Theorem tmdmulg 24214

Description: In a topological monoid, the n-times group multiple function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgpmulg.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
tgpmulg.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
tgpmulg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
tmdmulg	⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝐽   𝑥, ·   𝑥,𝑁

Proof of Theorem tmdmulg

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7415	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
2		tgpmulg.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4		tgpmulg.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mulg0 19136	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑥) = (0g‘𝐺))
6	1, 5	sylan9eq 2824	. . . 4 ⊢ ((𝑛 = 0 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑛 · 𝑥) = (0g‘𝐺))
7	6	mpteq2dva 5205	. . 3 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (0g‘𝐺)))
8	7	eleq1d 2854	. 2 ⊢ (𝑛 = 0 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (0g‘𝐺)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
9		oveq1 7415	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · 𝑥) = (𝑘 · 𝑥))
10	9	mpteq2dv 5206	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)))
11	10	eleq1d 2854	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
12		oveq1 7415	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑛 · 𝑥) = ((𝑘 + 1) · 𝑥))
13	12	mpteq2dv 5206	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)))
14	13	eleq1d 2854	. 2 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
15		oveq1 7415	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 · 𝑥) = (𝑁 · 𝑥))
16	15	mpteq2dv 5206	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)))
17	16	eleq1d 2854	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
18		tgpmulg.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
19	18, 2	tmdtopon 24203	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
20		tmdmnd 24197	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
21	2, 3	mndidcl 18803	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
22	20, 21	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
23	19, 19, 22	cnmptc 23784	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (0g‘𝐺)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
24		oveq2 7416	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑘 + 1) · 𝑥) = ((𝑘 + 1) · 𝑦))
25	24	cbvmptv 5216	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑦))
26		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
27	2, 4, 26	mulgnn0p1 19147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑘 + 1) · 𝑦) = ((𝑘 · 𝑦)(+g‘𝐺)𝑦))
28	20, 27	syl3an1 1179	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑘 + 1) · 𝑦) = ((𝑘 · 𝑦)(+g‘𝐺)𝑦))
29	28	ad4ant124 1190	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑘 + 1) · 𝑦) = ((𝑘 · 𝑦)(+g‘𝐺)𝑦))
30	29	mpteq2dva 5205	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑘 · 𝑦)(+g‘𝐺)𝑦)))
31	25, 30	eqtrid 2816	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑘 · 𝑦)(+g‘𝐺)𝑦)))
32		simpll 778	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝐺 ∈ TopMnd)
33	32, 19	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
34		oveq2 7416	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑘 · 𝑥) = (𝑘 · 𝑦))
35	34	cbvmptv 5216	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑦))
36		simpr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
37	35, 36	eqeltrrid 2874	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑦)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
38	33	cnmptid 23783	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑦) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
39	18, 26, 32, 33, 37, 38	cnmpt1plusg 24209	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑘 · 𝑦)(+g‘𝐺)𝑦)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
40	31, 39	eqeltrd 2869	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
41	8, 11, 14, 17, 23, 40	nn0indd 12689	1 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ↦ cmpt 5193  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  0cc0 11096  1c1 11097   + caddc 11099  ℕ₀cn0 12500  Basecbs 17265  +_gcplusg 17306  TopOpenctopn 17470  0_gc0g 17488  Mndcmnd 18788  ._gcmg 19129  TopOnctopon 23032   Cn ccn 23346  TopMndctmd 24192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-seq 14034  df-0g 17490  df-topgen 17492  df-plusf 18693  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-mulg 19130  df-top 23016  df-topon 23033  df-topsp 23055  df-bases 23068  df-cn 23349  df-cnp 23350  df-tx 23684  df-tmd 24194

This theorem is referenced by:  tgpmulg  24215