Theorem onsucb 7814

Description: A class is an ordinal number if and only if its successor is an ordinal number. Biconditional form of onsuc 7810. (Contributed by NM, 9-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
onsucb	⊢ (𝐴 ∈ On ↔ suc 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem onsucb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsuc 7811	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
2		sucexb 7804	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)
3	1, 2	anbi12i 639	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V) ↔ (Ord suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ∈ V))
4		elon2 6373	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V))
5		elon2 6373	. 2 ⊢ (suc 𝐴 ∈ On ↔ (Ord suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ∈ V))
6	3, 4, 5	3bitr4i 306	1 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ suc 𝐴 ∈ On)

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  Ord word 6361  Oncon0 6362  suc csuc 6364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-tr 5220  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368

This theorem is referenced by:  onsucmin  7818  tfindsg2  7859  oaordi  8532  oalimcl  8546  omlimcl  8564  omeulem1  8568  oeordsuc  8581  naddcllem  8663  infensuc  9144  cantnflem1b  9656  cantnflem1  9659  r1ordg  9751  alephnbtwn  10056  cfsuc  10242  alephsuc3  10566  alephreg  10568  bdayimaon  27838  nosupbnd1lem1  27853  nosupbnd1  27859  nosupbnd2lem1  27860  nosupbnd2  27861  noinfno  27863  noinfres  27867  noinfbnd1lem1  27868  noinfbnd1  27874  noinfbnd2lem1  27875  noinfbnd2  27876  noeta2  27935  etaslts2  27968