Theorem symrelcoss 38558

Description: The class of cosets by 𝑅 is symmetric. (Contributed by Peter Mazsa, 20-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
symrelcoss	⊢ SymRel ≀ 𝑅

Proof of Theorem symrelcoss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symrelcoss2 38464	. 2 ⊢ (◡ ≀ 𝑅 ⊆ ≀ 𝑅 ∧ Rel ≀ 𝑅)
2		dfsymrel2 38547	. 2 ⊢ ( SymRel ≀ 𝑅 ↔ (◡ ≀ 𝑅 ⊆ ≀ 𝑅 ∧ Rel ≀ 𝑅))
3	1, 2	mpbir 231	1 ⊢ SymRel ≀ 𝑅

Syntax hints:   ∧ wa 395   ⊆ wss 3917  ^◡ccnv 5640  Rel wrel 5646   ≀ ccoss 38176   SymRel wsymrel 38188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-br 5111  df-opab 5173  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-coss 38409  df-symrel 38542

This theorem is referenced by:  eqvrelcoss  38615