Theorem oppgtmd 23156

Description: The opposite of a topological monoid is a topological monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
oppgtmd.1	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
oppgtmd	⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝑂 ∈ TopMnd)

Proof of Theorem oppgtmd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tmdmnd 23134	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
2		oppgtmd.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝐺)
3	2	oppgmnd 18876	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝑂 ∈ Mnd)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝑂 ∈ Mnd)
5		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
6		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
7	5, 6	tmdtopon 23140	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
8	2, 6	oppgbas 18871	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝑂)
9	2, 5	oppgtopn 18875	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝑂)
10	8, 9	istps 21991	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
11	7, 10	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝑂 ∈ TopSp)
12		eqid 2738	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
13		id 22	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ TopMnd)
14	7, 7	cnmpt2nd 22728	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ 𝑦) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
15	7, 7	cnmpt1st 22727	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ 𝑥) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
16	5, 12, 13, 7, 7, 14, 15	cnmpt2plusg 23147	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
17		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑂) = (+g‘𝑂)
18		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (+𝑓‘𝑂) = (+𝑓‘𝑂)
19	8, 17, 18	plusffval 18247	. . . 4 ⊢ (+𝑓‘𝑂) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(+g‘𝑂)𝑦))
20	12, 2, 17	oppgplus 18868	. . . . 5 ⊢ (𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)
21	6, 6, 20	mpoeq123i 7329	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(+g‘𝑂)𝑦)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
22	19, 21	eqtr2i 2767	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)) = (+𝑓‘𝑂)
23	22, 9	istmd 23133	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ TopMnd ↔ (𝑂 ∈ Mnd ∧ 𝑂 ∈ TopSp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺))))
24	4, 11, 16, 23	syl3anbrc 1341	1 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝑂 ∈ TopMnd)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∈ cmpo 7257  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  TopOpenctopn 17049  +_𝑓cplusf 18238  Mndcmnd 18300  opp_gcoppg 18864  TopOnctopon 21967  TopSpctps 21989   Cn ccn 22283   ×_t ctx 22619  TopMndctmd 23129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-tset 16907  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-topgen 17071  df-plusf 18240  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-oppg 18865  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cn 22286  df-tx 22621  df-tmd 23131

This theorem is referenced by:  oppgtgp  23157