MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oeordi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oeordi 8607
Description: Ordering law for ordinal exponentiation. Proposition 8.33 of [TakeutiZaring] p. 67. (Contributed by NM, 5-Jan-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
oeordi ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o)) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐ต)))

Proof of Theorem oeordi
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7428 . . . . 5 (๐‘ฅ = suc ๐ด โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฅ) = (๐ถ โ†‘o suc ๐ด))
21eleq2d 2815 . . . 4 (๐‘ฅ = suc ๐ด โ†’ ((๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฅ) โ†” (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o suc ๐ด)))
32imbi2d 340 . . 3 (๐‘ฅ = suc ๐ด โ†’ ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฅ)) โ†” (๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o suc ๐ด))))
4 oveq2 7428 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฅ) = (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ))
54eleq2d 2815 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฅ) โ†” (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ)))
65imbi2d 340 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฅ)) โ†” (๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ))))
7 oveq2 7428 . . . . 5 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฅ) = (๐ถ โ†‘o suc ๐‘ฆ))
87eleq2d 2815 . . . 4 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ ((๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฅ) โ†” (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o suc ๐‘ฆ)))
98imbi2d 340 . . 3 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฅ)) โ†” (๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o suc ๐‘ฆ))))
10 oveq2 7428 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฅ) = (๐ถ โ†‘o ๐ต))
1110eleq2d 2815 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ ((๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฅ) โ†” (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐ต)))
1211imbi2d 340 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฅ)) โ†” (๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐ต))))
13 eldifi 4125 . . . . . . . 8 (๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ ๐ถ โˆˆ On)
14 oecl 8557 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ On)
1513, 14sylan 579 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ On)
16 om1 8562 . . . . . . 7 ((๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ On โ†’ ((๐ถ โ†‘o ๐ด) ยทo 1o) = (๐ถ โ†‘o ๐ด))
1715, 16syl 17 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ ((๐ถ โ†‘o ๐ด) ยทo 1o) = (๐ถ โ†‘o ๐ด))
18 ondif2 8522 . . . . . . . . 9 (๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†” (๐ถ โˆˆ On โˆง 1o โˆˆ ๐ถ))
1918simprbi 496 . . . . . . . 8 (๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ 1o โˆˆ ๐ถ)
2019adantr 480 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ 1o โˆˆ ๐ถ)
2113adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ ๐ถ โˆˆ On)
22 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ ๐ด โˆˆ On)
23 dif20el 8525 . . . . . . . . . 10 (๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ถ)
2423adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ถ)
25 oen0 8606 . . . . . . . . 9 (((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ โˆ… โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐ด))
2621, 22, 24, 25syl21anc 837 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ โˆ… โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐ด))
27 omordi 8586 . . . . . . . 8 (((๐ถ โˆˆ On โˆง (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐ด)) โ†’ (1o โˆˆ ๐ถ โ†’ ((๐ถ โ†‘o ๐ด) ยทo 1o) โˆˆ ((๐ถ โ†‘o ๐ด) ยทo ๐ถ)))
2821, 15, 26, 27syl21anc 837 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ (1o โˆˆ ๐ถ โ†’ ((๐ถ โ†‘o ๐ด) ยทo 1o) โˆˆ ((๐ถ โ†‘o ๐ด) ยทo ๐ถ)))
2920, 28mpd 15 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ ((๐ถ โ†‘o ๐ด) ยทo 1o) โˆˆ ((๐ถ โ†‘o ๐ด) ยทo ๐ถ))
3017, 29eqeltrrd 2830 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ ((๐ถ โ†‘o ๐ด) ยทo ๐ถ))
31 oesuc 8547 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ (๐ถ โ†‘o suc ๐ด) = ((๐ถ โ†‘o ๐ด) ยทo ๐ถ))
3213, 31sylan 579 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ (๐ถ โ†‘o suc ๐ด) = ((๐ถ โ†‘o ๐ด) ยทo ๐ถ))
3330, 32eleqtrrd 2832 . . . 4 ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o suc ๐ด))
3433expcom 413 . . 3 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o suc ๐ด)))
35 oecl 8557 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On)
3613, 35sylan 579 . . . . . . . . . 10 ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On)
37 om1 8562 . . . . . . . . . 10 ((๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On โ†’ ((๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo 1o) = (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ ((๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo 1o) = (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ))
