MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oeordi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oeordi 8538
Description: Ordering law for ordinal exponentiation. Proposition 8.33 of [TakeutiZaring] p. 67. (Contributed by NM, 5-Jan-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
oeordi ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o)) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐ต)))

Proof of Theorem oeordi
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7369 . . . . 5 (๐‘ฅ = suc ๐ด โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฅ) = (๐ถ โ†‘o suc ๐ด))
21eleq2d 2820 . . . 4 (๐‘ฅ = suc ๐ด โ†’ ((๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฅ) โ†” (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o suc ๐ด)))
32imbi2d 341 . . 3 (๐‘ฅ = suc ๐ด โ†’ ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฅ)) โ†” (๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o suc ๐ด))))
4 oveq2 7369 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฅ) = (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ))
54eleq2d 2820 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฅ) โ†” (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ)))
65imbi2d 341 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฅ)) โ†” (๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ))))
7 oveq2 7369 . . . . 5 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฅ) = (๐ถ โ†‘o suc ๐‘ฆ))
87eleq2d 2820 . . . 4 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ ((๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฅ) โ†” (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o suc ๐‘ฆ)))
98imbi2d 341 . . 3 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฅ)) โ†” (๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o suc ๐‘ฆ))))
10 oveq2 7369 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฅ) = (๐ถ โ†‘o ๐ต))
1110eleq2d 2820 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ ((๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฅ) โ†” (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐ต)))
1211imbi2d 341 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฅ)) โ†” (๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐ต))))
13 eldifi 4090 . . . . . . . 8 (๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ ๐ถ โˆˆ On)
14 oecl 8487 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ On)
1513, 14sylan 581 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ On)
16 om1 8493 . . . . . . 7 ((๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ On โ†’ ((๐ถ โ†‘o ๐ด) ยทo 1o) = (๐ถ โ†‘o ๐ด))
1715, 16syl 17 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ ((๐ถ โ†‘o ๐ด) ยทo 1o) = (๐ถ โ†‘o ๐ด))
18 ondif2 8452 . . . . . . . . 9 (๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†” (๐ถ โˆˆ On โˆง 1o โˆˆ ๐ถ))
1918simprbi 498 . . . . . . . 8 (๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ 1o โˆˆ ๐ถ)
2019adantr 482 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ 1o โˆˆ ๐ถ)
2113adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ ๐ถ โˆˆ On)
22 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ ๐ด โˆˆ On)
23 dif20el 8455 . . . . . . . . . 10 (๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ถ)
2423adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ถ)
25 oen0 8537 . . . . . . . . 9 (((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ โˆ… โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐ด))
2621, 22, 24, 25syl21anc 837 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ โˆ… โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐ด))
27 omordi 8517 . . . . . . . 8 (((๐ถ โˆˆ On โˆง (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐ด)) โ†’ (1o โˆˆ ๐ถ โ†’ ((๐ถ โ†‘o ๐ด) ยทo 1o) โˆˆ ((๐ถ โ†‘o ๐ด) ยทo ๐ถ)))
2821, 15, 26, 27syl21anc 837 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ (1o โˆˆ ๐ถ โ†’ ((๐ถ โ†‘o ๐ด) ยทo 1o) โˆˆ ((๐ถ โ†‘o ๐ด) ยทo ๐ถ)))
2920, 28mpd 15 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ ((๐ถ โ†‘o ๐ด) ยทo 1o) โˆˆ ((๐ถ โ†‘o ๐ด) ยทo ๐ถ))
3017, 29eqeltrrd 2835 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ ((๐ถ โ†‘o ๐ด) ยทo ๐ถ))
31 oesuc 8477 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ (๐ถ โ†‘o suc ๐ด) = ((๐ถ โ†‘o ๐ด) ยทo ๐ถ))
3213, 31sylan 581 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ (๐ถ โ†‘o suc ๐ด) = ((๐ถ โ†‘o ๐ด) ยทo ๐ถ))
3330, 32eleqtrrd 2837 . . . 4 ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o suc ๐ด))
3433expcom 415 . . 3 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o suc ๐ด)))
35 oecl 8487 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On)
3613, 35sylan 581 . . . . . . . . . 10 ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On)
37 om1 8493 . . . . . . . . . 10 ((๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On โ†’ ((๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo 1o) = (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ ((๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo 1o) = (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ))
