Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumcst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumcst 31211
Description: The extended sum of a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 5-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumcst.1 𝑘𝐴
esumcst.2 𝑘𝐵
Assertion
Ref Expression
esumcst ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝐴𝐵 = ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
Distinct variable group:   𝑘,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esumcst
Dummy variables 𝑎 𝑙 𝑛 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 esumcst.1 . . . . 5 𝑘𝐴
21nfel1 2998 . . . 4 𝑘 𝐴𝑉
3 esumcst.2 . . . . 5 𝑘𝐵
43nfel1 2998 . . . 4 𝑘 𝐵 ∈ (0[,]+∞)
52, 4nfan 1893 . . 3 𝑘(𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞))
6 simpl 483 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐴𝑉)
7 simplr 765 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
8 xrge0tmd 31077 . . . . . . 7 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopMnd
9 tmdmnd 22602 . . . . . . 7 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopMnd → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
108, 9ax-mp 5 . . . . . 6 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
1110a1i 11 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
12 inss2 4209 . . . . . 6 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ Fin
13 simpr 485 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
1412, 13sseldi 3968 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
15 simplr 765 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
16 xrge0base 30589 . . . . . 6 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
17 eqid 2825 . . . . . 6 (.g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))) = (.g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
183, 16, 17gsumconstf 18978 . . . . 5 (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) = ((♯‘𝑥)(.g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))𝐵))
1911, 14, 15, 18syl3anc 1365 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) = ((♯‘𝑥)(.g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))𝐵))
20 hashcl 13710 . . . . . 6 (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
2114, 20syl 17 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
22 xrge0mulgnn0 30593 . . . . 5 (((♯‘𝑥) ∈ ℕ0𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ((♯‘𝑥)(.g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))𝐵) = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
2321, 15, 22syl2anc 584 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((♯‘𝑥)(.g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))𝐵) = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
2419, 23eqtrd 2860 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
255, 1, 6, 7, 24esumval 31194 . 2 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝐴𝐵 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)), ℝ*, < ))
26 nn0ssre 11893 . . . . . . . . . 10 0 ⊆ ℝ
27 ressxr 10677 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℝ*
2826, 27sstri 3979 . . . . . . . . 9 0 ⊆ ℝ*
29 pnfxr 10687 . . . . . . . . . 10 +∞ ∈ ℝ*
30 snssi 4739 . . . . . . . . . 10 (+∞ ∈ ℝ* → {+∞} ⊆ ℝ*)
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . 9 {+∞} ⊆ ℝ*
3228, 31unssi 4164 . . . . . . . 8 (ℕ0 ∪ {+∞}) ⊆ ℝ*
33 hashf 13691 . . . . . . . . 9 ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
34 vex 3502 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
35 ffvelrn 6844 . . . . . . . . 9 ((♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) ∧ 𝑥 ∈ V) → (♯‘𝑥) ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}))
3633, 34, 35mp2an 688 . . . . . . . 8 (♯‘𝑥) ∈ (ℕ0 ∪ {+∞})
3732, 36sselii 3967 . . . . . . 7 (♯‘𝑥) ∈ ℝ*
3837a1i 11 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (♯‘𝑥) ∈ ℝ*)
39 iccssxr 12812 . . . . . . . 8 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
40 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
4139, 40sseldi 3968 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4241adantr 481 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4338, 42xmulcld 12688 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ∈ ℝ*)
4443fmpttd 6874 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶ℝ*)
4544frnd 6517 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ⊆ ℝ*)
46 hashxrcl 13711 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)
4746adantr 481 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)
4847, 41xmulcld 12688 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ℝ*)
49 vex 3502 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
50 eqid 2825 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
5150elrnmpt 5826 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)))
5249, 51ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
5352biimpi 217 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
5447adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)
55 0xr 10680 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
5655a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 0 ∈ ℝ*)
5729a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → +∞ ∈ ℝ*)
