Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | isf32lem.c |
. . . . 5
β’ (π β Β¬ β© ran πΉ β ran πΉ) |
2 | 1 | adantr 482 |
. . . 4
β’ ((π β§ π΄ β Ο) β Β¬ β© ran πΉ β ran πΉ) |
3 | | isf32lem.a |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β πΉ:ΟβΆπ« πΊ) |
4 | 3 | ffnd 6674 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β πΉ Fn Ο) |
5 | | peano2 7832 |
. . . . . . . . 9
β’ (π΄ β Ο β suc π΄ β
Ο) |
6 | | fnfvelrn 7036 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΉ Fn Ο β§ suc π΄ β Ο) β (πΉβsuc π΄) β ran πΉ) |
7 | 4, 5, 6 | syl2an 597 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π΄ β Ο) β (πΉβsuc π΄) β ran πΉ) |
8 | 7 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π΄ β Ο) β§ βπ β Ο (π΄ β π β (πΉβsuc π) = (πΉβπ))) β (πΉβsuc π΄) β ran πΉ) |
9 | | intss1 4929 |
. . . . . . 7
β’ ((πΉβsuc π΄) β ran πΉ β β© ran
πΉ β (πΉβsuc π΄)) |
10 | 8, 9 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ π΄ β Ο) β§ βπ β Ο (π΄ β π β (πΉβsuc π) = (πΉβπ))) β β© ran
πΉ β (πΉβsuc π΄)) |
11 | | fvelrnb 6908 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (πΉ Fn Ο β (π β ran πΉ β βπ β Ο (πΉβπ) = π)) |
12 | 4, 11 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β (π β ran πΉ β βπ β Ο (πΉβπ) = π)) |
13 | 12 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π΄ β Ο) β§ βπ β Ο (π΄ β π β (πΉβsuc π) = (πΉβπ))) β (π β ran πΉ β βπ β Ο (πΉβπ) = π)) |
14 | | simplrr 777 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((((π β§ π΄ β Ο) β§ (βπ β Ο (π΄ β π β (πΉβsuc π) = (πΉβπ)) β§ π β Ο)) β§ suc π΄ β π) β π β Ο) |
15 | 5 | ad3antlr 730 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((((π β§ π΄ β Ο) β§ (βπ β Ο (π΄ β π β (πΉβsuc π) = (πΉβπ)) β§ π β Ο)) β§ suc π΄ β π) β suc π΄ β Ο) |
16 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((((π β§ π΄ β Ο) β§ (βπ β Ο (π΄ β π β (πΉβsuc π) = (πΉβπ)) β§ π β Ο)) β§ suc π΄ β π) β suc π΄ β π) |
17 | | simplrl 776 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((((π β§ π΄ β Ο) β§ (βπ β Ο (π΄ β π β (πΉβsuc π) = (πΉβπ)) β§ π β Ο)) β§ suc π΄ β π) β βπ β Ο (π΄ β π β (πΉβsuc π) = (πΉβπ))) |
18 | | fveq2 6847 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π = suc π΄ β (πΉβπ) = (πΉβsuc π΄)) |
19 | 18 | eqeq2d 2748 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π = suc π΄ β ((πΉβsuc π΄) = (πΉβπ) β (πΉβsuc π΄) = (πΉβsuc π΄))) |
20 | 19 | imbi2d 341 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π = suc π΄ β ((βπ β Ο (π΄ β π β (πΉβsuc π) = (πΉβπ)) β (πΉβsuc π΄) = (πΉβπ)) β (βπ β Ο (π΄ β π β (πΉβsuc π) = (πΉβπ)) β (πΉβsuc π΄) = (πΉβsuc π΄)))) |
21 | | fveq2 6847 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π = π β (πΉβπ) = (πΉβπ)) |
