MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmsadd Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tsmsadd 23971
Description: The sum of two infinite group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 24-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsadd.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
tsmsadd.p + = (+gβ€˜πΊ)
tsmsadd.1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
tsmsadd.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopMnd)
tsmsadd.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmsadd.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
tsmsadd.h (πœ‘ β†’ 𝐻:𝐴⟢𝐡)
tsmsadd.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
tsmsadd.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝐺 tsums 𝐻))
Assertion
Ref Expression
tsmsadd (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ∘f + 𝐻)))
Proof of Theorem tsmsadd
Dummy variables 𝑦 𝑧 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsadd.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
2 tsmsadd.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
3 tsmsadd.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopMnd)
4 tmdtps 23900 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ TopMnd β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
6 tsmsadd.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
7 tsmsadd.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
81, 2, 5, 6, 7tsmscl 23959 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums 𝐹) βŠ† 𝐡)
9 tsmsadd.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
108, 9sseldd 3983 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
11 tsmsadd.h . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐻:𝐴⟢𝐡)
121, 2, 5, 6, 11tsmscl 23959 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums 𝐻) βŠ† 𝐡)
13 tsmsadd.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝐺 tsums 𝐻))
1412, 13sseldd 3983 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
15 tsmsadd.p . . . . 5 + = (+gβ€˜πΊ)
16 eqid 2731 . . . . 5 (+π‘“β€˜πΊ) = (+π‘“β€˜πΊ)
171, 15, 16plusfval 18578 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(+π‘“β€˜πΊ)π‘Œ) = (𝑋 + π‘Œ))
1810, 14, 17syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋(+π‘“β€˜πΊ)π‘Œ) = (𝑋 + π‘Œ))
19 eqid 2731 . . . . . 6 (TopOpenβ€˜πΊ) = (TopOpenβ€˜πΊ)
201, 19istps 22756 . . . . 5 (𝐺 ∈ TopSp ↔ (TopOpenβ€˜πΊ) ∈ (TopOnβ€˜π΅))
215, 20sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜πΊ) ∈ (TopOnβ€˜π΅))
22 eqid 2731 . . . . . 6 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
23 eqid 2731 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧}) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})
24 eqid 2731 . . . . . 6 ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧}) = ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})
2522, 23, 24, 6tsmsfbas 23952 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧}) ∈ (fBasβ€˜(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
26 fgcl 23702 . . . . 5 (ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧}) ∈ (fBasβ€˜(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})) ∈ (Filβ€˜(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
2725, 26syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})) ∈ (Filβ€˜(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
281, 22, 2, 6, 7tsmslem1 23953 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝐡)
291, 22, 2, 6, 11tsmslem1 23953 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝐡)
301, 19, 22, 24, 2, 6, 7tsmsval 23955 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums 𝐹) = (((TopOpenβ€˜πΊ) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})))β€˜(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))))
319, 30eleqtrd 2834 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (((TopOpenβ€˜πΊ) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})))β€˜(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))))
321, 19, 22, 24, 2, 6, 11tsmsval 23955 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums 𝐻) = (((TopOpenβ€˜πΊ) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})))β€˜(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝑧)))))
