Theorem srgbinomlem4 19412

Description: Lemma 4 for srgbinomlem 19413. (Contributed by AV, 24-Aug-2019.) (Proof shortened by AV, 19-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgbinom.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
srgbinom.m	⊢ × = (.r‘𝑅)
srgbinom.t	⊢ · = (.g‘𝑅)
srgbinom.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
srgbinom.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
srgbinom.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
srgbinomlem.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
srgbinomlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
srgbinomlem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
srgbinomlem.c	⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
srgbinomlem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
srgbinomlem.i	⊢ (𝜓 → (𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))

Assertion

Ref	Expression
srgbinomlem4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐵) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁   𝑅,𝑘   𝑆,𝑘   · ,𝑘   × ,𝑘   ↑ ,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑘)   + (𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem srgbinomlem4

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgbinomlem.i	. . 3 ⊢ (𝜓 → (𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
2	1	oveq1d 7185	. 2 ⊢ (𝜓 → ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐵) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) × 𝐵))
3		srgbinom.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
4		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
5		srgbinom.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
6		srgbinom.m	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑅)
7		srgbinomlem.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
8		ovexd 7205	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ V)
9		srgbinomlem.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
10		simpl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝜑)
11		srgbinomlem.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
12		elfzelz 12998	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
13		bccl 13774	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
14	11, 12, 13	syl2an 599	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
15		fznn0sub 13030	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0)
16	15	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0)
17		elfznn0 13091	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
18	17	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
19		srgbinom.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝑅)
20		srgbinom.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
21		srgbinom.e	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
22		srgbinomlem.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
23		srgbinomlem.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
24	3, 6, 19, 5, 20, 21, 7, 22, 9, 23, 11	srgbinomlem2 19410	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑁C𝑘) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
25	10, 14, 16, 18, 24	syl13anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
26		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))) = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))
27		fzfid 13432	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
28		ovexd 7205	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ V)
29		fvexd 6689	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ V)
30	26, 27, 28, 29	fsuppmptdm 8917	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))) finSupp (0g‘𝑅))
31	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 25, 30	srgsummulcr 19406	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) × 𝐵))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) × 𝐵))
32		srgcmn 19377	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ CMnd)
33	7, 32	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
34		1z 12093	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
35	34	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
36		0zd 12074	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
37	11	nn0zd 12166	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
38	7	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑅 ∈ SRing)
39	9	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ∈ 𝑆)
40	3, 6	srgcl 19381	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) × 𝐵) ∈ 𝑆)
41	38, 25, 39, 40	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) × 𝐵) ∈ 𝑆)
42		oveq2 7178	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑁C𝑘) = (𝑁C(𝑗 − 1)))
43		oveq2 7178	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑁 − 𝑘) = (𝑁 − (𝑗 − 1)))
44	43	oveq1d 7185	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → ((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) = ((𝑁 − (𝑗 − 1)) ↑ 𝐴))
45		oveq1 7177	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑘 ↑ 𝐵) = ((𝑗 − 1) ↑ 𝐵))
46	44, 45	oveq12d 7188	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)) = (((𝑁 − (𝑗 − 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑗 − 1) ↑ 𝐵)))
47	42, 46	oveq12d 7188	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) = ((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 − (𝑗 − 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑗 − 1) ↑ 𝐵))))
48	47	oveq1d 7185	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → (((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) × 𝐵) = (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 − (𝑗 − 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑗 − 1) ↑ 𝐵))) × 𝐵))
