Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0iifmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0iifmhm 31889
Description: The defined function from the closed unit interval to the extended nonnegative reals is a monoid homomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0iifhmeo.1 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
xrge0iifhmeo.k 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
xrge0iifmhm 𝐹 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) MndHom (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
Distinct variable group:   𝑥,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem xrge0iifmhm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2738 . . . . 5 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1))
21iistmd 31852 . . . 4 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) ∈ TopMnd
3 tmdmnd 23226 . . . 4 (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) ∈ TopMnd → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) ∈ Mnd)
42, 3ax-mp 5 . . 3 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) ∈ Mnd
5 xrge0cmn 20640 . . . 4 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
6 cmnmnd 19402 . . . 4 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
75, 6ax-mp 5 . . 3 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
84, 7pm3.2i 471 . 2 (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
9 xrge0iifhmeo.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
109xrge0iifcnv 31883 . . . . 5 (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞) ∧ 𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑦 = +∞, 0, (exp‘-𝑦))))
1110simpli 484 . . . 4 𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞)
12 f1of 6716 . . . 4 (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞) → 𝐹:(0[,]1)⟶(0[,]+∞))
1311, 12ax-mp 5 . . 3 𝐹:(0[,]1)⟶(0[,]+∞)
14 xrge0iifhmeo.k . . . . 5 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
159, 14xrge0iifhom 31887 . . . 4 ((𝑦 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹𝑦) +𝑒 (𝐹𝑧)))
1615rgen2 3120 . . 3 𝑦 ∈ (0[,]1)∀𝑧 ∈ (0[,]1)(𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹𝑦) +𝑒 (𝐹𝑧))
179, 14xrge0iif1 31888 . . 3 (𝐹‘1) = 0
1813, 16, 173pm3.2i 1338 . 2 (𝐹:(0[,]1)⟶(0[,]+∞) ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]1)∀𝑧 ∈ (0[,]1)(𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹𝑦) +𝑒 (𝐹𝑧)) ∧ (𝐹‘1) = 0)
19 unitsscn 13232 . . . 4 (0[,]1) ⊆ ℂ
20 eqid 2738 . . . . . 6 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
21 cnfldbas 20601 . . . . . 6 ℂ = (Base‘ℂfld)
2220, 21mgpbas 19726 . . . . 5 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
231, 22ressbas2 16949 . . . 4 ((0[,]1) ⊆ ℂ → (0[,]1) = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1))))
2419, 23ax-mp 5 . . 3 (0[,]1) = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)))
25 xrge0base 31294 . . 3 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
26 cnfldex 20600 . . . . 5 fld ∈ V
27 ovex 7308 . . . . 5 (0[,]1) ∈ V
28 eqid 2738 . . . . . 6 (ℂflds (0[,]1)) = (ℂflds (0[,]1))
2928, 20mgpress 19735 . . . . 5 ((ℂfld ∈ V ∧ (0[,]1) ∈ V) → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) = (mulGrp‘(ℂflds (0[,]1))))
3026, 27, 29mp2an 689 . . . 4 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) = (mulGrp‘(ℂflds (0[,]1)))
31 cnfldmul 20603 . . . . . 6 · = (.r‘ℂfld)
3228, 31ressmulr 17017 . . . . 5 ((0[,]1) ∈ V → · = (.r‘(ℂflds (0[,]1))))
3327, 32ax-mp 5 . . . 4 · = (.r‘(ℂflds (0[,]1)))
3430, 33mgpplusg 19724 . . 3 · = (+g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)))
35 xrge0plusg 31296 . . 3 +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
36 cnring 20620 . . . 4 fld ∈ Ring
37 1elunit 13202 . . . 4 1 ∈ (0[,]1)
38 cnfld1 20623 . . . . 5 1 = (1r‘ℂfld)
391, 21, 38ringidss 19816 . . . 4 ((ℂfld ∈ Ring ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → 1 = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1))))
4036, 19, 37, 39mp3an 1460 . . 3 1 = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)))
41 xrge00 31295 . . 3 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
4224, 25, 34, 35, 40, 41ismhm 18432 . 2 (𝐹 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) MndHom (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))) ↔ ((((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd) ∧ (𝐹:(0[,]1)⟶(0[,]+∞) ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]1)∀𝑧 ∈ (0[,]1)(𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹𝑦) +𝑒 (𝐹𝑧)) ∧ (𝐹‘1) = 0)))
438, 18, 42mpbir2an 708 1 𝐹 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) MndHom (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wral 3064  Vcvv 3432  wss 3887  ifcif 4459  cmpt 5157  ccnv 5588  wf 6429  1-1-ontowf1o 6432  cfv 6433  (class class class)co 7275  cc 10869  0cc0 10871  1c1 10872   · cmul 10876  +∞cpnf 11006  cle 11010  -cneg 11206   +𝑒 cxad 12846  [,]cicc 13082  expce 15771  Basecbs 16912  s cress 16941  .rcmulr 16963  t crest 17131  0gc0g 17150  ordTopcordt 17210  *𝑠cxrs 17211  Mndcmnd 18385   MndHom cmhm 18428  CMndccmn 19386  mulGrpcmgp 19720  Ringcrg 19783  fldccnfld 20597  TopMndctmd 23221  logclog 25710
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045  df-shft 14778  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-ef 15777  df-sin 15779  df-cos 15780  df-pi 15782  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-plusf 18325  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-subrg 20022  df-abv 20077  df-lmod 20125  df-scaf 20126  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-lp 22287  df-perf 22288  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-haus 22466  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-tmd 23223  df-tgp 23224  df-trg 23311  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-nm 23738  df-ngp 23739  df-nrg 23741  df-nlm 23742  df-cncf 24041  df-limc 25030  df-dv 25031  df-log 25712
This theorem is referenced by:  xrge0tmd  31895
  Copyright terms: Public domain W3C validator