Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0iifmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0iifmhm 32907
Description: The defined function from the closed unit interval to the extended nonnegative reals is a monoid homomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0iifhmeo.1 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
xrge0iifhmeo.k 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
xrge0iifmhm 𝐹 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) MndHom (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
Distinct variable group:   𝑥,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem xrge0iifmhm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . . 5 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1))
21iistmd 32870 . . . 4 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) ∈ TopMnd
3 tmdmnd 23570 . . . 4 (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) ∈ TopMnd → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) ∈ Mnd)
42, 3ax-mp 5 . . 3 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) ∈ Mnd
5 xrge0cmn 20979 . . . 4 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
6 cmnmnd 19659 . . . 4 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
75, 6ax-mp 5 . . 3 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
84, 7pm3.2i 471 . 2 (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
9 xrge0iifhmeo.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
109xrge0iifcnv 32901 . . . . 5 (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞) ∧ 𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑦 = +∞, 0, (exp‘-𝑦))))
1110simpli 484 . . . 4 𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞)
12 f1of 6830 . . . 4 (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞) → 𝐹:(0[,]1)⟶(0[,]+∞))
1311, 12ax-mp 5 . . 3 𝐹:(0[,]1)⟶(0[,]+∞)
14 xrge0iifhmeo.k . . . . 5 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
159, 14xrge0iifhom 32905 . . . 4 ((𝑦 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹𝑦) +𝑒 (𝐹𝑧)))
1615rgen2 3197 . . 3 𝑦 ∈ (0[,]1)∀𝑧 ∈ (0[,]1)(𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹𝑦) +𝑒 (𝐹𝑧))
179, 14xrge0iif1 32906 . . 3 (𝐹‘1) = 0
1813, 16, 173pm3.2i 1339 . 2 (𝐹:(0[,]1)⟶(0[,]+∞) ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]1)∀𝑧 ∈ (0[,]1)(𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹𝑦) +𝑒 (𝐹𝑧)) ∧ (𝐹‘1) = 0)
19 unitsscn 13473 . . . 4 (0[,]1) ⊆ ℂ
20 eqid 2732 . . . . . 6 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
21 cnfldbas 20940 . . . . . 6 ℂ = (Base‘ℂfld)
2220, 21mgpbas 19987 . . . . 5 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
231, 22ressbas2 17178 . . . 4 ((0[,]1) ⊆ ℂ → (0[,]1) = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1))))
2419, 23ax-mp 5 . . 3 (0[,]1) = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)))
25 xrge0base 32173 . . 3 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
26 cnfldex 20939 . . . . 5 fld ∈ V
27 ovex 7438 . . . . 5 (0[,]1) ∈ V
28 eqid 2732 . . . . . 6 (ℂflds (0[,]1)) = (ℂflds (0[,]1))
2928, 20mgpress 19996 . . . . 5 ((ℂfld ∈ V ∧ (0[,]1) ∈ V) → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) = (mulGrp‘(ℂflds (0[,]1))))
3026, 27, 29mp2an 690 . . . 4 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) = (mulGrp‘(ℂflds (0[,]1)))
31 cnfldmul 20942 . . . . . 6 · = (.r‘ℂfld)
3228, 31ressmulr 17248 . . . . 5 ((0[,]1) ∈ V → · = (.r‘(ℂflds (0[,]1))))
3327, 32ax-mp 5 . . . 4 · = (.r‘(ℂflds (0[,]1)))
3430, 33mgpplusg 19985 . . 3 · = (+g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)))
35 xrge0plusg 32175 . . 3 +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
36 cnring 20959 . . . 4 fld ∈ Ring
37 1elunit 13443 . . . 4 1 ∈ (0[,]1)
38 cnfld1 20962 . . . . 5 1 = (1r‘ℂfld)
391, 21, 38ringidss 20087 . . . 4 ((ℂfld ∈ Ring ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → 1 = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1))))
4036, 19, 37, 39mp3an 1461 . . 3 1 = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)))
41 xrge00 32174 . . 3 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
4224, 25, 34, 35, 40, 41ismhm 18669 . 2 (𝐹 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) MndHom (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))) ↔ ((((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd) ∧ (𝐹:(0[,]1)⟶(0[,]+∞) ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]1)∀𝑧 ∈ (0[,]1)(𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹𝑦) +𝑒 (𝐹𝑧)) ∧ (𝐹‘1) = 0)))
438, 18, 42mpbir2an 709 1 𝐹 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) MndHom (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3061  Vcvv 3474  wss 3947  ifcif 4527  cmpt 5230  ccnv 5674  wf 6536  1-1-ontowf1o 6539  cfv 6540  (class class class)co 7405  cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   · cmul 11111  +∞cpnf 11241  cle 11245  -cneg 11441   +𝑒 cxad 13086  [,]cicc 13323  expce 16001  Basecbs 17140  s cress 17169  .rcmulr 17194  t crest 17362  0gc0g 17381  ordTopcordt 17441  *𝑠cxrs 17442  Mndcmnd 18621   MndHom cmhm 18665  CMndccmn 19642  mulGrpcmgp 19981  Ringcrg 20049  fldccnfld 20936  TopMndctmd 23565  logclog 26054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-plusf 18556  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-subrg 20353  df-abv 20417  df-lmod 20465  df-scaf 20466  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-tmd 23567  df-tgp 23568  df-trg 23655  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-nm 24082  df-ngp 24083  df-nrg 24085  df-nlm 24086  df-cncf 24385  df-limc 25374  df-dv 25375  df-log 26056
This theorem is referenced by:  xrge0tmd  32913
  Copyright terms: Public domain W3C validator