Theorem onsucb 7809

Description: A class is an ordinal number if and only if its successor is an ordinal number. Biconditional form of onsuc 7803. (Contributed by NM, 9-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
onsucb	⊢ (𝐴 ∈ On ↔ suc 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem onsucb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsuc 7805	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
2		sucexb 7796	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)
3	1, 2	anbi12i 626	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V) ↔ (Ord suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ∈ V))
4		elon2 6375	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V))
5		elon2 6375	. 2 ⊢ (suc 𝐴 ∈ On ↔ (Ord suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ∈ V))
6	3, 4, 5	3bitr4i 303	1 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ suc 𝐴 ∈ On)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473  Ord word 6363  Oncon0 6364  suc csuc 6366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-sb 2067  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370

This theorem is referenced by:  onsucmin  7813  tfindsg2  7855  oaordi  8552  oalimcl  8566  omlimcl  8584  omeulem1  8588  oeordsuc  8600  naddcllem  8681  infensuc  9161  cantnflem1b  9687  cantnflem1  9690  r1ordg  9779  alephnbtwn  10072  cfsuc  10258  alephsuc3  10581  alephreg  10583  bdayimaon  27539  nosupbnd1lem1  27554  nosupbnd1  27560  nosupbnd2lem1  27561  nosupbnd2  27562  noinfno  27564  noinfres  27568  noinfbnd1lem1  27569  noinfbnd1  27575  noinfbnd2lem1  27576  noinfbnd2  27577  noeta2  27630  etasslt2  27660