49	3, 4, 33, 35, 36, 37, 41, 48	gsummptshft 19175	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) × 𝐵))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 − (𝑗 − 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑗 − 1) ↑ 𝐵))) × 𝐵))))
50	11	nn0cnd 12038	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
51	50	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
52		elfzelz 12998	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → 𝑗 ∈ ℤ)
53	52	adantl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑗 ∈ ℤ)
54	53	zcnd 12169	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑗 ∈ ℂ)
55		1cnd 10714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℂ)
56	51, 54, 55	subsub3d 11105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝑁 − (𝑗 − 1)) = ((𝑁 + 1) − 𝑗))
57	56	oveq1d 7185	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 − (𝑗 − 1)) ↑ 𝐴) = (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴))
58	57	oveq1d 7185	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑁 − (𝑗 − 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑗 − 1) ↑ 𝐵)) = ((((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴) × ((𝑗 − 1) ↑ 𝐵)))
59	58	oveq2d 7186	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 − (𝑗 − 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑗 − 1) ↑ 𝐵))) = ((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴) × ((𝑗 − 1) ↑ 𝐵))))
60	59	oveq1d 7185	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 − (𝑗 − 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑗 − 1) ↑ 𝐵))) × 𝐵) = (((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴) × ((𝑗 − 1) ↑ 𝐵))) × 𝐵))
61	7	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑅 ∈ SRing)
62		peano2zm 12106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
63	52, 62	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
64		bccl 13774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(𝑗 − 1)) ∈ ℕ0)
65	11, 63, 64	syl2an 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑗 − 1)) ∈ ℕ0)
66	20	srgmgp 19379	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝐺 ∈ Mnd)
67	7, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
68	67	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝐺 ∈ Mnd)
69		0p1e1 11838	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 + 1) = 1
70	69	oveq1i 7180	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) = (1...(𝑁 + 1))
71	70	eleq2i 2824	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ↔ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1)))
72		fznn0sub 13030	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1) − 𝑗) ∈ ℕ0)
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1) − 𝑗) ∈ ℕ0))
74	71, 73	syl5bi 245	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1) − 𝑗) ∈ ℕ0))
75	74	imp 410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 𝑗) ∈ ℕ0)
76	22	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ 𝑆)
77	20, 3	mgpbas 19364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐺)
78	77, 21	mulgnn0cl 18362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑗) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴) ∈ 𝑆)
79	68, 75, 76, 78	syl3anc 1372	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴) ∈ 𝑆)
80		elfznn 13027	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑗 ∈ ℕ)
81		nnm1nn0 12017	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
82	80, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
83	71, 82	sylbi 220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
84	83	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
85	9	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ 𝑆)
86	77, 21	mulgnn0cl 18362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ((𝑗 − 1) ↑ 𝐵) ∈ 𝑆)
87	68, 84, 85, 86	syl3anc 1372	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑗 − 1) ↑ 𝐵) ∈ 𝑆)
88	3, 19, 6	srgmulgass 19400	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑁C(𝑗 − 1)) ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ ((𝑗 − 1) ↑ 𝐵) ∈ 𝑆)) → (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴)) × ((𝑗 − 1) ↑ 𝐵)) = ((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴) × ((𝑗 − 1) ↑ 𝐵))))
89	61, 65, 79, 87, 88	syl13anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴)) × ((𝑗 − 1) ↑ 𝐵)) = ((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴) × ((𝑗 − 1) ↑ 𝐵))))
90	89	eqcomd 2744	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴) × ((𝑗 − 1) ↑ 𝐵))) = (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴)) × ((𝑗 − 1) ↑ 𝐵)))
91	90	oveq1d 7185	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴) × ((𝑗 − 1) ↑ 𝐵))) × 𝐵) = ((((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴)) × ((𝑗 − 1) ↑ 𝐵)) × 𝐵))
92		srgmnd 19378	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd)
93	7, 92	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
94	93	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑅 ∈ Mnd)
95	3, 19	mulgnn0cl 18362	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑁C(𝑗 − 1)) ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴) ∈ 𝑆) → ((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴)) ∈ 𝑆)
96	94, 65, 79, 95	syl3anc 1372	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴)) ∈ 𝑆)
97	3, 6	srgass 19382	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴)) ∈ 𝑆 ∧ ((𝑗 − 1) ↑ 𝐵) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → ((((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴)) × ((𝑗 − 1) ↑ 𝐵)) × 𝐵) = (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴)) × (((𝑗 − 1) ↑ 𝐵) × 𝐵)))
