Theorem onsucb 7862

Description: A class is an ordinal number if and only if its successor is an ordinal number. Biconditional form of onsuc 7858. (Contributed by NM, 9-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
onsucb	⊢ (𝐴 ∈ On ↔ suc 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem onsucb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsuc 7859	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
2		sucexb 7852	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)
3	1, 2	anbi12i 640	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V) ↔ (Ord suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ∈ V))
4		elon2 6399	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V))
5		elon2 6399	. 2 ⊢ (suc 𝐴 ∈ On ↔ (Ord suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ∈ V))
6	3, 4, 5	3bitr4i 306	1 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ suc 𝐴 ∈ On)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  Ord word 6387  Oncon0 6388  suc csuc 6390

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-tr 5219  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-ord 6391  df-on 6392  df-suc 6394

This theorem is used by:  onsucmin  7866  tfindsg2  7907  oaordi  8592  oalimcl  8606  omlimcl  8624  omeulem1  8628  oeordsuc  8641  naddcllem  8723  infensuc  9212  cantnflem1b  9724  cantnflem1  9727  r1ordg  9822  alephnbtwn  10189  cfsuc  10374  alephsuc3  10704  alephreg  10706  bdayimaon  28107  nosupbnd1lem1  28122  nosupbnd1  28128  nosupbnd2lem1  28129  nosupbnd2  28130  noinfno  28132  noinfres  28136  noinfbnd1lem1  28137  noinfbnd1  28143  noinfbnd2lem1  28144  noinfbnd2  28145  noeta2  28204  etaslts2  28237