3919adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ 1o โˆˆ ๐ถ)
4013adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ ๐ถ โˆˆ On)
41 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ On)
4223adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ถ)
43 oen0 8606 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ โˆ… โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ))
4440, 41, 42, 43syl21anc 837 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ โˆ… โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ))
45 omordi 8586 . . . . . . . . . . 11 (((๐ถ โˆˆ On โˆง (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ)) โ†’ (1o โˆˆ ๐ถ โ†’ ((๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo 1o) โˆˆ ((๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ถ)))
4640, 36, 44, 45syl21anc 837 . . . . . . . . . 10 ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (1o โˆˆ ๐ถ โ†’ ((๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo 1o) โˆˆ ((๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ถ)))
4739, 46mpd 15 . . . . . . . . 9 ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ ((๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo 1o) โˆˆ ((๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ถ))
4838, 47eqeltrrd 2830 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ ((๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ถ))
49 oesuc 8547 . . . . . . . . 9 ((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ถ โ†‘o suc ๐‘ฆ) = ((๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ถ))
5013, 49sylan 579 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ถ โ†‘o suc ๐‘ฆ) = ((๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ถ))
5148, 50eleqtrrd 2832 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ (๐ถ โ†‘o suc ๐‘ฆ))
52 onsuc 7814 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ suc ๐‘ฆ โˆˆ On)
53 oecl 8557 . . . . . . . . 9 ((๐ถ โˆˆ On โˆง suc ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ถ โ†‘o suc ๐‘ฆ) โˆˆ On)
5413, 52, 53syl2an 595 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ถ โ†‘o suc ๐‘ฆ) โˆˆ On)
55 ontr1 6415 . . . . . . . 8 ((๐ถ โ†‘o suc ๐‘ฆ) โˆˆ On โ†’ (((๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ) โˆง (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ (๐ถ โ†‘o suc ๐‘ฆ)) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o suc ๐‘ฆ)))
5654, 55syl 17 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (((๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ) โˆง (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ (๐ถ โ†‘o suc ๐‘ฆ)) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o suc ๐‘ฆ)))
5751, 56mpan2d 693 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ ((๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o suc ๐‘ฆ)))
5857expcom 413 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ (๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ ((๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o suc ๐‘ฆ))))
5958adantr 480 . . . 4 ((๐‘ฆ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ (๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ ((๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o suc ๐‘ฆ))))
6059a2d 29 . . 3 ((๐‘ฆ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ)) โ†’ (๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o suc ๐‘ฆ))))
61 bi2.04 387 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ))) โ†” (๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ))))
6261ralbii 3090 . . . . 5 (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ))) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ))))
63 r19.21v 3176 . . . . 5 (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ))) โ†” (๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ))))
6462, 63bitri 275 . . . 4 (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ))) โ†” (๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ))))
65 limsuc 7853 . . . . . . . . . 10 (Lim ๐‘ฅ โ†’ (๐ด โˆˆ ๐‘ฅ โ†” suc ๐ด โˆˆ ๐‘ฅ))
6665biimpa 476 . . . . . . . . 9 ((Lim ๐‘ฅ โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ฅ) โ†’ suc ๐ด โˆˆ ๐‘ฅ)
67 elex 3490 . . . . . . . . . . . . 13 (suc ๐ด โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ suc ๐ด โˆˆ V)
68 sucexb 7807 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ V โ†” suc ๐ด โˆˆ V)
69 sucidg 6450 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ V โ†’ ๐ด โˆˆ suc ๐ด)
7068, 69sylbir 234 . . . . . . . . . . . . 13 (suc ๐ด โˆˆ V โ†’ ๐ด โˆˆ suc ๐ด)
7167, 70syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (suc ๐ด โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ ๐ด โˆˆ suc ๐ด)
72 eleq2 2818 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ = suc ๐ด โ†’ (๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โ†” ๐ด โˆˆ suc ๐ด))
73 oveq2 7428 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฆ = suc ๐ด โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ) = (๐ถ โ†‘o suc ๐ด))