22 | 21 | eqeq2d 2748 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π = π β ((πΉβsuc π΄) = (πΉβπ) β (πΉβsuc π΄) = (πΉβπ))) |
23 | 22 | imbi2d 341 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π = π β ((βπ β Ο (π΄ β π β (πΉβsuc π) = (πΉβπ)) β (πΉβsuc π΄) = (πΉβπ)) β (βπ β Ο (π΄ β π β (πΉβsuc π) = (πΉβπ)) β (πΉβsuc π΄) = (πΉβπ)))) |
24 | | fveq2 6847 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π = suc π β (πΉβπ) = (πΉβsuc π)) |
25 | 24 | eqeq2d 2748 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π = suc π β ((πΉβsuc π΄) = (πΉβπ) β (πΉβsuc π΄) = (πΉβsuc π))) |
26 | 25 | imbi2d 341 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π = suc π β ((βπ β Ο (π΄ β π β (πΉβsuc π) = (πΉβπ)) β (πΉβsuc π΄) = (πΉβπ)) β (βπ β Ο (π΄ β π β (πΉβsuc π) = (πΉβπ)) β (πΉβsuc π΄) = (πΉβsuc π)))) |
27 | | fveq2 6847 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π = π β (πΉβπ) = (πΉβπ)) |
28 | 27 | eqeq2d 2748 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π = π β ((πΉβsuc π΄) = (πΉβπ) β (πΉβsuc π΄) = (πΉβπ))) |
29 | 28 | imbi2d 341 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π = π β ((βπ β Ο (π΄ β π β (πΉβsuc π) = (πΉβπ)) β (πΉβsuc π΄) = (πΉβπ)) β (βπ β Ο (π΄ β π β (πΉβsuc π) = (πΉβπ)) β (πΉβsuc π΄) = (πΉβπ)))) |
30 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (πΉβsuc π΄) = (πΉβsuc π΄) |
31 | 30 | 2a1i 12 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (suc
π΄ β Ο β
(βπ β Ο
(π΄ β π β (πΉβsuc π) = (πΉβπ)) β (πΉβsuc π΄) = (πΉβsuc π΄))) |
32 | | elex 3466 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (suc
π΄ β Ο β suc
π΄ β
V) |
33 | | sucexb 7744 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π΄ β V β suc π΄ β V) |
34 | 32, 33 | sylibr 233 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (suc
π΄ β Ο β
π΄ β
V) |
35 | 34 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π β Ο β§ suc π΄ β Ο) β π΄ β V) |
36 | | sucssel 6417 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π΄ β V β (suc π΄ β π β π΄ β π)) |
37 | 35, 36 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β Ο β§ suc π΄ β Ο) β (suc
π΄ β π β π΄ β π)) |
38 | 37 | imp 408 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (((π β Ο β§ suc π΄ β Ο) β§ suc π΄ β π) β π΄ β π) |
39 | | eleq2w 2822 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π = π β (π΄ β π β π΄ β π)) |
40 | | suceq 6388 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (π = π β suc π = suc π) |
41 | 40 | fveq2d 6851 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (π = π β (πΉβsuc π) = (πΉβsuc π)) |
42 | | fveq2 6847 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (π = π β (πΉβπ) = (πΉβπ)) |
43 | 41, 42 | eqeq12d 2753 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π = π β ((πΉβsuc π) = (πΉβπ) β (πΉβsuc π) = (πΉβπ))) |
