Theorem eqvrelcoss 38614

Description: Two ways to express equivalent cosets. (Contributed by Peter Mazsa, 4-Jul-2020.) (Revised by Peter Mazsa, 20-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eqvrelcoss	⊢ ( EqvRel ≀ 𝑅 ↔ TrRel ≀ 𝑅)

Proof of Theorem eqvrelcoss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-eqvrel 38582	. 2 ⊢ ( EqvRel ≀ 𝑅 ↔ ( RefRel ≀ 𝑅 ∧ SymRel ≀ 𝑅 ∧ TrRel ≀ 𝑅))
2		refrelcoss 38520	. . 3 ⊢ RefRel ≀ 𝑅
3		symrelcoss 38557	. . 3 ⊢ SymRel ≀ 𝑅
4	2, 3	triantru3 38224	. 2 ⊢ ( TrRel ≀ 𝑅 ↔ ( RefRel ≀ 𝑅 ∧ SymRel ≀ 𝑅 ∧ TrRel ≀ 𝑅))
5	1, 4	bitr4i 278	1 ⊢ ( EqvRel ≀ 𝑅 ↔ TrRel ≀ 𝑅)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   ≀ ccoss 38175   RefRel wrefrel 38181   SymRel wsymrel 38187   TrRel wtrrel 38190   EqvRel weqvrel 38192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-11 2158  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-br 5093  df-opab 5155  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-coss 38408  df-refrel 38509  df-symrel 38541  df-eqvrel 38582

This theorem is referenced by: (None)