Theorem onsucb 7826

Description: A class is an ordinal number if and only if its successor is an ordinal number. Biconditional form of onsuc 7820. (Contributed by NM, 9-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
onsucb	⊢ (𝐴 ∈ On ↔ suc 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem onsucb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsuc 7822	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
2		sucexb 7813	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)
3	1, 2	anbi12i 626	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V) ↔ (Ord suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ∈ V))
4		elon2 6387	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V))
5		elon2 6387	. 2 ⊢ (suc 𝐴 ∈ On ↔ (Ord suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ∈ V))
6	3, 4, 5	3bitr4i 302	1 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ suc 𝐴 ∈ On)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∈ wcel 2099  Vcvv 3462  Ord word 6375  Oncon0 6376  suc csuc 6378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-sb 2061  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-br 5154  df-opab 5216  df-tr 5271  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-ord 6379  df-on 6380  df-suc 6382

This theorem is referenced by:  onsucmin  7830  tfindsg2  7872  oaordi  8576  oalimcl  8590  omlimcl  8608  omeulem1  8612  oeordsuc  8624  naddcllem  8706  infensuc  9193  cantnflem1b  9729  cantnflem1  9732  r1ordg  9821  alephnbtwn  10114  cfsuc  10300  alephsuc3  10623  alephreg  10625  bdayimaon  27723  nosupbnd1lem1  27738  nosupbnd1  27744  nosupbnd2lem1  27745  nosupbnd2  27746  noinfno  27748  noinfres  27752  noinfbnd1lem1  27753  noinfbnd1  27759  noinfbnd2lem1  27760  noinfbnd2  27761  noeta2  27814  etasslt2  27844