Theorem xrge0iifmhm 31410

Description: The defined function from the closed unit interval to the extended nonnegative reals is a monoid homomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrge0iifhmeo.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
xrge0iifhmeo.k	⊢ 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
xrge0iifmhm	⊢ 𝐹 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) MndHom (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem xrge0iifmhm

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2758	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1))
2	1	iistmd 31373	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) ∈ TopMnd
3		tmdmnd 22775	. . . 4 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) ∈ TopMnd → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) ∈ Mnd)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) ∈ Mnd
5		xrge0cmn 20208	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
6		cmnmnd 18989	. . . 4 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
8	4, 7	pm3.2i 474	. 2 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
9		xrge0iifhmeo.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
10	9	xrge0iifcnv 31404	. . . . 5 ⊢ (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞) ∧ ◡𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑦 = +∞, 0, (exp‘-𝑦))))
11	10	simpli 487	. . . 4 ⊢ 𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞)
12		f1of 6602	. . . 4 ⊢ (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞) → 𝐹:(0[,]1)⟶(0[,]+∞))
13	11, 12	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝐹:(0[,]1)⟶(0[,]+∞)
14		xrge0iifhmeo.k	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
15	9, 14	xrge0iifhom 31408	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹‘𝑦) +𝑒 (𝐹‘𝑧)))
16	15	rgen2 3132	. . 3 ⊢ ∀𝑦 ∈ (0[,]1)∀𝑧 ∈ (0[,]1)(𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹‘𝑦) +𝑒 (𝐹‘𝑧))
17	9, 14	xrge0iif1 31409	. . 3 ⊢ (𝐹‘1) = 0
18	13, 16, 17	3pm3.2i 1336	. 2 ⊢ (𝐹:(0[,]1)⟶(0[,]+∞) ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]1)∀𝑧 ∈ (0[,]1)(𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹‘𝑦) +𝑒 (𝐹‘𝑧)) ∧ (𝐹‘1) = 0)
19		unitsscn 12932	. . . 4 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℂ
20		eqid 2758	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
21		cnfldbas 20170	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
22	20, 21	mgpbas 19313	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
23	1, 22	ressbas2 16613	. . . 4 ⊢ ((0[,]1) ⊆ ℂ → (0[,]1) = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1))))
24	19, 23	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (0[,]1) = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)))
25		xrge0base 30820	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
26		cnfldex 20169	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ V
27		ovex 7183	. . . . 5 ⊢ (0[,]1) ∈ V
28		eqid 2758	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld ↾s (0[,]1)) = (ℂfld ↾s (0[,]1))
29	28, 20	mgpress 19318	. . . . 5 ⊢ ((ℂfld ∈ V ∧ (0[,]1) ∈ V) → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) = (mulGrp‘(ℂfld ↾s (0[,]1))))
30	26, 27, 29	mp2an 691	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) = (mulGrp‘(ℂfld ↾s (0[,]1)))
31		cnfldmul 20172	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
32	28, 31	ressmulr 16683	. . . . 5 ⊢ ((0[,]1) ∈ V → · = (.r‘(ℂfld ↾s (0[,]1))))
33	27, 32	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ · = (.r‘(ℂfld ↾s (0[,]1)))
34	30, 33	mgpplusg 19311	. . 3 ⊢ · = (+g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)))
35		xrge0plusg 30822	. . 3 ⊢ +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
36		cnring 20188	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
37		1elunit 12902	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
38		cnfld1 20191	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
39	1, 21, 38	ringidss 19398	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Ring ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → 1 = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1))))
40	36, 19, 37, 39	mp3an 1458	. . 3 ⊢ 1 = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)))
41		xrge00 30821	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
42	24, 25, 34, 35, 40, 41	ismhm 18024	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) MndHom (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))) ↔ ((((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd) ∧ (𝐹:(0[,]1)⟶(0[,]+∞) ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]1)∀𝑧 ∈ (0[,]1)(𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹‘𝑦) +𝑒 (𝐹‘𝑧)) ∧ (𝐹‘1) = 0)))
43	8, 18, 42	mpbir2an 710	1 ⊢ 𝐹 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) MndHom (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))

