Theorem onsucb 7826

Description: A class is an ordinal number if and only if its successor is an ordinal number. Biconditional form of onsuc 7822. (Contributed by NM, 9-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
onsucb	⊢ (𝐴 ∈ On ↔ suc 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem onsucb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsuc 7823	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
2		sucexb 7816	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)
3	1, 2	anbi12i 640	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V) ↔ (Ord suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ∈ V))
4		elon2 6372	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V))
5		elon2 6372	. 2 ⊢ (suc 𝐴 ∈ On ↔ (Ord suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ∈ V))
6	3, 4, 5	3bitr4i 306	1 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ suc 𝐴 ∈ On)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  Ord word 6360  Oncon0 6361  suc csuc 6363

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-tr 5213  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367

This theorem is used by:  onsucmin  7830  tfindsg2  7871  oaordi  8547  oalimcl  8561  omlimcl  8579  omeulem1  8583  oeordsuc  8596  naddcllem  8678  infensuc  9167  cantnflem1b  9680  cantnflem1  9683  r1ordg  9778  alephnbtwn  10143  cfsuc  10328  alephsuc3  10658  alephreg  10660  bdayimaon  28043  nosupbnd1lem1  28058  nosupbnd1  28064  nosupbnd2lem1  28065  nosupbnd2  28066  noinfno  28068  noinfres  28072  noinfbnd1lem1  28073  noinfbnd1  28079  noinfbnd2lem1  28080  noinfbnd2  28081  noeta2  28140  etaslts2  28173