Theorem esumcst 31432

Description: The extended sum of a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 5-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumcst.1	⊢ Ⅎ𝑘𝐴
esumcst.2	⊢ Ⅎ𝑘𝐵

Assertion

Ref	Expression
esumcst	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))

Distinct variable group:   𝑘,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esumcst

Dummy variables 𝑎 𝑙 𝑛 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esumcst.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
2	1	nfel1 2971	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘 𝐴 ∈ 𝑉
3		esumcst.2	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
4	3	nfel1 2971	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘 𝐵 ∈ (0[,]+∞)
5	2, 4	nfan 1900	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
6		simpl 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
7		simplr 768	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
8		xrge0tmd 31298	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopMnd
9		tmdmnd 22680	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopMnd → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
12		inss2 4156	. . . . . 6 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ Fin
13		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
14	12, 13	sseldi 3913	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
15		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
16		xrge0base 30719	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
17		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (.g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))) = (.g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
18	3, 16, 17	gsumconstf 19048	. . . . 5 ⊢ (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) = ((♯‘𝑥)(.g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))𝐵))
19	11, 14, 15, 18	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) = ((♯‘𝑥)(.g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))𝐵))
20		hashcl 13713	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
21	14, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
22		xrge0mulgnn0 30723	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑥) ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ((♯‘𝑥)(.g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))𝐵) = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
23	21, 15, 22	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((♯‘𝑥)(.g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))𝐵) = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
24	19, 23	eqtrd 2833	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
25	5, 1, 6, 7, 24	esumval 31415	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)), ℝ*, < ))
26		nn0ssre 11889	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
27		ressxr 10674	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
28	26, 27	sstri 3924	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ*
29		pnfxr 10684	. . . . . . . . . 10 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
30		snssi 4701	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → {+∞} ⊆ ℝ*)
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ {+∞} ⊆ ℝ*
32	28, 31	unssi 4112	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 ∪ {+∞}) ⊆ ℝ*
33		hashf 13694	. . . . . . . . 9 ⊢ ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
34		vex 3444	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
35		ffvelrn 6826	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) ∧ 𝑥 ∈ V) → (♯‘𝑥) ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}))
36	33, 34, 35	mp2an 691	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘𝑥) ∈ (ℕ0 ∪ {+∞})
37	32, 36	sselii 3912	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘𝑥) ∈ ℝ*
38	37	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (♯‘𝑥) ∈ ℝ*)
39		iccssxr 12808	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
40		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
41	39, 40	sseldi 3913	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
42	41	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
43	38, 42	xmulcld 12683	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ∈ ℝ*)
44	43	fmpttd 6856	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶ℝ*)
45	44	frnd 6494	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ⊆ ℝ*)
46		hashxrcl 13714	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)
47	46	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)
48	47, 41	xmulcld 12683	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ℝ*)
49		vex 3444	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
50		eqid 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
51	50	elrnmpt 5792	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)))
52	49, 51	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
53	52	biimpi 219	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
54	47	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)
55		0xr 10677	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
56	55	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 0 ∈ ℝ*)
57	29	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → +∞ ∈ ℝ*)
58		iccgelb 12781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐵)
59	56, 57, 15, 58	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 0 ≤ 𝐵)
60	42, 59	jca 515	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵))
61	6	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
62		inss1 4155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐴
63	62	sseli 3911	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
64		elpwi 4506	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 → 𝑥 ⊆ 𝐴)
65	13, 63, 64	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
66		ssdomg 8538	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 ≼ 𝐴))
67	61, 65, 66	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ≼ 𝐴)
68		hashdomi 13737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≼ 𝐴 → (♯‘𝑥) ≤ (♯‘𝐴))
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (♯‘𝑥) ≤ (♯‘𝐴))
