MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tmdmulg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tmdmulg 23578
Description: In a topological monoid, the n-times group multiple function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpmulg.j 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
tgpmulg.t · = (.g𝐺)
tgpmulg.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
tmdmulg ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝐽   𝑥, ·   𝑥,𝑁

Proof of Theorem tmdmulg
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7411 . . . . 5 (𝑛 = 0 → (𝑛 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
2 tgpmulg.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 eqid 2733 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝐺)
4 tgpmulg.t . . . . . 6 · = (.g𝐺)
52, 3, 4mulg0 18951 . . . . 5 (𝑥𝐵 → (0 · 𝑥) = (0g𝐺))
61, 5sylan9eq 2793 . . . 4 ((𝑛 = 0 ∧ 𝑥𝐵) → (𝑛 · 𝑥) = (0g𝐺))
76mpteq2dva 5247 . . 3 (𝑛 = 0 → (𝑥𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) = (𝑥𝐵 ↦ (0g𝐺)))
87eleq1d 2819 . 2 (𝑛 = 0 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥𝐵 ↦ (0g𝐺)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
9 oveq1 7411 . . . 4 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · 𝑥) = (𝑘 · 𝑥))
109mpteq2dv 5249 . . 3 (𝑛 = 𝑘 → (𝑥𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) = (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)))
1110eleq1d 2819 . 2 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
12 oveq1 7411 . . . 4 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑛 · 𝑥) = ((𝑘 + 1) · 𝑥))
1312mpteq2dv 5249 . . 3 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) = (𝑥𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)))
1413eleq1d 2819 . 2 (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
15 oveq1 7411 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 · 𝑥) = (𝑁 · 𝑥))
1615mpteq2dv 5249 . . 3 (𝑛 = 𝑁 → (𝑥𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) = (𝑥𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)))
1716eleq1d 2819 . 2 (𝑛 = 𝑁 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
18 tgpmulg.j . . . 4 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
1918, 2tmdtopon 23567 . . 3 (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
20 tmdmnd 23561 . . . 4 (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
212, 3mndidcl 18636 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
2220, 21syl 17 . . 3 (𝐺 ∈ TopMnd → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
2319, 19, 22cnmptc 23148 . 2 (𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥𝐵 ↦ (0g𝐺)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
24 oveq2 7412 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑘 + 1) · 𝑥) = ((𝑘 + 1) · 𝑦))
2524cbvmptv 5260 . . . 4 (𝑥𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)) = (𝑦𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑦))
26 eqid 2733 . . . . . . . 8 (+g𝐺) = (+g𝐺)
272, 4, 26mulgnn0p1 18959 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0𝑦𝐵) → ((𝑘 + 1) · 𝑦) = ((𝑘 · 𝑦)(+g𝐺)𝑦))
2820, 27syl3an1 1164 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0𝑦𝐵) → ((𝑘 + 1) · 𝑦) = ((𝑘 · 𝑦)(+g𝐺)𝑦))
2928ad4ant124 1174 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑘 + 1) · 𝑦) = ((𝑘 · 𝑦)(+g𝐺)𝑦))
3029mpteq2dva 5247 . . . 4 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑦)) = (𝑦𝐵 ↦ ((𝑘 · 𝑦)(+g𝐺)𝑦)))
3125, 30eqtrid 2785 . . 3 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)) = (𝑦𝐵 ↦ ((𝑘 · 𝑦)(+g𝐺)𝑦)))
32 simpll 766 . . . 4 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝐺 ∈ TopMnd)
3332, 19syl 17 . . . 4 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
34 oveq2 7412 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑘 · 𝑥) = (𝑘 · 𝑦))
3534cbvmptv 5260 . . . . 5 (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) = (𝑦𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑦))
36 simpr 486 . . . . 5 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
3735, 36eqeltrrid 2839 . . . 4 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑦)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
3833cnmptid 23147 . . . 4 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦𝐵𝑦) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
3918, 26, 32, 33, 37, 38cnmpt1plusg 23573 . . 3 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦𝐵 ↦ ((𝑘 · 𝑦)(+g𝐺)𝑦)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
4031, 39eqeltrd 2834 . 2 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
418, 11, 14, 17, 23, 40nn0indd 12655 1 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  cmpt 5230  cfv 6540  (class class class)co 7404  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109  0cn0 12468  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  TopOpenctopn 17363  0gc0g 17381  Mndcmnd 18621  .gcmg 18944  TopOnctopon 22394   Cn ccn 22710  TopMndctmd 23556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-seq 13963  df-0g 17383  df-topgen 17385  df-plusf 18556  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mulg 18945  df-top 22378  df-topon 22395  df-topsp 22417  df-bases 22431  df-cn 22713  df-cnp 22714  df-tx 23048  df-tmd 23558
This theorem is referenced by:  tgpmulg  23579
  Copyright terms: Public domain W3C validator