3919adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ 1o โˆˆ ๐ถ)
4013adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ ๐ถ โˆˆ On)
41 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ On)
4223adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ถ)
43 oen0 8537 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ โˆ… โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ))
4440, 41, 42, 43syl21anc 837 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ โˆ… โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ))
45 omordi 8517 . . . . . . . . . . 11 (((๐ถ โˆˆ On โˆง (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ)) โ†’ (1o โˆˆ ๐ถ โ†’ ((๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo 1o) โˆˆ ((๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ถ)))
4640, 36, 44, 45syl21anc 837 . . . . . . . . . 10 ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (1o โˆˆ ๐ถ โ†’ ((๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo 1o) โˆˆ ((๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ถ)))
4739, 46mpd 15 . . . . . . . . 9 ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ ((๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo 1o) โˆˆ ((๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ถ))
4838, 47eqeltrrd 2835 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ ((๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ถ))
49 oesuc 8477 . . . . . . . . 9 ((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ถ โ†‘o suc ๐‘ฆ) = ((๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ถ))
5013, 49sylan 581 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ถ โ†‘o suc ๐‘ฆ) = ((๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ถ))
5148, 50eleqtrrd 2837 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ (๐ถ โ†‘o suc ๐‘ฆ))
52 onsuc 7750 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ suc ๐‘ฆ โˆˆ On)
53 oecl 8487 . . . . . . . . 9 ((๐ถ โˆˆ On โˆง suc ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ถ โ†‘o suc ๐‘ฆ) โˆˆ On)
5413, 52, 53syl2an 597 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ถ โ†‘o suc ๐‘ฆ) โˆˆ On)
55 ontr1 6367 . . . . . . . 8 ((๐ถ โ†‘o suc ๐‘ฆ) โˆˆ On โ†’ (((๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ) โˆง (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ (๐ถ โ†‘o suc ๐‘ฆ)) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o suc ๐‘ฆ)))
5654, 55syl 17 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (((๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ) โˆง (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ (๐ถ โ†‘o suc ๐‘ฆ)) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o suc ๐‘ฆ)))
5751, 56mpan2d 693 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ ((๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o suc ๐‘ฆ)))
5857expcom 415 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ (๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ ((๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o suc ๐‘ฆ))))
5958adantr 482 . . . 4 ((๐‘ฆ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ (๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ ((๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o suc ๐‘ฆ))))
6059a2d 29 . . 3 ((๐‘ฆ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ)) โ†’ (๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o suc ๐‘ฆ))))
61 bi2.04 389 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ))) โ†” (๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ))))
6261ralbii 3093 . . . . 5 (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ))) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ))))
63 r19.21v 3173 . . . . 5 (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ))) โ†” (๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ))))
6462, 63bitri 275 . . . 4 (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ))) โ†” (๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ))))
65 limsuc 7789 . . . . . . . . . 10 (Lim ๐‘ฅ โ†’ (๐ด โˆˆ ๐‘ฅ โ†” suc ๐ด โˆˆ ๐‘ฅ))
6665biimpa 478 . . . . . . . . 9 ((Lim ๐‘ฅ โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ฅ) โ†’ suc ๐ด โˆˆ ๐‘ฅ)
67 elex 3465 . . . . . . . . . . . . 13 (suc ๐ด โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ suc ๐ด โˆˆ V)
68 sucexb 7743 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ V โ†” suc ๐ด โˆˆ V)
69 sucidg 6402 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ V โ†’ ๐ด โˆˆ suc ๐ด)
7068, 69sylbir 234 . . . . . . . . . . . . 13 (suc ๐ด โˆˆ V โ†’ ๐ด โˆˆ suc ๐ด)
7167, 70syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (suc ๐ด โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ ๐ด โˆˆ suc ๐ด)
72 eleq2 2823 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ = suc ๐ด โ†’ (๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โ†” ๐ด โˆˆ suc ๐ด))