70		xlemul1a 12669	. . . . . . . 8 ⊢ ((((♯‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (♯‘𝑥) ≤ (♯‘𝐴)) → ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
71	38, 54, 60, 69, 70	syl31anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
72	71	ralrimiva 3149	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
73		r19.29r 3217	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ∧ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)))
74	53, 72, 73	syl2anr 599	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ∧ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)))
75		simpl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ∧ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) → 𝑦 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
76		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ∧ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) → ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
77	75, 76	eqbrtrd 5052	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ∧ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) → 𝑦 ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
78	77	rexlimivw 3241	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ∧ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) → 𝑦 ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
79	74, 78	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))) → 𝑦 ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
80	79	ralrimiva 3149	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ∀𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
81		pwidg 4519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
82	81	ancri 553	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin))
83		elin 3897	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝐴 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin))
84	82, 83	sylibr 237	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
85		eqid 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) = ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)
86		fveq2 6645	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝐴))
87	86	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) = ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
88	87	rspceeqv 3586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) = ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((♯‘𝐴) ·e 𝐵) = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
89	85, 88	mpan2 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((♯‘𝐴) ·e 𝐵) = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
90		ovex 7168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ V
91	50	elrnmpt 5792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ V → (((♯‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((♯‘𝐴) ·e 𝐵) = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)))
92	90, 91	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((♯‘𝐴) ·e 𝐵) = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
93	89, 92	sylibr 237	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)))
94	84, 93	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)))
95	94	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)))
96		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
97		breq2 5034	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) → (𝑦 < 𝑧 ↔ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)))
98	97	rspcev 3571	. . . . . . 7 ⊢ ((((♯‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
99	95, 96, 98	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
100		0elpw 5221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝐴
101		0fin 8730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ Fin
102		elin 3897	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (∅ ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ∅ ∈ Fin))
103	100, 101, 102	mpbir2an 710	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
104	103	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
105		simpr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 = 0)
106	105	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → ((♯‘∅) ·e 𝐵) = ((♯‘∅) ·e 0))
107		hash0 13724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (♯‘∅) = 0
108	107, 55	eqeltri 2886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (♯‘∅) ∈ ℝ*
109		xmul01 12648	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘∅) ∈ ℝ* → ((♯‘∅) ·e 0) = 0)
110	108, 109	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘∅) ·e 0) = 0
111	106, 110	eqtr2di 2850	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → 0 = ((♯‘∅) ·e 𝐵))
112		fveq2 6645	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ∅ → (♯‘𝑥) = (♯‘∅))
113	112	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) = ((♯‘∅) ·e 𝐵))
114	113	rspceeqv 3586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 0 = ((♯‘∅) ·e 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)0 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
115	104, 111, 114	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)0 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
116		ovex 7168	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ∈ V
117	50, 116	elrnmpti 5796	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)0 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
118	115, 117	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → 0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)))
119		simpllr 775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
120	105	oveq2d 7151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) = ((♯‘𝐴) ·e 0))
121	47	ad4antr 731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)
122		xmul01 12648	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℝ* → ((♯‘𝐴) ·e 0) = 0)
123	121, 122	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → ((♯‘𝐴) ·e 0) = 0)
124	120, 123	eqtrd 2833	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) = 0)
125	119, 124	breqtrd 5056	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → 𝑦 < 0)
126		breq2 5034	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑦 < 𝑧 ↔ 𝑦 < 0))
