Theorem symrelcoss 38516

Description: The class of cosets by 𝑅 is symmetric. (Contributed by Peter Mazsa, 20-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
symrelcoss	⊢ SymRel ≀ 𝑅

Proof of Theorem symrelcoss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symrelcoss2 38422	. 2 ⊢ (◡ ≀ 𝑅 ⊆ ≀ 𝑅 ∧ Rel ≀ 𝑅)
2		dfsymrel2 38505	. 2 ⊢ ( SymRel ≀ 𝑅 ↔ (◡ ≀ 𝑅 ⊆ ≀ 𝑅 ∧ Rel ≀ 𝑅))
3	1, 2	mpbir 231	1 ⊢ SymRel ≀ 𝑅

Syntax hints:   ∧ wa 395   ⊆ wss 3976  ^◡ccnv 5699  Rel wrel 5705   ≀ ccoss 38135   SymRel wsymrel 38147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-br 5167  df-opab 5229  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-coss 38367  df-symrel 38500

This theorem is referenced by:  eqvrelcoss  38573