Theorem tsmsadd 24072

Description: The sum of two infinite group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 24-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmsadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmsadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
tsmsadd.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
tsmsadd.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopMnd)
tsmsadd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmsadd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
tsmsadd.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝐵)
tsmsadd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
tsmsadd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐺 tsums 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
tsmsadd	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ∘f + 𝐻)))

Proof of Theorem tsmsadd

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmsadd.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		tsmsadd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
3		tsmsadd.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopMnd)
4		tmdtps 24001	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ TopSp)
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
6		tsmsadd.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
7		tsmsadd.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
8	1, 2, 5, 6, 7	tsmscl 24060	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ⊆ 𝐵)
9		tsmsadd.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
10	8, 9	sseldd 3932	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11		tsmsadd.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝐵)
12	1, 2, 5, 6, 11	tsmscl 24060	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐻) ⊆ 𝐵)
13		tsmsadd.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐺 tsums 𝐻))
14	12, 13	sseldd 3932	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
15		tsmsadd.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
16		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (+𝑓‘𝐺) = (+𝑓‘𝐺)
17	1, 15, 16	plusfval 18565	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(+𝑓‘𝐺)𝑌) = (𝑋 + 𝑌))
18	10, 14, 17	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+𝑓‘𝐺)𝑌) = (𝑋 + 𝑌))
19		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
20	1, 19	istps 22859	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵))
21	5, 20	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵))
22		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
23		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧}) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})
24		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧}) = ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})
25	22, 23, 24, 6	tsmsfbas 24053	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧}) ∈ (fBas‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
26		fgcl 23803	. . . . 5 ⊢ (ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧}) ∈ (fBas‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})) ∈ (Fil‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
27	25, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})) ∈ (Fil‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
28	1, 22, 2, 6, 7	tsmslem1 24054	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝐵)
29	1, 22, 2, 6, 11	tsmslem1 24054	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧)) ∈ 𝐵)
30	1, 19, 22, 24, 2, 6, 7	tsmsval 24056	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))))
31	9, 30	eleqtrd 2835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))))
32	1, 19, 22, 24, 2, 6, 11	tsmsval 24056	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐻) = (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧)))))
33	13, 32	eleqtrd 2835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧)))))
34	19, 16	tmdcn 24008	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → (+𝑓‘𝐺) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
35	3, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (+𝑓‘𝐺) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
36	10, 14	opelxpd 5660	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
37		txtopon 23516	. . . . . . . 8 ⊢ (((TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵)) → ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) ∈ (TopOn‘(𝐵 × 𝐵)))
38	21, 21, 37	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) ∈ (TopOn‘(𝐵 × 𝐵)))
39		toponuni 22839	. . . . . . 7 ⊢ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) ∈ (TopOn‘(𝐵 × 𝐵)) → (𝐵 × 𝐵) = ∪ ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)))
40	38, 39	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × 𝐵) = ∪ ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)))
41	36, 40	eleqtrd 2835	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ∪ ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)))
42		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ ∪ ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) = ∪ ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺))
43	42	cncnpi 23203	. . . . 5 ⊢ (((+𝑓‘𝐺) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)) ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ∪ ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺))) → (+𝑓‘𝐺) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) CnP (TopOpen‘𝐺))‘⟨𝑋, 𝑌⟩))
44	35, 41, 43	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+𝑓‘𝐺) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) CnP (TopOpen‘𝐺))‘⟨𝑋, 𝑌⟩))
45	21, 21, 27, 28, 29, 31, 33, 44	flfcnp2 23932	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+𝑓‘𝐺)𝑌) ∈ (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))(+𝑓‘𝐺)(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧))))))