127	126	rspcev 3571	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ∧ 𝑦 < 0) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
128	118, 125, 127	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
129		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴)
130		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → (♯‘𝑎) = 𝑛)
131		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → 𝑛 ∈ ℕ)
132	130, 131	eqeltrd 2890	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → (♯‘𝑎) ∈ ℕ)
133		nnnn0 11892	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑎) ∈ ℕ → (♯‘𝑎) ∈ ℕ0)
134		vex 3444	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑎 ∈ V
135		hashclb 13715	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 ∈ V → (𝑎 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑎) ∈ ℕ0))
136	134, 135	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑎) ∈ ℕ0)
137	133, 136	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑎) ∈ ℕ → 𝑎 ∈ Fin)
138	132, 137	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → 𝑎 ∈ Fin)
139	129, 138	elind 4121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
140		eqidd 2799	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → ((♯‘𝑎) ·e 𝐵) = ((♯‘𝑎) ·e 𝐵))
141		fveq2 6645	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝑎))
142	141	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) = ((♯‘𝑎) ·e 𝐵))
143	142	rspceeqv 3586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ ((♯‘𝑎) ·e 𝐵) = ((♯‘𝑎) ·e 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((♯‘𝑎) ·e 𝐵) = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
144	139, 140, 143	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((♯‘𝑎) ·e 𝐵) = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
145	50, 116	elrnmpti 5796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝑎) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((♯‘𝑎) ·e 𝐵) = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
146	144, 145	sylibr 237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → ((♯‘𝑎) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)))
147		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → (𝑦 / 𝐵) < 𝑛)
148		simp-8r 791	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → 𝑦 ∈ ℝ)
149	131	nnred 11640	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → 𝑛 ∈ ℝ)
150		simp-5r 785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → 𝐵 ∈ ℝ+)
151	148, 149, 150	ltdivmul2d 12471	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → ((𝑦 / 𝐵) < 𝑛 ↔ 𝑦 < (𝑛 · 𝐵)))
152	147, 151	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → 𝑦 < (𝑛 · 𝐵))
153	130	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → ((♯‘𝑎) ·e 𝐵) = (𝑛 ·e 𝐵))
154	150	rpred 12419	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → 𝐵 ∈ ℝ)
155		rexmul 12652	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑛 ·e 𝐵) = (𝑛 · 𝐵))
156	149, 154, 155	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → (𝑛 ·e 𝐵) = (𝑛 · 𝐵))
157	153, 156	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → ((♯‘𝑎) ·e 𝐵) = (𝑛 · 𝐵))
158	152, 157	breqtrrd 5058	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → 𝑦 < ((♯‘𝑎) ·e 𝐵))
159		breq2 5034	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = ((♯‘𝑎) ·e 𝐵) → (𝑦 < 𝑧 ↔ 𝑦 < ((♯‘𝑎) ·e 𝐵)))
160	159	rspcev 3571	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((♯‘𝑎) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝑎) ·e 𝐵)) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
161	146, 158, 160	syl2anc 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
162	161	rexlimdva2 3246	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) → (∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑎) = 𝑛 → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧))
163	162	impr 458	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ((𝑦 / 𝐵) < 𝑛 ∧ ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑎) = 𝑛)) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
164		simp-4r 783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ)
165		simpr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
166	164, 165	rerpdivcld 12450	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ)
167		arch 11882	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛)
168	166, 167	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛)
169		ishashinf 13817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑎) = 𝑛)
170	169	ad2antlr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑎) = 𝑛)
171		r19.29r 3217	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∃𝑛 ∈ ℕ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑎) = 𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 / 𝐵) < 𝑛 ∧ ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑎) = 𝑛))
172	168, 170, 171	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 / 𝐵) < 𝑛 ∧ ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑎) = 𝑛))
173	163, 172	r19.29a 3248	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
174		nfielex 8731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑙 𝑙 ∈ 𝐴)
175	174	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) → ∃𝑙 𝑙 ∈ 𝐴)
176		snelpwi 5302	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑙 ∈ 𝐴 → {𝑙} ∈ 𝒫 𝐴)
177		snfi 8577	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑙} ∈ Fin
178	176, 177	jctir 524	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑙 ∈ 𝐴 → ({𝑙} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ {𝑙} ∈ Fin))
179		elin 3897	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑙} ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ ({𝑙} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ {𝑙} ∈ Fin))
180	178, 179	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑙 ∈ 𝐴 → {𝑙} ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
181	180	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → {𝑙} ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
182		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → 𝐵 = +∞)
