Theorem esumcst 31931

Description: The extended sum of a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 5-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumcst.1	⊢ Ⅎ𝑘𝐴
esumcst.2	⊢ Ⅎ𝑘𝐵

Assertion

Ref	Expression
esumcst	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))

Distinct variable group:   𝑘,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esumcst

Dummy variables 𝑎 𝑙 𝑛 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esumcst.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
2	1	nfel1 2922	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘 𝐴 ∈ 𝑉
3		esumcst.2	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
4	3	nfel1 2922	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘 𝐵 ∈ (0[,]+∞)
5	2, 4	nfan 1903	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
6		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
7		simplr 765	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
8		xrge0tmd 31797	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopMnd
9		tmdmnd 23134	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopMnd → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
12		inss2 4160	. . . . . 6 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ Fin
13		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
14	12, 13	sselid 3915	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
15		simplr 765	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
16		xrge0base 31196	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
17		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (.g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))) = (.g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
18	3, 16, 17	gsumconstf 19451	. . . . 5 ⊢ (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) = ((♯‘𝑥)(.g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))𝐵))
19	11, 14, 15, 18	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) = ((♯‘𝑥)(.g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))𝐵))
20		hashcl 13999	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
21	14, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
22		xrge0mulgnn0 31200	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑥) ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ((♯‘𝑥)(.g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))𝐵) = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
23	21, 15, 22	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((♯‘𝑥)(.g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))𝐵) = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
24	19, 23	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
25	5, 1, 6, 7, 24	esumval 31914	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)), ℝ*, < ))
26		nn0ssre 12167	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
27		ressxr 10950	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
28	26, 27	sstri 3926	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ*
29		pnfxr 10960	. . . . . . . . . 10 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
30		snssi 4738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → {+∞} ⊆ ℝ*)
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ {+∞} ⊆ ℝ*
32	28, 31	unssi 4115	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 ∪ {+∞}) ⊆ ℝ*
33		hashf 13980	. . . . . . . . 9 ⊢ ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
34		vex 3426	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
35		ffvelrn 6941	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) ∧ 𝑥 ∈ V) → (♯‘𝑥) ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}))
36	33, 34, 35	mp2an 688	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘𝑥) ∈ (ℕ0 ∪ {+∞})
37	32, 36	sselii 3914	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘𝑥) ∈ ℝ*
38	37	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (♯‘𝑥) ∈ ℝ*)
39		iccssxr 13091	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
40		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
41	39, 40	sselid 3915	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
42	41	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
43	38, 42	xmulcld 12965	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ∈ ℝ*)
44	43	fmpttd 6971	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶ℝ*)
45	44	frnd 6592	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ⊆ ℝ*)
46		hashxrcl 14000	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)
47	46	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)
48	47, 41	xmulcld 12965	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ℝ*)
49		vex 3426	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
50		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
51	50	elrnmpt 5854	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)))
52	49, 51	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
53	52	biimpi 215	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
54	47	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)
55		0xr 10953	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
56	55	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 0 ∈ ℝ*)
57	29	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → +∞ ∈ ℝ*)
58		iccgelb 13064	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐵)
59	56, 57, 15, 58	syl3anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 0 ≤ 𝐵)
60	42, 59	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵))
61	6	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
62		inss1 4159	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐴
63	62	sseli 3913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
64		elpwi 4539	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 → 𝑥 ⊆ 𝐴)
65	13, 63, 64	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
66		ssdomg 8741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 ≼ 𝐴))
67	61, 65, 66	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ≼ 𝐴)
68		hashdomi 14023	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≼ 𝐴 → (♯‘𝑥) ≤ (♯‘𝐴))
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (♯‘𝑥) ≤ (♯‘𝐴))
