Theorem symrelcoss 39683

Description: The class of cosets by 𝑅 is symmetric. (Contributed by Peter Mazsa, 20-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
symrelcoss	⊢ SymRel ≀ 𝑅

Proof of Theorem symrelcoss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symrelcoss2 39595	. 2 ⊢ (◡ ≀ 𝑅 ⊆ ≀ 𝑅 ∧ Rel ≀ 𝑅)
2		dfsymrel2 39672	. 2 ⊢ ( SymRel ≀ 𝑅 ↔ (◡ ≀ 𝑅 ⊆ ≀ 𝑅 ∧ Rel ≀ 𝑅))
3	1, 2	mpbir 234	1 ⊢ SymRel ≀ 𝑅

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ⊆ wss 3896  ^◡ccnv 5649  Rel wrel 5655   ≀ ccoss 39222   SymRel wsymrel 39234

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-br 5103  df-opab 5167  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-coss 39540  df-symrel 39663

This theorem is used by:  eqvrelcoss  39740