Theorem tmdtps 24303

Description: A topological monoid is a topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tmdtps	⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ TopSp)

Proof of Theorem tmdtps

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (+𝑓‘𝐺) = (+𝑓‘𝐺)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
3	1, 2	istmd 24301	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd ↔ (𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐺 ∈ TopSp ∧ (+𝑓‘𝐺) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺))))
4	3	simp2bi 1164	1 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ TopSp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  TopOpenctopn 17507  +_𝑓cplusf 18728  Mndcmnd 18837  TopSpctps 23158   Cn ccn 23450   ×_t ctx 23787  TopMndctmd 24297

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-nul 5263

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-iota 6489  df-fv 6541  df-ov 7417  df-tmd 24299

This theorem is used by:  tgptps  24307  tmdtopon  24308  submtmd  24331  prdstmdd  24351  tsmsadd  24374  tsmssplit  24379  tlmtps  24415