58 iccgelb 12786 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐵)
5956, 57, 15, 58syl3anc 1365 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 0 ≤ 𝐵)
6042, 59jca 512 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵))
616adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐴𝑉)
62 inss1 4208 . . . . . . . . . . . 12 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐴
6362sseli 3966 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
64 elpwi 4553 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥𝐴)
6513, 63, 643syl 18 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥𝐴)
66 ssdomg 8547 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑉 → (𝑥𝐴𝑥𝐴))
6761, 65, 66sylc 65 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥𝐴)
68 hashdomi 13734 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐴 → (♯‘𝑥) ≤ (♯‘𝐴))
6967, 68syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (♯‘𝑥) ≤ (♯‘𝐴))
70 xlemul1a 12674 . . . . . . . 8 ((((♯‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (♯‘𝑥) ≤ (♯‘𝐴)) → ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
7138, 54, 60, 69, 70syl31anc 1367 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
7271ralrimiva 3186 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
73 r19.29r 3259 . . . . . 6 ((∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ∧ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)))
7453, 72, 73syl2anr 596 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ∧ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)))
75 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝑦 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ∧ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) → 𝑦 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
76 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝑦 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ∧ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) → ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
7775, 76eqbrtrd 5084 . . . . . 6 ((𝑦 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ∧ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) → 𝑦 ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
7877rexlimivw 3286 . . . . 5 (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ∧ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) → 𝑦 ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
7974, 78syl 17 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))) → 𝑦 ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
8079ralrimiva 3186 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ∀𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
81 pwidg 4558 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
8281ancri 550 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐴𝐴 ∈ Fin))
83 elin 4172 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝐴 ∈ 𝒫 𝐴𝐴 ∈ Fin))
8482, 83sylibr 235 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
85 eqid 2825 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) = ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)
86 fveq2 6666 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝐴 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝐴))
8786oveq1d 7166 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝐴 → ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) = ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
8887rspceeqv 3641 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) = ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((♯‘𝐴) ·e 𝐵) = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
8985, 88mpan2 687 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((♯‘𝐴) ·e 𝐵) = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
90 ovex 7184 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ V
9150elrnmpt 5826 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ V → (((♯‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((♯‘𝐴) ·e 𝐵) = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)))
9290, 91ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((♯‘𝐴) ·e 𝐵) = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
9389, 92sylibr 235 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)))
9484, 93syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)))
9594adantl 482 . . . . . . 7 (((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)))
96 simplr 765 . . . . . . 7 (((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
97 breq2 5066 . . . . . . . 8 (𝑧 = ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) → (𝑦 < 𝑧𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)))
9897rspcev 3626 . . . . . . 7 ((((♯‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
9995, 96, 98syl2anc 584 . . . . . 6 (((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
100 0elpw 5252 . . . . . . . . . . . 12 ∅ ∈ 𝒫 𝐴
101 0fin 8738 . . . . . . . . . . . 12 ∅ ∈ Fin
102 elin 4172 . . . . . . . . . . . 12 (∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (∅ ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ∅ ∈ Fin))
103100, 101, 102mpbir2an 707 . . . . . . . . . . 11 ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
