Theorem onsucb 7757

Description: A class is an ordinal number if and only if its successor is an ordinal number. Biconditional form of onsuc 7753. (Contributed by NM, 9-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
onsucb	⊢ (𝐴 ∈ On ↔ suc 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem onsucb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsuc 7754	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
2		sucexb 7747	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)
3	1, 2	anbi12i 634	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V) ↔ (Ord suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ∈ V))
4		elon2 6321	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V))
5		elon2 6321	. 2 ⊢ (suc 𝐴 ∈ On ↔ (Ord suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ∈ V))
6	3, 4, 5	3bitr4i 304	1 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ suc 𝐴 ∈ On)

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431  Ord word 6309  Oncon0 6310  suc csuc 6312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-tr 5180  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-ord 6313  df-on 6314  df-suc 6316

This theorem is referenced by:  onsucmin  7761  tfindsg2  7802  oaordi  8471  oalimcl  8485  omlimcl  8503  omeulem1  8507  oeordsuc  8520  naddcllem  8602  infensuc  9083  cantnflem1b  9598  cantnflem1  9601  r1ordg  9693  alephnbtwn  9984  cfsuc  10170  alephsuc3  10494  alephreg  10496  bdayimaon  27675  nosupbnd1lem1  27690  nosupbnd1  27696  nosupbnd2lem1  27697  nosupbnd2  27698  noinfno  27700  noinfres  27704  noinfbnd1lem1  27705  noinfbnd1  27711  noinfbnd2lem1  27712  noinfbnd2  27713  noeta2  27771  etaslts2  27804