Theorem esumcst 34046

Description: The extended sum of a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 5-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumcst.1	⊢ Ⅎ𝑘𝐴
esumcst.2	⊢ Ⅎ𝑘𝐵

Assertion

Ref	Expression
esumcst	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))

Distinct variable group:   𝑘,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esumcst

Dummy variables 𝑎 𝑙 𝑛 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esumcst.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
2	1	nfel1 2908	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘 𝐴 ∈ 𝑉
3		esumcst.2	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
4	3	nfel1 2908	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘 𝐵 ∈ (0[,]+∞)
5	2, 4	nfan 1899	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
6		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
7		simplr 768	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
8		xrge0tmd 33928	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopMnd
9		tmdmnd 23995	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopMnd → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
12		inss2 4197	. . . . . 6 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ Fin
13		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
14	12, 13	sselid 3941	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
15		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
16		xrge0base 17546	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
17		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (.g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))) = (.g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
18	3, 16, 17	gsumconstf 19849	. . . . 5 ⊢ (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) = ((♯‘𝑥)(.g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))𝐵))
19	11, 14, 15, 18	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) = ((♯‘𝑥)(.g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))𝐵))
20		hashcl 14297	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
21	14, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
22		xrge0mulgnn0 32999	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑥) ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ((♯‘𝑥)(.g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))𝐵) = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
23	21, 15, 22	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((♯‘𝑥)(.g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))𝐵) = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
24	19, 23	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
25	5, 1, 6, 7, 24	esumval 34029	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)), ℝ*, < ))
26		nn0ssre 12422	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
27		ressxr 11194	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
28	26, 27	sstri 3953	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ*
29		pnfxr 11204	. . . . . . . . . 10 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
30		snssi 4768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → {+∞} ⊆ ℝ*)
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ {+∞} ⊆ ℝ*
32	28, 31	unssi 4150	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 ∪ {+∞}) ⊆ ℝ*
33		hashf 14279	. . . . . . . . 9 ⊢ ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
34		vex 3448	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
35		ffvelcdm 7035	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) ∧ 𝑥 ∈ V) → (♯‘𝑥) ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}))
36	33, 34, 35	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘𝑥) ∈ (ℕ0 ∪ {+∞})
37	32, 36	sselii 3940	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘𝑥) ∈ ℝ*
38	37	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (♯‘𝑥) ∈ ℝ*)
39		iccssxr 13367	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
40		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
41	39, 40	sselid 3941	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
42	41	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
43	38, 42	xmulcld 13238	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ∈ ℝ*)
44	43	fmpttd 7069	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶ℝ*)
45	44	frnd 6678	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ⊆ ℝ*)
46		hashxrcl 14298	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)
47	46	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)
48	47, 41	xmulcld 13238	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ℝ*)
49		vex 3448	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
50		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
51	50	elrnmpt 5911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)))
52	49, 51	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
53	52	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
54	47	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)
55		0xr 11197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
56	55	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 0 ∈ ℝ*)
57	29	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → +∞ ∈ ℝ*)
58		iccgelb 13339	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐵)
59	56, 57, 15, 58	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 0 ≤ 𝐵)
60	42, 59	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵))
61	6	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
62		inss1 4196	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐴
63	62	sseli 3939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
64		elpwi 4566	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 → 𝑥 ⊆ 𝐴)
65	13, 63, 64	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
66		ssdomg 8948	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 ≼ 𝐴))
67	61, 65, 66	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ≼ 𝐴)
68		hashdomi 14321	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≼ 𝐴 → (♯‘𝑥) ≤ (♯‘𝐴))
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (♯‘𝑥) ≤ (♯‘𝐴))
70		xlemul1a 13224	. . . . . . . 8 ⊢ ((((♯‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (♯‘𝑥) ≤ (♯‘𝐴)) → ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
71	38, 54, 60, 69, 70	syl31anc 1375	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
72	71	ralrimiva 3125	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
73		r19.29r 3096	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ∧ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)))
74	53, 72, 73	syl2anr 597	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ∧ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)))
75		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ∧ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) → 𝑦 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
76		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ∧ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) → ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
77	75, 76	eqbrtrd 5124	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ∧ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) → 𝑦 ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
78	77	rexlimivw 3130	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ∧ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) → 𝑦 ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
79	74, 78	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))) → 𝑦 ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
80	79	ralrimiva 3125	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ∀𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
