Theorem eqvrelcoss 38608

Description: Two ways to express equivalent cosets. (Contributed by Peter Mazsa, 4-Jul-2020.) (Revised by Peter Mazsa, 20-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eqvrelcoss	⊢ ( EqvRel ≀ 𝑅 ↔ TrRel ≀ 𝑅)

Proof of Theorem eqvrelcoss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-eqvrel 38576	. 2 ⊢ ( EqvRel ≀ 𝑅 ↔ ( RefRel ≀ 𝑅 ∧ SymRel ≀ 𝑅 ∧ TrRel ≀ 𝑅))
2		refrelcoss 38514	. . 3 ⊢ RefRel ≀ 𝑅
3		symrelcoss 38551	. . 3 ⊢ SymRel ≀ 𝑅
4	2, 3	triantru3 38218	. 2 ⊢ ( TrRel ≀ 𝑅 ↔ ( RefRel ≀ 𝑅 ∧ SymRel ≀ 𝑅 ∧ TrRel ≀ 𝑅))
5	1, 4	bitr4i 278	1 ⊢ ( EqvRel ≀ 𝑅 ↔ TrRel ≀ 𝑅)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   ≀ ccoss 38169   RefRel wrefrel 38175   SymRel wsymrel 38181   TrRel wtrrel 38184   EqvRel weqvrel 38186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-br 5108  df-opab 5170  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-coss 38402  df-refrel 38503  df-symrel 38535  df-eqvrel 38576

This theorem is referenced by: (None)