Theorem eqvrelcoss 35867

Description: Two ways to express equivalent cosets. (Contributed by Peter Mazsa, 4-Jul-2020.) (Revised by Peter Mazsa, 20-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eqvrelcoss	⊢ ( EqvRel ≀ 𝑅 ↔ TrRel ≀ 𝑅)

Proof of Theorem eqvrelcoss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-eqvrel 35835	. 2 ⊢ ( EqvRel ≀ 𝑅 ↔ ( RefRel ≀ 𝑅 ∧ SymRel ≀ 𝑅 ∧ TrRel ≀ 𝑅))
2		refrelcoss 35777	. . 3 ⊢ RefRel ≀ 𝑅
3		symrelcoss 35811	. . 3 ⊢ SymRel ≀ 𝑅
4	2, 3	triantru3 35515	. 2 ⊢ ( TrRel ≀ 𝑅 ↔ ( RefRel ≀ 𝑅 ∧ SymRel ≀ 𝑅 ∧ TrRel ≀ 𝑅))
5	1, 4	bitr4i 280	1 ⊢ ( EqvRel ≀ 𝑅 ↔ TrRel ≀ 𝑅)

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ w3a 1083   ≀ ccoss 35468   RefRel wrefrel 35474   SymRel wsymrel 35480   TrRel wtrrel 35483   EqvRel weqvrel 35485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pr 5330

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-br 5067  df-opab 5129  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-coss 35674  df-refrel 35767  df-symrel 35795  df-eqvrel 35835

This theorem is referenced by: (None)