Theorem ordsucelsuc 7755

Description: Membership is inherited by successors. Generalization of Exercise 9 of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 22-Jun-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 12-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ordsucelsuc	⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵))

Proof of Theorem ordsucelsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → Ord 𝐵)
2		ordelord 6329	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → Ord 𝐴)
3	1, 2	jca 511	. 2 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴))
4		simpl 482	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵) → Ord 𝐵)
5		ordsuc 7747	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐵 ↔ Ord suc 𝐵)
6		ordelord 6329	. . . . 5 ⊢ ((Ord suc 𝐵 ∧ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵) → Ord suc 𝐴)
7		ordsuc 7747	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
8	6, 7	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((Ord suc 𝐵 ∧ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵) → Ord 𝐴)
9	5, 8	sylanb 581	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵) → Ord 𝐴)
10	4, 9	jca 511	. 2 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵) → (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴))
11		ordsseleq 6336	. . . . . . . 8 ⊢ ((Ord suc 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (suc 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (suc 𝐴 ∈ 𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
12	7, 11	sylanb 581	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (suc 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (suc 𝐴 ∈ 𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
13	12	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (suc 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (suc 𝐴 ∈ 𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
14	13	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴)) → (suc 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (suc 𝐴 ∈ 𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
15		ordsucss 7751	. . . . . . 7 ⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))
16	15	ad2antrl 728	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴)) → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))
17		sucssel 6404	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → (suc 𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ∈ 𝐵))
18	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴)) → (suc 𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ∈ 𝐵))
19	16, 18	impbid 212	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴)) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ suc 𝐴 ⊆ 𝐵))
20		sucexb 7740	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)
21		elsucg 6377	. . . . . . 7 ⊢ (suc 𝐴 ∈ V → (suc 𝐴 ∈ suc 𝐵 ↔ (suc 𝐴 ∈ 𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
22	20, 21	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (suc 𝐴 ∈ suc 𝐵 ↔ (suc 𝐴 ∈ 𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
23	22	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴)) → (suc 𝐴 ∈ suc 𝐵 ↔ (suc 𝐴 ∈ 𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
24	14, 19, 23	3bitr4d 311	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴)) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵))
25	24	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵)))
26		elex 3457	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
27		elex 3457	. . . . . 6 ⊢ (suc 𝐴 ∈ suc 𝐵 → suc 𝐴 ∈ V)
28	27, 20	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (suc 𝐴 ∈ suc 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
29	26, 28	pm5.21ni 377	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵))
30	29	a1d 25	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵)))
31	25, 30	pm2.61i 182	. 2 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵))
32	3, 10, 31	pm5.21nd 801	1 ⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436   ⊆ wss 3903  Ord word 6306  suc csuc 6309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-tr 5200  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-ord 6310  df-on 6311  df-suc 6313

This theorem is referenced by:  ordsucsssuc  7756  omsucelsucb  8380  oalimcl  8478  omlimcl  8496  pssnn  9082  cantnflt  9568  cantnfp1lem3  9576  ttrcltr  9612  ttrclss  9616  ttrclselem2  9622  r1pw  9741  r1pwALT  9742  rankelpr  9769  rankelop  9770  rankxplim3  9777  infpssrlem4  10200  axdc3lem2  10345  axdc3lem4  10347  grur1a  10713  nosupno  27613  noinfno  27628  bnj570  34872  bnj1001  34926  fineqvnttrclselem3  35076