Theorem onsucb 7756

Description: A class is an ordinal number if and only if its successor is an ordinal number. Biconditional form of onsuc 7752. (Contributed by NM, 9-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
onsucb	⊢ (𝐴 ∈ On ↔ suc 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem onsucb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsuc 7753	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
2		sucexb 7746	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)
3	1, 2	anbi12i 628	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V) ↔ (Ord suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ∈ V))
4		elon2 6325	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V))
5		elon2 6325	. 2 ⊢ (suc 𝐴 ∈ On ↔ (Ord suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ∈ V))
6	3, 4, 5	3bitr4i 303	1 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ suc 𝐴 ∈ On)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437  Ord word 6313  Oncon0 6314  suc csuc 6316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-tr 5203  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-ord 6317  df-on 6318  df-suc 6320

This theorem is referenced by:  onsucmin  7760  tfindsg2  7801  oaordi  8470  oalimcl  8484  omlimcl  8502  omeulem1  8506  oeordsuc  8518  naddcllem  8600  infensuc  9079  cantnflem1b  9587  cantnflem1  9590  r1ordg  9682  alephnbtwn  9973  cfsuc  10159  alephsuc3  10482  alephreg  10484  bdayimaon  27652  nosupbnd1lem1  27667  nosupbnd1  27673  nosupbnd2lem1  27674  nosupbnd2  27675  noinfno  27677  noinfres  27681  noinfbnd1lem1  27682  noinfbnd1  27688  noinfbnd2lem1  27689  noinfbnd2  27690  noeta2  27744  etasslt2  27775