Theorem tmdmnd 23923

Description: A topological monoid is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tmdmnd	⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ Mnd)

Proof of Theorem tmdmnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2724	. . 3 ⊢ (+𝑓‘𝐺) = (+𝑓‘𝐺)
2		eqid 2724	. . 3 ⊢ (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
3	1, 2	istmd 23922	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd ↔ (𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐺 ∈ TopSp ∧ (+𝑓‘𝐺) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺))))
4	3	simp1bi 1142	1 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  TopOpenctopn 17372  +_𝑓cplusf 18566  Mndcmnd 18663  TopSpctps 22778   Cn ccn 23072   ×_t ctx 23408  TopMndctmd 23918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2695  ax-nul 5297

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-ne 2933  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-iota 6486  df-fv 6542  df-ov 7405  df-tmd 23920

This theorem is referenced by:  tmdmulg  23940  tmdgsum  23943  oppgtmd  23945  prdstmdd  23972  tsmsxp  24003  xrge0iifmhm  33439  esumcst  33581