44 | 39, 43 | imbi12d 345 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π = π β ((π΄ β π β (πΉβsuc π) = (πΉβπ)) β (π΄ β π β (πΉβsuc π) = (πΉβπ)))) |
45 | 44 | rspcv 3580 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β Ο β
(βπ β Ο
(π΄ β π β (πΉβsuc π) = (πΉβπ)) β (π΄ β π β (πΉβsuc π) = (πΉβπ)))) |
46 | 45 | com23 86 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β Ο β (π΄ β π β (βπ β Ο (π΄ β π β (πΉβsuc π) = (πΉβπ)) β (πΉβsuc π) = (πΉβπ)))) |
47 | 46 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (((π β Ο β§ suc π΄ β Ο) β§ suc π΄ β π) β (π΄ β π β (βπ β Ο (π΄ β π β (πΉβsuc π) = (πΉβπ)) β (πΉβsuc π) = (πΉβπ)))) |
48 | 38, 47 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β Ο β§ suc π΄ β Ο) β§ suc π΄ β π) β (βπ β Ο (π΄ β π β (πΉβsuc π) = (πΉβπ)) β (πΉβsuc π) = (πΉβπ))) |
49 | | eqtr3 2763 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (((πΉβsuc π΄) = (πΉβπ) β§ (πΉβsuc π) = (πΉβπ)) β (πΉβsuc π΄) = (πΉβsuc π)) |
50 | 49 | expcom 415 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((πΉβsuc π) = (πΉβπ) β ((πΉβsuc π΄) = (πΉβπ) β (πΉβsuc π΄) = (πΉβsuc π))) |
51 | 48, 50 | syl6 35 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β Ο β§ suc π΄ β Ο) β§ suc π΄ β π) β (βπ β Ο (π΄ β π β (πΉβsuc π) = (πΉβπ)) β ((πΉβsuc π΄) = (πΉβπ) β (πΉβsuc π΄) = (πΉβsuc π)))) |
52 | 51 | a2d 29 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β Ο β§ suc π΄ β Ο) β§ suc π΄ β π) β ((βπ β Ο (π΄ β π β (πΉβsuc π) = (πΉβπ)) β (πΉβsuc π΄) = (πΉβπ)) β (βπ β Ο (π΄ β π β (πΉβsuc π) = (πΉβπ)) β (πΉβsuc π΄) = (πΉβsuc π)))) |
53 | 20, 23, 26, 29, 31, 52 | findsg 7841 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β Ο β§ suc π΄ β Ο) β§ suc π΄ β π) β (βπ β Ο (π΄ β π β (πΉβsuc π) = (πΉβπ)) β (πΉβsuc π΄) = (πΉβπ))) |
54 | 53 | impr 456 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β Ο β§ suc π΄ β Ο) β§ (suc
π΄ β π β§ βπ β Ο (π΄ β π β (πΉβsuc π) = (πΉβπ)))) β (πΉβsuc π΄) = (πΉβπ)) |
55 | 14, 15, 16, 17, 54 | syl22anc 838 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((π β§ π΄ β Ο) β§ (βπ β Ο (π΄ β π β (πΉβsuc π) = (πΉβπ)) β§ π β Ο)) β§ suc π΄ β π) β (πΉβsuc π΄) = (πΉβπ)) |
56 | | eqimss 4005 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((πΉβsuc π΄) = (πΉβπ) β (πΉβsuc π΄) β (πΉβπ)) |
57 | 55, 56 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((π β§ π΄ β Ο) β§ (βπ β Ο (π΄ β π β (πΉβsuc π) = (πΉβπ)) β§ π β Ο)) β§ suc π΄ β π) β (πΉβsuc π΄) β (πΉβπ)) |
58 | 5 | ad3antlr 730 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((π β§ π΄ β Ο) β§ (βπ β Ο (π΄ β π β (πΉβsuc π) = (πΉβπ)) β§ π β Ο)) β§ π β suc π΄) β suc π΄ β Ο) |
