MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgtmd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppgtmd 23951
Description: The opposite of a topological monoid is a topological monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oppgtmd.1 ๐‘‚ = (oppgโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
oppgtmd (๐บ โˆˆ TopMnd โ†’ ๐‘‚ โˆˆ TopMnd)

Proof of Theorem oppgtmd
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tmdmnd 23929 . . 3 (๐บ โˆˆ TopMnd โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
2 oppgtmd.1 . . . 4 ๐‘‚ = (oppgโ€˜๐บ)
32oppgmnd 19270 . . 3 (๐บ โˆˆ Mnd โ†’ ๐‘‚ โˆˆ Mnd)
41, 3syl 17 . 2 (๐บ โˆˆ TopMnd โ†’ ๐‘‚ โˆˆ Mnd)
5 eqid 2726 . . . 4 (TopOpenโ€˜๐บ) = (TopOpenโ€˜๐บ)
6 eqid 2726 . . . 4 (Baseโ€˜๐บ) = (Baseโ€˜๐บ)
75, 6tmdtopon 23935 . . 3 (๐บ โˆˆ TopMnd โ†’ (TopOpenโ€˜๐บ) โˆˆ (TopOnโ€˜(Baseโ€˜๐บ)))
82, 6oppgbas 19265 . . . 4 (Baseโ€˜๐บ) = (Baseโ€˜๐‘‚)
92, 5oppgtopn 19269 . . . 4 (TopOpenโ€˜๐บ) = (TopOpenโ€˜๐‘‚)
108, 9istps 22786 . . 3 (๐‘‚ โˆˆ TopSp โ†” (TopOpenโ€˜๐บ) โˆˆ (TopOnโ€˜(Baseโ€˜๐บ)))
117, 10sylibr 233 . 2 (๐บ โˆˆ TopMnd โ†’ ๐‘‚ โˆˆ TopSp)
12 eqid 2726 . . 3 (+gโ€˜๐บ) = (+gโ€˜๐บ)
13 id 22 . . 3 (๐บ โˆˆ TopMnd โ†’ ๐บ โˆˆ TopMnd)
147, 7cnmpt2nd 23523 . . 3 (๐บ โˆˆ TopMnd โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ), ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โ†ฆ ๐‘ฆ) โˆˆ (((TopOpenโ€˜๐บ) ร—t (TopOpenโ€˜๐บ)) Cn (TopOpenโ€˜๐บ)))
157, 7cnmpt1st 23522 . . 3 (๐บ โˆˆ TopMnd โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ), ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โ†ฆ ๐‘ฅ) โˆˆ (((TopOpenโ€˜๐บ) ร—t (TopOpenโ€˜๐บ)) Cn (TopOpenโ€˜๐บ)))
165, 12, 13, 7, 7, 14, 15cnmpt2plusg 23942 . 2 (๐บ โˆˆ TopMnd โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ), ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โ†ฆ (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ)) โˆˆ (((TopOpenโ€˜๐บ) ร—t (TopOpenโ€˜๐บ)) Cn (TopOpenโ€˜๐บ)))
17 eqid 2726 . . . . 5 (+gโ€˜๐‘‚) = (+gโ€˜๐‘‚)
18 eqid 2726 . . . . 5 (+๐‘“โ€˜๐‘‚) = (+๐‘“โ€˜๐‘‚)
198, 17, 18plusffval 18576 . . . 4 (+๐‘“โ€˜๐‘‚) = (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ), ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โ†ฆ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘‚)๐‘ฆ))
2012, 2, 17oppgplus 19262 . . . . 5 (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘‚)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ)
216, 6, 20mpoeq123i 7480 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ), ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โ†ฆ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘‚)๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ), ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โ†ฆ (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ))
2219, 21eqtr2i 2755 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ), ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โ†ฆ (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ)) = (+๐‘“โ€˜๐‘‚)
2322, 9istmd 23928 . 2 (๐‘‚ โˆˆ TopMnd โ†” (๐‘‚ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘‚ โˆˆ TopSp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ), ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โ†ฆ (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ)) โˆˆ (((TopOpenโ€˜๐บ) ร—t (TopOpenโ€˜๐บ)) Cn (TopOpenโ€˜๐บ))))
244, 11, 16, 23syl3anbrc 1340 1 (๐บ โˆˆ TopMnd โ†’ ๐‘‚ โˆˆ TopMnd)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   โˆˆ cmpo 7406  Basecbs 17150  +gcplusg 17203  TopOpenctopn 17373  +๐‘“cplusf 18567  Mndcmnd 18664  oppgcoppg 19258  TopOnctopon 22762  TopSpctps 22784   Cn ccn 23078   ร—t ctx 23414  TopMndctmd 23924
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-plusg 17216  df-tset 17222  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-topgen 17395  df-plusf 18569  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-oppg 19259  df-top 22746  df-topon 22763  df-topsp 22785  df-bases 22799  df-cn 23081  df-tx 23416  df-tmd 23926
This theorem is referenced by:  oppgtgp  23952
  Copyright terms: Public domain W3C validator