Theorem onsucb 7813

Description: A class is an ordinal number if and only if its successor is an ordinal number. Biconditional form of onsuc 7809. (Contributed by NM, 9-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
onsucb	⊢ (𝐴 ∈ On ↔ suc 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem onsucb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsuc 7810	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
2		sucexb 7803	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)
3	1, 2	anbi12i 640	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V) ↔ (Ord suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ∈ V))
4		elon2 6368	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V))
5		elon2 6368	. 2 ⊢ (suc 𝐴 ∈ On ↔ (Ord suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ∈ V))
6	3, 4, 5	3bitr4i 306	1 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ suc 𝐴 ∈ On)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450  Ord word 6356  Oncon0 6357  suc csuc 6359

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-tr 5213  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-ord 6360  df-on 6361  df-suc 6363

This theorem is used by:  onsucmin  7817  tfindsg2  7858  oaordi  8533  oalimcl  8547  omlimcl  8565  omeulem1  8569  oeordsuc  8582  naddcllem  8664  infensuc  9153  cantnflem1b  9665  cantnflem1  9668  r1ordg  9760  alephnbtwn  10074  cfsuc  10259  alephsuc3  10589  alephreg  10591  bdayimaon  27929  nosupbnd1lem1  27944  nosupbnd1  27950  nosupbnd2lem1  27951  nosupbnd2  27952  noinfno  27954  noinfres  27958  noinfbnd1lem1  27959  noinfbnd1  27965  noinfbnd2lem1  27966  noinfbnd2  27967  noeta2  28026  etaslts2  28059