Theorem esumcst 34247

Description: The extended sum of a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 5-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumcst.1	⊢ Ⅎ𝑘𝐴
esumcst.2	⊢ Ⅎ𝑘𝐵

Assertion

Ref	Expression
esumcst	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))

Distinct variable group:   𝑘,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esumcst

Dummy variables 𝑎 𝑙 𝑛 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esumcst.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
2	1	nfel1 2917	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘 𝐴 ∈ 𝑉
3		esumcst.2	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
4	3	nfel1 2917	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘 𝐵 ∈ (0[,]+∞)
5	2, 4	nfan 1906	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
6		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
7		simplr 774	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
8		xrge0tmd 34129	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopMnd
9		tmdmnd 24058	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopMnd → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
12		inss2 4166	. . . . . 6 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ Fin
13		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
14	12, 13	sselid 3913	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
15		simplr 774	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
16		xrge0base 17562	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
17		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (.g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))) = (.g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
18	3, 16, 17	gsumconstf 19901	. . . . 5 ⊢ (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) = ((♯‘𝑥)(.g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))𝐵))
19	11, 14, 15, 18	syl3anc 1379	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) = ((♯‘𝑥)(.g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))𝐵))
20		hashcl 14309	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
21	14, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
22		xrge0mulgnn0 33094	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑥) ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ((♯‘𝑥)(.g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))𝐵) = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
23	21, 15, 22	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((♯‘𝑥)(.g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))𝐵) = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
24	19, 23	eqtrd 2774	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
25	5, 1, 6, 7, 24	esumval 34230	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)), ℝ*, < ))
26		nn0ssre 12432	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
27		ressxr 11180	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
28	26, 27	sstri 3924	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ*
29		pnfxr 11190	. . . . . . . . . 10 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
30		snssi 4717	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → {+∞} ⊆ ℝ*)
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ {+∞} ⊆ ℝ*
32	28, 31	unssi 4120	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 ∪ {+∞}) ⊆ ℝ*
33		hashf 14291	. . . . . . . . 9 ⊢ ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
34		vex 3435	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
35		ffvelcdm 7022	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) ∧ 𝑥 ∈ V) → (♯‘𝑥) ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}))
36	33, 34, 35	mp2an 698	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘𝑥) ∈ (ℕ0 ∪ {+∞})
37	32, 36	sselii 3912	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘𝑥) ∈ ℝ*
38	37	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (♯‘𝑥) ∈ ℝ*)
39		iccssxr 13374	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
40		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
41	39, 40	sselid 3913	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
42	41	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
43	38, 42	xmulcld 13245	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ∈ ℝ*)
44	43	fmpttd 7056	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶ℝ*)
45	44	frnd 6663	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ⊆ ℝ*)
46		hashxrcl 14310	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)
47	46	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)
48	47, 41	xmulcld 13245	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ℝ*)
49		vex 3435	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
50		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
51	50	elrnmpt 5900	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)))
52	49, 51	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
53	52	biimpi 217	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
54	47	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)
55		0xr 11183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
56	55	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 0 ∈ ℝ*)
57	29	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → +∞ ∈ ℝ*)
58		iccgelb 13346	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐵)
59	56, 57, 15, 58	syl3anc 1379	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 0 ≤ 𝐵)
60	42, 59	jca 516	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵))
61	6	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
62		inss1 4165	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐴
63	62	sseli 3911	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
64		elpwi 4536	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 → 𝑥 ⊆ 𝐴)
65	13, 63, 64	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
66		ssdomg 8937	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 ≼ 𝐴))
67	61, 65, 66	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ≼ 𝐴)
68		hashdomi 14333	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≼ 𝐴 → (♯‘𝑥) ≤ (♯‘𝐴))
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (♯‘𝑥) ≤ (♯‘𝐴))