Syntax hints:   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070  Vcvv 3409   ⊆ wss 3858  ifcif 4420   ↦ cmpt 5112  ^◡ccnv 5523  ⟶wf 6331  –1-1-onto→wf1o 6334  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  ℂcc 10573  0cc0 10575  1c1 10576   · cmul 10580  +∞cpnf 10710   ≤ cle 10714  -cneg 10909   +_𝑒 cxad 12546  [,]cicc 12782  expce 15463  Basecbs 16541   ↾_s cress 16542  ._rcmulr 16624   ↾_t crest 16752  0_gc0g 16771  ordTopcordt 16830  ℝ^*_𝑠cxrs 16831  Mndcmnd 17977   MndHom cmhm 18020  CMndccmn 18973  mulGrpcmgp 19307  Ringcrg 19365  ℂ_fldccnfld 20166  TopMndctmd 22770  logclog 25245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-inf2 9137  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653  ax-addf 10654  ax-mulf 10655

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-iin 4886  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-isom 6344  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7405  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-supp 7836  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-2o 8113  df-er 8299  df-map 8418  df-pm 8419  df-ixp 8480  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-fsupp 8867  df-fi 8908  df-sup 8939  df-inf 8940  df-oi 9007  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-z 12021  df-dec 12138  df-uz 12283  df-q 12389  df-rp 12431  df-xneg 12548  df-xadd 12549  df-xmul 12550  df-ioo 12783  df-ioc 12784  df-ico 12785  df-icc 12786  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-fl 13211  df-mod 13287  df-seq 13419  df-exp 13480  df-fac 13684  df-bc 13713  df-hash 13741  df-shft 14474  df-cj 14506  df-re 14507  df-im 14508  df-sqrt 14642  df-abs 14643  df-limsup 14876  df-clim 14893  df-rlim 14894  df-sum 15091  df-ef 15469  df-sin 15471  df-cos 15472  df-pi 15474  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-starv 16638  df-sca 16639  df-vsca 16640  df-ip 16641  df-tset 16642  df-ple 16643  df-ds 16645  df-unif 16646  df-hom 16647  df-cco 16648  df-rest 16754  df-topn 16755  df-0g 16773  df-gsum 16774  df-topgen 16775  df-pt 16776  df-prds 16779  df-xrs 16833  df-qtop 16838  df-imas 16839  df-xps 16841  df-mre 16915  df-mrc 16916  df-acs 16918  df-plusf 17917  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-mhm 18022  df-submnd 18023  df-grp 18172  df-minusg 18173  df-sbg 18174  df-mulg 18292  df-subg 18343  df-cntz 18514  df-cmn 18975  df-abl 18976  df-mgp 19308  df-ur 19320  df-ring 19367  df-cring 19368  df-subrg 19601  df-abv 19656  df-lmod 19704  df-scaf 19705  df-sra 20012  df-rgmod 20013  df-psmet 20158  df-xmet 20159  df-met 20160  df-bl 20161  df-mopn 20162  df-fbas 20163  df-fg 20164  df-cnfld 20167  df-top 21594  df-topon 21611  df-topsp 21633  df-bases 21646  df-cld 21719  df-ntr 21720  df-cls 21721  df-nei 21798  df-lp 21836  df-perf 21837  df-cn 21927  df-cnp 21928  df-haus 22015  df-tx 22262  df-hmeo 22455  df-fil 22546  df-fm 22638  df-flim 22639  df-flf 22640  df-tmd 22772  df-tgp 22773  df-trg 22860  df-xms 23022  df-ms 23023  df-tms 23024  df-nm 23284  df-ngp 23285  df-nrg 23287  df-nlm 23288  df-cncf 23579  df-limc 24565  df-dv 24566  df-log 25247

This theorem is referenced by:  xrge0tmd  31416