98	61, 96, 87, 85, 97	syl13anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴)) × ((𝑗 − 1) ↑ 𝐵)) × 𝐵) = (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴)) × (((𝑗 − 1) ↑ 𝐵) × 𝐵)))
99	20, 6	mgpplusg 19362	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ × = (+g‘𝐺)
100	77, 21, 99	mulgnn0p1 18357	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (((𝑗 − 1) + 1) ↑ 𝐵) = (((𝑗 − 1) ↑ 𝐵) × 𝐵))
101	100	eqcomd 2744	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (((𝑗 − 1) ↑ 𝐵) × 𝐵) = (((𝑗 − 1) + 1) ↑ 𝐵))
102	68, 84, 85, 101	syl3anc 1372	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑗 − 1) ↑ 𝐵) × 𝐵) = (((𝑗 − 1) + 1) ↑ 𝐵))
103	102	oveq2d 7186	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴)) × (((𝑗 − 1) ↑ 𝐵) × 𝐵)) = (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴)) × (((𝑗 − 1) + 1) ↑ 𝐵)))
104	52	zcnd 12169	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → 𝑗 ∈ ℂ)
105		1cnd 10714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → 1 ∈ ℂ)
106	104, 105	npcand 11079	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → ((𝑗 − 1) + 1) = 𝑗)
107	106	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑗 − 1) + 1) = 𝑗)
108	107	oveq1d 7185	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑗 − 1) + 1) ↑ 𝐵) = (𝑗 ↑ 𝐵))
109	108	oveq2d 7186	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴)) × (((𝑗 − 1) + 1) ↑ 𝐵)) = (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴)) × (𝑗 ↑ 𝐵)))
110	98, 103, 109	3eqtrd 2777	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴)) × ((𝑗 − 1) ↑ 𝐵)) × 𝐵) = (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴)) × (𝑗 ↑ 𝐵)))
111	60, 91, 110	3eqtrd 2777	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 − (𝑗 − 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑗 − 1) ↑ 𝐵))) × 𝐵) = (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴)) × (𝑗 ↑ 𝐵)))
112	111	mpteq2dva 5125	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 − (𝑗 − 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑗 − 1) ↑ 𝐵))) × 𝐵)) = (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴)) × (𝑗 ↑ 𝐵))))
113	112	oveq2d 7186	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 − (𝑗 − 1)) ↑ 𝐴) × ((𝑗 − 1) ↑ 𝐵))) × 𝐵))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴)) × (𝑗 ↑ 𝐵)))))
114	70	mpteq1i 5120	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴)) × (𝑗 ↑ 𝐵))) = (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴)) × (𝑗 ↑ 𝐵)))
115		oveq1 7177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 − 1) = (𝑘 − 1))
116	115	oveq2d 7186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑁C(𝑗 − 1)) = (𝑁C(𝑘 − 1)))
117		oveq2 7178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁 + 1) − 𝑗) = ((𝑁 + 1) − 𝑘))
118	117	oveq1d 7185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴) = (((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴))
119	116, 118	oveq12d 7188	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴)) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴)))
120		oveq1 7177	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 ↑ 𝐵) = (𝑘 ↑ 𝐵))
121	119, 120	oveq12d 7188	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴)) × (𝑗 ↑ 𝐵)) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝐵)))
122	121	cbvmptv 5133	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴)) × (𝑗 ↑ 𝐵))) = (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝐵)))
123	114, 122	eqtri 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴)) × (𝑗 ↑ 𝐵))) = (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝐵)))
124	123	oveq2i 7181	. . . . 5 ⊢ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴)) × (𝑗 ↑ 𝐵)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝐵))))
125		fzfid 13432	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
126		simpl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝜑)
127		elfzelz 12998	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
128		peano2zm 12106	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
129	127, 128	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
130		bccl 13774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
131	11, 129, 130	syl2an 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
132		fznn0sub 13030	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
133	132	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
134		elfznn 13027	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
135	134	nnnn0d 12036	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
136	135	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
137	3, 6, 19, 5, 20, 21, 7, 22, 9, 23, 11	srgbinomlem2 19410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
138	126, 131, 133, 136, 137	syl13anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
139	138	ralrimiva 3096	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
140	3, 33, 125, 139	gsummptcl 19206	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) ∈ 𝑆)
141	3, 5, 4	mndlid 18047	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) ∈ 𝑆) → ((0g‘𝑅) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
142	93, 140, 141	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
143		0nn0 11991	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℕ0
144	143	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
145		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
146		0z 12073	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℤ
147	146, 34	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)