70		xlemul1a 13231	. . . . . . . 8 ⊢ ((((♯‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (♯‘𝑥) ≤ (♯‘𝐴)) → ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
71	38, 54, 60, 69, 70	syl31anc 1381	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
72	71	ralrimiva 3131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
73		r19.29r 3103	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ∧ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)))
74	53, 72, 73	syl2anr 603	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ∧ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)))
75		simpl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ∧ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) → 𝑦 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
76		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ∧ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) → ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
77	75, 76	eqbrtrd 5094	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ∧ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) → 𝑦 ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
78	77	rexlimivw 3136	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ∧ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) → 𝑦 ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
79	74, 78	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))) → 𝑦 ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
80	79	ralrimiva 3131	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ∀𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
81		pwidg 4549	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
82	81	ancri 554	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin))
83		elin 3899	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝐴 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin))
84	82, 83	sylibr 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
85		eqid 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) = ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)
86		fveq2 6827	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝐴))
87	86	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) = ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
88	87	rspceeqv 3583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) = ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((♯‘𝐴) ·e 𝐵) = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
89	85, 88	mpan2 697	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((♯‘𝐴) ·e 𝐵) = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
90		ovex 7389	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ V
91	50	elrnmpt 5900	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ V → (((♯‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((♯‘𝐴) ·e 𝐵) = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)))
92	90, 91	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((♯‘𝐴) ·e 𝐵) = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
93	89, 92	sylibr 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)))
94	84, 93	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)))
95	94	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)))
96		simplr 774	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
97		breq2 5076	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) → (𝑦 < 𝑧 ↔ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)))
98	97	rspcev 3560	. . . . . . 7 ⊢ ((((♯‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
99	95, 96, 98	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
100		0elpw 5284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝐴
101		0fi 8979	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ Fin
102		elin 3899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (∅ ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ∅ ∈ Fin))
103	100, 101, 102	mpbir2an 717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
104	103	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
105		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 = 0)
106	105	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → ((♯‘∅) ·e 𝐵) = ((♯‘∅) ·e 0))
107		hash0 14320	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (♯‘∅) = 0
108	107, 55	eqeltri 2835	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (♯‘∅) ∈ ℝ*
109		xmul01 13210	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘∅) ∈ ℝ* → ((♯‘∅) ·e 0) = 0)
110	108, 109	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘∅) ·e 0) = 0
111	106, 110	eqtr2di 2791	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → 0 = ((♯‘∅) ·e 𝐵))
112		fveq2 6827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ∅ → (♯‘𝑥) = (♯‘∅))
113	112	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) = ((♯‘∅) ·e 𝐵))
114	113	rspceeqv 3583	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 0 = ((♯‘∅) ·e 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)0 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
115	104, 111, 114	syl2anc 590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)0 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
116		ovex 7389	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ∈ V
117	50, 116	elrnmpti 5904	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)0 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
118	115, 117	sylibr 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → 0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)))
119		simpllr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
120	105	oveq2d 7372	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) = ((♯‘𝐴) ·e 0))
121	47	ad4antr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)
122		xmul01 13210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℝ* → ((♯‘𝐴) ·e 0) = 0)
123	121, 122	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → ((♯‘𝐴) ·e 0) = 0)
124	120, 123	eqtrd 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) = 0)
125	119, 124	breqtrd 5098	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → 𝑦 < 0)
126		breq2 5076	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑦 < 𝑧 ↔ 𝑦 < 0))
