Theorem tmdmulg 24230

Description: In a topological monoid, the n-times group multiple function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgpmulg.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
tgpmulg.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
tgpmulg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
tmdmulg	⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝐽   𝑥, ·   𝑥,𝑁

Proof of Theorem tmdmulg

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7419	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
2		tgpmulg.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4		tgpmulg.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mulg0 19141	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑥) = (0g‘𝐺))
6	1, 5	sylan9eq 2818	. . . 4 ⊢ ((𝑛 = 0 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑛 · 𝑥) = (0g‘𝐺))
7	6	mpteq2dva 5205	. . 3 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (0g‘𝐺)))
8	7	eleq1d 2848	. 2 ⊢ (𝑛 = 0 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (0g‘𝐺)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
9		oveq1 7419	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · 𝑥) = (𝑘 · 𝑥))
10	9	mpteq2dv 5206	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)))
11	10	eleq1d 2848	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
12		oveq1 7419	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑛 · 𝑥) = ((𝑘 + 1) · 𝑥))
13	12	mpteq2dv 5206	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)))
14	13	eleq1d 2848	. 2 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
15		oveq1 7419	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 · 𝑥) = (𝑁 · 𝑥))
16	15	mpteq2dv 5206	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)))
17	16	eleq1d 2848	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
18		tgpmulg.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
19	18, 2	tmdtopon 24219	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
20		tmdmnd 24213	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
21	2, 3	mndidcl 18808	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
22	20, 21	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
23	19, 19, 22	cnmptc 23800	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (0g‘𝐺)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
24		oveq2 7420	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑘 + 1) · 𝑥) = ((𝑘 + 1) · 𝑦))
25	24	cbvmptv 5216	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑦))
26		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
27	2, 4, 26	mulgnn0p1 19152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑘 + 1) · 𝑦) = ((𝑘 · 𝑦)(+g‘𝐺)𝑦))
28	20, 27	syl3an1 1181	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑘 + 1) · 𝑦) = ((𝑘 · 𝑦)(+g‘𝐺)𝑦))
29	28	ad4ant124 1192	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑘 + 1) · 𝑦) = ((𝑘 · 𝑦)(+g‘𝐺)𝑦))
30	29	mpteq2dva 5205	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑘 · 𝑦)(+g‘𝐺)𝑦)))
31	25, 30	eqtrid 2810	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑘 · 𝑦)(+g‘𝐺)𝑦)))
32		simpll 778	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝐺 ∈ TopMnd)
33	32, 19	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
34		oveq2 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑘 · 𝑥) = (𝑘 · 𝑦))
35	34	cbvmptv 5216	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑦))
36		simpr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
37	35, 36	eqeltrrid 2868	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑦)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
38	33	cnmptid 23799	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑦) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
39	18, 26, 32, 33, 37, 38	cnmpt1plusg 24225	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑘 · 𝑦)(+g‘𝐺)𝑦)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
40	31, 39	eqeltrd 2863	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
41	8, 11, 14, 17, 23, 40	nn0indd 12694	1 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ↦ cmpt 5193  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104  ℕ₀cn0 12505  Basecbs 17270  +_gcplusg 17311  TopOpenctopn 17475  0_gc0g 17493  Mndcmnd 18793  ._gcmg 19134  TopOnctopon 23048   Cn ccn 23362  TopMndctmd 24208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-seq 14040  df-0g 17495  df-topgen 17497  df-plusf 18698  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-mulg 19135  df-top 23032  df-topon 23049  df-topsp 23071  df-bases 23084  df-cn 23365  df-cnp 23366  df-tx 23700  df-tmd 24210

This theorem is referenced by:  tgpmulg  24231