Theorem ordsucelsuc 7767

Description: Membership is inherited by successors. Generalization of Exercise 9 of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 22-Jun-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 12-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ordsucelsuc	⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵))

Proof of Theorem ordsucelsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → Ord 𝐵)
2		ordelord 6340	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → Ord 𝐴)
3	1, 2	jca 511	. 2 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴))
4		simpl 482	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵) → Ord 𝐵)
5		ordsuc 7759	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐵 ↔ Ord suc 𝐵)
6		ordelord 6340	. . . . 5 ⊢ ((Ord suc 𝐵 ∧ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵) → Ord suc 𝐴)
7		ordsuc 7759	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
8	6, 7	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((Ord suc 𝐵 ∧ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵) → Ord 𝐴)
9	5, 8	sylanb 582	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵) → Ord 𝐴)
10	4, 9	jca 511	. 2 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵) → (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴))
11		ordsseleq 6347	. . . . . . . 8 ⊢ ((Ord suc 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (suc 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (suc 𝐴 ∈ 𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
12	7, 11	sylanb 582	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (suc 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (suc 𝐴 ∈ 𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
13	12	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (suc 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (suc 𝐴 ∈ 𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
14	13	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴)) → (suc 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (suc 𝐴 ∈ 𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
15		ordsucss 7763	. . . . . . 7 ⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))
16	15	ad2antrl 729	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴)) → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))
17		sucssel 6415	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → (suc 𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ∈ 𝐵))
18	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴)) → (suc 𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ∈ 𝐵))
19	16, 18	impbid 212	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴)) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ suc 𝐴 ⊆ 𝐵))
20		sucexb 7752	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)
21		elsucg 6388	. . . . . . 7 ⊢ (suc 𝐴 ∈ V → (suc 𝐴 ∈ suc 𝐵 ↔ (suc 𝐴 ∈ 𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
22	20, 21	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (suc 𝐴 ∈ suc 𝐵 ↔ (suc 𝐴 ∈ 𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
23	22	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴)) → (suc 𝐴 ∈ suc 𝐵 ↔ (suc 𝐴 ∈ 𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
24	14, 19, 23	3bitr4d 311	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴)) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵))
25	24	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵)))
26		elex 3451	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
27		elex 3451	. . . . . 6 ⊢ (suc 𝐴 ∈ suc 𝐵 → suc 𝐴 ∈ V)
28	27, 20	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (suc 𝐴 ∈ suc 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
29	26, 28	pm5.21ni 377	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵))
30	29	a1d 25	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵)))
31	25, 30	pm2.61i 182	. 2 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵))
32	3, 10, 31	pm5.21nd 802	1 ⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  Ord word 6317  suc csuc 6320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-tr 5194  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-ord 6321  df-on 6322  df-suc 6324

This theorem is referenced by:  ordsucsssuc  7768  omsucelsucb  8391  oalimcl  8489  omlimcl  8507  pssnn  9097  cantnflt  9587  cantnfp1lem3  9595  ttrcltr  9631  ttrclss  9635  ttrclselem2  9641  r1pw  9763  r1pwALT  9764  rankelpr  9791  rankelop  9792  rankxplim3  9799  infpssrlem4  10222  axdc3lem2  10367  axdc3lem4  10369  grur1a  10736  nosupno  27684  noinfno  27699  bnj570  35066  bnj1001  35120  fineqvnttrclselem3  35286