127	126	rspcev 3560	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ∧ 𝑦 < 0) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
128	118, 125, 127	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
129		simplr 774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴)
130		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → (♯‘𝑎) = 𝑛)
131		simp-4r 789	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → 𝑛 ∈ ℕ)
132	130, 131	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → (♯‘𝑎) ∈ ℕ)
133		nnnn0 12435	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑎) ∈ ℕ → (♯‘𝑎) ∈ ℕ0)
134		vex 3435	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑎 ∈ V
135		hashclb 14311	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 ∈ V → (𝑎 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑎) ∈ ℕ0))
136	134, 135	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑎) ∈ ℕ0)
137	133, 136	sylibr 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑎) ∈ ℕ → 𝑎 ∈ Fin)
138	132, 137	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → 𝑎 ∈ Fin)
139	129, 138	elind 4129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
140		eqidd 2740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → ((♯‘𝑎) ·e 𝐵) = ((♯‘𝑎) ·e 𝐵))
141		fveq2 6827	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝑎))
142	141	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) = ((♯‘𝑎) ·e 𝐵))
143	142	rspceeqv 3583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ ((♯‘𝑎) ·e 𝐵) = ((♯‘𝑎) ·e 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((♯‘𝑎) ·e 𝐵) = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
144	139, 140, 143	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((♯‘𝑎) ·e 𝐵) = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
145	50, 116	elrnmpti 5904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝑎) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((♯‘𝑎) ·e 𝐵) = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
146	144, 145	sylibr 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → ((♯‘𝑎) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)))
147		simpllr 781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → (𝑦 / 𝐵) < 𝑛)
148		simp-8r 797	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → 𝑦 ∈ ℝ)
149	131	nnred 12180	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → 𝑛 ∈ ℝ)
150		simp-5r 791	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → 𝐵 ∈ ℝ+)
151	148, 149, 150	ltdivmul2d 13029	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → ((𝑦 / 𝐵) < 𝑛 ↔ 𝑦 < (𝑛 · 𝐵)))
152	147, 151	mpbid 233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → 𝑦 < (𝑛 · 𝐵))
153	130	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → ((♯‘𝑎) ·e 𝐵) = (𝑛 ·e 𝐵))
154	150	rpred 12977	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → 𝐵 ∈ ℝ)
155		rexmul 13214	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑛 ·e 𝐵) = (𝑛 · 𝐵))
156	149, 154, 155	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → (𝑛 ·e 𝐵) = (𝑛 · 𝐵))
157	153, 156	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → ((♯‘𝑎) ·e 𝐵) = (𝑛 · 𝐵))
158	152, 157	breqtrrd 5100	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → 𝑦 < ((♯‘𝑎) ·e 𝐵))
159		breq2 5076	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = ((♯‘𝑎) ·e 𝐵) → (𝑦 < 𝑧 ↔ 𝑦 < ((♯‘𝑎) ·e 𝐵)))
160	159	rspcev 3560	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((♯‘𝑎) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝑎) ·e 𝐵)) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
161	146, 158, 160	syl2anc 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
162	161	rexlimdva2 3142	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) → (∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑎) = 𝑛 → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧))
163	162	impr 455	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ((𝑦 / 𝐵) < 𝑛 ∧ ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑎) = 𝑛)) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
164		simp-4r 789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ)
165		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
166	164, 165	rerpdivcld 13008	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ)
167		arch 12425	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛)
168	166, 167	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛)
169		ishashinf 14416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑎) = 𝑛)
170	169	ad2antlr 733	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑎) = 𝑛)
171		r19.29r 3103	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∃𝑛 ∈ ℕ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑎) = 𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 / 𝐵) < 𝑛 ∧ ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑎) = 𝑛))
172	168, 170, 171	syl2anc 590	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 / 𝐵) < 𝑛 ∧ ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑎) = 𝑛))
173	163, 172	r19.29a 3147	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
174		nfielex 9174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑙 𝑙 ∈ 𝐴)
175	174	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) → ∃𝑙 𝑙 ∈ 𝐴)
176		snelpwi 5383	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑙 ∈ 𝐴 → {𝑙} ∈ 𝒫 𝐴)
177		snfi 8980	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑙} ∈ Fin
178	176, 177	jctir 525	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑙 ∈ 𝐴 → ({𝑙} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ {𝑙} ∈ Fin))
179		elin 3899	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑙} ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ ({𝑙} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ {𝑙} ∈ Fin))
180	178, 179	sylibr 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑙 ∈ 𝐴 → {𝑙} ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
181	180	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → {𝑙} ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
182		simplr 774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → 𝐵 = +∞)