81		pwidg 4579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
82	81	ancri 549	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin))
83		elin 3927	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝐴 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin))
84	82, 83	sylibr 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
85		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) = ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)
86		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝐴))
87	86	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) = ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
88	87	rspceeqv 3608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) = ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((♯‘𝐴) ·e 𝐵) = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
89	85, 88	mpan2 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((♯‘𝐴) ·e 𝐵) = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
90		ovex 7402	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ V
91	50	elrnmpt 5911	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ V → (((♯‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((♯‘𝐴) ·e 𝐵) = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)))
92	90, 91	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((♯‘𝐴) ·e 𝐵) = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
93	89, 92	sylibr 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)))
94	84, 93	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)))
95	94	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)))
96		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
97		breq2 5106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) → (𝑦 < 𝑧 ↔ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)))
98	97	rspcev 3585	. . . . . . 7 ⊢ ((((♯‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
99	95, 96, 98	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
100		0elpw 5306	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝐴
101		0fi 8990	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ Fin
102		elin 3927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (∅ ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ∅ ∈ Fin))
103	100, 101, 102	mpbir2an 711	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
104	103	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
105		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 = 0)
106	105	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → ((♯‘∅) ·e 𝐵) = ((♯‘∅) ·e 0))
107		hash0 14308	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (♯‘∅) = 0
108	107, 55	eqeltri 2824	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (♯‘∅) ∈ ℝ*
109		xmul01 13203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘∅) ∈ ℝ* → ((♯‘∅) ·e 0) = 0)
110	108, 109	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘∅) ·e 0) = 0
111	106, 110	eqtr2di 2781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → 0 = ((♯‘∅) ·e 𝐵))
112		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ∅ → (♯‘𝑥) = (♯‘∅))
113	112	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) = ((♯‘∅) ·e 𝐵))
114	113	rspceeqv 3608	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 0 = ((♯‘∅) ·e 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)0 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
115	104, 111, 114	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)0 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
116		ovex 7402	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ∈ V
117	50, 116	elrnmpti 5915	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)0 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
118	115, 117	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → 0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)))
119		simpllr 775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
120	105	oveq2d 7385	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) = ((♯‘𝐴) ·e 0))
121	47	ad4antr 732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)
122		xmul01 13203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℝ* → ((♯‘𝐴) ·e 0) = 0)
123	121, 122	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → ((♯‘𝐴) ·e 0) = 0)
124	120, 123	eqtrd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) = 0)
125	119, 124	breqtrd 5128	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → 𝑦 < 0)
126		breq2 5106	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑦 < 𝑧 ↔ 𝑦 < 0))
127	126	rspcev 3585	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ∧ 𝑦 < 0) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
128	118, 125, 127	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
129		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴)
130		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → (♯‘𝑎) = 𝑛)
131		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → 𝑛 ∈ ℕ)
132	130, 131	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → (♯‘𝑎) ∈ ℕ)
133		nnnn0 12425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑎) ∈ ℕ → (♯‘𝑎) ∈ ℕ0)
134		vex 3448	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑎 ∈ V
135		hashclb 14299	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 ∈ V → (𝑎 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑎) ∈ ℕ0))
136	134, 135	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑎) ∈ ℕ0)
137	133, 136	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑎) ∈ ℕ → 𝑎 ∈ Fin)
138	132, 137	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → 𝑎 ∈ Fin)
139	129, 138	elind 4159	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
140		eqidd 2730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → ((♯‘𝑎) ·e 𝐵) = ((♯‘𝑎) ·e 𝐵))
141		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝑎))
142	141	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) = ((♯‘𝑎) ·e 𝐵))
143	142	rspceeqv 3608	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ ((♯‘𝑎) ·e 𝐵) = ((♯‘𝑎) ·e 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((♯‘𝑎) ·e 𝐵) = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
144	139, 140, 143	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((♯‘𝑎) ·e 𝐵) = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
145	50, 116	elrnmpti 5915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝑎) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((♯‘𝑎) ·e 𝐵) = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
146	144, 145	sylibr 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → ((♯‘𝑎) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)))
147		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → (𝑦 / 𝐵) < 𝑛)
148		simp-8r 791	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → 𝑦 ∈ ℝ)
149	131	nnred 12177	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → 𝑛 ∈ ℝ)
150		simp-5r 785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → 𝐵 ∈ ℝ+)
151	148, 149, 150	ltdivmul2d 13023	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → ((𝑦 / 𝐵) < 𝑛 ↔ 𝑦 < (𝑛 · 𝐵)))
152	147, 151	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → 𝑦 < (𝑛 · 𝐵))
153	130	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → ((♯‘𝑎) ·e 𝐵) = (𝑛 ·e 𝐵))
154	150	rpred 12971	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → 𝐵 ∈ ℝ)
155		rexmul 13207	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑛 ·e 𝐵) = (𝑛 · 𝐵))
156	149, 154, 155	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → (𝑛 ·e 𝐵) = (𝑛 · 𝐵))
157	153, 156	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → ((♯‘𝑎) ·e 𝐵) = (𝑛 · 𝐵))
158	152, 157	breqtrrd 5130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → 𝑦 < ((♯‘𝑎) ·e 𝐵))
