Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0iifmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0iifmhm 33408
Description: The defined function from the closed unit interval to the extended nonnegative reals is a monoid homomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0iifhmeo.1 𝐹 = (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ = 0, +∞, -(logβ€˜π‘₯)))
xrge0iifhmeo.k 𝐽 = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
xrge0iifmhm 𝐹 ∈ (((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (0[,]1)) MndHom (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
Distinct variable group:   π‘₯,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐽(π‘₯)

Proof of Theorem xrge0iifmhm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2724 . . . . 5 ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (0[,]1)) = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (0[,]1))
21iistmd 33371 . . . 4 ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (0[,]1)) ∈ TopMnd
3 tmdmnd 23901 . . . 4 (((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (0[,]1)) ∈ TopMnd β†’ ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (0[,]1)) ∈ Mnd)
42, 3ax-mp 5 . . 3 ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (0[,]1)) ∈ Mnd
5 xrge0cmn 21271 . . . 4 (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ CMnd
6 cmnmnd 19707 . . . 4 ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ CMnd β†’ (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
75, 6ax-mp 5 . . 3 (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ Mnd
84, 7pm3.2i 470 . 2 (((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (0[,]1)) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
9 xrge0iifhmeo.1 . . . . . 6 𝐹 = (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ = 0, +∞, -(logβ€˜π‘₯)))
109xrge0iifcnv 33402 . . . . 5 (𝐹:(0[,]1)–1-1-ontoβ†’(0[,]+∞) ∧ ◑𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑦 = +∞, 0, (expβ€˜-𝑦))))
1110simpli 483 . . . 4 𝐹:(0[,]1)–1-1-ontoβ†’(0[,]+∞)
12 f1of 6823 . . . 4 (𝐹:(0[,]1)–1-1-ontoβ†’(0[,]+∞) β†’ 𝐹:(0[,]1)⟢(0[,]+∞))
1311, 12ax-mp 5 . . 3 𝐹:(0[,]1)⟢(0[,]+∞)
14 xrge0iifhmeo.k . . . . 5 𝐽 = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞))
159, 14xrge0iifhom 33406 . . . 4 ((𝑦 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) β†’ (πΉβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = ((πΉβ€˜π‘¦) +𝑒 (πΉβ€˜π‘§)))
1615rgen2 3189 . . 3 βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘§ ∈ (0[,]1)(πΉβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = ((πΉβ€˜π‘¦) +𝑒 (πΉβ€˜π‘§))
179, 14xrge0iif1 33407 . . 3 (πΉβ€˜1) = 0
1813, 16, 173pm3.2i 1336 . 2 (𝐹:(0[,]1)⟢(0[,]+∞) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘§ ∈ (0[,]1)(πΉβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = ((πΉβ€˜π‘¦) +𝑒 (πΉβ€˜π‘§)) ∧ (πΉβ€˜1) = 0)
19 unitsscn 13474 . . . 4 (0[,]1) βŠ† β„‚
20 eqid 2724 . . . . . 6 (mulGrpβ€˜β„‚fld) = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
21 cnfldbas 21232 . . . . . 6 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
2220, 21mgpbas 20035 . . . . 5 β„‚ = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
231, 22ressbas2 17181 . . . 4 ((0[,]1) βŠ† β„‚ β†’ (0[,]1) = (Baseβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (0[,]1))))
2419, 23ax-mp 5 . . 3 (0[,]1) = (Baseβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (0[,]1)))
25 xrge0base 32651 . . 3 (0[,]+∞) = (Baseβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
26 cnfldex 21231 . . . . 5 β„‚fld ∈ V
27 ovex 7434 . . . . 5 (0[,]1) ∈ V
28 eqid 2724 . . . . . 6 (β„‚fld β†Ύs (0[,]1)) = (β„‚fld β†Ύs (0[,]1))
