq1d 7165 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴) = (((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴))
119116, 118oveq12d 7168 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴)) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴)))
120 oveq1 7157 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 𝐵) = (𝑘 𝐵))
121119, 120oveq12d 7168 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴)) × (𝑗 𝐵)) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴)) × (𝑘 𝐵)))
122121cbvmptv 5162 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴)) × (𝑗 𝐵))) = (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴)) × (𝑘 𝐵)))
123114, 122eqtri 2844 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴)) × (𝑗 𝐵))) = (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴)) × (𝑘 𝐵)))
124123oveq2i 7161 . . . . 5 (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴)) × (𝑗 𝐵)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴)) × (𝑘 𝐵))))
125 fzfid 13335 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
126 simpl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝜑)
127 elfzelz 12902 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
128 peano2zm 12019 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
129127, 128syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
130 bccl 13676 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
13111, 129, 130syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
132 fznn0sub 12933 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
133132adantl 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
134 elfznn 12930 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
135134nnnn0d 11949 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
136135adantl 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
1373, 6, 19, 5, 20, 21, 7, 22, 9, 23, 11srgbinomlem2 19285 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ 𝑆)
138126, 131, 133, 136, 137syl13anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ 𝑆)
139138ralrimiva 3182 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ 𝑆)
1403, 33, 125, 139gsummptcl 19081 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) ∈ 𝑆)
1413, 5, 4mndlid 17925 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) ∈ 𝑆) → ((0g𝑅) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
14293, 140, 141syl2anc 586 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0g𝑅) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
143 0nn0 11906 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℕ0
144143a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
145 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝜑)
146 0z 11986 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℤ
147146, 34pm3.2i 473 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)
148 zsubcl 12018 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (0 − 1) ∈ ℤ)
149147, 148mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 − 1) ∈ ℤ)
150 bccl 13676 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (0 − 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(0 − 1)) ∈ ℕ0)
15111, 149, 150syl2anc 586 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁C(0 − 1)) ∈ ℕ0)
152 nn0cn 11901 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
153 peano2cn 10806 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
154152, 153syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
155154subid1d 10980 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 0) = (𝑁 + 1))
156 peano2nn0 11931 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
157155, 156eqeltrd 2913 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 0) ∈ ℕ0)
15811, 157syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 0) ∈ ℕ0)
1593, 6, 19, 5, 20, 21, 7, 22, 9, 23, 11srgbinomlem2 19285 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝑁C(0 − 1)) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) − 0) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0)) → ((𝑁C(0 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 0) 𝐴) × (0 𝐵))) ∈ 𝑆)
160145, 151, 158, 144, 159syl13anc 1368 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁C(0 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 0) 𝐴) × (0 𝐵))) ∈ 𝑆)
161 oveq1 7157 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 0 → (𝑘 − 1) = (0 − 1))
162161oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 0 → (𝑁C(𝑘 − 1)) = (𝑁C(0 − 1)))
163 oveq2 7158 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 0 → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = ((𝑁 + 1) − 0))
164163oveq1d 7165 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 0 → (((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) = (((𝑁 + 1) − 0) 𝐴))
165 oveq1 7157 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 0 → (𝑘 𝐵) = (0 𝐵))
166164, 165oveq12d 7168 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 0 → ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)) = ((((𝑁 + 1) − 0) 𝐴) × (0 𝐵)))
167162, 166oveq12d 7168 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) = ((𝑁C(0 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 0) 𝐴) × (0 𝐵))))
1683, 167gsumsn 19068 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁C(0 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 0) 𝐴) × (0 𝐵))) ∈ 𝑆) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) = ((𝑁C(0 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 0) 𝐴) × (0 𝐵))))
16993, 144, 160, 168syl3anc 1367 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) = ((𝑁C(0 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 0) 𝐴) × (0 𝐵))))
170 0lt1 11156 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 1
171170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 1)
172171, 69breqtrrdi 5101 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < (0 + 1))
173 0re 10637 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ
174 1re 10635 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ
175173, 174, 1733pm3.2i 1335 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ)
176 ltsubadd 11104 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 − 1) < 0 ↔ 0 < (0 + 1)))
177175, 176mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((0 − 1) < 0 ↔ 0 < (0 + 1)))
178172, 177mpbird 259 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 − 1) < 0)
179178orcd 869 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((0 − 1) < 0 ∨ 𝑁 < (0 − 1)))
180 bcval4 13661 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (0 − 1) ∈ ℤ ∧ ((0 − 1) < 0 ∨ 𝑁 < (0 − 1))) → (𝑁C(0 − 1)) = 0)
18111, 149, 179, 180syl3anc 1367 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁C(0 − 1)) = 0)
