Theorem ordsucelsuc 7842

Description: Membership is inherited by successors. Generalization of Exercise 9 of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 22-Jun-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 12-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ordsucelsuc	⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵))

Proof of Theorem ordsucelsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → Ord 𝐵)
2		ordelord 6408	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → Ord 𝐴)
3	1, 2	jca 511	. 2 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴))
4		simpl 482	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵) → Ord 𝐵)
5		ordsuc 7833	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐵 ↔ Ord suc 𝐵)
6		ordelord 6408	. . . . 5 ⊢ ((Ord suc 𝐵 ∧ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵) → Ord suc 𝐴)
7		ordsuc 7833	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
8	6, 7	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((Ord suc 𝐵 ∧ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵) → Ord 𝐴)
9	5, 8	sylanb 581	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵) → Ord 𝐴)
10	4, 9	jca 511	. 2 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵) → (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴))
11		ordsseleq 6415	. . . . . . . 8 ⊢ ((Ord suc 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (suc 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (suc 𝐴 ∈ 𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
12	7, 11	sylanb 581	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (suc 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (suc 𝐴 ∈ 𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
13	12	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (suc 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (suc 𝐴 ∈ 𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
14	13	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴)) → (suc 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (suc 𝐴 ∈ 𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
15		ordsucss 7838	. . . . . . 7 ⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))
16	15	ad2antrl 728	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴)) → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))
17		sucssel 6481	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → (suc 𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ∈ 𝐵))
18	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴)) → (suc 𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ∈ 𝐵))
19	16, 18	impbid 212	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴)) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ suc 𝐴 ⊆ 𝐵))
20		sucexb 7824	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)
21		elsucg 6454	. . . . . . 7 ⊢ (suc 𝐴 ∈ V → (suc 𝐴 ∈ suc 𝐵 ↔ (suc 𝐴 ∈ 𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
22	20, 21	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (suc 𝐴 ∈ suc 𝐵 ↔ (suc 𝐴 ∈ 𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
23	22	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴)) → (suc 𝐴 ∈ suc 𝐵 ↔ (suc 𝐴 ∈ 𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
24	14, 19, 23	3bitr4d 311	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴)) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵))
25	24	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵)))
26		elex 3499	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
27		elex 3499	. . . . . 6 ⊢ (suc 𝐴 ∈ suc 𝐵 → suc 𝐴 ∈ V)
28	27, 20	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (suc 𝐴 ∈ suc 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
29	26, 28	pm5.21ni 377	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵))
30	29	a1d 25	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵)))
31	25, 30	pm2.61i 182	. 2 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵))
32	3, 10, 31	pm5.21nd 802	1 ⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   ⊆ wss 3963  Ord word 6385  suc csuc 6388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392

This theorem is referenced by:  ordsucsssuc  7843  omsucelsucb  8497  oalimcl  8597  omlimcl  8615  pssnn  9207  cantnflt  9710  cantnfp1lem3  9718  ttrcltr  9754  ttrclss  9758  ttrclselem2  9764  r1pw  9883  r1pwALT  9884  rankelpr  9911  rankelop  9912  rankxplim3  9919  infpssrlem4  10344  axdc3lem2  10489  axdc3lem4  10491  grur1a  10857  nosupno  27763  noinfno  27778  bnj570  34898  bnj1001  34952