2928, 20mgpress 20044 . . . . 5 ((β„‚fld ∈ V ∧ (0[,]1) ∈ V) β†’ ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (0[,]1)) = (mulGrpβ€˜(β„‚fld β†Ύs (0[,]1))))
3026, 27, 29mp2an 689 . . . 4 ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (0[,]1)) = (mulGrpβ€˜(β„‚fld β†Ύs (0[,]1)))
31 cnfldmul 21234 . . . . . 6 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
3228, 31ressmulr 17251 . . . . 5 ((0[,]1) ∈ V β†’ Β· = (.rβ€˜(β„‚fld β†Ύs (0[,]1))))
3327, 32ax-mp 5 . . . 4 Β· = (.rβ€˜(β„‚fld β†Ύs (0[,]1)))
3430, 33mgpplusg 20033 . . 3 Β· = (+gβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (0[,]1)))
35 xrge0plusg 32653 . . 3 +𝑒 = (+gβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
36 cnring 21251 . . . 4 β„‚fld ∈ Ring
37 1elunit 13444 . . . 4 1 ∈ (0[,]1)
38 cnfld1 21254 . . . . 5 1 = (1rβ€˜β„‚fld)
391, 21, 38ringidss 20166 . . . 4 ((β„‚fld ∈ Ring ∧ (0[,]1) βŠ† β„‚ ∧ 1 ∈ (0[,]1)) β†’ 1 = (0gβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (0[,]1))))
4036, 19, 37, 39mp3an 1457 . . 3 1 = (0gβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (0[,]1)))
41 xrge00 32652 . . 3 0 = (0gβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
4224, 25, 34, 35, 40, 41ismhm 18705 . 2 (𝐹 ∈ (((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (0[,]1)) MndHom (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))) ↔ ((((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (0[,]1)) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ Mnd) ∧ (𝐹:(0[,]1)⟢(0[,]+∞) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘§ ∈ (0[,]1)(πΉβ€˜(𝑦 Β· 𝑧)) = ((πΉβ€˜π‘¦) +𝑒 (πΉβ€˜π‘§)) ∧ (πΉβ€˜1) = 0)))
438, 18, 42mpbir2an 708 1 𝐹 ∈ (((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (0[,]1)) MndHom (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  Vcvv 3466   βŠ† wss 3940  ifcif 4520   ↦ cmpt 5221  β—‘ccnv 5665  βŸΆwf 6529  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6532  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  β„‚cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   Β· cmul 11111  +∞cpnf 11242   ≀ cle 11246  -cneg 11442   +𝑒 cxad 13087  [,]cicc 13324  expce 16002  Basecbs 17143   β†Ύs cress 17172  .rcmulr 17197   β†Ύt crest 17365  0gc0g 17384  ordTopcordt 17444  β„*𝑠cxrs 17445  Mndcmnd 18657   MndHom cmhm 18701  CMndccmn 19690  mulGrpcmgp 20029  Ringcrg 20128  β„‚fldccnfld 21228  TopMndctmd 23896  logclog 26405
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ioc 13326  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15412  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-ef 16008  df-sin 16010  df-cos 16011  df-pi 16013  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-plusf 18562  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18703  df-submnd 18704  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-sbg 18858  df-mulg 18986  df-subg 19040  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-subrng 20436  df-subrg 20461  df-abv 20650  df-lmod 20698  df-scaf 20699  df-sra 21011  df-rgmod 21012  df-psmet 21220  df-xmet 21221  df-met 21222  df-bl 21223  df-mopn 21224  df-fbas 21225  df-fg 21226  df-cnfld 21229  df-top 22718  df-topon 22735  df-topsp 22757  df-bases 22771  df-cld 22845  df-ntr 22846  df-cls 22847  df-nei 22924  df-lp 22962  df-perf 22963  df-cn 23053  df-cnp 23054  df-haus 23141  df-tx 23388  df-hmeo 23581  df-fil 23672  df-fm 23764  df-flim 23765  df-flf 23766  df-tmd 23898  df-tgp 23899  df-trg 23986  df-xms 24148  df-ms 24149  df-tms 24150  df-nm 24413  df-ngp 24414  df-nrg 24416  df-nlm 24417  df-cncf 24720  df-limc 25717  df-dv 25718  df-log 26407
This theorem is referenced by:  xrge0tmd  33414
  Copyright terms: Public domain W3C validator