Theorem xrge0iifmhm 33952

Description: The defined function from the closed unit interval to the extended nonnegative reals is a monoid homomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrge0iifhmeo.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
xrge0iifhmeo.k	⊢ 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
xrge0iifmhm	⊢ 𝐹 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) MndHom (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem xrge0iifmhm

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1))
2	1	iistmd 33915	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) ∈ TopMnd
3		tmdmnd 23990	. . . 4 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) ∈ TopMnd → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) ∈ Mnd)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) ∈ Mnd
5		xrge0cmn 21381	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
6		cmnmnd 19709	. . . 4 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
8	4, 7	pm3.2i 470	. 2 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
9		xrge0iifhmeo.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
10	9	xrge0iifcnv 33946	. . . . 5 ⊢ (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞) ∧ ◡𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑦 = +∞, 0, (exp‘-𝑦))))
11	10	simpli 483	. . . 4 ⊢ 𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞)
12		f1of 6763	. . . 4 ⊢ (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞) → 𝐹:(0[,]1)⟶(0[,]+∞))
13	11, 12	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝐹:(0[,]1)⟶(0[,]+∞)
14		xrge0iifhmeo.k	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
15	9, 14	xrge0iifhom 33950	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹‘𝑦) +𝑒 (𝐹‘𝑧)))
16	15	rgen2 3172	. . 3 ⊢ ∀𝑦 ∈ (0[,]1)∀𝑧 ∈ (0[,]1)(𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹‘𝑦) +𝑒 (𝐹‘𝑧))
17	9, 14	xrge0iif1 33951	. . 3 ⊢ (𝐹‘1) = 0
18	13, 16, 17	3pm3.2i 1340	. 2 ⊢ (𝐹:(0[,]1)⟶(0[,]+∞) ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]1)∀𝑧 ∈ (0[,]1)(𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹‘𝑦) +𝑒 (𝐹‘𝑧)) ∧ (𝐹‘1) = 0)
19		unitsscn 13400	. . . 4 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℂ
20		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
21		cnfldbas 21295	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
22	20, 21	mgpbas 20063	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
23	1, 22	ressbas2 17149	. . . 4 ⊢ ((0[,]1) ⊆ ℂ → (0[,]1) = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1))))
24	19, 23	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (0[,]1) = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)))
25		xrge0base 17511	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
26		cnfldex 21294	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ V
27		ovex 7379	. . . . 5 ⊢ (0[,]1) ∈ V
28		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld ↾s (0[,]1)) = (ℂfld ↾s (0[,]1))
29	28, 20	mgpress 20068	. . . . 5 ⊢ ((ℂfld ∈ V ∧ (0[,]1) ∈ V) → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) = (mulGrp‘(ℂfld ↾s (0[,]1))))
30	26, 27, 29	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) = (mulGrp‘(ℂfld ↾s (0[,]1)))
31		cnfldmul 21299	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
32	28, 31	ressmulr 17211	. . . . 5 ⊢ ((0[,]1) ∈ V → · = (.r‘(ℂfld ↾s (0[,]1))))
33	27, 32	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ · = (.r‘(ℂfld ↾s (0[,]1)))
34	30, 33	mgpplusg 20062	. . 3 ⊢ · = (+g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)))
35		xrge0plusg 21376	. . 3 ⊢ +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
36		cnring 21327	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
37		1elunit 13370	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
38		cnfld1 21330	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
39	1, 21, 38	ringidss 20195	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Ring ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → 1 = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1))))
40	36, 19, 37, 39	mp3an 1463	. . 3 ⊢ 1 = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)))
41		xrge00 32995	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
42	24, 25, 34, 35, 40, 41	ismhm 18693	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) MndHom (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))) ↔ ((((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd) ∧ (𝐹:(0[,]1)⟶(0[,]+∞) ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]1)∀𝑧 ∈ (0[,]1)(𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹‘𝑦) +𝑒 (𝐹‘𝑧)) ∧ (𝐹‘1) = 0)))
43	8, 18, 42	mpbir2an 711	1 ⊢ 𝐹 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) MndHom (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897  ifcif 4472   ↦ cmpt 5170  ^◡ccnv 5613  ⟶wf 6477  –1-1-onto→wf1o 6480  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  0cc0 11006  1c1 11007   · cmul 11011  +∞cpnf 11143   ≤ cle 11147  -cneg 11345   +_𝑒 cxad 13009  [,]cicc 13248  expce 15968  Basecbs 17120   ↾_s cress 17141  ._rcmulr 17162   ↾_t crest 17324  0_gc0g 17343  ordTopcordt 17403  ℝ^*_𝑠cxrs 17404  Mndcmnd 18642   MndHom cmhm 18689  CMndccmn 19692  mulGrpcmgp 20058  Ringcrg 20151  ℂ_fldccnfld 21291  TopMndctmd 23985  logclog 26490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084  ax-addf 11085  ax-mulf 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-ioo 13249  df-ioc 13250  df-ico 13251  df-icc 13252  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14974  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-limsup 15378  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-ef 15974  df-sin 15976  df-cos 15977  df-pi 15979  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-plusf 18547  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mhm 18691  df-submnd 18692  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-mulg 18981  df-subg 19036  df-cntz 19229  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-rng 20071  df-ur 20100  df-ring 20153  df-cring 20154  df-subrng 20461  df-subrg 20485  df-abv 20724  df-lmod 20795  df-scaf 20796  df-sra 21107  df-rgmod 21108  df-psmet 21283  df-xmet 21284  df-met 21285  df-bl 21286  df-mopn 21287  df-fbas 21288  df-fg 21289  df-cnfld 21292  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22861  df-cld 22934  df-ntr 22935  df-cls 22936  df-nei 23013  df-lp 23051  df-perf 23052  df-cn 23142  df-cnp 23143  df-haus 23230  df-tx 23477  df-hmeo 23670  df-fil 23761  df-fm 23853  df-flim 23854  df-flf 23855  df-tmd 23987  df-tgp 23988  df-trg 24075  df-xms 24235  df-ms 24236  df-tms 24237  df-nm 24497  df-ngp 24498  df-nrg 24500  df-nlm 24501  df-cncf 24798  df-limc 25794  df-dv 25795  df-log 26492

This theorem is referenced by:  xrge0tmd  33958