70		xlemul1a 12951	. . . . . . . 8 ⊢ ((((♯‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (♯‘𝑥) ≤ (♯‘𝐴)) → ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
71	38, 54, 60, 69, 70	syl31anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
72	71	ralrimiva 3107	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
73		r19.29r 3184	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ∧ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)))
74	53, 72, 73	syl2anr 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ∧ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)))
75		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ∧ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) → 𝑦 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
76		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ∧ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) → ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
77	75, 76	eqbrtrd 5092	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ∧ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) → 𝑦 ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
78	77	rexlimivw 3210	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ∧ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) → 𝑦 ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
79	74, 78	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))) → 𝑦 ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
80	79	ralrimiva 3107	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ∀𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
81		pwidg 4552	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
82	81	ancri 549	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin))
83		elin 3899	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝐴 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin))
84	82, 83	sylibr 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
85		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) = ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)
86		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝐴))
87	86	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) = ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
88	87	rspceeqv 3567	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) = ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((♯‘𝐴) ·e 𝐵) = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
89	85, 88	mpan2 687	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((♯‘𝐴) ·e 𝐵) = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
90		ovex 7288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ V
91	50	elrnmpt 5854	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ V → (((♯‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((♯‘𝐴) ·e 𝐵) = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)))
92	90, 91	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((♯‘𝐴) ·e 𝐵) = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
93	89, 92	sylibr 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)))
94	84, 93	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)))
95	94	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)))
96		simplr 765	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
97		breq2 5074	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) → (𝑦 < 𝑧 ↔ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)))
98	97	rspcev 3552	. . . . . . 7 ⊢ ((((♯‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
99	95, 96, 98	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
100		0elpw 5273	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝐴
101		0fin 8916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ Fin
102		elin 3899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (∅ ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ∅ ∈ Fin))
103	100, 101, 102	mpbir2an 707	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
104	103	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
105		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 = 0)
106	105	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → ((♯‘∅) ·e 𝐵) = ((♯‘∅) ·e 0))
107		hash0 14010	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (♯‘∅) = 0
108	107, 55	eqeltri 2835	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (♯‘∅) ∈ ℝ*
109		xmul01 12930	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘∅) ∈ ℝ* → ((♯‘∅) ·e 0) = 0)
110	108, 109	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘∅) ·e 0) = 0
111	106, 110	eqtr2di 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → 0 = ((♯‘∅) ·e 𝐵))
112		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ∅ → (♯‘𝑥) = (♯‘∅))
113	112	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) = ((♯‘∅) ·e 𝐵))
114	113	rspceeqv 3567	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 0 = ((♯‘∅) ·e 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)0 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
115	104, 111, 114	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)0 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
116		ovex 7288	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) ∈ V
117	50, 116	elrnmpti 5858	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)0 = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
118	115, 117	sylibr 233	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → 0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)))
119		simpllr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
120	105	oveq2d 7271	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) = ((♯‘𝐴) ·e 0))
121	47	ad4antr 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)
122		xmul01 12930	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℝ* → ((♯‘𝐴) ·e 0) = 0)
123	121, 122	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → ((♯‘𝐴) ·e 0) = 0)
124	120, 123	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) = 0)
125	119, 124	breqtrd 5096	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → 𝑦 < 0)
126		breq2 5074	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑦 < 𝑧 ↔ 𝑦 < 0))
127	126	rspcev 3552	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ∧ 𝑦 < 0) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
