MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordsucelsuc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordsucelsuc 7528
Description: Membership is inherited by successors. Generalization of Exercise 9 of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 22-Jun-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 12-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
ordsucelsuc (Ord 𝐵 → (𝐴𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵))

Proof of Theorem ordsucelsuc
StepHypRef Expression
1 simpl 486 . . 3 ((Ord 𝐵𝐴𝐵) → Ord 𝐵)
2 ordelord 6201 . . 3 ((Ord 𝐵𝐴𝐵) → Ord 𝐴)
31, 2jca 515 . 2 ((Ord 𝐵𝐴𝐵) → (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴))
4 simpl 486 . . 3 ((Ord 𝐵 ∧ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵) → Ord 𝐵)
5 ordsuc 7520 . . . 4 (Ord 𝐵 ↔ Ord suc 𝐵)
6 ordelord 6201 . . . . 5 ((Ord suc 𝐵 ∧ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵) → Ord suc 𝐴)
7 ordsuc 7520 . . . . 5 (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
86, 7sylibr 237 . . . 4 ((Ord suc 𝐵 ∧ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵) → Ord 𝐴)
95, 8sylanb 584 . . 3 ((Ord 𝐵 ∧ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵) → Ord 𝐴)
104, 9jca 515 . 2 ((Ord 𝐵 ∧ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵) → (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴))
11 ordsseleq 6208 . . . . . . . 8 ((Ord suc 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (suc 𝐴𝐵 ↔ (suc 𝐴𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
127, 11sylanb 584 . . . . . . 7 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (suc 𝐴𝐵 ↔ (suc 𝐴𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
1312ancoms 462 . . . . . 6 ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (suc 𝐴𝐵 ↔ (suc 𝐴𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
1413adantl 485 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴)) → (suc 𝐴𝐵 ↔ (suc 𝐴𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
15 ordsucss 7524 . . . . . . 7 (Ord 𝐵 → (𝐴𝐵 → suc 𝐴𝐵))
1615ad2antrl 727 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴)) → (𝐴𝐵 → suc 𝐴𝐵))
17 sucssel 6271 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V → (suc 𝐴𝐵𝐴𝐵))
1817adantr 484 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴)) → (suc 𝐴𝐵𝐴𝐵))
1916, 18impbid 215 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴)) → (𝐴𝐵 ↔ suc 𝐴𝐵))
20 sucexb 7515 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)
21 elsucg 6246 . . . . . . 7 (suc 𝐴 ∈ V → (suc 𝐴 ∈ suc 𝐵 ↔ (suc 𝐴𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
2220, 21sylbi 220 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → (suc 𝐴 ∈ suc 𝐵 ↔ (suc 𝐴𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
2322adantr 484 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴)) → (suc 𝐴 ∈ suc 𝐵 ↔ (suc 𝐴𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
2414, 19, 233bitr4d 314 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴)) → (𝐴𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵))
2524ex 416 . . 3 (𝐴 ∈ V → ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐴𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵)))
26 elex 3498 . . . . 5 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
27 elex 3498 . . . . . 6 (suc 𝐴 ∈ suc 𝐵 → suc 𝐴 ∈ V)
2827, 20sylibr 237 . . . . 5 (suc 𝐴 ∈ suc 𝐵𝐴 ∈ V)
2926, 28pm5.21ni 382 . . . 4 𝐴 ∈ V → (𝐴𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵))
3029a1d 25 . . 3 𝐴 ∈ V → ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐴𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵)))
3125, 30pm2.61i 185 . 2 ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐴𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵))
323, 10, 31pm5.21nd 801 1 (Ord 𝐵 → (𝐴𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wcel 2115  Vcvv 3480  wss 3919  Ord word 6178  suc csuc 6181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pr 5318  ax-un 7452
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-br 5054  df-opab 5116  df-tr 5160  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-ord 6182  df-on 6183  df-suc 6185
This theorem is referenced by:  ordsucsssuc  7529  omsucelsucb  8086  oalimcl  8178  omlimcl  8196  pssnn  8729  cantnflt  9128  cantnfp1lem3  9136  r1pw  9267  r1pwALT  9268  rankelpr  9295  rankelop  9296  rankxplim3  9303  infpssrlem4  9722  axdc3lem2  9867  axdc3lem4  9869  grur1a  10235  bnj570  32204  bnj1001  32258  nosupno  33230
  Copyright terms: Public domain W3C validator