MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tmdmulg Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tmdmulg 23595
Description: In a topological monoid, the n-times group multiple function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpmulg.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
tgpmulg.t Β· = (.gβ€˜πΊ)
tgpmulg.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
tmdmulg ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑁 Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐽   π‘₯, Β·   π‘₯,𝑁
Proof of Theorem tmdmulg
Dummy variables π‘˜ 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7415 . . . . 5 (𝑛 = 0 β†’ (𝑛 Β· π‘₯) = (0 Β· π‘₯))
2 tgpmulg.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
3 eqid 2732 . . . . . 6 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
4 tgpmulg.t . . . . . 6 Β· = (.gβ€˜πΊ)
52, 3, 4mulg0 18956 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ (0 Β· π‘₯) = (0gβ€˜πΊ))
61, 5sylan9eq 2792 . . . 4 ((𝑛 = 0 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝑛 Β· π‘₯) = (0gβ€˜πΊ))
76mpteq2dva 5248 . . 3 (𝑛 = 0 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑛 Β· π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (0gβ€˜πΊ)))
87eleq1d 2818 . 2 (𝑛 = 0 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑛 Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (0gβ€˜πΊ)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
9 oveq1 7415 . . . 4 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑛 Β· π‘₯) = (π‘˜ Β· π‘₯))
109mpteq2dv 5250 . . 3 (𝑛 = π‘˜ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑛 Β· π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ Β· π‘₯)))
1110eleq1d 2818 . 2 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑛 Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
12 oveq1 7415 . . . 4 (𝑛 = (π‘˜ + 1) β†’ (𝑛 Β· π‘₯) = ((π‘˜ + 1) Β· π‘₯))
1312mpteq2dv 5250 . . 3 (𝑛 = (π‘˜ + 1) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑛 Β· π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((π‘˜ + 1) Β· π‘₯)))
1413eleq1d 2818 . 2 (𝑛 = (π‘˜ + 1) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑛 Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((π‘˜ + 1) Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
15 oveq1 7415 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 β†’ (𝑛 Β· π‘₯) = (𝑁 Β· π‘₯))
1615mpteq2dv 5250 . . 3 (𝑛 = 𝑁 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑛 Β· π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑁 Β· π‘₯)))
1716eleq1d 2818 . 2 (𝑛 = 𝑁 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑛 Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑁 Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
18 tgpmulg.j . . . 4 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
1918, 2tmdtopon 23584 . . 3 (𝐺 ∈ TopMnd β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
20 tmdmnd 23578 . . . 4 (𝐺 ∈ TopMnd β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
212, 3mndidcl 18639 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐡)
2220, 21syl 17 . . 3 (𝐺 ∈ TopMnd β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐡)
2319, 19, 22cnmptc 23165 . 2 (𝐺 ∈ TopMnd β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (0gβ€˜πΊ)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
24 oveq2 7416 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘˜ + 1) Β· π‘₯) = ((π‘˜ + 1) Β· 𝑦))
2524cbvmptv 5261 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((π‘˜ + 1) Β· π‘₯)) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ((π‘˜ + 1) Β· 𝑦))
26 eqid 2732 . . . . . . . 8 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
272, 4, 26mulgnn0p1 18964 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘˜ + 1) Β· 𝑦) = ((π‘˜ Β· 𝑦)(+gβ€˜πΊ)𝑦))
2820, 27syl3an1 1163 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘˜ + 1) Β· 𝑦) = ((π‘˜ Β· 𝑦)(+gβ€˜πΊ)𝑦))
2928ad4ant124 1173 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ TopMnd ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘˜ + 1) Β· 𝑦) = ((π‘˜ Β· 𝑦)(+gβ€˜πΊ)𝑦))
3029mpteq2dva 5248 . . . 4 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ((π‘˜ + 1) Β· 𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ((π‘˜ Β· 𝑦)(+gβ€˜πΊ)𝑦)))
3125, 30eqtrid 2784 . . 3 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((π‘˜ + 1) Β· π‘₯)) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ((π‘˜ Β· 𝑦)(+gβ€˜πΊ)𝑦)))
32 simpll 765 . . . 4 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ 𝐺 ∈ TopMnd)
3332, 19syl 17 . . . 4 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
34 oveq2 7416 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘˜ Β· π‘₯) = (π‘˜ Β· 𝑦))
3534cbvmptv 5261 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ Β· π‘₯)) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ Β· 𝑦))
36 simpr 485 . . . . 5 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
3735, 36eqeltrrid 2838 . . . 4 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ Β· 𝑦)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
3833cnmptid 23164 . . . 4 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝑦) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
3918, 26, 32, 33, 37, 38cnmpt1plusg 23590 . . 3 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ((π‘˜ Β· 𝑦)(+gβ€˜πΊ)𝑦)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
4031, 39eqeltrd 2833 . 2 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((π‘˜ + 1) Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
418, 11, 14, 17, 23, 40nn0indd 12658 1 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑁 Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112  β„•0cn0 12471  Basecbs 17143  +gcplusg 17196  TopOpenctopn 17366  0gc0g 17384  Mndcmnd 18624  .gcmg 18949  TopOnctopon 22411   Cn ccn 22727  TopMndctmd 23573
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-seq 13966  df-0g 17386  df-topgen 17388  df-plusf 18559  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mulg 18950  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-tx 23065  df-tmd 23575
This theorem is referenced by:  tgpmulg  23596
  Copyright terms: Public domain W3C validator