Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0iifmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0iifmhm 30501
Description: The defined function from the closed unit interval to the extended nonnegative reals is a monoid homomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0iifhmeo.1 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
xrge0iifhmeo.k 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
xrge0iifmhm 𝐹 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) MndHom (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
Distinct variable group:   𝑥,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem xrge0iifmhm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2799 . . . . 5 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1))
21iistmd 30464 . . . 4 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) ∈ TopMnd
3 tmdmnd 22207 . . . 4 (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) ∈ TopMnd → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) ∈ Mnd)
42, 3ax-mp 5 . . 3 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) ∈ Mnd
5 xrge0cmn 20110 . . . 4 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
6 cmnmnd 18523 . . . 4 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
75, 6ax-mp 5 . . 3 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
84, 7pm3.2i 463 . 2 (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
9 xrge0iifhmeo.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
109xrge0iifcnv 30495 . . . . 5 (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞) ∧ 𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑦 = +∞, 0, (exp‘-𝑦))))
1110simpli 477 . . . 4 𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞)
12 f1of 6356 . . . 4 (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞) → 𝐹:(0[,]1)⟶(0[,]+∞))
1311, 12ax-mp 5 . . 3 𝐹:(0[,]1)⟶(0[,]+∞)
14 xrge0iifhmeo.k . . . . 5 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
159, 14xrge0iifhom 30499 . . . 4 ((𝑦 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹𝑦) +𝑒 (𝐹𝑧)))
1615rgen2a 3158 . . 3 𝑦 ∈ (0[,]1)∀𝑧 ∈ (0[,]1)(𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹𝑦) +𝑒 (𝐹𝑧))
179, 14xrge0iif1 30500 . . 3 (𝐹‘1) = 0
1813, 16, 173pm3.2i 1439 . 2 (𝐹:(0[,]1)⟶(0[,]+∞) ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]1)∀𝑧 ∈ (0[,]1)(𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹𝑦) +𝑒 (𝐹𝑧)) ∧ (𝐹‘1) = 0)
19 unitsscn 30458 . . . 4 (0[,]1) ⊆ ℂ
20 eqid 2799 . . . . . 6 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
21 cnfldbas 20072 . . . . . 6 ℂ = (Base‘ℂfld)
2220, 21mgpbas 18811 . . . . 5 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
231, 22ressbas2 16256 . . . 4 ((0[,]1) ⊆ ℂ → (0[,]1) = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1))))
2419, 23ax-mp 5 . . 3 (0[,]1) = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)))
25 xrge0base 30201 . . 3 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
26 cnfldex 20071 . . . . 5 fld ∈ V
27 ovex 6910 . . . . 5 (0[,]1) ∈ V
28 eqid 2799 . . . . . 6 (ℂflds (0[,]1)) = (ℂflds (0[,]1))
2928, 20mgpress 18816 . . . . 5 ((ℂfld ∈ V ∧ (0[,]1) ∈ V) → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) = (mulGrp‘(ℂflds (0[,]1))))
3026, 27, 29mp2an 684 . . . 4 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) = (mulGrp‘(ℂflds (0[,]1)))
31 cnfldmul 20074 . . . . . 6 · = (.r‘ℂfld)
3228, 31ressmulr 16327 . . . . 5 ((0[,]1) ∈ V → · = (.r‘(ℂflds (0[,]1))))
3327, 32ax-mp 5 . . . 4 · = (.r‘(ℂflds (0[,]1)))
3430, 33mgpplusg 18809 . . 3 · = (+g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)))
35 xrge0plusg 30203 . . 3 +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
36 cnring 20090 . . . 4 fld ∈ Ring
