Theorem oppgtmd 22704

Description: The opposite of a topological monoid is a topological monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
oppgtmd.1	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
oppgtmd	⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝑂 ∈ TopMnd)

Proof of Theorem oppgtmd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tmdmnd 22682	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
2		oppgtmd.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝐺)
3	2	oppgmnd 18481	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝑂 ∈ Mnd)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝑂 ∈ Mnd)
5		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
6		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
7	5, 6	tmdtopon 22688	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
8	2, 6	oppgbas 18478	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝑂)
9	2, 5	oppgtopn 18480	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝑂)
10	8, 9	istps 21541	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
11	7, 10	sylibr 236	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝑂 ∈ TopSp)
12		eqid 2821	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
13		id 22	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ TopMnd)
14	7, 7	cnmpt2nd 22276	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ 𝑦) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
15	7, 7	cnmpt1st 22275	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ 𝑥) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
16	5, 12, 13, 7, 7, 14, 15	cnmpt2plusg 22695	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
17		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑂) = (+g‘𝑂)
18		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (+𝑓‘𝑂) = (+𝑓‘𝑂)
19	8, 17, 18	plusffval 17857	. . . 4 ⊢ (+𝑓‘𝑂) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(+g‘𝑂)𝑦))
20	12, 2, 17	oppgplus 18476	. . . . 5 ⊢ (𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)
21	6, 6, 20	mpoeq123i 7229	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(+g‘𝑂)𝑦)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
22	19, 21	eqtr2i 2845	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)) = (+𝑓‘𝑂)
23	22, 9	istmd 22681	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ TopMnd ↔ (𝑂 ∈ Mnd ∧ 𝑂 ∈ TopSp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺))))
24	4, 11, 16, 23	syl3anbrc 1339	1 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝑂 ∈ TopMnd)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155   ∈ cmpo 7157  Basecbs 16482  +_gcplusg 16564  TopOpenctopn 16694  +_𝑓cplusf 17848  Mndcmnd 17910  opp_gcoppg 18472  TopOnctopon 21517  TopSpctps 21539   Cn ccn 21831   ×_t ctx 22167  TopMndctmd 22677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-tpos 7891  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-map 8407  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-plusg 16577  df-tset 16583  df-rest 16695  df-topn 16696  df-0g 16714  df-topgen 16716  df-plusf 17850  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-oppg 18473  df-top 21501  df-topon 21518  df-topsp 21540  df-bases 21553  df-cn 21834  df-tx 22169  df-tmd 22679

This theorem is referenced by:  oppgtgp  22705