Theorem onsucb 7809

Description: A class is an ordinal number if and only if its successor is an ordinal number. Biconditional form of onsuc 7805. (Contributed by NM, 9-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
onsucb	⊢ (𝐴 ∈ On ↔ suc 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem onsucb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsuc 7806	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
2		sucexb 7799	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)
3	1, 2	anbi12i 639	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V) ↔ (Ord suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ∈ V))
4		elon2 6368	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V))
5		elon2 6368	. 2 ⊢ (suc 𝐴 ∈ On ↔ (Ord suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ∈ V))
6	3, 4, 5	3bitr4i 306	1 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ suc 𝐴 ∈ On)

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463  Ord word 6356  Oncon0 6357  suc csuc 6359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-pr 5402  ax-un 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-sb 2098  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-tr 5220  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-ord 6360  df-on 6361  df-suc 6363

This theorem is referenced by:  onsucmin  7813  tfindsg2  7854  oaordi  8527  oalimcl  8541  omlimcl  8559  omeulem1  8563  oeordsuc  8576  naddcllem  8658  infensuc  9139  cantnflem1b  9651  cantnflem1  9654  r1ordg  9746  alephnbtwn  10051  cfsuc  10237  alephsuc3  10561  alephreg  10563  bdayimaon  27819  nosupbnd1lem1  27834  nosupbnd1  27840  nosupbnd2lem1  27841  nosupbnd2  27842  noinfno  27844  noinfres  27848  noinfbnd1lem1  27849  noinfbnd1  27855  noinfbnd2lem1  27856  noinfbnd2  27857  noeta2  27916  etaslts2  27949