159		breq2 5106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = ((♯‘𝑎) ·e 𝐵) → (𝑦 < 𝑧 ↔ 𝑦 < ((♯‘𝑎) ·e 𝐵)))
160	159	rspcev 3585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((♯‘𝑎) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝑎) ·e 𝐵)) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
161	146, 158, 160	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
162	161	rexlimdva2 3136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) → (∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑎) = 𝑛 → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧))
163	162	impr 454	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ((𝑦 / 𝐵) < 𝑛 ∧ ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑎) = 𝑛)) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
164		simp-4r 783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ)
165		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
166	164, 165	rerpdivcld 13002	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ)
167		arch 12415	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛)
168	166, 167	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛)
169		ishashinf 14404	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑎) = 𝑛)
170	169	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑎) = 𝑛)
171		r19.29r 3096	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∃𝑛 ∈ ℕ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑎) = 𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 / 𝐵) < 𝑛 ∧ ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑎) = 𝑛))
172	168, 170, 171	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 / 𝐵) < 𝑛 ∧ ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑎) = 𝑛))
173	163, 172	r19.29a 3141	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
174		nfielex 9194	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑙 𝑙 ∈ 𝐴)
175	174	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) → ∃𝑙 𝑙 ∈ 𝐴)
176		snelpwi 5398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑙 ∈ 𝐴 → {𝑙} ∈ 𝒫 𝐴)
177		snfi 8991	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑙} ∈ Fin
178	176, 177	jctir 520	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑙 ∈ 𝐴 → ({𝑙} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ {𝑙} ∈ Fin))
179		elin 3927	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑙} ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ ({𝑙} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ {𝑙} ∈ Fin))
180	178, 179	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑙 ∈ 𝐴 → {𝑙} ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
181	180	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → {𝑙} ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
182		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → 𝐵 = +∞)
183	182	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → ((♯‘{𝑙}) ·e 𝐵) = ((♯‘{𝑙}) ·e +∞))
184		hashsng 14310	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑙 ∈ 𝐴 → (♯‘{𝑙}) = 1)
185		1re 11150	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℝ
186	27, 185	sselii 3940	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℝ*
187	184, 186	eqeltrdi 2836	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑙 ∈ 𝐴 → (♯‘{𝑙}) ∈ ℝ*)
188		0lt1 11676	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 < 1
189	188, 184	breqtrrid 5140	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑙 ∈ 𝐴 → 0 < (♯‘{𝑙}))
190		xmulpnf1 13210	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((♯‘{𝑙}) ∈ ℝ* ∧ 0 < (♯‘{𝑙})) → ((♯‘{𝑙}) ·e +∞) = +∞)
191	187, 189, 190	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑙 ∈ 𝐴 → ((♯‘{𝑙}) ·e +∞) = +∞)
192	191	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → ((♯‘{𝑙}) ·e +∞) = +∞)
193	183, 192	eqtr2d 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → +∞ = ((♯‘{𝑙}) ·e 𝐵))
194		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = {𝑙} → (♯‘𝑥) = (♯‘{𝑙}))
195	194	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = {𝑙} → ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) = ((♯‘{𝑙}) ·e 𝐵))
196	195	rspceeqv 3608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (({𝑙} ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ +∞ = ((♯‘{𝑙}) ·e 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)+∞ = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
197	181, 193, 196	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)+∞ = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
198	175, 197	exlimddv 1935	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)+∞ = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
199	198	adantll 714	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = +∞) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)+∞ = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
200	50, 116	elrnmpti 5915	. . . . . . . . 9 ⊢ (+∞ ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)+∞ = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
201	199, 200	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = +∞) → +∞ ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)))
202		simp-4r 783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝑦 ∈ ℝ)
203		ltpnf 13056	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 < +∞)
204	202, 203	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝑦 < +∞)
205		breq2 5106	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = +∞ → (𝑦 < 𝑧 ↔ 𝑦 < +∞))
206	205	rspcev 3585	. . . . . . . 8 ⊢ ((+∞ ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ∧ 𝑦 < +∞) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
207	201, 204, 206	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = +∞) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
208		simp-4r 783	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
209		elxrge02 32902	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐵 = 0 ∨ 𝐵 ∈ ℝ+ ∨ 𝐵 = +∞))
210	208, 209	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐵 = 0 ∨ 𝐵 ∈ ℝ+ ∨ 𝐵 = +∞))
211	128, 173, 207, 210	mpjao3dan 1434	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
212	99, 211	pm2.61dan 812	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
213	212	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧))
214	213	ralrimiva 3125	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧))
215		supxr2 13250	. . 3 ⊢ (((ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ⊆ ℝ* ∧ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧))) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)), ℝ*, < ) = ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
216	45, 48, 80, 214, 215	syl22anc 838	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)), ℝ*, < ) = ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
217	25, 216	eqtrd 2764	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  Ⅎwnfc 2876  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3444   ∪ cun 3909   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  𝒫 cpw 4559  {csn 4585   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  ran crn 5632  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ≼ cdom 8893  Fincfn 8895  supcsup 9367  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045   · cmul 11049  +∞cpnf 11181  ℝ^*cxr 11183   < clt 11184   ≤ cle 11185   / cdiv 11811  ℕcn 12162  ℕ₀cn0 12418  ℝ⁺crp 12927   ·_e cxmu 13047  [,]cicc 13285  ♯chash 14271   ↾_s cress 17176   Σ_g cgsu 17379  ℝ^*_𝑠cxrs 17439  Mndcmnd 18643  ._gcmg 18981  TopMndctmd 23990  Σ^*cesum 34010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-addf 11123  ax-mulf 11124