148		zsubcl 12105	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (0 − 1) ∈ ℤ)
149	147, 148	mp1i 13	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0 − 1) ∈ ℤ)
150		bccl 13774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (0 − 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(0 − 1)) ∈ ℕ0)
151	11, 149, 150	syl2anc 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁C(0 − 1)) ∈ ℕ0)
152		nn0cn 11986	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
153		peano2cn 10890	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
154	152, 153	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
155	154	subid1d 11064	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 0) = (𝑁 + 1))
156		peano2nn0 12016	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
157	155, 156	eqeltrd 2833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 0) ∈ ℕ0)
158	11, 157	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 0) ∈ ℕ0)
159	3, 6, 19, 5, 20, 21, 7, 22, 9, 23, 11	srgbinomlem2 19410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑁C(0 − 1)) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) − 0) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0)) → ((𝑁C(0 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 0) ↑ 𝐴) × (0 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
160	145, 151, 158, 144, 159	syl13anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C(0 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 0) ↑ 𝐴) × (0 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
161		oveq1 7177	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 − 1) = (0 − 1))
162	161	oveq2d 7186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑁C(𝑘 − 1)) = (𝑁C(0 − 1)))
163		oveq2 7178	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = ((𝑁 + 1) − 0))
164	163	oveq1d 7185	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 0 → (((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) = (((𝑁 + 1) − 0) ↑ 𝐴))
165		oveq1 7177	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 ↑ 𝐵) = (0 ↑ 𝐵))
166	164, 165	oveq12d 7188	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 0 → ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)) = ((((𝑁 + 1) − 0) ↑ 𝐴) × (0 ↑ 𝐵)))
167	162, 166	oveq12d 7188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) = ((𝑁C(0 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 0) ↑ 𝐴) × (0 ↑ 𝐵))))
168	3, 167	gsumsn 19193	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁C(0 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 0) ↑ 𝐴) × (0 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) = ((𝑁C(0 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 0) ↑ 𝐴) × (0 ↑ 𝐵))))
169	93, 144, 160, 168	syl3anc 1372	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) = ((𝑁C(0 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 0) ↑ 𝐴) × (0 ↑ 𝐵))))
170		0lt1 11240	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 1
171	170	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
172	171, 69	breqtrrdi 5072	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 < (0 + 1))
173		0re 10721	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℝ
174		1re 10719	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ
175	173, 174, 173	3pm3.2i 1340	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ)
176		ltsubadd 11188	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 − 1) < 0 ↔ 0 < (0 + 1)))
177	175, 176	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((0 − 1) < 0 ↔ 0 < (0 + 1)))
178	172, 177	mpbird 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0 − 1) < 0)
179	178	orcd 872	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((0 − 1) < 0 ∨ 𝑁 < (0 − 1)))
180		bcval4 13759	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (0 − 1) ∈ ℤ ∧ ((0 − 1) < 0 ∨ 𝑁 < (0 − 1))) → (𝑁C(0 − 1)) = 0)
181	11, 149, 179, 180	syl3anc 1372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁C(0 − 1)) = 0)
182	181	oveq1d 7185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C(0 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 0) ↑ 𝐴) × (0 ↑ 𝐵))) = (0 · ((((𝑁 + 1) − 0) ↑ 𝐴) × (0 ↑ 𝐵))))
183	77, 21	mulgnn0cl 18362	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ ((𝑁 + 1) − 0) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (((𝑁 + 1) − 0) ↑ 𝐴) ∈ 𝑆)
184	67, 158, 22, 183	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 1) − 0) ↑ 𝐴) ∈ 𝑆)
185	77, 21	mulgnn0cl 18362	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (0 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆)
186	67, 144, 9, 185	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆)
187	3, 6	srgcl 19381	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (((𝑁 + 1) − 0) ↑ 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (0 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆) → ((((𝑁 + 1) − 0) ↑ 𝐴) × (0 ↑ 𝐵)) ∈ 𝑆)
188	7, 184, 186, 187	syl3anc 1372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝑁 + 1) − 0) ↑ 𝐴) × (0 ↑ 𝐵)) ∈ 𝑆)
189	3, 4, 19	mulg0 18349	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 + 1) − 0) ↑ 𝐴) × (0 ↑ 𝐵)) ∈ 𝑆 → (0 · ((((𝑁 + 1) − 0) ↑ 𝐴) × (0 ↑ 𝐵))) = (0g‘𝑅))
190	188, 189	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 · ((((𝑁 + 1) − 0) ↑ 𝐴) × (0 ↑ 𝐵))) = (0g‘𝑅))
191	169, 182, 190	3eqtrrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
192	191	oveq1d 7185	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))))
193	142, 192	eqtr3d 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))))
194	7	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑅 ∈ SRing)
195	67	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝐺 ∈ Mnd)
