Theorem ordsucelsuc 7300

Description: Membership is inherited by successors. Generalization of Exercise 9 of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 22-Jun-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 12-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ordsucelsuc	⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵))

Proof of Theorem ordsucelsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 476	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → Ord 𝐵)
2		ordelord 5998	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → Ord 𝐴)
3	1, 2	jca 507	. 2 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴))
4		simpl 476	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵) → Ord 𝐵)
5		ordsuc 7292	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐵 ↔ Ord suc 𝐵)
6		ordelord 5998	. . . . 5 ⊢ ((Ord suc 𝐵 ∧ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵) → Ord suc 𝐴)
7		ordsuc 7292	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
8	6, 7	sylibr 226	. . . 4 ⊢ ((Ord suc 𝐵 ∧ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵) → Ord 𝐴)
9	5, 8	sylanb 576	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵) → Ord 𝐴)
10	4, 9	jca 507	. 2 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵) → (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴))
11		ordsseleq 6005	. . . . . . . 8 ⊢ ((Ord suc 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (suc 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (suc 𝐴 ∈ 𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
12	7, 11	sylanb 576	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (suc 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (suc 𝐴 ∈ 𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
13	12	ancoms 452	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (suc 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (suc 𝐴 ∈ 𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
14	13	adantl 475	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴)) → (suc 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (suc 𝐴 ∈ 𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
15		ordsucss 7296	. . . . . . 7 ⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))
16	15	ad2antrl 718	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴)) → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))
17		sucssel 6068	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → (suc 𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ∈ 𝐵))
18	17	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴)) → (suc 𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ∈ 𝐵))
19	16, 18	impbid 204	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴)) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ suc 𝐴 ⊆ 𝐵))
20		sucexb 7287	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)
21		elsucg 6043	. . . . . . 7 ⊢ (suc 𝐴 ∈ V → (suc 𝐴 ∈ suc 𝐵 ↔ (suc 𝐴 ∈ 𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
22	20, 21	sylbi 209	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (suc 𝐴 ∈ suc 𝐵 ↔ (suc 𝐴 ∈ 𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
23	22	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴)) → (suc 𝐴 ∈ suc 𝐵 ↔ (suc 𝐴 ∈ 𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
24	14, 19, 23	3bitr4d 303	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴)) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵))
25	24	ex 403	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵)))
26		elex 3414	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
27		elex 3414	. . . . . 6 ⊢ (suc 𝐴 ∈ suc 𝐵 → suc 𝐴 ∈ V)
28	27, 20	sylibr 226	. . . . 5 ⊢ (suc 𝐴 ∈ suc 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
29	26, 28	pm5.21ni 369	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵))
30	29	a1d 25	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵)))
31	25, 30	pm2.61i 177	. 2 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵))
32	3, 10, 31	pm5.21nd 792	1 ⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∨ wo 836   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  Vcvv 3398   ⊆ wss 3792  Ord word 5975  suc csuc 5978

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pr 5138  ax-un 7226

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-tr 4988  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-ord 5979  df-on 5980  df-suc 5982

This theorem is referenced by:  ordsucsssuc  7301  oalimcl  7924  omlimcl  7942  pssnn  8466  cantnflt  8866  cantnfp1lem3  8874  r1pw  9005  r1pwALT  9006  rankelpr  9033  rankelop  9034  rankxplim3  9041  infpssrlem4  9463  axdc3lem2  9608  axdc3lem4  9610  grur1a  9976  bnj570  31574  bnj1001  31627  nosupno  32438