MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgtmd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppgtmd 24021
Description: The opposite of a topological monoid is a topological monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oppgtmd.1 ๐‘‚ = (oppgโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
oppgtmd (๐บ โˆˆ TopMnd โ†’ ๐‘‚ โˆˆ TopMnd)

Proof of Theorem oppgtmd
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tmdmnd 23999 . . 3 (๐บ โˆˆ TopMnd โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
2 oppgtmd.1 . . . 4 ๐‘‚ = (oppgโ€˜๐บ)
32oppgmnd 19315 . . 3 (๐บ โˆˆ Mnd โ†’ ๐‘‚ โˆˆ Mnd)
41, 3syl 17 . 2 (๐บ โˆˆ TopMnd โ†’ ๐‘‚ โˆˆ Mnd)
5 eqid 2728 . . . 4 (TopOpenโ€˜๐บ) = (TopOpenโ€˜๐บ)
6 eqid 2728 . . . 4 (Baseโ€˜๐บ) = (Baseโ€˜๐บ)
75, 6tmdtopon 24005 . . 3 (๐บ โˆˆ TopMnd โ†’ (TopOpenโ€˜๐บ) โˆˆ (TopOnโ€˜(Baseโ€˜๐บ)))
82, 6oppgbas 19310 . . . 4 (Baseโ€˜๐บ) = (Baseโ€˜๐‘‚)
92, 5oppgtopn 19314 . . . 4 (TopOpenโ€˜๐บ) = (TopOpenโ€˜๐‘‚)
108, 9istps 22856 . . 3 (๐‘‚ โˆˆ TopSp โ†” (TopOpenโ€˜๐บ) โˆˆ (TopOnโ€˜(Baseโ€˜๐บ)))
117, 10sylibr 233 . 2 (๐บ โˆˆ TopMnd โ†’ ๐‘‚ โˆˆ TopSp)
12 eqid 2728 . . 3 (+gโ€˜๐บ) = (+gโ€˜๐บ)
13 id 22 . . 3 (๐บ โˆˆ TopMnd โ†’ ๐บ โˆˆ TopMnd)
147, 7cnmpt2nd 23593 . . 3 (๐บ โˆˆ TopMnd โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ), ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โ†ฆ ๐‘ฆ) โˆˆ (((TopOpenโ€˜๐บ) ร—t (TopOpenโ€˜๐บ)) Cn (TopOpenโ€˜๐บ)))
157, 7cnmpt1st 23592 . . 3 (๐บ โˆˆ TopMnd โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ), ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โ†ฆ ๐‘ฅ) โˆˆ (((TopOpenโ€˜๐บ) ร—t (TopOpenโ€˜๐บ)) Cn (TopOpenโ€˜๐บ)))
165, 12, 13, 7, 7, 14, 15cnmpt2plusg 24012 . 2 (๐บ โˆˆ TopMnd โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ), ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โ†ฆ (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ)) โˆˆ (((TopOpenโ€˜๐บ) ร—t (TopOpenโ€˜๐บ)) Cn (TopOpenโ€˜๐บ)))
17 eqid 2728 . . . . 5 (+gโ€˜๐‘‚) = (+gโ€˜๐‘‚)
18 eqid 2728 . . . . 5 (+๐‘“โ€˜๐‘‚) = (+๐‘“โ€˜๐‘‚)
198, 17, 18plusffval 18613 . . . 4 (+๐‘“โ€˜๐‘‚) = (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ), ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โ†ฆ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘‚)๐‘ฆ))
2012, 2, 17oppgplus 19307 . . . . 5 (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘‚)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ)
216, 6, 20mpoeq123i 7502 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ), ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โ†ฆ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘‚)๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ), ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โ†ฆ (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ))
2219, 21eqtr2i 2757 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ), ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โ†ฆ (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ)) = (+๐‘“โ€˜๐‘‚)
2322, 9istmd 23998 . 2 (๐‘‚ โˆˆ TopMnd โ†” (๐‘‚ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘‚ โˆˆ TopSp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ), ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โ†ฆ (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ)) โˆˆ (((TopOpenโ€˜๐บ) ร—t (TopOpenโ€˜๐บ)) Cn (TopOpenโ€˜๐บ))))
244, 11, 16, 23syl3anbrc 1340 1 (๐บ โˆˆ TopMnd โ†’ ๐‘‚ โˆˆ TopMnd)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   โˆˆ cmpo 7428  Basecbs 17187  +gcplusg 17240  TopOpenctopn 17410  +๐‘“cplusf 18604  Mndcmnd 18701  oppgcoppg 19303  TopOnctopon 22832  TopSpctps 22854   Cn ccn 23148   ร—t ctx 23484  TopMndctmd 23994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-plusg 17253  df-tset 17259  df-rest 17411  df-topn 17412  df-0g 17430  df-topgen 17432  df-plusf 18606  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-oppg 19304  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cn 23151  df-tx 23486  df-tmd 23996
This theorem is referenced by:  oppgtgp  24022
  Copyright terms: Public domain W3C validator