104103a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
105 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 = 0)
106105oveq2d 7167 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → ((♯‘∅) ·e 𝐵) = ((♯‘∅) ·e 0))
107 hash0 13721 . . . . . . . . . . . . 13 (♯‘∅) = 0
108107, 55eqeltri 2913 . . . . . . . . . . . 12 (♯‘∅) ∈ ℝ*
109 xmul01 12653 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘∅) ∈ ℝ* → ((♯‘∅) ·e 0) = 0)
110108, 109ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘∅) ·e 0) = 0
111106, 110syl6req 2877 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → 0 = ((♯‘∅) ·e 𝐵))
112 fveq2 6666 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ∅ → (♯‘𝑥) = (♯‘∅))
113112oveq1d 7166 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) = ((♯‘∅) ·e 𝐵))
114113rspceeqv 3641 . . . . . . . . . 10 ((∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 0 = ((♯‘∅) ·e 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)0 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
115104, 111, 114syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)0 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
116 ovex 7184 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ∈ V
11750, 116elrnmpti 5830 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)0 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
118115, 117sylibr 235 . . . . . . . 8 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → 0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)))
119 simpllr 772 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
120105oveq2d 7167 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) = ((♯‘𝐴) ·e 0))
12147ad4antr 728 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)
122 xmul01 12653 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐴) ∈ ℝ* → ((♯‘𝐴) ·e 0) = 0)
123121, 122syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → ((♯‘𝐴) ·e 0) = 0)
124120, 123eqtrd 2860 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) = 0)
125119, 124breqtrd 5088 . . . . . . . 8 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → 𝑦 < 0)
126 breq2 5066 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 0 → (𝑦 < 𝑧𝑦 < 0))
127126rspcev 3626 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ∧ 𝑦 < 0) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
128118, 125, 127syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
129 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴)
130 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → (♯‘𝑎) = 𝑛)
131 simp-4r 780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → 𝑛 ∈ ℕ)
132130, 131eqeltrd 2917 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → (♯‘𝑎) ∈ ℕ)
133 nnnn0 11896 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝑎) ∈ ℕ → (♯‘𝑎) ∈ ℕ0)
134 vex 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑎 ∈ V
135 hashclb 13712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 ∈ V → (𝑎 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑎) ∈ ℕ0))
136134, 135ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑎) ∈ ℕ0)
137133, 136sylibr 235 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑎) ∈ ℕ → 𝑎 ∈ Fin)
138132, 137syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → 𝑎 ∈ Fin)
139129, 138elind 4174 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
140 eqidd 2826 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → ((♯‘𝑎) ·e 𝐵) = ((♯‘𝑎) ·e 𝐵))
141 fveq2 6666 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑎 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝑎))
142141oveq1d 7166 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑎 → ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) = ((♯‘𝑎) ·e 𝐵))
143142rspceeqv 3641 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ ((♯‘𝑎) ·e 𝐵) = ((♯‘𝑎) ·e 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((♯‘𝑎) ·e 𝐵) = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
144139, 140, 143syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((♯‘𝑎) ·e 𝐵) = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
14550, 116elrnmpti 5830 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘𝑎) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((♯‘𝑎) ·e 𝐵) = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
146144, 145sylibr 235 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → ((♯‘𝑎) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)))
147 simpllr 772 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → (𝑦 / 𝐵) < 𝑛)
148 simp-8r 788 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → 𝑦 ∈ ℝ)
149131nnred 11645 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → 𝑛 ∈ ℝ)
150 simp-5r 782 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → 𝐵 ∈ ℝ+)
151148, 149, 150ltdivmul2d 12476 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → ((𝑦 / 𝐵) < 𝑛𝑦 < (𝑛 · 𝐵)))
152147, 151mpbid 233 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → 𝑦 < (𝑛 · 𝐵))
153130oveq1d 7166 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → ((♯‘𝑎) ·e 𝐵) = (𝑛 ·e 𝐵))
154150rpred 12424 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → 𝐵 ∈ ℝ)
