Theorem onsucb 7802

Description: A class is an ordinal number if and only if its successor is an ordinal number. Biconditional form of onsuc 7796. (Contributed by NM, 9-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
onsucb	⊢ (𝐴 ∈ On ↔ suc 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem onsucb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsuc 7798	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
2		sucexb 7789	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)
3	1, 2	anbi12i 628	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V) ↔ (Ord suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ∈ V))
4		elon2 6373	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V))
5		elon2 6373	. 2 ⊢ (suc 𝐴 ∈ On ↔ (Ord suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ∈ V))
6	3, 4, 5	3bitr4i 303	1 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ suc 𝐴 ∈ On)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475  Ord word 6361  Oncon0 6362  suc csuc 6364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368

This theorem is referenced by:  onsucmin  7806  tfindsg2  7848  oaordi  8543  oalimcl  8557  omlimcl  8575  omeulem1  8579  oeordsuc  8591  naddcllem  8672  infensuc  9152  cantnflem1b  9678  cantnflem1  9681  r1ordg  9770  alephnbtwn  10063  cfsuc  10249  alephsuc3  10572  alephreg  10574  bdayimaon  27186  nosupbnd1lem1  27201  nosupbnd1  27207  nosupbnd2lem1  27208  nosupbnd2  27209  noinfno  27211  noinfres  27215  noinfbnd1lem1  27216  noinfbnd1  27222  noinfbnd2lem1  27223  noinfbnd2  27224  noeta2  27276  etasslt2  27305