MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tmdmulg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tmdmulg 23466
Description: In a topological monoid, the n-times group multiple function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpmulg.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
tgpmulg.t Β· = (.gβ€˜πΊ)
tgpmulg.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
tmdmulg ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑁 Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐽   π‘₯, Β·   π‘₯,𝑁

Proof of Theorem tmdmulg
Dummy variables π‘˜ 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7368 . . . . 5 (𝑛 = 0 β†’ (𝑛 Β· π‘₯) = (0 Β· π‘₯))
2 tgpmulg.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
3 eqid 2733 . . . . . 6 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
4 tgpmulg.t . . . . . 6 Β· = (.gβ€˜πΊ)
52, 3, 4mulg0 18887 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ (0 Β· π‘₯) = (0gβ€˜πΊ))
61, 5sylan9eq 2793 . . . 4 ((𝑛 = 0 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝑛 Β· π‘₯) = (0gβ€˜πΊ))
76mpteq2dva 5209 . . 3 (𝑛 = 0 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑛 Β· π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (0gβ€˜πΊ)))
87eleq1d 2819 . 2 (𝑛 = 0 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑛 Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (0gβ€˜πΊ)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
9 oveq1 7368 . . . 4 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑛 Β· π‘₯) = (π‘˜ Β· π‘₯))
109mpteq2dv 5211 . . 3 (𝑛 = π‘˜ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑛 Β· π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ Β· π‘₯)))
1110eleq1d 2819 . 2 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑛 Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
12 oveq1 7368 . . . 4 (𝑛 = (π‘˜ + 1) β†’ (𝑛 Β· π‘₯) = ((π‘˜ + 1) Β· π‘₯))
1312mpteq2dv 5211 . . 3 (𝑛 = (π‘˜ + 1) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑛 Β· π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((π‘˜ + 1) Β· π‘₯)))
1413eleq1d 2819 . 2 (𝑛 = (π‘˜ + 1) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑛 Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((π‘˜ + 1) Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
15 oveq1 7368 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 β†’ (𝑛 Β· π‘₯) = (𝑁 Β· π‘₯))
1615mpteq2dv 5211 . . 3 (𝑛 = 𝑁 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑛 Β· π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑁 Β· π‘₯)))
1716eleq1d 2819 . 2 (𝑛 = 𝑁 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑛 Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑁 Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
18 tgpmulg.j . . . 4 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
1918, 2tmdtopon 23455 . . 3 (𝐺 ∈ TopMnd β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
20 tmdmnd 23449 . . . 4 (𝐺 ∈ TopMnd β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
212, 3mndidcl 18579 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐡)
2220, 21syl 17 . . 3 (𝐺 ∈ TopMnd β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐡)
2319, 19, 22cnmptc 23036 . 2 (𝐺 ∈ TopMnd β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (0gβ€˜πΊ)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
24 oveq2 7369 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘˜ + 1) Β· π‘₯) = ((π‘˜ + 1) Β· 𝑦))
2524cbvmptv 5222 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((π‘˜ + 1) Β· π‘₯)) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ((π‘˜ + 1) Β· 𝑦))
26 eqid 2733 . . . . . . . 8 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
272, 4, 26mulgnn0p1 18895 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘˜ + 1) Β· 𝑦) = ((π‘˜ Β· 𝑦)(+gβ€˜πΊ)𝑦))
2820, 27syl3an1 1164 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘˜ + 1) Β· 𝑦) = ((π‘˜ Β· 𝑦)(+gβ€˜πΊ)𝑦))
2928ad4ant124 1174 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ TopMnd ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘˜ + 1) Β· 𝑦) = ((π‘˜ Β· 𝑦)(+gβ€˜πΊ)𝑦))
3029mpteq2dva 5209 . . . 4 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ((π‘˜ + 1) Β· 𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ((π‘˜ Β· 𝑦)(+gβ€˜πΊ)𝑦)))
3125, 30eqtrid 2785 . . 3 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((π‘˜ + 1) Β· π‘₯)) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ((π‘˜ Β· 𝑦)(+gβ€˜πΊ)𝑦)))
32 simpll 766 . . . 4 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ 𝐺 ∈ TopMnd)
3332, 19syl 17 . . . 4 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
34 oveq2 7369 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘˜ Β· π‘₯) = (π‘˜ Β· 𝑦))
3534cbvmptv 5222 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ Β· π‘₯)) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ Β· 𝑦))
36 simpr 486 . . . . 5 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
3735, 36eqeltrrid 2839 . . . 4 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ Β· 𝑦)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
3833cnmptid 23035 . . . 4 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝑦) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
3918, 26, 32, 33, 37, 38cnmpt1plusg 23461 . . 3 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ((π‘˜ Β· 𝑦)(+gβ€˜πΊ)𝑦)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
4031, 39eqeltrd 2834 . 2 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((π‘˜ + 1) Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
418, 11, 14, 17, 23, 40nn0indd 12608 1 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑁 Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ↦ cmpt 5192  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062  β„•0cn0 12421  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  TopOpenctopn 17311  0gc0g 17329  Mndcmnd 18564  .gcmg 18880  TopOnctopon 22282   Cn ccn 22598  TopMndctmd 23444
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-seq 13916  df-0g 17331  df-topgen 17333  df-plusf 18504  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mulg 18881  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-tx 22936  df-tmd 23446
This theorem is referenced by:  tgpmulg  23467
  Copyright terms: Public domain W3C validator