Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eqvrelcoss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqvrelcoss 38145
Description: Two ways to express equivalent cosets. (Contributed by Peter Mazsa, 4-Jul-2020.) (Revised by Peter Mazsa, 20-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
eqvrelcoss ( EqvRel ≀ 𝑅 ↔ TrRel ≀ 𝑅)

Proof of Theorem eqvrelcoss
StepHypRef Expression
1 df-eqvrel 38113 . 2 ( EqvRel ≀ 𝑅 ↔ ( RefRel ≀ 𝑅 ∧ SymRel ≀ 𝑅 ∧ TrRel ≀ 𝑅))
2 refrelcoss 38051 . . 3 RefRel ≀ 𝑅
3 symrelcoss 38088 . . 3 SymRel ≀ 𝑅
42, 3triantru3 37756 . 2 ( TrRel ≀ 𝑅 ↔ ( RefRel ≀ 𝑅 ∧ SymRel ≀ 𝑅 ∧ TrRel ≀ 𝑅))
51, 4bitr4i 277 1 ( EqvRel ≀ 𝑅 ↔ TrRel ≀ 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  w3a 1084  ccoss 37705   RefRel wrefrel 37711   SymRel wsymrel 37717   TrRel wtrrel 37720   EqvRel weqvrel 37722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pr 5423
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-coss 37939  df-refrel 38040  df-symrel 38072  df-eqvrel 38113
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator