Theorem tmdmulg 24057

Description: In a topological monoid, the n-times group multiple function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgpmulg.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
tgpmulg.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
tgpmulg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
tmdmulg	⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝐽   𝑥, ·   𝑥,𝑁

Proof of Theorem tmdmulg

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7374	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
2		tgpmulg.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4		tgpmulg.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mulg0 19050	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑥) = (0g‘𝐺))
6	1, 5	sylan9eq 2791	. . . 4 ⊢ ((𝑛 = 0 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑛 · 𝑥) = (0g‘𝐺))
7	6	mpteq2dva 5178	. . 3 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (0g‘𝐺)))
8	7	eleq1d 2821	. 2 ⊢ (𝑛 = 0 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (0g‘𝐺)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
9		oveq1 7374	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · 𝑥) = (𝑘 · 𝑥))
10	9	mpteq2dv 5179	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)))
11	10	eleq1d 2821	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
12		oveq1 7374	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑛 · 𝑥) = ((𝑘 + 1) · 𝑥))
13	12	mpteq2dv 5179	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)))
14	13	eleq1d 2821	. 2 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
15		oveq1 7374	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 · 𝑥) = (𝑁 · 𝑥))
16	15	mpteq2dv 5179	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)))
17	16	eleq1d 2821	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
18		tgpmulg.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
19	18, 2	tmdtopon 24046	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
20		tmdmnd 24040	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
21	2, 3	mndidcl 18717	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
22	20, 21	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
23	19, 19, 22	cnmptc 23627	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (0g‘𝐺)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
24		oveq2 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑘 + 1) · 𝑥) = ((𝑘 + 1) · 𝑦))
25	24	cbvmptv 5189	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑦))
26		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
27	2, 4, 26	mulgnn0p1 19061	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑘 + 1) · 𝑦) = ((𝑘 · 𝑦)(+g‘𝐺)𝑦))
28	20, 27	syl3an1 1164	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑘 + 1) · 𝑦) = ((𝑘 · 𝑦)(+g‘𝐺)𝑦))
29	28	ad4ant124 1175	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑘 + 1) · 𝑦) = ((𝑘 · 𝑦)(+g‘𝐺)𝑦))
30	29	mpteq2dva 5178	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑘 · 𝑦)(+g‘𝐺)𝑦)))
31	25, 30	eqtrid 2783	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑘 · 𝑦)(+g‘𝐺)𝑦)))
32		simpll 767	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝐺 ∈ TopMnd)
33	32, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
34		oveq2 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑘 · 𝑥) = (𝑘 · 𝑦))
35	34	cbvmptv 5189	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑦))
36		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
37	35, 36	eqeltrrid 2841	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑦)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
38	33	cnmptid 23626	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑦) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
39	18, 26, 32, 33, 37, 38	cnmpt1plusg 24052	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑘 · 𝑦)(+g‘𝐺)𝑦)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
40	31, 39	eqeltrd 2836	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
41	8, 11, 14, 17, 23, 40	nn0indd 12626	1 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ↦ cmpt 5166  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041  ℕ₀cn0 12437  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  TopOpenctopn 17384  0_gc0g 17402  Mndcmnd 18702  ._gcmg 19043  TopOnctopon 22875   Cn ccn 23189  TopMndctmd 24035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-seq 13964  df-0g 17404  df-topgen 17406  df-plusf 18607  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mulg 19044  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-tx 23527  df-tmd 24037

This theorem is referenced by:  tgpmulg  24058