155 rexmul 12657 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑛 ·e 𝐵) = (𝑛 · 𝐵))
156149, 154, 155syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → (𝑛 ·e 𝐵) = (𝑛 · 𝐵))
157153, 156eqtrd 2860 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → ((♯‘𝑎) ·e 𝐵) = (𝑛 · 𝐵))
158152, 157breqtrrd 5090 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → 𝑦 < ((♯‘𝑎) ·e 𝐵))
159 breq2 5066 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = ((♯‘𝑎) ·e 𝐵) → (𝑦 < 𝑧𝑦 < ((♯‘𝑎) ·e 𝐵)))
160159rspcev 3626 . . . . . . . . . . 11 ((((♯‘𝑎) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝑎) ·e 𝐵)) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
161146, 158, 160syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
162161rexlimdva2 3291 . . . . . . . . 9 ((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) → (∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑎) = 𝑛 → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧))
163162impr 455 . . . . . . . 8 ((((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ((𝑦 / 𝐵) < 𝑛 ∧ ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑎) = 𝑛)) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
164 simp-4r 780 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ)
165 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
166164, 165rerpdivcld 12455 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ)
167 arch 11886 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛)
168166, 167syl 17 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛)
169 ishashinf 13814 . . . . . . . . . 10 𝐴 ∈ Fin → ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑎) = 𝑛)
170169ad2antlr 723 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑎) = 𝑛)
171 r19.29r 3259 . . . . . . . . 9 ((∃𝑛 ∈ ℕ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑎) = 𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 / 𝐵) < 𝑛 ∧ ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑎) = 𝑛))
172168, 170, 171syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 / 𝐵) < 𝑛 ∧ ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑎) = 𝑛))
173163, 172r19.29a 3293 . . . . . . 7 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
174 nfielex 8739 . . . . . . . . . . . 12 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑙 𝑙𝐴)
175174adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) → ∃𝑙 𝑙𝐴)
176 snelpwi 5332 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙𝐴 → {𝑙} ∈ 𝒫 𝐴)
177 snfi 8586 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑙} ∈ Fin
178176, 177jctir 521 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑙𝐴 → ({𝑙} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ {𝑙} ∈ Fin))
179 elin 4172 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑙} ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ ({𝑙} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ {𝑙} ∈ Fin))
180178, 179sylibr 235 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙𝐴 → {𝑙} ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
181180adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑙𝐴) → {𝑙} ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
182 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . 14 (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑙𝐴) → 𝐵 = +∞)
183182oveq2d 7167 . . . . . . . . . . . . 13 (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑙𝐴) → ((♯‘{𝑙}) ·e 𝐵) = ((♯‘{𝑙}) ·e +∞))
184 hashsng 13723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑙𝐴 → (♯‘{𝑙}) = 1)
185 1re 10633 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ
18627, 185sselii 3967 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ*
187184, 186syl6eqel 2925 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙𝐴 → (♯‘{𝑙}) ∈ ℝ*)
188 0lt1 11154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 1
189188, 184breqtrrid 5100 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙𝐴 → 0 < (♯‘{𝑙}))
190 xmulpnf1 12660 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((♯‘{𝑙}) ∈ ℝ* ∧ 0 < (♯‘{𝑙})) → ((♯‘{𝑙}) ·e +∞) = +∞)
191187, 189, 190syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑙𝐴 → ((♯‘{𝑙}) ·e +∞) = +∞)
192191adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑙𝐴) → ((♯‘{𝑙}) ·e +∞) = +∞)
193183, 192eqtr2d 2861 . . . . . . . . . . . 12 (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑙𝐴) → +∞ = ((♯‘{𝑙}) ·e 𝐵))
194 fveq2 6666 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = {𝑙} → (♯‘𝑥) = (♯‘{𝑙}))
195194oveq1d 7166 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = {𝑙} → ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) = ((♯‘{𝑙}) ·e 𝐵))
196195rspceeqv 3641 . . . . . . . . . . . 12 (({𝑙} ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ +∞ = ((♯‘{𝑙}) ·e 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)+∞ = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
197181, 193, 196syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑙𝐴) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)+∞ = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
198175, 197exlimddv 1929 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)+∞ = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
