Theorem onsucb 7792

Description: A class is an ordinal number if and only if its successor is an ordinal number. Biconditional form of onsuc 7788. (Contributed by NM, 9-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
onsucb	⊢ (𝐴 ∈ On ↔ suc 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem onsucb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsuc 7789	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
2		sucexb 7782	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)
3	1, 2	anbi12i 637	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V) ↔ (Ord suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ∈ V))
4		elon2 6352	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V))
5		elon2 6352	. 2 ⊢ (suc 𝐴 ∈ On ↔ (Ord suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ∈ V))
6	3, 4, 5	3bitr4i 305	1 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ suc 𝐴 ∈ On)

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453  Ord word 6340  Oncon0 6341  suc csuc 6343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-pr 5387  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-sb 2090  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-tr 5205  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-ord 6344  df-on 6345  df-suc 6347

This theorem is referenced by:  onsucmin  7796  tfindsg2  7837  oaordi  8509  oalimcl  8523  omlimcl  8541  omeulem1  8545  oeordsuc  8558  naddcllem  8640  infensuc  9121  cantnflem1b  9635  cantnflem1  9638  r1ordg  9730  alephnbtwn  10021  cfsuc  10208  alephsuc3  10532  alephreg  10534  bdayimaon  27745  nosupbnd1lem1  27760  nosupbnd1  27766  nosupbnd2lem1  27767  nosupbnd2  27768  noinfno  27770  noinfres  27774  noinfbnd1lem1  27775  noinfbnd1  27781  noinfbnd2lem1  27782  noinfbnd2  27783  noeta2  27842  etaslts2  27875