3313, 32eleqtrd 2834 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (((TopOpenβ€˜πΊ) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})))β€˜(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝑧)))))
3419, 16tmdcn 23907 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopMnd β†’ (+π‘“β€˜πΊ) ∈ (((TopOpenβ€˜πΊ) Γ—t (TopOpenβ€˜πΊ)) Cn (TopOpenβ€˜πΊ)))
353, 34syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (+π‘“β€˜πΊ) ∈ (((TopOpenβ€˜πΊ) Γ—t (TopOpenβ€˜πΊ)) Cn (TopOpenβ€˜πΊ)))
3610, 14opelxpd 5715 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐡))
37 txtopon 23415 . . . . . . . 8 (((TopOpenβ€˜πΊ) ∈ (TopOnβ€˜π΅) ∧ (TopOpenβ€˜πΊ) ∈ (TopOnβ€˜π΅)) β†’ ((TopOpenβ€˜πΊ) Γ—t (TopOpenβ€˜πΊ)) ∈ (TopOnβ€˜(𝐡 Γ— 𝐡)))
3821, 21, 37syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((TopOpenβ€˜πΊ) Γ—t (TopOpenβ€˜πΊ)) ∈ (TopOnβ€˜(𝐡 Γ— 𝐡)))
39 toponuni 22736 . . . . . . 7 (((TopOpenβ€˜πΊ) Γ—t (TopOpenβ€˜πΊ)) ∈ (TopOnβ€˜(𝐡 Γ— 𝐡)) β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) = βˆͺ ((TopOpenβ€˜πΊ) Γ—t (TopOpenβ€˜πΊ)))
4038, 39syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) = βˆͺ ((TopOpenβ€˜πΊ) Γ—t (TopOpenβ€˜πΊ)))
4136, 40eleqtrd 2834 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ βˆͺ ((TopOpenβ€˜πΊ) Γ—t (TopOpenβ€˜πΊ)))
42 eqid 2731 . . . . . 6 βˆͺ ((TopOpenβ€˜πΊ) Γ—t (TopOpenβ€˜πΊ)) = βˆͺ ((TopOpenβ€˜πΊ) Γ—t (TopOpenβ€˜πΊ))
4342cncnpi 23102 . . . . 5 (((+π‘“β€˜πΊ) ∈ (((TopOpenβ€˜πΊ) Γ—t (TopOpenβ€˜πΊ)) Cn (TopOpenβ€˜πΊ)) ∧ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ βˆͺ ((TopOpenβ€˜πΊ) Γ—t (TopOpenβ€˜πΊ))) β†’ (+π‘“β€˜πΊ) ∈ ((((TopOpenβ€˜πΊ) Γ—t (TopOpenβ€˜πΊ)) CnP (TopOpenβ€˜πΊ))β€˜βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©))
4435, 41, 43syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (+π‘“β€˜πΊ) ∈ ((((TopOpenβ€˜πΊ) Γ—t (TopOpenβ€˜πΊ)) CnP (TopOpenβ€˜πΊ))β€˜βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©))
4521, 21, 27, 28, 29, 31, 33, 44flfcnp2 23831 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋(+π‘“β€˜πΊ)π‘Œ) ∈ (((TopOpenβ€˜πΊ) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})))β€˜(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))(+π‘“β€˜πΊ)(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝑧))))))
4618, 45eqeltrrd 2833 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ (((TopOpenβ€˜πΊ) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})))β€˜(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))(+π‘“β€˜πΊ)(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝑧))))))
47 cmnmnd 19713 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ CMnd β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
482, 47syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
491, 15mndcl 18673 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝐡)
50493expb 1119 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝐡)
5148, 50sylan 579 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝐡)
52 inidm 4218 . . . . 5 (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
5351, 7, 11, 6, 6, 52off 7692 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f + 𝐻):𝐴⟢𝐡)
541, 19, 22, 24, 2, 6, 53tsmsval 23955 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums (𝐹 ∘f + 𝐻)) = (((TopOpenβ€˜πΊ) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})))β€˜(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 ∘f + 𝐻) β†Ύ 𝑧)))))
55 eqid 2731 . . . . . . 7 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
562adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
57 elinel2 4196 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝑧 ∈ Fin)
5857adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝑧 ∈ Fin)
59 elfpw 9360 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑧 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ Fin))
6059simplbi 497 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝑧 βŠ† 𝐴)
61 fssres 6757 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝑧 βŠ† 𝐴) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑧):π‘§βŸΆπ΅)
627, 60, 61syl2an 595 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑧):π‘§βŸΆπ΅)
63 fssres 6757 . . . . . . . 8 ((𝐻:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝑧 βŠ† 𝐴) β†’ (𝐻 β†Ύ 𝑧):π‘§βŸΆπ΅)
6411, 60, 63syl2an 595 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐻 β†Ύ 𝑧):π‘§βŸΆπ΅)
