Theorem sucexb 7788

Description: A successor exists iff its class argument exists. (Contributed by NM, 22-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
sucexb	⊢ (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem sucexb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unexb 7731	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ {𝐴} ∈ V) ↔ (𝐴 ∪ {𝐴}) ∈ V)
2		snex 5430	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ V
3	2	biantru 530	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ (𝐴 ∈ V ∧ {𝐴} ∈ V))
4		df-suc 6367	. . 3 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
5	4	eleq1i 2824	. 2 ⊢ (suc 𝐴 ∈ V ↔ (𝐴 ∪ {𝐴}) ∈ V)
6	1, 3, 5	3bitr4i 302	1 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ∪ cun 3945  {csn 4627  suc csuc 6363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-sn 4628  df-pr 4630  df-uni 4908  df-suc 6367

This theorem is referenced by:  sucexg  7789  onsucb  7801  ordsucelsuc  7806  oeordi  8583  suc11reg  9610  rankxpsuc  9873  isf32lem2  10345  limsucncmpi  35318