59 | | simplrr 777 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((π β§ π΄ β Ο) β§ (βπ β Ο (π΄ β π β (πΉβsuc π) = (πΉβπ)) β§ π β Ο)) β§ π β suc π΄) β π β Ο) |
60 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((π β§ π΄ β Ο) β§ (βπ β Ο (π΄ β π β (πΉβsuc π) = (πΉβπ)) β§ π β Ο)) β§ π β suc π΄) β π β suc π΄) |
61 | | simplll 774 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((π β§ π΄ β Ο) β§ (βπ β Ο (π΄ β π β (πΉβsuc π) = (πΉβπ)) β§ π β Ο)) β§ π β suc π΄) β π) |
62 | | isf32lem.b |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β βπ₯ β Ο (πΉβsuc π₯) β (πΉβπ₯)) |
63 | 3, 62, 1 | isf32lem1 10296 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((suc
π΄ β Ο β§
π β Ο) β§
(π β suc π΄ β§ π)) β (πΉβsuc π΄) β (πΉβπ)) |
64 | 58, 59, 60, 61, 63 | syl22anc 838 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((π β§ π΄ β Ο) β§ (βπ β Ο (π΄ β π β (πΉβsuc π) = (πΉβπ)) β§ π β Ο)) β§ π β suc π΄) β (πΉβsuc π΄) β (πΉβπ)) |
65 | | nnord 7815 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (suc
π΄ β Ο β Ord
suc π΄) |
66 | 5, 65 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π΄ β Ο β Ord suc
π΄) |
67 | 66 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π΄ β Ο) β§ (βπ β Ο (π΄ β π β (πΉβsuc π) = (πΉβπ)) β§ π β Ο)) β Ord suc π΄) |
68 | | nnord 7815 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β Ο β Ord π) |
69 | 68 | ad2antll 728 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π΄ β Ο) β§ (βπ β Ο (π΄ β π β (πΉβsuc π) = (πΉβπ)) β§ π β Ο)) β Ord π) |
70 | | ordtri2or2 6421 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((Ord suc
π΄ β§ Ord π) β (suc π΄ β π β¨ π β suc π΄)) |
71 | 67, 69, 70 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π΄ β Ο) β§ (βπ β Ο (π΄ β π β (πΉβsuc π) = (πΉβπ)) β§ π β Ο)) β (suc π΄ β π β¨ π β suc π΄)) |
72 | 57, 64, 71 | mpjaodan 958 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π΄ β Ο) β§ (βπ β Ο (π΄ β π β (πΉβsuc π) = (πΉβπ)) β§ π β Ο)) β (πΉβsuc π΄) β (πΉβπ)) |
73 | 72 | anassrs 469 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π β§ π΄ β Ο) β§ βπ β Ο (π΄ β π β (πΉβsuc π) = (πΉβπ))) β§ π β Ο) β (πΉβsuc π΄) β (πΉβπ)) |
74 | | sseq2 3975 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((πΉβπ) = π β ((πΉβsuc π΄) β (πΉβπ) β (πΉβsuc π΄) β π)) |
75 | 73, 74 | syl5ibcom 244 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((π β§ π΄ β Ο) β§ βπ β Ο (π΄ β π β (πΉβsuc π) = (πΉβπ))) β§ π β Ο) β ((πΉβπ) = π β (πΉβsuc π΄) β π)) |
76 | 75 | rexlimdva 3153 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π΄ β Ο) β§ βπ β Ο (π΄ β π β (πΉβsuc π) = (πΉβπ))) β (βπ β Ο (πΉβπ) = π β (πΉβsuc π΄) β π)) |
77 | 13, 76 | sylbid 239 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π΄ β Ο) β§ βπ β Ο (π΄ β π β (πΉβsuc π) = (πΉβπ))) β (π β ran πΉ β (πΉβsuc π΄) β π)) |
