Theorem xrge0iifmhm 33900

Description: The defined function from the closed unit interval to the extended nonnegative reals is a monoid homomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrge0iifhmeo.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
xrge0iifhmeo.k	⊢ 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
xrge0iifmhm	⊢ 𝐹 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) MndHom (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem xrge0iifmhm

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1))
2	1	iistmd 33863	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) ∈ TopMnd
3		tmdmnd 24099	. . . 4 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) ∈ TopMnd → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) ∈ Mnd)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) ∈ Mnd
5		xrge0cmn 21444	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
6		cmnmnd 19830	. . . 4 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
8	4, 7	pm3.2i 470	. 2 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
9		xrge0iifhmeo.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
10	9	xrge0iifcnv 33894	. . . . 5 ⊢ (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞) ∧ ◡𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑦 = +∞, 0, (exp‘-𝑦))))
11	10	simpli 483	. . . 4 ⊢ 𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞)
12		f1of 6849	. . . 4 ⊢ (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞) → 𝐹:(0[,]1)⟶(0[,]+∞))
13	11, 12	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝐹:(0[,]1)⟶(0[,]+∞)
14		xrge0iifhmeo.k	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
15	9, 14	xrge0iifhom 33898	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹‘𝑦) +𝑒 (𝐹‘𝑧)))
16	15	rgen2 3197	. . 3 ⊢ ∀𝑦 ∈ (0[,]1)∀𝑧 ∈ (0[,]1)(𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹‘𝑦) +𝑒 (𝐹‘𝑧))
17	9, 14	xrge0iif1 33899	. . 3 ⊢ (𝐹‘1) = 0
18	13, 16, 17	3pm3.2i 1338	. 2 ⊢ (𝐹:(0[,]1)⟶(0[,]+∞) ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]1)∀𝑧 ∈ (0[,]1)(𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹‘𝑦) +𝑒 (𝐹‘𝑧)) ∧ (𝐹‘1) = 0)
19		unitsscn 13537	. . . 4 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℂ
20		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
21		cnfldbas 21386	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
22	20, 21	mgpbas 20158	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
23	1, 22	ressbas2 17283	. . . 4 ⊢ ((0[,]1) ⊆ ℂ → (0[,]1) = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1))))
24	19, 23	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (0[,]1) = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)))
25		xrge0base 32999	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
26		cnfldex 21385	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ V
27		ovex 7464	. . . . 5 ⊢ (0[,]1) ∈ V
28		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld ↾s (0[,]1)) = (ℂfld ↾s (0[,]1))
29	28, 20	mgpress 20167	. . . . 5 ⊢ ((ℂfld ∈ V ∧ (0[,]1) ∈ V) → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) = (mulGrp‘(ℂfld ↾s (0[,]1))))
30	26, 27, 29	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) = (mulGrp‘(ℂfld ↾s (0[,]1)))
31		cnfldmul 21390	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
32	28, 31	ressmulr 17353	. . . . 5 ⊢ ((0[,]1) ∈ V → · = (.r‘(ℂfld ↾s (0[,]1))))
33	27, 32	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ · = (.r‘(ℂfld ↾s (0[,]1)))
34	30, 33	mgpplusg 20156	. . 3 ⊢ · = (+g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)))
35		xrge0plusg 33001	. . 3 ⊢ +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
36		cnring 21421	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
37		1elunit 13507	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
38		cnfld1 21424	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
39	1, 21, 38	ringidss 20291	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Ring ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → 1 = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1))))
40	36, 19, 37, 39	mp3an 1460	. . 3 ⊢ 1 = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)))
41		xrge00 33000	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
42	24, 25, 34, 35, 40, 41	ismhm 18811	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) MndHom (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))) ↔ ((((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd) ∧ (𝐹:(0[,]1)⟶(0[,]+∞) ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]1)∀𝑧 ∈ (0[,]1)(𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹‘𝑦) +𝑒 (𝐹‘𝑧)) ∧ (𝐹‘1) = 0)))
43	8, 18, 42	mpbir2an 711	1 ⊢ 𝐹 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) MndHom (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  Vcvv 3478   ⊆ wss 3963  ifcif 4531   ↦ cmpt 5231  ^◡ccnv 5688  ⟶wf 6559  –1-1-onto→wf1o 6562  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158  +∞cpnf 11290   ≤ cle 11294  -cneg 11491   +_𝑒 cxad 13150  [,]cicc 13387  expce 16094  Basecbs 17245   ↾_s cress 17274  ._rcmulr 17299   ↾_t crest 17467  0_gc0g 17486  ordTopcordt 17546  ℝ^*_𝑠cxrs 17547  Mndcmnd 18760   MndHom cmhm 18807  CMndccmn 19813  mulGrpcmgp 20152  Ringcrg 20251  ℂ_fldccnfld 21382  TopMndctmd 24094  logclog 26611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-plusf 18665  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-abv 20827  df-lmod 20877  df-scaf 20878  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-tmd 24096  df-tgp 24097  df-trg 24184  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-nm 24611  df-ngp 24612  df-nrg 24614  df-nlm 24615  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917  df-log 26613

This theorem is referenced by:  xrge0tmd  33906