Theorem sucexb 7749

Description: A successor exists iff its class argument exists. (Contributed by NM, 22-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
sucexb	⊢ (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem sucexb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unexb 7692	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ {𝐴} ∈ V) ↔ (𝐴 ∪ {𝐴}) ∈ V)
2		snex 5381	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ V
3	2	biantru 529	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ (𝐴 ∈ V ∧ {𝐴} ∈ V))
4		df-suc 6323	. . 3 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
5	4	eleq1i 2827	. 2 ⊢ (suc 𝐴 ∈ V ↔ (𝐴 ∪ {𝐴}) ∈ V)
6	1, 3, 5	3bitr4i 303	1 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   ∪ cun 3899  {csn 4580  suc csuc 6319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-sn 4581  df-pr 4583  df-uni 4864  df-suc 6323

This theorem is referenced by:  sucexg  7750  onsucb  7759  ordsucelsuc  7764  oeordi  8515  suc11reg  9528  rankxpsuc  9794  isf32lem2  10264  limsucncmpi  36639