Theorem sucexb 7824

Description: A successor exists iff its class argument exists. (Contributed by NM, 22-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
sucexb	⊢ (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem sucexb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unexb 7766	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ {𝐴} ∈ V) ↔ (𝐴 ∪ {𝐴}) ∈ V)
2		snex 5442	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ V
3	2	biantru 529	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ (𝐴 ∈ V ∧ {𝐴} ∈ V))
4		df-suc 6392	. . 3 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
5	4	eleq1i 2830	. 2 ⊢ (suc 𝐴 ∈ V ↔ (𝐴 ∪ {𝐴}) ∈ V)
6	1, 3, 5	3bitr4i 303	1 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   ∪ cun 3961  {csn 4631  suc csuc 6388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-sn 4632  df-pr 4634  df-uni 4913  df-suc 6392

This theorem is referenced by:  sucexg  7825  onsucb  7837  ordsucelsuc  7842  oeordi  8624  suc11reg  9657  rankxpsuc  9920  isf32lem2  10392  limsucncmpi  36428