Theorem onsucb 7815

Description: A class is an ordinal number if and only if its successor is an ordinal number. Biconditional form of onsuc 7811. (Contributed by NM, 9-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
onsucb	⊢ (𝐴 ∈ On ↔ suc 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem onsucb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsuc 7812	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
2		sucexb 7805	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)
3	1, 2	anbi12i 640	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V) ↔ (Ord suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ∈ V))
4		elon2 6375	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V))
5		elon2 6375	. 2 ⊢ (suc 𝐴 ∈ On ↔ (Ord suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ∈ V))
6	3, 4, 5	3bitr4i 306	1 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ suc 𝐴 ∈ On)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457  Ord word 6363  Oncon0 6364  suc csuc 6366

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-pr 5406  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-tr 5221  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370

This theorem is used by:  onsucmin  7819  tfindsg2  7860  oaordi  8533  oalimcl  8547  omlimcl  8565  omeulem1  8569  oeordsuc  8582  naddcllem  8664  infensuc  9146  cantnflem1b  9658  cantnflem1  9661  r1ordg  9753  alephnbtwn  10067  cfsuc  10252  alephsuc3  10576  alephreg  10578  bdayimaon  27888  nosupbnd1lem1  27903  nosupbnd1  27909  nosupbnd2lem1  27910  nosupbnd2  27911  noinfno  27913  noinfres  27917  noinfbnd1lem1  27918  noinfbnd1  27924  noinfbnd2lem1  27925  noinfbnd2  27926  noeta2  27985  etaslts2  28018