73 oveq2 7369 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฆ = suc ๐ด โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ) = (๐ถ โ†‘o suc ๐ด))
7473eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ = suc ๐ด โ†’ ((๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ) โ†” (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o suc ๐ด)))
7572, 74imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ = suc ๐ด โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ)) โ†” (๐ด โˆˆ suc ๐ด โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o suc ๐ด))))
7675rspcv 3579 . . . . . . . . . . . 12 (suc ๐ด โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ)) โ†’ (๐ด โˆˆ suc ๐ด โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o suc ๐ด))))
7771, 76mpid 44 . . . . . . . . . . 11 (suc ๐ด โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ)) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o suc ๐ด)))
7877anc2li 557 . . . . . . . . . 10 (suc ๐ด โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ)) โ†’ (suc ๐ด โˆˆ ๐‘ฅ โˆง (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o suc ๐ด))))
7973eliuni 4964 . . . . . . . . . 10 ((suc ๐ด โˆˆ ๐‘ฅ โˆง (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o suc ๐ด)) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ))
8078, 79syl6 35 . . . . . . . . 9 (suc ๐ด โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ)) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ)))
8166, 80syl 17 . . . . . . . 8 ((Lim ๐‘ฅ โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ฅ) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ)) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ)))
8281adantr 482 . . . . . . 7 (((Lim ๐‘ฅ โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ฅ) โˆง ๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o)) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ)) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ)))
8313adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((Lim ๐‘ฅ โˆง ๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o)) โ†’ ๐ถ โˆˆ On)
84 simpl 484 . . . . . . . . . 10 ((Lim ๐‘ฅ โˆง ๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o)) โ†’ Lim ๐‘ฅ)
8523adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((Lim ๐‘ฅ โˆง ๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o)) โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ถ)
86 vex 3451 . . . . . . . . . . 11 ๐‘ฅ โˆˆ V
87 oelim 8484 . . . . . . . . . . 11 (((๐ถ โˆˆ On โˆง (๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ))
8886, 87mpanlr1 705 . . . . . . . . . 10 (((๐ถ โˆˆ On โˆง Lim ๐‘ฅ) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ))
8983, 84, 85, 88syl21anc 837 . . . . . . . . 9 ((Lim ๐‘ฅ โˆง ๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o)) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ))
9089adantlr 714 . . . . . . . 8 (((Lim ๐‘ฅ โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ฅ) โˆง ๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o)) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ))
9190eleq2d 2820 . . . . . . 7 (((Lim ๐‘ฅ โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ฅ) โˆง ๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o)) โ†’ ((๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฅ) โ†” (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ)))
9282, 91sylibrd 259 . . . . . 6 (((Lim ๐‘ฅ โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ฅ) โˆง ๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o)) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ)) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฅ)))
9392ex 414 . . . . 5 ((Lim ๐‘ฅ โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ฅ) โ†’ (๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ)) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฅ))))
9493a2d 29 . . . 4 ((Lim ๐‘ฅ โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ฅ) โ†’ ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ))) โ†’ (๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฅ))))
9564, 94biimtrid 241 . . 3 ((Lim ๐‘ฅ โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ฅ) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ))) โ†’ (๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฅ))))
963, 6, 9, 12, 34, 60, 95tfindsg2 7802 . 2 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐ต)))
9796impancom 453 1 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o)) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061  Vcvv 3447   โˆ– cdif 3911  โˆ…c0 4286  โˆช ciun 4958  Oncon0 6321  Lim wlim 6322  suc csuc 6323  (class class class)co 7361  1oc1o 8409  2oc2o 8410   ยทo comu 8414   โ†‘o coe 8415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-oadd 8420  df-omul 8421  df-oexp 8422
This theorem is referenced by:  oeord  8539  oecan  8540  oeworde  8544  oelimcl  8551  oeord2lim  41691  oeord2i  41692  omcl2  41715
  Copyright terms: Public domain W3C validator