182181oveq1d 7165 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁C(0 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 0) 𝐴) × (0 𝐵))) = (0 · ((((𝑁 + 1) − 0) 𝐴) × (0 𝐵))))
18377, 21mulgnn0cl 18238 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ ((𝑁 + 1) − 0) ∈ ℕ0𝐴𝑆) → (((𝑁 + 1) − 0) 𝐴) ∈ 𝑆)
18467, 158, 22, 183syl3anc 1367 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑁 + 1) − 0) 𝐴) ∈ 𝑆)
18577, 21mulgnn0cl 18238 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ ℕ0𝐵𝑆) → (0 𝐵) ∈ 𝑆)
18667, 144, 9, 185syl3anc 1367 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0 𝐵) ∈ 𝑆)
1873, 6srgcl 19256 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ SRing ∧ (((𝑁 + 1) − 0) 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (0 𝐵) ∈ 𝑆) → ((((𝑁 + 1) − 0) 𝐴) × (0 𝐵)) ∈ 𝑆)
1887, 184, 186, 187syl3anc 1367 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝑁 + 1) − 0) 𝐴) × (0 𝐵)) ∈ 𝑆)
1893, 4, 19mulg0 18225 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 + 1) − 0) 𝐴) × (0 𝐵)) ∈ 𝑆 → (0 · ((((𝑁 + 1) − 0) 𝐴) × (0 𝐵))) = (0g𝑅))
190188, 189syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 · ((((𝑁 + 1) − 0) 𝐴) × (0 𝐵))) = (0g𝑅))
191169, 182, 1903eqtrrd 2861 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0g𝑅) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
192191oveq1d 7165 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0g𝑅) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))))))
193142, 192eqtr3d 2858 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))))))
1947adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑅 ∈ SRing)
19567adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝐺 ∈ Mnd)
19622adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝐴𝑆)
19777, 21mulgnn0cl 18238 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0𝐴𝑆) → (((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) ∈ 𝑆)
198195, 133, 196, 197syl3anc 1367 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) ∈ 𝑆)
1999adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝐵𝑆)
20077, 21mulgnn0cl 18238 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0𝐵𝑆) → (𝑘 𝐵) ∈ 𝑆)
201195, 136, 199, 200syl3anc 1367 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑘 𝐵) ∈ 𝑆)
2023, 19, 6srgmulgass 19275 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (𝑘 𝐵) ∈ 𝑆)) → (((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴)) × (𝑘 𝐵)) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))
203194, 131, 198, 201, 202syl13anc 1368 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴)) × (𝑘 𝐵)) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))
204203mpteq2dva 5154 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴)) × (𝑘 𝐵))) = (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))))
205204oveq2d 7166 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴)) × (𝑘 𝐵)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
20611, 156syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
207 simpl 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝜑)
208 elfzelz 12902 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
209208, 128syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
21011, 209, 130syl2an 597 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
211 fznn0sub 12933 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
212211adantl 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
213 elfznn0 12994 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
214213adantl 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
215207, 210, 212, 214, 137syl13anc 1368 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ 𝑆)
2163, 5, 33, 206, 215gsummptfzsplitl 19047 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))))))
217 snfi 8588 . . . . . . . . . 10 {0} ∈ Fin
218217a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {0} ∈ Fin)
219167eleq1d 2897 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 0 → (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑁C(0 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 0) 𝐴) × (0 𝐵))) ∈ 𝑆))
220219ralsng 4607 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℕ0 → (∀𝑘 ∈ {0} ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑁C(0 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 0) 𝐴) × (0 𝐵))) ∈ 𝑆))
221143, 220ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (∀𝑘 ∈ {0} ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑁C(0 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 0) 𝐴) × (0 𝐵))) ∈ 𝑆)
222160, 221sylibr 236 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ {0} ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ 𝑆)
2233, 33, 218, 222gsummptcl 19081 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) ∈ 𝑆)
2243, 5cmncom 18917 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CMnd ∧ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) ∈ 𝑆 ∧ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) ∈ 𝑆) → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))))))
22533, 140, 223, 224syl3anc 1367 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))))))
226216, 225eqtrd 2856 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))))))
227193, 205, 2263eqtr4d 2866 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴)) × (𝑘 𝐵)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
228124, 227syl5eq 2868 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) 𝐴)) × (𝑗 𝐵)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
22949, 113, 2283eqtrd 2860 . . 3 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) × 𝐵))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
23031, 229eqtr3d 2858 . 2 (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) × 𝐵) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
2312, 230sylan9eqr 2878 1 ((𝜑𝜓) → ((𝑁 (𝐴 + 𝐵)) × 𝐵) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  Vcvv 3495  {csn 4561   class class class wbr 5059   ↦ cmpt 5139  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  Fincfn 8503  ℂcc 10529  ℝcr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   < clt 10669   − cmin 10864  ℕcn 11632  ℕ0cn0 11891  ℤcz 11975  ...cfz 12886  Ccbc 13656  Basecbs 16477  +gcplusg 16559  .rcmulr 16560  0gc0g 16707   Σg cgsu 16708  Mndcmnd 17905  .gcmg 18218  CMndccmn 18900  mulGrpcmgp 19233  SRingcsrg 19249 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-seq 13364  df-fac 13628  df-bc 13657  df-hash 13685  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-mhm 17950  df-submnd 17951  df-mulg 18219  df-cntz 18441  df-cmn 18902  df-mgp 19234  df-srg 19250 This theorem is referenced by:  srgbinomlem  19288
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