Theorem tmdmnd 23579

Description: A topological monoid is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tmdmnd	⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ Mnd)

Proof of Theorem tmdmnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . 3 ⊢ (+𝑓‘𝐺) = (+𝑓‘𝐺)
2		eqid 2733	. . 3 ⊢ (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
3	1, 2	istmd 23578	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd ↔ (𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐺 ∈ TopSp ∧ (+𝑓‘𝐺) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺))))
4	3	simp1bi 1146	1 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  TopOpenctopn 17367  +_𝑓cplusf 18558  Mndcmnd 18625  TopSpctps 22434   Cn ccn 22728   ×_t ctx 23064  TopMndctmd 23574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-nul 5307

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-iota 6496  df-fv 6552  df-ov 7412  df-tmd 23576

This theorem is referenced by:  tmdmulg  23596  tmdgsum  23599  oppgtmd  23601  prdstmdd  23628  tsmsxp  23659  xrge0iifmhm  32919  esumcst  33061