Theorem sucexb 7825

Description: A successor exists iff its class argument exists. (Contributed by NM, 22-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
sucexb	⊢ (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem sucexb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unexb 7770	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ {𝐴} ∈ V) ↔ (𝐴 ∪ {𝐴}) ∈ V)
2		snex 5400	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ V
3	2	biantru 539	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ (𝐴 ∈ V ∧ {𝐴} ∈ V))
4		df-suc 6374	. . 3 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
5	4	eleq1i 2854	. 2 ⊢ (suc 𝐴 ∈ V ↔ (𝐴 ∪ {𝐴}) ∈ V)
6	1, 3, 5	3bitr4i 306	1 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146  Vcvv 3453   ∪ cun 4151  {csn 4587  suc csuc 6370

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-pr 5394  ax-un 7758

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-ex 1812  df-sb 2101  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-rab 3416  df-v 3455  df-ss 3900  df-in 4093  df-un 4153  df-sn 4588  df-pr 4590  df-uni 4870  df-suc 6374

This theorem is used by:  sucexg  7826  onsucb  7835  ordsucelsuc  7840  oeordi  8607  suc11reg  9630  rankxpsuc  9909  isf32lem2  10442  limsucncmpi  37360