Theorem symrelcoss 38542

Description: The class of cosets by 𝑅 is symmetric. (Contributed by Peter Mazsa, 20-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
symrelcoss	⊢ SymRel ≀ 𝑅

Proof of Theorem symrelcoss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symrelcoss2 38448	. 2 ⊢ (◡ ≀ 𝑅 ⊆ ≀ 𝑅 ∧ Rel ≀ 𝑅)
2		dfsymrel2 38531	. 2 ⊢ ( SymRel ≀ 𝑅 ↔ (◡ ≀ 𝑅 ⊆ ≀ 𝑅 ∧ Rel ≀ 𝑅))
3	1, 2	mpbir 231	1 ⊢ SymRel ≀ 𝑅

Syntax hints:   ∧ wa 395   ⊆ wss 3963  ^◡ccnv 5688  Rel wrel 5694   ≀ ccoss 38162   SymRel wsymrel 38174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-coss 38393  df-symrel 38526

This theorem is referenced by:  eqvrelcoss  38599