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-xnn0 12492  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-ioo 13286  df-ioc 13287  df-ico 13288  df-icc 13289  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-mod 13808  df-seq 13943  df-exp 14003  df-fac 14215  df-bc 14244  df-hash 14272  df-shft 15009  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-limsup 15413  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-sum 15629  df-ef 16009  df-sin 16011  df-cos 16012  df-pi 16014  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17361  df-topn 17362  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-topgen 17382  df-pt 17383  df-prds 17386  df-ordt 17440  df-xrs 17441  df-qtop 17446  df-imas 17447  df-xps 17449  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-ps 18507  df-tsr 18508  df-plusf 18548  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-mhm 18692  df-submnd 18693  df-grp 18850  df-minusg 18851  df-sbg 18852  df-mulg 18982  df-subg 19037  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-cring 20156  df-subrng 20466  df-subrg 20490  df-abv 20729  df-lmod 20800  df-scaf 20801  df-sra 21112  df-rgmod 21113  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-fbas 21293  df-fg 21294  df-cnfld 21297  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22866  df-cld 22939  df-ntr 22940  df-cls 22941  df-nei 23018  df-lp 23056  df-perf 23057  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-haus 23235  df-tx 23482  df-hmeo 23675  df-fil 23766  df-fm 23858  df-flim 23859  df-flf 23860  df-tmd 23992  df-tgp 23993  df-tsms 24047  df-trg 24080  df-xms 24241  df-ms 24242  df-tms 24243  df-nm 24503  df-ngp 24504  df-nrg 24506  df-nlm 24507  df-ii 24803  df-cncf 24804  df-limc 25800  df-dv 25801  df-log 26498  df-esum 34011

This theorem is referenced by:  esumpinfval  34056  esumpinfsum  34060