183	182	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → ((♯‘{𝑙}) ·e 𝐵) = ((♯‘{𝑙}) ·e +∞))
184		hashsng 13726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑙 ∈ 𝐴 → (♯‘{𝑙}) = 1)
185		1re 10630	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℝ
186	27, 185	sselii 3912	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℝ*
187	184, 186	eqeltrdi 2898	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑙 ∈ 𝐴 → (♯‘{𝑙}) ∈ ℝ*)
188		0lt1 11151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 < 1
189	188, 184	breqtrrid 5068	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑙 ∈ 𝐴 → 0 < (♯‘{𝑙}))
190		xmulpnf1 12655	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((♯‘{𝑙}) ∈ ℝ* ∧ 0 < (♯‘{𝑙})) → ((♯‘{𝑙}) ·e +∞) = +∞)
191	187, 189, 190	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑙 ∈ 𝐴 → ((♯‘{𝑙}) ·e +∞) = +∞)
192	191	adantl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → ((♯‘{𝑙}) ·e +∞) = +∞)
193	183, 192	eqtr2d 2834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → +∞ = ((♯‘{𝑙}) ·e 𝐵))
194		fveq2 6645	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = {𝑙} → (♯‘𝑥) = (♯‘{𝑙}))
195	194	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = {𝑙} → ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) = ((♯‘{𝑙}) ·e 𝐵))
196	195	rspceeqv 3586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (({𝑙} ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ +∞ = ((♯‘{𝑙}) ·e 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)+∞ = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
197	181, 193, 196	syl2anc 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)+∞ = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
198	175, 197	exlimddv 1936	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)+∞ = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
199	198	adantll 713	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = +∞) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)+∞ = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
200	50, 116	elrnmpti 5796	. . . . . . . . 9 ⊢ (+∞ ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)+∞ = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
201	199, 200	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = +∞) → +∞ ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)))
202		simp-4r 783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝑦 ∈ ℝ)
203		ltpnf 12503	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 < +∞)
204	202, 203	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝑦 < +∞)
205		breq2 5034	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = +∞ → (𝑦 < 𝑧 ↔ 𝑦 < +∞))
206	205	rspcev 3571	. . . . . . . 8 ⊢ ((+∞ ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ∧ 𝑦 < +∞) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
207	201, 204, 206	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = +∞) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
208		simp-4r 783	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
209		elxrge02 30634	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐵 = 0 ∨ 𝐵 ∈ ℝ+ ∨ 𝐵 = +∞))
210	208, 209	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐵 = 0 ∨ 𝐵 ∈ ℝ+ ∨ 𝐵 = +∞))
211	128, 173, 207, 210	mpjao3dan 1428	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
212	99, 211	pm2.61dan 812	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
213	212	ex 416	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧))
214	213	ralrimiva 3149	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧))
215		supxr2 12695	. . 3 ⊢ (((ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ⊆ ℝ* ∧ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧))) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)), ℝ*, < ) = ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
216	45, 48, 80, 214, 215	syl22anc 837	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)), ℝ*, < ) = ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
217	25, 216	eqtrd 2833	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ w3o 1083   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111  Ⅎwnfc 2936  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  Vcvv 3441   ∪ cun 3879   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  𝒫 cpw 4497  {csn 4525   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  ran crn 5520  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ≼ cdom 8490  Fincfn 8492  supcsup 8888  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   · cmul 10531  +∞cpnf 10661  ℝ^*cxr 10663   < clt 10664   ≤ cle 10665   / cdiv 11286  ℕcn 11625  ℕ₀cn0 11885  ℝ⁺crp 12377   ·_e cxmu 12494  [,]cicc 12729  ♯chash 13686   ↾_s cress 16476   Σ_g cgsu 16706  ℝ^*_𝑠cxrs 16765  Mndcmnd 17903  ._gcmg 18216  TopMndctmd 22675  Σ^*cesum 31396

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-bc 13659  df-hash 13687  df-shft 14418  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-limsup 14820  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-ef 15413  df-sin 15415  df-cos 15416  df-pi 15418  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-ordt 16766  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-ps 17802  df-tsr 17803  df-plusf 17843  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-mulg 18217  df-subg 18268  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-cring 19293  df-subrg 19526  df-abv 19581  df-lmod 19629  df-scaf 19630  df-sra 19937  df-rgmod 19938  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-fbas 20088  df-fg 20089  df-cnfld 20092  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-cld 21624  df-ntr 21625  df-cls 21626  df-nei 21703  df-lp 21741  df-perf 21742  df-cn 21832  df-cnp 21833  df-haus 21920  df-tx 22167  df-hmeo 22360  df-fil 22451  df-fm 22543  df-flim 22544  df-flf 22545  df-tmd 22677  df-tgp 22678  df-tsms 22732  df-trg 22765  df-xms 22927  df-ms 22928  df-tms 22929  df-nm 23189  df-ngp 23190  df-nrg 23192  df-nlm 23193  df-ii 23482  df-cncf 23483  df-limc 24469  df-dv 24470  df-log 25148  df-esum 31397

This theorem is referenced by:  esumpinfval  31442  esumpinfsum  31446