Theorem oppgtmd 24083

Description: The opposite of a topological monoid is a topological monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
oppgtmd.1	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
oppgtmd	⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝑂 ∈ TopMnd)

Proof of Theorem oppgtmd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tmdmnd 24061	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
2		oppgtmd.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝐺)
3	2	oppgmnd 19323	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝑂 ∈ Mnd)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝑂 ∈ Mnd)
5		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
6		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
7	5, 6	tmdtopon 24067	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
8	2, 6	oppgbas 19320	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝑂)
9	2, 5	oppgtopn 19322	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝑂)
10	8, 9	istps 22920	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
11	7, 10	sylibr 236	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝑂 ∈ TopSp)
12		eqid 2741	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
13		id 22	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ TopMnd)
14	7, 7	cnmpt2nd 23655	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ 𝑦) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
15	7, 7	cnmpt1st 23654	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ 𝑥) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
16	5, 12, 13, 7, 7, 14, 15	cnmpt2plusg 24074	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
17		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑂) = (+g‘𝑂)
18		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ (+𝑓‘𝑂) = (+𝑓‘𝑂)
19	8, 17, 18	plusffval 18609	. . . 4 ⊢ (+𝑓‘𝑂) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(+g‘𝑂)𝑦))
20	12, 2, 17	oppgplus 19318	. . . . 5 ⊢ (𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)
21	6, 6, 20	mpoeq123i 7435	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(+g‘𝑂)𝑦)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
22	19, 21	eqtr2i 2765	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)) = (+𝑓‘𝑂)
23	22, 9	istmd 24060	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ TopMnd ↔ (𝑂 ∈ Mnd ∧ 𝑂 ∈ TopSp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺))))
24	4, 11, 16, 23	syl3anbrc 1351	1 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝑂 ∈ TopMnd)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359   ∈ cmpo 7361  Basecbs 17174  +_gcplusg 17215  TopOpenctopn 17379  +_𝑓cplusf 18600  Mndcmnd 18697  opp_gcoppg 19314  TopOnctopon 22896  TopSpctps 22918   Cn ccn 23210   ×_t ctx 23546  TopMndctmd 24056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-plusg 17228  df-tset 17234  df-rest 17380  df-topn 17381  df-0g 17399  df-topgen 17401  df-plusf 18602  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-oppg 19315  df-top 22880  df-topon 22897  df-topsp 22919  df-bases 22932  df-cn 23213  df-tx 23548  df-tmd 24058

This theorem is referenced by:  oppgtgp  24084