Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgtmd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppgtmd 22708
 Description: The opposite of a topological monoid is a topological monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oppgtmd.1 𝑂 = (oppg𝐺)
Assertion
Ref Expression
oppgtmd (𝐺 ∈ TopMnd → 𝑂 ∈ TopMnd)

Proof of Theorem oppgtmd
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tmdmnd 22686 . . 3 (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
2 oppgtmd.1 . . . 4 𝑂 = (oppg𝐺)
32oppgmnd 18482 . . 3 (𝐺 ∈ Mnd → 𝑂 ∈ Mnd)
41, 3syl 17 . 2 (𝐺 ∈ TopMnd → 𝑂 ∈ Mnd)
5 eqid 2824 . . . 4 (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
6 eqid 2824 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
75, 6tmdtopon 22692 . . 3 (𝐺 ∈ TopMnd → (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
82, 6oppgbas 18479 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝑂)
92, 5oppgtopn 18481 . . . 4 (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝑂)
108, 9istps 21545 . . 3 (𝑂 ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
117, 10sylibr 237 . 2 (𝐺 ∈ TopMnd → 𝑂 ∈ TopSp)
12 eqid 2824 . . 3 (+g𝐺) = (+g𝐺)
13 id 22 . . 3 (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ TopMnd)
147, 7cnmpt2nd 22280 . . 3 (𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ 𝑦) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
157, 7cnmpt1st 22279 . . 3 (𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ 𝑥) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
165, 12, 13, 7, 7, 14, 15cnmpt2plusg 22699 . 2 (𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑦(+g𝐺)𝑥)) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
17 eqid 2824 . . . . 5 (+g𝑂) = (+g𝑂)
18 eqid 2824 . . . . 5 (+𝑓𝑂) = (+𝑓𝑂)
198, 17, 18plusffval 17858 . . . 4 (+𝑓𝑂) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(+g𝑂)𝑦))
2012, 2, 17oppgplus 18477 . . . . 5 (𝑥(+g𝑂)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)
216, 6, 20mpoeq123i 7223 . . . 4 (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(+g𝑂)𝑦)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑦(+g𝐺)𝑥))
2219, 21eqtr2i 2848 . . 3 (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑦(+g𝐺)𝑥)) = (+𝑓𝑂)
2322, 9istmd 22685 . 2 (𝑂 ∈ TopMnd ↔ (𝑂 ∈ Mnd ∧ 𝑂 ∈ TopSp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑦(+g𝐺)𝑥)) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺))))
244, 11, 16, 23syl3anbrc 1340 1 (𝐺 ∈ TopMnd → 𝑂 ∈ TopMnd)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149   ∈ cmpo 7151  Basecbs 16483  +gcplusg 16565  TopOpenctopn 16695  +𝑓cplusf 17849  Mndcmnd 17911  oppgcoppg 18473  TopOnctopon 21521  TopSpctps 21543   Cn ccn 21835   ×t ctx 22171  TopMndctmd 22681 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-tpos 7888  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-plusg 16578  df-tset 16584  df-rest 16696  df-topn 16697  df-0g 16715  df-topgen 16717  df-plusf 17851  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-oppg 18474  df-top 21505  df-topon 21522  df-topsp 21544  df-bases 21557  df-cn 21838  df-tx 22173  df-tmd 22683 This theorem is referenced by:  oppgtgp  22709
 Copyright terms: Public domain W3C validator