196	22	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ 𝑆)
197	77, 21	mulgnn0cl 18362	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) ∈ 𝑆)
198	195, 133, 196, 197	syl3anc 1372	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) ∈ 𝑆)
199	9	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ 𝑆)
200	77, 21	mulgnn0cl 18362	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝑘 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆)
201	195, 136, 199, 200	syl3anc 1372	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑘 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆)
202	3, 19, 6	srgmulgass 19400	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (𝑘 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆)) → (((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝐵)) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))
203	194, 131, 198, 201, 202	syl13anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝐵)) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))
204	203	mpteq2dva 5125	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝐵))) = (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))
205	204	oveq2d 7186	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝐵)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
206	11, 156	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
207		simpl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝜑)
208		elfzelz 12998	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
209	208, 128	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
210	11, 209, 130	syl2an 599	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
211		fznn0sub 13030	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
212	211	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
213		elfznn0 13091	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
214	213	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
215	207, 210, 212, 214, 137	syl13anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
216	3, 5, 33, 206, 215	gsummptfzsplitl 19172	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))))
217		snfi 8642	. . . . . . . . . 10 ⊢ {0} ∈ Fin
218	217	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {0} ∈ Fin)
219	167	eleq1d 2817	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 0 → (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑁C(0 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 0) ↑ 𝐴) × (0 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆))
220	219	ralsng 4564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (∀𝑘 ∈ {0} ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑁C(0 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 0) ↑ 𝐴) × (0 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆))
221	143, 220	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑘 ∈ {0} ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑁C(0 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 0) ↑ 𝐴) × (0 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
222	160, 221	sylibr 237	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ {0} ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
223	3, 33, 218, 222	gsummptcl 19206	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) ∈ 𝑆)
224	3, 5	cmncom 19041	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CMnd ∧ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) ∈ 𝑆 ∧ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) ∈ 𝑆) → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))))
225	33, 140, 223, 224	syl3anc 1372	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))))
226	216, 225	eqtrd 2773	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵)))))))
227	193, 205, 226	3eqtr4d 2783	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝐵)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
228	124, 227	syl5eq 2785	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C(𝑗 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝑗) ↑ 𝐴)) × (𝑗 ↑ 𝐵)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
229	49, 113, 228	3eqtrd 2777	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))) × 𝐵))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
230	31, 229	eqtr3d 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))) × 𝐵) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
231	2, 230	sylan9eqr 2795	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) × 𝐵) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3053  Vcvv 3398  {csn 4516   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  ‘cfv 6339  (class class class)co 7170  Fincfn 8555  ℂcc 10613  ℝcr 10614  0cc0 10615  1c1 10616   + caddc 10618   < clt 10753   − cmin 10948  ℕcn 11716  ℕ₀cn0 11976  ℤcz 12062  ...cfz 12981  Ccbc 13754  Basecbs 16586  +_gcplusg 16668  ._rcmulr 16669  0_gc0g 16816   Σ_g cgsu 16817  Mndcmnd 18027  ._gcmg 18342  CMndccmn 19024  mulGrpcmgp 19358  SRingcsrg 19374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-supp 7857  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-oi 9047  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-rp 12473  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-seq 13461  df-fac 13726  df-bc 13755  df-hash 13783  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-0g 16818  df-gsum 16819  df-mre 16960  df-mrc 16961  df-acs 16963  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-mhm 18072  df-submnd 18073  df-mulg 18343  df-cntz 18565  df-cmn 19026  df-mgp 19359  df-srg 19375

This theorem is referenced by:  srgbinomlem  19413