128	118, 125, 127	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = 0) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
129		simplr 765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴)
130		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → (♯‘𝑎) = 𝑛)
131		simp-4r 780	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → 𝑛 ∈ ℕ)
132	130, 131	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → (♯‘𝑎) ∈ ℕ)
133		nnnn0 12170	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑎) ∈ ℕ → (♯‘𝑎) ∈ ℕ0)
134		vex 3426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑎 ∈ V
135		hashclb 14001	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 ∈ V → (𝑎 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑎) ∈ ℕ0))
136	134, 135	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑎) ∈ ℕ0)
137	133, 136	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑎) ∈ ℕ → 𝑎 ∈ Fin)
138	132, 137	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → 𝑎 ∈ Fin)
139	129, 138	elind 4124	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
140		eqidd 2739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → ((♯‘𝑎) ·e 𝐵) = ((♯‘𝑎) ·e 𝐵))
141		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝑎))
142	141	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) = ((♯‘𝑎) ·e 𝐵))
143	142	rspceeqv 3567	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ ((♯‘𝑎) ·e 𝐵) = ((♯‘𝑎) ·e 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((♯‘𝑎) ·e 𝐵) = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
144	139, 140, 143	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((♯‘𝑎) ·e 𝐵) = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
145	50, 116	elrnmpti 5858	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝑎) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((♯‘𝑎) ·e 𝐵) = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
146	144, 145	sylibr 233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → ((♯‘𝑎) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)))
147		simpllr 772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → (𝑦 / 𝐵) < 𝑛)
148		simp-8r 788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → 𝑦 ∈ ℝ)
149	131	nnred 11918	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → 𝑛 ∈ ℝ)
150		simp-5r 782	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → 𝐵 ∈ ℝ+)
151	148, 149, 150	ltdivmul2d 12753	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → ((𝑦 / 𝐵) < 𝑛 ↔ 𝑦 < (𝑛 · 𝐵)))
152	147, 151	mpbid 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → 𝑦 < (𝑛 · 𝐵))
153	130	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → ((♯‘𝑎) ·e 𝐵) = (𝑛 ·e 𝐵))
154	150	rpred 12701	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → 𝐵 ∈ ℝ)
155		rexmul 12934	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑛 ·e 𝐵) = (𝑛 · 𝐵))
156	149, 154, 155	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → (𝑛 ·e 𝐵) = (𝑛 · 𝐵))
157	153, 156	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → ((♯‘𝑎) ·e 𝐵) = (𝑛 · 𝐵))
158	152, 157	breqtrrd 5098	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → 𝑦 < ((♯‘𝑎) ·e 𝐵))
159		breq2 5074	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = ((♯‘𝑎) ·e 𝐵) → (𝑦 < 𝑧 ↔ 𝑦 < ((♯‘𝑎) ·e 𝐵)))
160	159	rspcev 3552	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((♯‘𝑎) ·e 𝐵) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝑎) ·e 𝐵)) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
161	146, 158, 160	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑛) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
162	161	rexlimdva2 3215	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛) → (∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑎) = 𝑛 → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧))
163	162	impr 454	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ((𝑦 / 𝐵) < 𝑛 ∧ ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑎) = 𝑛)) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
164		simp-4r 780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ)
165		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
166	164, 165	rerpdivcld 12732	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ)
167		arch 12160	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛)
168	166, 167	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛)
169		ishashinf 14105	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑎) = 𝑛)
170	169	ad2antlr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑎) = 𝑛)
171		r19.29r 3184	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∃𝑛 ∈ ℕ (𝑦 / 𝐵) < 𝑛 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑎) = 𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 / 𝐵) < 𝑛 ∧ ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑎) = 𝑛))
172	168, 170, 171	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 / 𝐵) < 𝑛 ∧ ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑎) = 𝑛))
173	163, 172	r19.29a 3217	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
174		nfielex 8976	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑙 𝑙 ∈ 𝐴)
175	174	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) → ∃𝑙 𝑙 ∈ 𝐴)
176		snelpwi 5354	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑙 ∈ 𝐴 → {𝑙} ∈ 𝒫 𝐴)
177		snfi 8788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑙} ∈ Fin
178	176, 177	jctir 520	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑙 ∈ 𝐴 → ({𝑙} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ {𝑙} ∈ Fin))
179		elin 3899	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑙} ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ ({𝑙} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ {𝑙} ∈ Fin))
180	178, 179	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑙 ∈ 𝐴 → {𝑙} ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
181	180	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → {𝑙} ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
182		simplr 765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → 𝐵 = +∞)
183	182	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → ((♯‘{𝑙}) ·e 𝐵) = ((♯‘{𝑙}) ·e +∞))
