Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tmdmulg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tmdmulg 22707
 Description: In a topological monoid, the n-times group multiple function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpmulg.j 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
tgpmulg.t · = (.g𝐺)
tgpmulg.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
tmdmulg ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝐽   𝑥, ·   𝑥,𝑁

Proof of Theorem tmdmulg
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7143 . . . . 5 (𝑛 = 0 → (𝑛 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
2 tgpmulg.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 eqid 2798 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝐺)
4 tgpmulg.t . . . . . 6 · = (.g𝐺)
52, 3, 4mulg0 18227 . . . . 5 (𝑥𝐵 → (0 · 𝑥) = (0g𝐺))
61, 5sylan9eq 2853 . . . 4 ((𝑛 = 0 ∧ 𝑥𝐵) → (𝑛 · 𝑥) = (0g𝐺))
76mpteq2dva 5126 . . 3 (𝑛 = 0 → (𝑥𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) = (𝑥𝐵 ↦ (0g𝐺)))
87eleq1d 2874 . 2 (𝑛 = 0 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥𝐵 ↦ (0g𝐺)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
9 oveq1 7143 . . . 4 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · 𝑥) = (𝑘 · 𝑥))
109mpteq2dv 5127 . . 3 (𝑛 = 𝑘 → (𝑥𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) = (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)))
1110eleq1d 2874 . 2 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
12 oveq1 7143 . . . 4 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑛 · 𝑥) = ((𝑘 + 1) · 𝑥))
1312mpteq2dv 5127 . . 3 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) = (𝑥𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)))
1413eleq1d 2874 . 2 (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
15 oveq1 7143 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 · 𝑥) = (𝑁 · 𝑥))
1615mpteq2dv 5127 . . 3 (𝑛 = 𝑁 → (𝑥𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) = (𝑥𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)))
1716eleq1d 2874 . 2 (𝑛 = 𝑁 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
18 tgpmulg.j . . . 4 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
1918, 2tmdtopon 22696 . . 3 (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
20 tmdmnd 22690 . . . 4 (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
212, 3mndidcl 17921 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
2220, 21syl 17 . . 3 (𝐺 ∈ TopMnd → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
2319, 19, 22cnmptc 22277 . 2 (𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥𝐵 ↦ (0g𝐺)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
24 oveq2 7144 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑘 + 1) · 𝑥) = ((𝑘 + 1) · 𝑦))
2524cbvmptv 5134 . . . 4 (𝑥𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)) = (𝑦𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑦))
26 eqid 2798 . . . . . . . 8 (+g𝐺) = (+g𝐺)
272, 4, 26mulgnn0p1 18235 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0𝑦𝐵) → ((𝑘 + 1) · 𝑦) = ((𝑘 · 𝑦)(+g𝐺)𝑦))
2820, 27syl3an1 1160 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0𝑦𝐵) → ((𝑘 + 1) · 𝑦) = ((𝑘 · 𝑦)(+g𝐺)𝑦))
2928ad4ant124 1170 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑘 + 1) · 𝑦) = ((𝑘 · 𝑦)(+g𝐺)𝑦))
3029mpteq2dva 5126 . . . 4 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑦)) = (𝑦𝐵 ↦ ((𝑘 · 𝑦)(+g𝐺)𝑦)))
3125, 30syl5eq 2845 . . 3 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)) = (𝑦𝐵 ↦ ((𝑘 · 𝑦)(+g𝐺)𝑦)))
32 simpll 766 . . . 4 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝐺 ∈ TopMnd)
3332, 19syl 17 . . . 4 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
34 oveq2 7144 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑘 · 𝑥) = (𝑘 · 𝑦))
3534cbvmptv 5134 . . . . 5 (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) = (𝑦𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑦))
36 simpr 488 . . . . 5 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
3735, 36eqeltrrid 2895 . . . 4 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑦)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
3833cnmptid 22276 . . . 4 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦𝐵𝑦) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
3918, 26, 32, 33, 37, 38cnmpt1plusg 22702 . . 3 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦𝐵 ↦ ((𝑘 · 𝑦)(+g𝐺)𝑦)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
4031, 39eqeltrd 2890 . 2 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
418, 11, 14, 17, 23, 40nn0indd 12070 1 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ↦ cmpt 5111  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532  ℕ0cn0 11888  Basecbs 16478  +gcplusg 16560  TopOpenctopn 16690  0gc0g 16708  Mndcmnd 17906  .gcmg 18220  TopOnctopon 21525   Cn ccn 21839  TopMndctmd 22685 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-er 8275  df-map 8394  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-n0 11889  df-z 11973  df-uz 12235  df-seq 13368  df-0g 16710  df-topgen 16712  df-plusf 17846  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mulg 18221  df-top 21509  df-topon 21526  df-topsp 21548  df-bases 21561  df-cn 21842  df-cnp 21843  df-tx 22177  df-tmd 22687 This theorem is referenced by:  tgpmulg  22708
 Copyright terms: Public domain W3C validator