Theorem oppgtmd 23248

Description: The opposite of a topological monoid is a topological monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
oppgtmd.1	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
oppgtmd	⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝑂 ∈ TopMnd)

Proof of Theorem oppgtmd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tmdmnd 23226	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
2		oppgtmd.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝐺)
3	2	oppgmnd 18961	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝑂 ∈ Mnd)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝑂 ∈ Mnd)
5		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
6		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
7	5, 6	tmdtopon 23232	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
8	2, 6	oppgbas 18956	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝑂)
9	2, 5	oppgtopn 18960	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝑂)
10	8, 9	istps 22083	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
11	7, 10	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝑂 ∈ TopSp)
12		eqid 2738	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
13		id 22	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ TopMnd)
14	7, 7	cnmpt2nd 22820	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ 𝑦) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
15	7, 7	cnmpt1st 22819	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ 𝑥) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
16	5, 12, 13, 7, 7, 14, 15	cnmpt2plusg 23239	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
17		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑂) = (+g‘𝑂)
18		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (+𝑓‘𝑂) = (+𝑓‘𝑂)
19	8, 17, 18	plusffval 18332	. . . 4 ⊢ (+𝑓‘𝑂) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(+g‘𝑂)𝑦))
20	12, 2, 17	oppgplus 18953	. . . . 5 ⊢ (𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)
21	6, 6, 20	mpoeq123i 7351	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(+g‘𝑂)𝑦)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
22	19, 21	eqtr2i 2767	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)) = (+𝑓‘𝑂)
23	22, 9	istmd 23225	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ TopMnd ↔ (𝑂 ∈ Mnd ∧ 𝑂 ∈ TopSp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺))))
24	4, 11, 16, 23	syl3anbrc 1342	1 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝑂 ∈ TopMnd)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ∈ cmpo 7277  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  TopOpenctopn 17132  +_𝑓cplusf 18323  Mndcmnd 18385  opp_gcoppg 18949  TopOnctopon 22059  TopSpctps 22081   Cn ccn 22375   ×_t ctx 22711  TopMndctmd 23221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-tset 16981  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-topgen 17154  df-plusf 18325  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-oppg 18950  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cn 22378  df-tx 22713  df-tmd 23223

This theorem is referenced by:  oppgtgp  23249