MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tmdmulg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tmdmulg 24100
Description: In a topological monoid, the n-times group multiple function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpmulg.j 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
tgpmulg.t · = (.g𝐺)
tgpmulg.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
tmdmulg ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝐽   𝑥, ·   𝑥,𝑁

Proof of Theorem tmdmulg
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7438 . . . . 5 (𝑛 = 0 → (𝑛 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
2 tgpmulg.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 eqid 2737 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝐺)
4 tgpmulg.t . . . . . 6 · = (.g𝐺)
52, 3, 4mulg0 19092 . . . . 5 (𝑥𝐵 → (0 · 𝑥) = (0g𝐺))
61, 5sylan9eq 2797 . . . 4 ((𝑛 = 0 ∧ 𝑥𝐵) → (𝑛 · 𝑥) = (0g𝐺))
76mpteq2dva 5242 . . 3 (𝑛 = 0 → (𝑥𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) = (𝑥𝐵 ↦ (0g𝐺)))
87eleq1d 2826 . 2 (𝑛 = 0 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥𝐵 ↦ (0g𝐺)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
9 oveq1 7438 . . . 4 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · 𝑥) = (𝑘 · 𝑥))
109mpteq2dv 5244 . . 3 (𝑛 = 𝑘 → (𝑥𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) = (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)))
1110eleq1d 2826 . 2 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
12 oveq1 7438 . . . 4 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑛 · 𝑥) = ((𝑘 + 1) · 𝑥))
1312mpteq2dv 5244 . . 3 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) = (𝑥𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)))
1413eleq1d 2826 . 2 (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
15 oveq1 7438 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 · 𝑥) = (𝑁 · 𝑥))
1615mpteq2dv 5244 . . 3 (𝑛 = 𝑁 → (𝑥𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) = (𝑥𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)))
1716eleq1d 2826 . 2 (𝑛 = 𝑁 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
18 tgpmulg.j . . . 4 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
1918, 2tmdtopon 24089 . . 3 (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
20 tmdmnd 24083 . . . 4 (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
212, 3mndidcl 18762 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
2220, 21syl 17 . . 3 (𝐺 ∈ TopMnd → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
2319, 19, 22cnmptc 23670 . 2 (𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥𝐵 ↦ (0g𝐺)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
24 oveq2 7439 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑘 + 1) · 𝑥) = ((𝑘 + 1) · 𝑦))
2524cbvmptv 5255 . . . 4 (𝑥𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)) = (𝑦𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑦))
26 eqid 2737 . . . . . . . 8 (+g𝐺) = (+g𝐺)
272, 4, 26mulgnn0p1 19103 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0𝑦𝐵) → ((𝑘 + 1) · 𝑦) = ((𝑘 · 𝑦)(+g𝐺)𝑦))
2820, 27syl3an1 1164 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0𝑦𝐵) → ((𝑘 + 1) · 𝑦) = ((𝑘 · 𝑦)(+g𝐺)𝑦))
2928ad4ant124 1174 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑘 + 1) · 𝑦) = ((𝑘 · 𝑦)(+g𝐺)𝑦))
3029mpteq2dva 5242 . . . 4 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑦)) = (𝑦𝐵 ↦ ((𝑘 · 𝑦)(+g𝐺)𝑦)))
3125, 30eqtrid 2789 . . 3 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)) = (𝑦𝐵 ↦ ((𝑘 · 𝑦)(+g𝐺)𝑦)))
32 simpll 767 . . . 4 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝐺 ∈ TopMnd)
3332, 19syl 17 . . . 4 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
34 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑘 · 𝑥) = (𝑘 · 𝑦))
3534cbvmptv 5255 . . . . 5 (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) = (𝑦𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑦))
36 simpr 484 . . . . 5 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
3735, 36eqeltrrid 2846 . . . 4 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑦)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
3833cnmptid 23669 . . . 4 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦𝐵𝑦) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
3918, 26, 32, 33, 37, 38cnmpt1plusg 24095 . . 3 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦𝐵 ↦ ((𝑘 · 𝑦)(+g𝐺)𝑦)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
4031, 39eqeltrd 2841 . 2 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
418, 11, 14, 17, 23, 40nn0indd 12715 1 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  0cn0 12526  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  TopOpenctopn 17466  0gc0g 17484  Mndcmnd 18747  .gcmg 19085  TopOnctopon 22916   Cn ccn 23232  TopMndctmd 24078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-seq 14043  df-0g 17486  df-topgen 17488  df-plusf 18652  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mulg 19086  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-tx 23570  df-tmd 24080
This theorem is referenced by:  tgpmulg  24101
  Copyright terms: Public domain W3C validator