37 1elunit 12543 . . . 4 1 ∈ (0[,]1)
38 cnfld1 20093 . . . . 5 1 = (1r‘ℂfld)
391, 21, 38ringidss 18893 . . . 4 ((ℂfld ∈ Ring ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → 1 = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1))))
4036, 19, 37, 39mp3an 1586 . . 3 1 = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)))
41 xrge00 30202 . . 3 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
4224, 25, 34, 35, 40, 41ismhm 17652 . 2 (𝐹 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) MndHom (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))) ↔ ((((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd) ∧ (𝐹:(0[,]1)⟶(0[,]+∞) ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]1)∀𝑧 ∈ (0[,]1)(𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹𝑦) +𝑒 (𝐹𝑧)) ∧ (𝐹‘1) = 0)))
438, 18, 42mpbir2an 703 1 𝐹 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) MndHom (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wral 3089  Vcvv 3385  wss 3769  ifcif 4277  cmpt 4922  ccnv 5311  wf 6097  1-1-ontowf1o 6100  cfv 6101  (class class class)co 6878  cc 10222  0cc0 10224  1c1 10225   · cmul 10229  +∞cpnf 10360  cle 10364  -cneg 10557   +𝑒 cxad 12191  [,]cicc 12427  expce 15128  Basecbs 16184  s cress 16185  .rcmulr 16268  t crest 16396  0gc0g 16415  ordTopcordt 16474  *𝑠cxrs 16475  Mndcmnd 17609   MndHom cmhm 17648  CMndccmn 18508  mulGrpcmgp 18805  Ringcrg 18863  fldccnfld 20068  TopMndctmd 22202  logclog 24642
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302  ax-addf 10303  ax-mulf 10304
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-of 7131  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-fi 8559  df-sup 8590  df-inf 8591  df-oi 8657  df-card 9051  df-cda 9278  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-q 12034  df-rp 12075  df-xneg 12193  df-xadd 12194  df-xmul 12195  df-ioo 12428  df-ioc 12429  df-ico 12430  df-icc 12431  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-fl 12848  df-mod 12924  df-seq 13056  df-exp 13115  df-fac 13314  df-bc 13343  df-hash 13371  df-shft 14148  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317  df-limsup 14543  df-clim 14560  df-rlim 14561  df-sum 14758  df-ef 15134  df-sin 15136  df-cos 15137  df-pi 15139  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-starv 16282  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-ip 16285  df-tset 16286  df-ple 16287  df-ds 16289  df-unif 16290  df-hom 16291  df-cco 16292  df-rest 16398  df-topn 16399  df-0g 16417  df-gsum 16418  df-topgen 16419  df-pt 16420  df-prds 16423  df-xrs 16477  df-qtop 16482  df-imas 16483  df-xps 16485  df-mre 16561  df-mrc 16562  df-acs 16564  df-plusf 17556  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-mhm 17650  df-submnd 17651  df-grp 17741  df-minusg 17742  df-sbg 17743  df-mulg 17857  df-subg 17904  df-cntz 18062  df-cmn 18510  df-abl 18511  df-mgp 18806  df-ur 18818  df-ring 18865  df-cring 18866  df-subrg 19096  df-abv 19135  df-lmod 19183  df-scaf 19184  df-sra 19495  df-rgmod 19496  df-psmet 20060  df-xmet 20061  df-met 20062  df-bl 20063  df-mopn 20064  df-fbas 20065  df-fg 20066  df-cnfld 20069  df-top 21027  df-topon 21044  df-topsp 21066  df-bases 21079  df-cld 21152  df-ntr 21153  df-cls 21154  df-nei 21231  df-lp 21269  df-perf 21270  df-cn 21360  df-cnp 21361  df-haus 21448  df-tx 21694  df-hmeo 21887  df-fil 21978  df-fm 22070  df-flim 22071  df-flf 22072  df-tmd 22204  df-tgp 22205  df-trg 22291  df-xms 22453  df-ms 22454  df-tms 22455  df-nm 22715  df-ngp 22716  df-nrg 22718  df-nlm 22719  df-cncf 23009  df-limc 23971  df-dv 23972  df-log 24644
This theorem is referenced by:  xrge0tmd  30508
  Copyright terms: Public domain W3C validator