MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordsucelsuc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordsucelsuc 7170
Description: Membership is inherited by successors. Generalization of Exercise 9 of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 22-Jun-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 12-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
ordsucelsuc (Ord 𝐵 → (𝐴𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵))

Proof of Theorem ordsucelsuc
StepHypRef Expression
1 simpl 468 . . 3 ((Ord 𝐵𝐴𝐵) → Ord 𝐵)
2 ordelord 5889 . . 3 ((Ord 𝐵𝐴𝐵) → Ord 𝐴)
31, 2jca 497 . 2 ((Ord 𝐵𝐴𝐵) → (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴))
4 simpl 468 . . 3 ((Ord 𝐵 ∧ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵) → Ord 𝐵)
5 ordsuc 7162 . . . 4 (Ord 𝐵 ↔ Ord suc 𝐵)
6 ordelord 5889 . . . . 5 ((Ord suc 𝐵 ∧ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵) → Ord suc 𝐴)
7 ordsuc 7162 . . . . 5 (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
86, 7sylibr 224 . . . 4 ((Ord suc 𝐵 ∧ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵) → Ord 𝐴)
95, 8sylanb 564 . . 3 ((Ord 𝐵 ∧ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵) → Ord 𝐴)
104, 9jca 497 . 2 ((Ord 𝐵 ∧ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵) → (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴))
11 ordsseleq 5896 . . . . . . . 8 ((Ord suc 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (suc 𝐴𝐵 ↔ (suc 𝐴𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
127, 11sylanb 564 . . . . . . 7 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (suc 𝐴𝐵 ↔ (suc 𝐴𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
1312ancoms 455 . . . . . 6 ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (suc 𝐴𝐵 ↔ (suc 𝐴𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
1413adantl 467 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴)) → (suc 𝐴𝐵 ↔ (suc 𝐴𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
15 ordsucss 7166 . . . . . . 7 (Ord 𝐵 → (𝐴𝐵 → suc 𝐴𝐵))
1615ad2antrl 701 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴)) → (𝐴𝐵 → suc 𝐴𝐵))
17 sucssel 5963 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V → (suc 𝐴𝐵𝐴𝐵))
1817adantr 466 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴)) → (suc 𝐴𝐵𝐴𝐵))
1916, 18impbid 202 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴)) → (𝐴𝐵 ↔ suc 𝐴𝐵))
20 sucexb 7157 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)
21 elsucg 5936 . . . . . . 7 (suc 𝐴 ∈ V → (suc 𝐴 ∈ suc 𝐵 ↔ (suc 𝐴𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
2220, 21sylbi 207 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → (suc 𝐴 ∈ suc 𝐵 ↔ (suc 𝐴𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
2322adantr 466 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴)) → (suc 𝐴 ∈ suc 𝐵 ↔ (suc 𝐴𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
2414, 19, 233bitr4d 300 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴)) → (𝐴𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵))
2524ex 397 . . 3 (𝐴 ∈ V → ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐴𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵)))
26 elex 3364 . . . . 5 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
27 elex 3364 . . . . . 6 (suc 𝐴 ∈ suc 𝐵 → suc 𝐴 ∈ V)
2827, 20sylibr 224 . . . . 5 (suc 𝐴 ∈ suc 𝐵𝐴 ∈ V)
2926, 28pm5.21ni 366 . . . 4 𝐴 ∈ V → (𝐴𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵))
3029a1d 25 . . 3 𝐴 ∈ V → ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐴𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵)))
3125, 30pm2.61i 176 . 2 ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐴𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵))
323, 10, 31pm5.21nd 797 1 (Ord 𝐵 → (𝐴𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wo 828   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351  wss 3724  Ord word 5866  suc csuc 5869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pr 5035  ax-un 7097
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-tr 4888  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-ord 5870  df-on 5871  df-suc 5873
This theorem is referenced by:  ordsucsssuc  7171  oalimcl  7795  omlimcl  7813  pssnn  8335  cantnflt  8734  cantnfp1lem3  8742  r1pw  8873  r1pwALT  8874  rankelpr  8901  rankelop  8902  rankxplim3  8909  infpssrlem4  9331  axdc3lem2  9476  axdc3lem4  9478  grur1a  9844  bnj570  31314  bnj1001  31367  nosupno  32187
  Copyright terms: Public domain W3C validator