Theorem onsucb 7853

Description: A class is an ordinal number if and only if its successor is an ordinal number. Biconditional form of onsuc 7847. (Contributed by NM, 9-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
onsucb	⊢ (𝐴 ∈ On ↔ suc 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem onsucb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsuc 7849	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
2		sucexb 7840	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)
3	1, 2	anbi12i 627	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V) ↔ (Ord suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ∈ V))
4		elon2 6406	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V))
5		elon2 6406	. 2 ⊢ (suc 𝐴 ∈ On ↔ (Ord suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ∈ V))
6	3, 4, 5	3bitr4i 303	1 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ suc 𝐴 ∈ On)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488  Ord word 6394  Oncon0 6395  suc csuc 6397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-tr 5284  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-ord 6398  df-on 6399  df-suc 6401

This theorem is referenced by:  onsucmin  7857  tfindsg2  7899  oaordi  8602  oalimcl  8616  omlimcl  8634  omeulem1  8638  oeordsuc  8650  naddcllem  8732  infensuc  9221  cantnflem1b  9755  cantnflem1  9758  r1ordg  9847  alephnbtwn  10140  cfsuc  10326  alephsuc3  10649  alephreg  10651  bdayimaon  27756  nosupbnd1lem1  27771  nosupbnd1  27777  nosupbnd2lem1  27778  nosupbnd2  27779  noinfno  27781  noinfres  27785  noinfbnd1lem1  27786  noinfbnd1  27792  noinfbnd2lem1  27793  noinfbnd2  27794  noeta2  27847  etasslt2  27877