Theorem sucexb 7758

Description: A successor exists iff its class argument exists. (Contributed by NM, 22-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
sucexb	⊢ (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem sucexb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unexb 7701	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ {𝐴} ∈ V) ↔ (𝐴 ∪ {𝐴}) ∈ V)
2		snex 5381	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ V
3	2	biantru 529	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ (𝐴 ∈ V ∧ {𝐴} ∈ V))
4		df-suc 6329	. . 3 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
5	4	eleq1i 2827	. 2 ⊢ (suc 𝐴 ∈ V ↔ (𝐴 ∪ {𝐴}) ∈ V)
6	1, 3, 5	3bitr4i 303	1 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   ∪ cun 3887  {csn 4567  suc csuc 6325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-rab 3390  df-v 3431  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-sn 4568  df-pr 4570  df-uni 4851  df-suc 6329

This theorem is referenced by:  sucexg  7759  onsucb  7768  ordsucelsuc  7773  oeordi  8523  suc11reg  9540  rankxpsuc  9806  isf32lem2  10276  limsucncmpi  36627