Theorem eqvrelcoss 39075

Description: Two ways to express equivalent cosets. (Contributed by Peter Mazsa, 4-Jul-2020.) (Revised by Peter Mazsa, 20-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eqvrelcoss	⊢ ( EqvRel ≀ 𝑅 ↔ TrRel ≀ 𝑅)

Proof of Theorem eqvrelcoss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-eqvrel 39043	. 2 ⊢ ( EqvRel ≀ 𝑅 ↔ ( RefRel ≀ 𝑅 ∧ SymRel ≀ 𝑅 ∧ TrRel ≀ 𝑅))
2		refrelcoss 38977	. . 3 ⊢ RefRel ≀ 𝑅
3		symrelcoss 39018	. . 3 ⊢ SymRel ≀ 𝑅
4	2, 3	triantru3 38610	. 2 ⊢ ( TrRel ≀ 𝑅 ↔ ( RefRel ≀ 𝑅 ∧ SymRel ≀ 𝑅 ∧ TrRel ≀ 𝑅))
5	1, 4	bitr4i 279	1 ⊢ ( EqvRel ≀ 𝑅 ↔ TrRel ≀ 𝑅)

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∧ w3a 1092   ≀ ccoss 38557   RefRel wrefrel 38563   SymRel wsymrel 38569   TrRel wtrrel 38572   EqvRel weqvrel 38574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-11 2168  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-pr 5369

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-br 5080  df-opab 5142  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-coss 38875  df-refrel 38966  df-symrel 38998  df-eqvrel 39043

This theorem is referenced by: (None)