183	182	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → ((♯‘{𝑙}) ·e 𝐵) = ((♯‘{𝑙}) ·e +∞))
184		hashsng 14322	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑙 ∈ 𝐴 → (♯‘{𝑙}) = 1)
185		1re 11135	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℝ
186	27, 185	sselii 3912	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℝ*
187	184, 186	eqeltrdi 2847	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑙 ∈ 𝐴 → (♯‘{𝑙}) ∈ ℝ*)
188		0lt1 11663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 < 1
189	188, 184	breqtrrid 5110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑙 ∈ 𝐴 → 0 < (♯‘{𝑙}))
190		xmulpnf1 13217	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((♯‘{𝑙}) ∈ ℝ* ∧ 0 < (♯‘{𝑙})) → ((♯‘{𝑙}) ·e +∞) = +∞)
191	187, 189, 190	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑙 ∈ 𝐴 → ((♯‘{𝑙}) ·e +∞) = +∞)
192	191	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → ((♯‘{𝑙}) ·e +∞) = +∞)
193	183, 192	eqtr2d 2775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → +∞ = ((♯‘{𝑙}) ·e 𝐵))
194		fveq2 6827	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = {𝑙} → (♯‘𝑥) = (♯‘{𝑙}))
195	194	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = {𝑙} → ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) = ((♯‘{𝑙}) ·e 𝐵))
196	195	rspceeqv 3583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (({𝑙} ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ +∞ = ((♯‘{𝑙}) ·e 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)+∞ = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
197	181, 193, 196	syl2anc 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)+∞ = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
198	175, 197	exlimddv 1942	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)+∞ = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
199	198	adantll 720	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = +∞) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)+∞ = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
200	50, 116	elrnmpti 5904	. . . . . . . . 9 ⊢ (+∞ ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)+∞ = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
201	199, 200	sylibr 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = +∞) → +∞ ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)))
202		simp-4r 789	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝑦 ∈ ℝ)
203		ltpnf 13062	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 < +∞)
204	202, 203	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝑦 < +∞)
205		breq2 5076	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = +∞ → (𝑦 < 𝑧 ↔ 𝑦 < +∞))
206	205	rspcev 3560	. . . . . . . 8 ⊢ ((+∞ ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ∧ 𝑦 < +∞) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
207	201, 204, 206	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = +∞) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
208		simp-4r 789	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
209		elxrge02 33010	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐵 = 0 ∨ 𝐵 ∈ ℝ+ ∨ 𝐵 = +∞))
210	208, 209	sylib 219	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐵 = 0 ∨ 𝐵 ∈ ℝ+ ∨ 𝐵 = +∞))
211	128, 173, 207, 210	mpjao3dan 1440	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
212	99, 211	pm2.61dan 818	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
213	212	ex 413	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧))
214	213	ralrimiva 3131	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧))
215		supxr2 13257	. . 3 ⊢ (((ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ⊆ ℝ* ∧ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧))) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)), ℝ*, < ) = ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
216	45, 48, 80, 214, 215	syl22anc 844	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)), ℝ*, < ) = ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
217	25, 216	eqtrd 2774	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ w3o 1091   = wceq 1547  ∃wex 1786   ∈ wcel 2119  Ⅎwnfc 2886  ∀wral 3053  ∃wrex 3063  Vcvv 3431   ∪ cun 3881   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ∅c0 4261  𝒫 cpw 4529  {csn 4555   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153  ran crn 5619  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ≼ cdom 8881  Fincfn 8883  supcsup 9343  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   · cmul 11034  +∞cpnf 11167  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170   ≤ cle 11171   / cdiv 11798  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428  ℝ⁺crp 12933   ·_e cxmu 13053  [,]cicc 13292  ♯chash 14283   ↾_s cress 17191   Σ_g cgsu 17394  ℝ^*_𝑠cxrs 17455  Mndcmnd 18693  ._gcmg 19034  TopMndctmd 24053  Σ^*cesum 34211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108  ax-mulf 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ioc 13294  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-bc 14256  df-hash 14284  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-ef 16023  df-sin 16025  df-cos 16026  df-pi 16028  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-ordt 17456  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-ps 18523  df-tsr 18524  df-plusf 18598  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-cring 20208  df-subrng 20518  df-subrg 20542  df-abv 20781  df-lmod 20852  df-scaf 20853  df-sra 21163  df-rgmod 21164  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-fbas 21344  df-fg 21345  df-cnfld 21348  df-top 22877  df-topon 22894  df-topsp 22916  df-bases 22929  df-cld 23002  df-ntr 23003  df-cls 23004  df-nei 23081  df-lp 23119  df-perf 23120  df-cn 23210  df-cnp 23211  df-haus 23298  df-tx 23545  df-hmeo 23738  df-fil 23829  df-fm 23921  df-flim 23922  df-flf 23923  df-tmd 24055  df-tgp 24056  df-tsms 24110  df-trg 24143  df-xms 24303  df-ms 24304  df-tms 24305  df-nm 24565  df-ngp 24566  df-nrg 24568  df-nlm 24569  df-ii 24862  df-cncf 24863  df-limc 25851  df-dv 25852  df-log 26538  df-esum 34212

This theorem is referenced by:  esumpinfval  34257  esumpinfsum  34261