78 | 77 | ralrimiv 3143 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π΄ β Ο) β§ βπ β Ο (π΄ β π β (πΉβsuc π) = (πΉβπ))) β βπ β ran πΉ(πΉβsuc π΄) β π) |
79 | | ssint 4930 |
. . . . . . 7
β’ ((πΉβsuc π΄) β β© ran
πΉ β βπ β ran πΉ(πΉβsuc π΄) β π) |
80 | 78, 79 | sylibr 233 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ π΄ β Ο) β§ βπ β Ο (π΄ β π β (πΉβsuc π) = (πΉβπ))) β (πΉβsuc π΄) β β© ran
πΉ) |
81 | 10, 80 | eqssd 3966 |
. . . . 5
β’ (((π β§ π΄ β Ο) β§ βπ β Ο (π΄ β π β (πΉβsuc π) = (πΉβπ))) β β© ran
πΉ = (πΉβsuc π΄)) |
82 | 81, 8 | eqeltrd 2838 |
. . . 4
β’ (((π β§ π΄ β Ο) β§ βπ β Ο (π΄ β π β (πΉβsuc π) = (πΉβπ))) β β© ran
πΉ β ran πΉ) |
83 | 2, 82 | mtand 815 |
. . 3
β’ ((π β§ π΄ β Ο) β Β¬ βπ β Ο (π΄ β π β (πΉβsuc π) = (πΉβπ))) |
84 | | rexnal 3104 |
. . 3
β’
(βπ β
Ο Β¬ (π΄ β
π β (πΉβsuc π) = (πΉβπ)) β Β¬ βπ β Ο (π΄ β π β (πΉβsuc π) = (πΉβπ))) |
85 | 83, 84 | sylibr 233 |
. 2
β’ ((π β§ π΄ β Ο) β βπ β Ο Β¬ (π΄ β π β (πΉβsuc π) = (πΉβπ))) |
86 | | suceq 6388 |
. . . . . . . 8
β’ (π₯ = π β suc π₯ = suc π) |
87 | 86 | fveq2d 6851 |
. . . . . . 7
β’ (π₯ = π β (πΉβsuc π₯) = (πΉβsuc π)) |
88 | | fveq2 6847 |
. . . . . . 7
β’ (π₯ = π β (πΉβπ₯) = (πΉβπ)) |
89 | 87, 88 | sseq12d 3982 |
. . . . . 6
β’ (π₯ = π β ((πΉβsuc π₯) β (πΉβπ₯) β (πΉβsuc π) β (πΉβπ))) |
90 | 89 | cbvralvw 3228 |
. . . . 5
β’
(βπ₯ β
Ο (πΉβsuc π₯) β (πΉβπ₯) β βπ β Ο (πΉβsuc π) β (πΉβπ)) |
91 | 62, 90 | sylib 217 |
. . . 4
β’ (π β βπ β Ο (πΉβsuc π) β (πΉβπ)) |
92 | 91 | adantr 482 |
. . 3
β’ ((π β§ π΄ β Ο) β βπ β Ο (πΉβsuc π) β (πΉβπ)) |
93 | | pm4.61 406 |
. . . . 5
β’ (Β¬
(π΄ β π β (πΉβsuc π) = (πΉβπ)) β (π΄ β π β§ Β¬ (πΉβsuc π) = (πΉβπ))) |
94 | | dfpss2 4050 |
. . . . . . 7
β’ ((πΉβsuc π) β (πΉβπ) β ((πΉβsuc π) β (πΉβπ) β§ Β¬ (πΉβsuc π) = (πΉβπ))) |
95 | 94 | simplbi2 502 |
. . . . . 6
β’ ((πΉβsuc π) β (πΉβπ) β (Β¬ (πΉβsuc π) = (πΉβπ) β (πΉβsuc π) β (πΉβπ))) |
96 | 95 | anim2d 613 |
. . . . 5
β’ ((πΉβsuc π) β (πΉβπ) β ((π΄ β π β§ Β¬ (πΉβsuc π) = (πΉβπ)) β (π΄ β π β§ (πΉβsuc π) β (πΉβπ)))) |
97 | 93, 96 | biimtrid 241 |
. . . 4
β’ ((πΉβsuc π) β (πΉβπ) β (Β¬ (π΄ β π β (πΉβsuc π) = (πΉβπ)) β (π΄ β π β§ (πΉβsuc π) β (πΉβπ)))) |
98 | 97 | ralimi 3087 |
. . 3
β’
(βπ β
Ο (πΉβsuc π) β (πΉβπ) β βπ β Ο (Β¬ (π΄ β π β (πΉβsuc π) = (πΉβπ)) β (π΄ β π β§ (πΉβsuc π) β (πΉβπ)))) |
99 | | rexim 3091 |
. . 3
β’
(βπ β
Ο (Β¬ (π΄ β
π β (πΉβsuc π) = (πΉβπ)) β (π΄ β π β§ (πΉβsuc π) β (πΉβπ))) β (βπ β Ο Β¬ (π΄ β π β (πΉβsuc π) = (πΉβπ)) β βπ β Ο (π΄ β π β§ (πΉβsuc π) β (πΉβπ)))) |
100 | 92, 98, 99 | 3syl 18 |
. 2
β’ ((π β§ π΄ β Ο) β (βπ β Ο Β¬ (π΄ β π β (πΉβsuc π) = (πΉβπ)) β βπ β Ο (π΄ β π β§ (πΉβsuc π) β (πΉβπ)))) |
101 | 85, 100 | mpd 15 |
1
β’ ((π β§ π΄ β Ο) β βπ β Ο (π΄ β π β§ (πΉβsuc π) β (πΉβπ))) |