199198adantll 710 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = +∞) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)+∞ = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
20050, 116elrnmpti 5830 . . . . . . . . 9 (+∞ ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)+∞ = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
201199, 200sylibr 235 . . . . . . . 8 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = +∞) → +∞ ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)))
202 simp-4r 780 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝑦 ∈ ℝ)
203 ltpnf 12508 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 < +∞)
204202, 203syl 17 . . . . . . . 8 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝑦 < +∞)
205 breq2 5066 . . . . . . . . 9 (𝑧 = +∞ → (𝑦 < 𝑧𝑦 < +∞))
206205rspcev 3626 . . . . . . . 8 ((+∞ ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ∧ 𝑦 < +∞) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
207201, 204, 206syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = +∞) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
208 simp-4r 780 . . . . . . . 8 (((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
209 elxrge02 30525 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐵 = 0 ∨ 𝐵 ∈ ℝ+𝐵 = +∞))
210208, 209sylib 219 . . . . . . 7 (((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐵 = 0 ∨ 𝐵 ∈ ℝ+𝐵 = +∞))
211128, 173, 207, 210mpjao3dan 1425 . . . . . 6 (((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
21299, 211pm2.61dan 809 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
213212ex 413 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧))
214213ralrimiva 3186 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧))
215 supxr2 12700 . . 3 (((ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ⊆ ℝ* ∧ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧))) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)), ℝ*, < ) = ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
21645, 48, 80, 214, 215syl22anc 836 . 2 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)), ℝ*, < ) = ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
21725, 216eqtrd 2860 1 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝐴𝐵 = ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3o 1080   = wceq 1530  wex 1773  wcel 2107  wnfc 2965  wral 3142  wrex 3143  Vcvv 3499  cun 3937  cin 3938  wss 3939  c0 4294  𝒫 cpw 4541  {csn 4563   class class class wbr 5062  cmpt 5142  ran crn 5554  wf 6347  cfv 6351  (class class class)co 7151  cdom 8499  Fincfn 8501  supcsup 8896  cr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   · cmul 10534  +∞cpnf 10664  *cxr 10666   < clt 10667  cle 10668   / cdiv 11289  cn 11630  0cn0 11889  +crp 12382   ·e cxmu 12499  [,]cicc 12734  chash 13683  s cress 16477   Σg cgsu 16707  *𝑠cxrs 16766  Mndcmnd 17903  .gcmg 18157  TopMndctmd 22597  Σ*cesum 31175
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7402  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-pm 8402  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12383  df-xneg 12500  df-xadd 12501  df-xmul 12502  df-ioo 12735  df-ioc 12736  df-ico 12737  df-icc 12738  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-fl 13155  df-mod 13231  df-seq 13363  df-exp 13423  df-fac 13627  df-bc 13656  df-hash 13684  df-shft 14419  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-limsup 14821  df-clim 14838  df-rlim 14839  df-sum 15036  df-ef 15414  df-sin 15416  df-cos 15417  df-pi 15419  df-struct 16478  df-ndx 16479  df-slot 16480  df-base 16482  df-sets 16483  df-ress 16484  df-plusg 16571  df-mulr 16572  df-starv 16573  df-sca 16574  df-vsca 16575  df-ip 16576  df-tset 16577  df-ple 16578  df-ds 16580  df-unif 16581  df-hom 16582  df-cco 16583  df-rest 16689  df-topn 16690  df-0g 16708  df-gsum 16709  df-topgen 16710  df-pt 16711  df-prds 16714  df-ordt 16767  df-xrs 16768  df-qtop 16773  df-imas 16774  df-xps 16776  df-mre 16850  df-mrc 16851  df-acs 16853  df-ps 17803  df-tsr 17804  df-plusf 17844  df-mgm 17845  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17947  df-submnd 17948  df-grp 18039  df-minusg 18040  df-sbg 18041  df-mulg 18158  df-subg 18209  df-cntz 18380  df-cmn 18831  df-abl 18832  df-mgp 19163  df-ur 19175  df-ring 19222  df-cring 19223  df-subrg 19456  df-abv 19511  df-lmod 19559  df-scaf 19560  df-sra 19867  df-rgmod 19868  df-psmet 20456  df-xmet 20457  df-met 20458  df-bl 20459  df-mopn 20460  df-fbas 20461  df-fg 20462  df-cnfld 20465  df-top 21421  df-topon 21438  df-topsp 21460  df-bases 21473  df-cld 21546  df-ntr 21547  df-cls 21548  df-nei 21625  df-lp 21663  df-perf 21664  df-cn 21754  df-cnp 21755  df-haus 21842  df-tx 22089  df-hmeo 22282  df-fil 22373  df-fm 22465  df-flim 22466  df-flf 22467  df-tmd 22599  df-tgp 22600  df-tsms 22653  df-trg 22686  df-xms 22848  df-ms 22849  df-tms 22850  df-nm 23110  df-ngp 23111  df-nrg 23113  df-nlm 23114  df-ii 23403  df-cncf 23404  df-limc 24382  df-dv 24383  df-log 25056  df-esum 31176
This theorem is referenced by:  esumpinfval  31221  esumpinfsum  31225
  Copyright terms: Public domain W3C validator