7473eleq2d 2815 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ = suc ๐ด โ†’ ((๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ) โ†” (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o suc ๐ด)))
7572, 74imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ = suc ๐ด โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ)) โ†” (๐ด โˆˆ suc ๐ด โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o suc ๐ด))))
7675rspcv 3605 . . . . . . . . . . . 12 (suc ๐ด โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ)) โ†’ (๐ด โˆˆ suc ๐ด โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o suc ๐ด))))
7771, 76mpid 44 . . . . . . . . . . 11 (suc ๐ด โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ)) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o suc ๐ด)))
7877anc2li 555 . . . . . . . . . 10 (suc ๐ด โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ)) โ†’ (suc ๐ด โˆˆ ๐‘ฅ โˆง (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o suc ๐ด))))
7973eliuni 5002 . . . . . . . . . 10 ((suc ๐ด โˆˆ ๐‘ฅ โˆง (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o suc ๐ด)) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ))
8078, 79syl6 35 . . . . . . . . 9 (suc ๐ด โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ)) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ)))
8166, 80syl 17 . . . . . . . 8 ((Lim ๐‘ฅ โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ฅ) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ)) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ)))
8281adantr 480 . . . . . . 7 (((Lim ๐‘ฅ โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ฅ) โˆง ๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o)) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ)) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ)))
8313adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((Lim ๐‘ฅ โˆง ๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o)) โ†’ ๐ถ โˆˆ On)
84 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((Lim ๐‘ฅ โˆง ๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o)) โ†’ Lim ๐‘ฅ)
8523adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((Lim ๐‘ฅ โˆง ๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o)) โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ถ)
86 vex 3475 . . . . . . . . . . 11 ๐‘ฅ โˆˆ V
87 oelim 8554 . . . . . . . . . . 11 (((๐ถ โˆˆ On โˆง (๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ))
8886, 87mpanlr1 705 . . . . . . . . . 10 (((๐ถ โˆˆ On โˆง Lim ๐‘ฅ) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ))
8983, 84, 85, 88syl21anc 837 . . . . . . . . 9 ((Lim ๐‘ฅ โˆง ๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o)) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ))
9089adantlr 714 . . . . . . . 8 (((Lim ๐‘ฅ โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ฅ) โˆง ๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o)) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ))
9190eleq2d 2815 . . . . . . 7 (((Lim ๐‘ฅ โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ฅ) โˆง ๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o)) โ†’ ((๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฅ) โ†” (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ)))
9282, 91sylibrd 259 . . . . . 6 (((Lim ๐‘ฅ โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ฅ) โˆง ๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o)) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ)) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฅ)))
9392ex 412 . . . . 5 ((Lim ๐‘ฅ โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ฅ) โ†’ (๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ)) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฅ))))
9493a2d 29 . . . 4 ((Lim ๐‘ฅ โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ฅ) โ†’ ((๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ))) โ†’ (๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฅ))))
9564, 94biimtrid 241 . . 3 ((Lim ๐‘ฅ โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ฅ) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฆ))) โ†’ (๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐‘ฅ))))
963, 6, 9, 12, 34, 60, 95tfindsg2 7866 . 2 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐ต)))
9796impancom 451 1 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ (On โˆ– 2o)) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ถ โ†‘o ๐ด) โˆˆ (๐ถ โ†‘o ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆ€wral 3058  Vcvv 3471   โˆ– cdif 3944  โˆ…c0 4323  โˆช ciun 4996  Oncon0 6369  Lim wlim 6370  suc csuc 6371  (class class class)co 7420  1oc1o 8479  2oc2o 8480   ยทo comu 8484   โ†‘o coe 8485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-oadd 8490  df-omul 8491  df-oexp 8492
This theorem is referenced by:  oeord  8608  oecan  8609  oeworde  8613  oelimcl  8620  oeord2lim  42738  oeord2i  42739  omcl2  42762
  Copyright terms: Public domain W3C validator