Theorem xrge0iifmhm 34452

Description: The defined function from the closed unit interval to the extended nonnegative reals is a monoid homomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrge0iifhmeo.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
xrge0iifhmeo.k	⊢ 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
xrge0iifmhm	⊢ 𝐹 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) MndHom (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem xrge0iifmhm

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1))
2	1	iistmd 34415	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) ∈ TopMnd
3		tmdmnd 24304	. . . 4 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) ∈ TopMnd → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) ∈ Mnd)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) ∈ Mnd
5		xrge0cmn 21660	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
6		cmnmnd 19927	. . . 4 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
8	4, 7	pm3.2i 476	. 2 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
9		xrge0iifhmeo.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
10	9	xrge0iifcnv 34446	. . . . 5 ⊢ (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞) ∧ ◡𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑦 = +∞, 0, (exp‘-𝑦))))
11	10	simpli 489	. . . 4 ⊢ 𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞)
12		f1of 6818	. . . 4 ⊢ (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞) → 𝐹:(0[,]1)⟶(0[,]+∞))
13	11, 12	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝐹:(0[,]1)⟶(0[,]+∞)
14		xrge0iifhmeo.k	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
15	9, 14	xrge0iifhom 34450	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹‘𝑦) +𝑒 (𝐹‘𝑧)))
16	15	rgen2 3202	. . 3 ⊢ ∀𝑦 ∈ (0[,]1)∀𝑧 ∈ (0[,]1)(𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹‘𝑦) +𝑒 (𝐹‘𝑧))
17	9, 14	xrge0iif1 34451	. . 3 ⊢ (𝐹‘1) = 0
18	13, 16, 17	3pm3.2i 1358	. 2 ⊢ (𝐹:(0[,]1)⟶(0[,]+∞) ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]1)∀𝑧 ∈ (0[,]1)(𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹‘𝑦) +𝑒 (𝐹‘𝑧)) ∧ (𝐹‘1) = 0)
19		unitsscn 13556	. . . 4 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℂ
20		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
21		cnfldbas 21592	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
22	20, 21	mgpbas 20281	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
23	1, 22	ressbas2 17333	. . . 4 ⊢ ((0[,]1) ⊆ ℂ → (0[,]1) = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1))))
24	19, 23	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (0[,]1) = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)))
25		xrge0base 17696	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
26		cnfldex 21591	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ V
27		ovex 7447	. . . . 5 ⊢ (0[,]1) ∈ V
28		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld ↾s (0[,]1)) = (ℂfld ↾s (0[,]1))
29	28, 20	mgpress 20286	. . . . 5 ⊢ ((ℂfld ∈ V ∧ (0[,]1) ∈ V) → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) = (mulGrp‘(ℂfld ↾s (0[,]1))))
30	26, 27, 29	mp2an 705	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) = (mulGrp‘(ℂfld ↾s (0[,]1)))
31		cnfldmul 21596	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
32	28, 31	ressmulr 17395	. . . . 5 ⊢ ((0[,]1) ∈ V → · = (.r‘(ℂfld ↾s (0[,]1))))
33	27, 32	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ · = (.r‘(ℂfld ↾s (0[,]1)))
34	30, 33	mgpplusg 20280	. . 3 ⊢ · = (+g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)))
35		xrge0plusg 21655	. . 3 ⊢ +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
36		cnring 21610	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
37		1elunit 13526	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
38		cnfld1 21613	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
39	1, 21, 38	ringidss 20421	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Ring ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → 1 = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1))))
40	36, 19, 37, 39	mp3an 1490	. . 3 ⊢ 1 = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)))
41		xrge00 33457	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
42	24, 25, 34, 35, 40, 41	ismhm 18896	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) MndHom (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))) ↔ ((((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd) ∧ (𝐹:(0[,]1)⟶(0[,]+∞) ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]1)∀𝑧 ∈ (0[,]1)(𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹‘𝑦) +𝑒 (𝐹‘𝑧)) ∧ (𝐹‘1) = 0)))
43	8, 18, 42	mpbir2an 724	1 ⊢ 𝐹 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) MndHom (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899  ifcif 4482   ↦ cmpt 5186  ^◡ccnv 5654  ⟶wf 6529  –1-1-onto→wf1o 6532  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℂcc 11125  0cc0 11127  1c1 11128   · cmul 11132  +∞cpnf 11267   ≤ cle 11271  -cneg 11469   +_𝑒 cxad 13164  [,]cicc 13404  expce 16150  Basecbs 17304   ↾_s cress 17325  ._rcmulr 17346   ↾_t crest 17508  0_gc0g 17527  ordTopcordt 17588  ℝ^*_𝑠cxrs 17589  Mndcmnd 18839   MndHom cmhm 18892  CMndccmn 19910  mulGrpcmgp 20276  Ringcrg 20375  ℂ_fldccnfld 21588  TopMndctmd 24299  logclog 26794

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206  ax-mulf 11207

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13046  df-xneg 13166  df-xadd 13167  df-xmul 13168  df-ioo 13405  df-ioc 13406  df-ico 13407  df-icc 13408  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-fl 13856  df-mod 13934  df-seq 14069  df-exp 14129  df-fac 14341  df-bc 14370  df-hash 14398  df-shft 15143  df-cj 15189  df-re 15190  df-im 15191  df-sqrt 15325  df-abs 15326  df-limsup 15561  df-clim 15578  df-rlim 15579  df-sum 15777  df-ef 16156  df-sin 16158  df-cos 16159  df-pi 16161  df-struct 17242  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-mulr 17359  df-starv 17360  df-sca 17361  df-vsca 17362  df-ip 17363  df-tset 17364  df-ple 17365  df-ds 17367  df-unif 17368  df-hom 17369  df-cco 17370  df-rest 17510  df-topn 17511  df-0g 17529  df-gsum 17530  df-topgen 17531  df-pt 17532  df-prds 17535  df-xrs 17591  df-qtop 17596  df-imas 17597  df-xps 17599  df-mre 17673  df-mrc 17674  df-acs 17676  df-plusf 18732  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-mhm 18894  df-submnd 18895  df-grp 19063  df-minusg 19064  df-sbg 19065  df-mulg 19194  df-subg 19249  df-cntz 19447  df-cmn 19912  df-abl 19913  df-mgp 20277  df-rng 20291  df-ur 20324  df-ring 20377  df-cring 20378  df-subrng 20711  df-subrg 20735  df-abv 20978  df-lmod 21049  df-scaf 21050  df-sra 21360  df-rgmod 21361  df-psmet 21580  df-xmet 21581  df-met 21582  df-bl 21583  df-mopn 21584  df-fbas 21585  df-fg 21586  df-cnfld 21589  df-top 23122  df-topon 23139  df-topsp 23161  df-bases 23174  df-cld 23247  df-ntr 23248  df-cls 23249  df-nei 23326  df-lp 23364  df-perf 23365  df-cn 23455  df-cnp 23456  df-haus 23543  df-tx 23791  df-hmeo 23984  df-fil 24075  df-fm 24167  df-flim 24168  df-flf 24169  df-tmd 24301  df-tgp 24302  df-trg 24389  df-xms 24549  df-ms 24550  df-tms 24551  df-nm 24811  df-ngp 24812  df-nrg 24814  df-nlm 24815  df-cncf 25109  df-limc 26096  df-dv 26097  df-log 26796

This theorem is used by:  xrge0tmd  34458