65 fvexd 6906 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ V)
6662, 58, 65fdmfifsupp 9379 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑧) finSupp (0gβ€˜πΊ))
6764, 58, 65fdmfifsupp 9379 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐻 β†Ύ 𝑧) finSupp (0gβ€˜πΊ))
681, 55, 15, 56, 58, 62, 64, 66, 67gsumadd 19839 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ 𝑧) ∘f + (𝐻 β†Ύ 𝑧))) = ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) + (𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝑧))))
697, 6fexd 7231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
7011, 6fexd 7231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ V)
71 offres 7974 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐻) β†Ύ 𝑧) = ((𝐹 β†Ύ 𝑧) ∘f + (𝐻 β†Ύ 𝑧)))
7269, 70, 71syl2anc 583 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐻) β†Ύ 𝑧) = ((𝐹 β†Ύ 𝑧) ∘f + (𝐻 β†Ύ 𝑧)))
7372adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐻) β†Ύ 𝑧) = ((𝐹 β†Ύ 𝑧) ∘f + (𝐻 β†Ύ 𝑧)))
7473oveq2d 7428 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 ∘f + 𝐻) β†Ύ 𝑧)) = (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ 𝑧) ∘f + (𝐻 β†Ύ 𝑧))))
751, 15, 16plusfval 18578 . . . . . . 7 (((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝐡 ∧ (𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝐡) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))(+π‘“β€˜πΊ)(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝑧))) = ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) + (𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝑧))))
7628, 29, 75syl2anc 583 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))(+π‘“β€˜πΊ)(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝑧))) = ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) + (𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝑧))))
7768, 74, 763eqtr4d 2781 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 ∘f + 𝐻) β†Ύ 𝑧)) = ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))(+π‘“β€˜πΊ)(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝑧))))
7877mpteq2dva 5248 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 ∘f + 𝐻) β†Ύ 𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))(+π‘“β€˜πΊ)(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝑧)))))
7978fveq2d 6895 . . 3 (πœ‘ β†’ (((TopOpenβ€˜πΊ) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})))β€˜(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 ∘f + 𝐻) β†Ύ 𝑧)))) = (((TopOpenβ€˜πΊ) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})))β€˜(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))(+π‘“β€˜πΊ)(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝑧))))))
8054, 79eqtrd 2771 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums (𝐹 ∘f + 𝐻)) = (((TopOpenβ€˜πΊ) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})))β€˜(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))(+π‘“β€˜πΊ)(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝑧))))))
8146, 80eleqtrrd 2835 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ∘f + 𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {crab 3431  Vcvv 3473   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602  βŸ¨cop 4634  βˆͺ cuni 4908   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   ∘f cof 7672  Fincfn 8945  Basecbs 17151  +gcplusg 17204  TopOpenctopn 17374  0gc0g 17392   Ξ£g cgsu 17393  +𝑓cplusf 18568  Mndcmnd 18665  CMndccmn 19696  fBascfbas 21221  filGencfg 21222  TopOnctopon 22732  TopSpctps 22754   Cn ccn 23048   CnP ccnp 23049   Γ—t ctx 23384  Filcfil 23669   fLimf cflf 23759  TopMndctmd 23894   tsums ctsu 23950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-hash 14298  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-plusf 18570  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-fbas 21230  df-fg 21231  df-top 22716  df-topon 22733  df-topsp 22755  df-bases 22769  df-ntr 22844  df-nei 22922  df-cn 23051  df-cnp 23052  df-tx 23386  df-fil 23670  df-fm 23762  df-flim 23763  df-flf 23764  df-tmd 23896  df-tsms 23951
This theorem is referenced by:  tsmssub  23973  tsmssplit  23976  esumadd  33519  esumaddf  33523
  Copyright terms: Public domain W3C validator