Theorem oppgtmd 24254

Description: The opposite of a topological monoid is a topological monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
oppgtmd.1	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
oppgtmd	⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝑂 ∈ TopMnd)

Proof of Theorem oppgtmd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tmdmnd 24232	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
2		oppgtmd.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝐺)
3	2	oppgmnd 19419	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝑂 ∈ Mnd)
4	1, 3	syl 18	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝑂 ∈ Mnd)
5		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
6		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
7	5, 6	tmdtopon 24238	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
8	2, 6	oppgbas 19416	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝑂)
9	2, 5	oppgtopn 19418	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝑂)
10	8, 9	istps 23091	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
11	7, 10	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝑂 ∈ TopSp)
12		eqid 2763	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
13		id 23	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ TopMnd)
14	7, 7	cnmpt2nd 23826	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ 𝑦) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
15	7, 7	cnmpt1st 23825	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ 𝑥) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
16	5, 12, 13, 7, 7, 14, 15	cnmpt2plusg 24245	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
17		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑂) = (+g‘𝑂)
18		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (+𝑓‘𝑂) = (+𝑓‘𝑂)
19	8, 17, 18	plusffval 18699	. . . 4 ⊢ (+𝑓‘𝑂) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(+g‘𝑂)𝑦))
20	12, 2, 17	oppgplus 19414	. . . . 5 ⊢ (𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)
21	6, 6, 20	mpoeq123i 7486	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(+g‘𝑂)𝑦)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
22	19, 21	eqtr2i 2787	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)) = (+𝑓‘𝑂)
23	22, 9	istmd 24231	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ TopMnd ↔ (𝑂 ∈ Mnd ∧ 𝑂 ∈ TopSp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺))))
24	4, 11, 16, 23	syl3anbrc 1362	1 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝑂 ∈ TopMnd)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412  Basecbs 17264  +_gcplusg 17305  TopOpenctopn 17469  +_𝑓cplusf 18690  Mndcmnd 18787  opp_gcoppg 19410  TopOnctopon 23067  TopSpctps 23089   Cn ccn 23381   ×_t ctx 23717  TopMndctmd 24227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-plusg 17318  df-tset 17324  df-rest 17470  df-topn 17471  df-0g 17489  df-topgen 17491  df-plusf 18692  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-oppg 19411  df-top 23051  df-topon 23068  df-topsp 23090  df-bases 23103  df-cn 23384  df-tx 23719  df-tmd 24229

This theorem is referenced by:  oppgtgp  24255