Theorem sucexb 7809

Description: A successor exists iff its class argument exists. (Contributed by NM, 22-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
sucexb	⊢ (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem sucexb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unexb 7754	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ {𝐴} ∈ V) ↔ (𝐴 ∪ {𝐴}) ∈ V)
2		snex 5412	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ V
3	2	biantru 539	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ (𝐴 ∈ V ∧ {𝐴} ∈ V))
4		df-suc 6370	. . 3 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
5	4	eleq1i 2856	. 2 ⊢ (suc 𝐴 ∈ V ↔ (𝐴 ∪ {𝐴}) ∈ V)
6	1, 3, 5	3bitr4i 306	1 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   ∪ cun 3904  {csn 4591  suc csuc 6366

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-rab 3419  df-v 3459  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-sn 4592  df-pr 4594  df-uni 4875  df-suc 6370

This theorem is used by:  sucexg  7810  onsucb  7819  ordsucelsuc  7824  oeordi  8579  suc11reg  9595  rankxpsuc  9861  isf32lem2  10353  limsucncmpi  37013