Theorem sucexb 7799

Description: A successor exists iff its class argument exists. (Contributed by NM, 22-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
sucexb	⊢ (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem sucexb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unexb 7744	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ {𝐴} ∈ V) ↔ (𝐴 ∪ {𝐴}) ∈ V)
2		snex 5410	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ V
3	2	biantru 538	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ (𝐴 ∈ V ∧ {𝐴} ∈ V))
4		df-suc 6366	. . 3 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
5	4	eleq1i 2854	. 2 ⊢ (suc 𝐴 ∈ V ↔ (𝐴 ∪ {𝐴}) ∈ V)
6	1, 3, 5	3bitr4i 306	1 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ∪ cun 3903  {csn 4589  suc csuc 6362

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-ex 1810  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-rab 3417  df-v 3457  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-sn 4590  df-pr 4592  df-uni 4873  df-suc 6366

This theorem is referenced by:  sucexg  7800  onsucb  7809  ordsucelsuc  7814  oeordi  8569  suc11reg  9584  rankxpsuc  9850  isf32lem2  10333  limsucncmpi  36956