184		hashsng 14012	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑙 ∈ 𝐴 → (♯‘{𝑙}) = 1)
185		1re 10906	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℝ
186	27, 185	sselii 3914	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℝ*
187	184, 186	eqeltrdi 2847	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑙 ∈ 𝐴 → (♯‘{𝑙}) ∈ ℝ*)
188		0lt1 11427	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 < 1
189	188, 184	breqtrrid 5108	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑙 ∈ 𝐴 → 0 < (♯‘{𝑙}))
190		xmulpnf1 12937	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((♯‘{𝑙}) ∈ ℝ* ∧ 0 < (♯‘{𝑙})) → ((♯‘{𝑙}) ·e +∞) = +∞)
191	187, 189, 190	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑙 ∈ 𝐴 → ((♯‘{𝑙}) ·e +∞) = +∞)
192	191	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → ((♯‘{𝑙}) ·e +∞) = +∞)
193	183, 192	eqtr2d 2779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → +∞ = ((♯‘{𝑙}) ·e 𝐵))
194		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = {𝑙} → (♯‘𝑥) = (♯‘{𝑙}))
195	194	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = {𝑙} → ((♯‘𝑥) ·e 𝐵) = ((♯‘{𝑙}) ·e 𝐵))
196	195	rspceeqv 3567	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (({𝑙} ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ +∞ = ((♯‘{𝑙}) ·e 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)+∞ = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
197	181, 193, 196	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)+∞ = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
198	175, 197	exlimddv 1939	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 = +∞) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)+∞ = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
199	198	adantll 710	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = +∞) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)+∞ = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
200	50, 116	elrnmpti 5858	. . . . . . . . 9 ⊢ (+∞ ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)+∞ = ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))
201	199, 200	sylibr 233	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = +∞) → +∞ ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)))
202		simp-4r 780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝑦 ∈ ℝ)
203		ltpnf 12785	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 < +∞)
204	202, 203	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝑦 < +∞)
205		breq2 5074	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = +∞ → (𝑦 < 𝑧 ↔ 𝑦 < +∞))
206	205	rspcev 3552	. . . . . . . 8 ⊢ ((+∞ ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ∧ 𝑦 < +∞) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
207	201, 204, 206	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = +∞) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
208		simp-4r 780	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
209		elxrge02 31108	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐵 = 0 ∨ 𝐵 ∈ ℝ+ ∨ 𝐵 = +∞))
210	208, 209	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐵 = 0 ∨ 𝐵 ∈ ℝ+ ∨ 𝐵 = +∞))
211	128, 173, 207, 210	mpjao3dan 1429	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
212	99, 211	pm2.61dan 809	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵)) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧)
213	212	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧))
214	213	ralrimiva 3107	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧))
215		supxr2 12977	. . 3 ⊢ (((ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)) ⊆ ℝ* ∧ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 ≤ ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < ((♯‘𝐴) ·e 𝐵) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵))𝑦 < 𝑧))) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)), ℝ*, < ) = ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
216	45, 48, 80, 214, 215	syl22anc 835	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) ·e 𝐵)), ℝ*, < ) = ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))
217	25, 216	eqtrd 2778	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = ((♯‘𝐴) ·e 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ w3o 1084   = wceq 1539  ∃wex 1783   ∈ wcel 2108  Ⅎwnfc 2886  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  Vcvv 3422   ∪ cun 3881   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  𝒫 cpw 4530  {csn 4558   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ran crn 5581  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ≼ cdom 8689  Fincfn 8691  supcsup 9129  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   · cmul 10807  +∞cpnf 10937  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940   ≤ cle 10941   / cdiv 11562  ℕcn 11903  ℕ₀cn0 12163  ℝ⁺crp 12659   ·_e cxmu 12776  [,]cicc 13011  ♯chash 13972   ↾_s cress 16867   Σ_g cgsu 17068  ℝ^*_𝑠cxrs 17128  Mndcmnd 18300  ._gcmg 18615  TopMndctmd 23129  Σ^*cesum 31895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ioc 13013  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-bc 13945  df-hash 13973  df-shft 14706  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-limsup 15108  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-ef 15705  df-sin 15707  df-cos 15708  df-pi 15710  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-ordt 17129  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-ps 18199  df-tsr 18200  df-plusf 18240  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-cring 19701  df-subrg 19937  df-abv 19992  df-lmod 20040  df-scaf 20041  df-sra 20349  df-rgmod 20350  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-lp 22195  df-perf 22196  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-haus 22374  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-tmd 23131  df-tgp 23132  df-tsms 23186  df-trg 23219  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-nm 23644  df-ngp 23645  df-nrg 23647  df-nlm 23648  df-ii 23946  df-cncf 23947  df-limc 24935  df-dv 24936  df-log 25617  df-esum 31896

This theorem is referenced by:  esumpinfval  31941  esumpinfsum  31945