46	18, 45	eqeltrrd 2834	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))(+𝑓‘𝐺)(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧))))))
47		cmnmnd 19719	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
48	2, 47	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
49	1, 15	mndcl 18660	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
50	49	3expb 1120	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
51	48, 50	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
52		inidm 4178	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
53	51, 7, 11, 6, 6, 52	off 7637	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f + 𝐻):𝐴⟶𝐵)
54	1, 19, 22, 24, 2, 6, 53	tsmsval 24056	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹 ∘f + 𝐻)) = (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg ((𝐹 ∘f + 𝐻) ↾ 𝑧)))))
55		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
56	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐺 ∈ CMnd)
57		elinel2 4153	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑧 ∈ Fin)
58	57	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑧 ∈ Fin)
59		elfpw 9248	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ Fin))
60	59	simplbi 497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑧 ⊆ 𝐴)
61		fssres 6697	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝑧):𝑧⟶𝐵)
62	7, 60, 61	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑧):𝑧⟶𝐵)
63		fssres 6697	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → (𝐻 ↾ 𝑧):𝑧⟶𝐵)
64	11, 60, 63	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐻 ↾ 𝑧):𝑧⟶𝐵)
65		fvexd 6846	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (0g‘𝐺) ∈ V)
66	62, 58, 65	fdmfifsupp 9269	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑧) finSupp (0g‘𝐺))
67	64, 58, 65	fdmfifsupp 9269	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐻 ↾ 𝑧) finSupp (0g‘𝐺))
68	1, 55, 15, 56, 58, 62, 64, 66, 67	gsumadd 19845	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑧) ∘f + (𝐻 ↾ 𝑧))) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) + (𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧))))
69	7, 6	fexd 7170	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
70	11, 6	fexd 7170	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ V)
71		offres 7924	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) → ((𝐹 ∘f + 𝐻) ↾ 𝑧) = ((𝐹 ↾ 𝑧) ∘f + (𝐻 ↾ 𝑧)))
72	69, 70, 71	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f + 𝐻) ↾ 𝑧) = ((𝐹 ↾ 𝑧) ∘f + (𝐻 ↾ 𝑧)))
73	72	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐹 ∘f + 𝐻) ↾ 𝑧) = ((𝐹 ↾ 𝑧) ∘f + (𝐻 ↾ 𝑧)))
74	73	oveq2d 7371	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg ((𝐹 ∘f + 𝐻) ↾ 𝑧)) = (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑧) ∘f + (𝐻 ↾ 𝑧))))
75	1, 15, 16	plusfval 18565	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧)) ∈ 𝐵) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))(+𝑓‘𝐺)(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧))) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) + (𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧))))
76	28, 29, 75	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))(+𝑓‘𝐺)(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧))) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) + (𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧))))
77	68, 74, 76	3eqtr4d 2778	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg ((𝐹 ∘f + 𝐻) ↾ 𝑧)) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))(+𝑓‘𝐺)(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧))))
78	77	mpteq2dva 5188	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg ((𝐹 ∘f + 𝐻) ↾ 𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))(+𝑓‘𝐺)(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧)))))
79	78	fveq2d 6835	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg ((𝐹 ∘f + 𝐻) ↾ 𝑧)))) = (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))(+𝑓‘𝐺)(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧))))))
80	54, 79	eqtrd 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹 ∘f + 𝐻)) = (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))(+𝑓‘𝐺)(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧))))))
81	46, 80	eleqtrrd 2836	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ∘f + 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3397  Vcvv 3438   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4551  ⟨cop 4583  ∪ cuni 4860   ↦ cmpt 5176   × cxp 5619  ran crn 5622   ↾ cres 5623  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355   ∘_f cof 7617  Fincfn 8878  Basecbs 17130  +_gcplusg 17171  TopOpenctopn 17335  0_gc0g 17353   Σ_g cgsu 17354  +_𝑓cplusf 18555  Mndcmnd 18652  CMndccmn 19702  fBascfbas 21289  filGencfg 21290  TopOnctopon 22835  TopSpctps 22857   Cn ccn 23149   CnP ccnp 23150   ×_t ctx 23485  Filcfil 23770   fLimf cflf 23860  TopMndctmd 23995   tsums ctsu 24051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-map 8761  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-fin 8882  df-fsupp 9256  df-oi 9406  df-card 9842  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-nn 12136  df-2 12198  df-n0 12392  df-z 12479  df-uz 12743  df-fz 13418  df-fzo 13565  df-seq 13919  df-hash 14248  df-sets 17085  df-slot 17103  df-ndx 17115  df-base 17131  df-ress 17152  df-plusg 17184  df-0g 17355  df-gsum 17356  df-topgen 17357  df-plusf 18557  df-mgm 18558  df-sgrp 18637  df-mnd 18653  df-submnd 18702  df-cntz 19239  df-cmn 19704  df-fbas 21298  df-fg 21299  df-top 22819  df-topon 22836  df-topsp 22858  df-bases 22871  df-ntr 22945  df-nei 23023  df-cn 23152  df-cnp 23153  df-tx 23487  df-fil 23771  df-fm 23863  df-flim 23864  df-flf 23865  df-tmd 23997  df-tsms 24052

This theorem is referenced by:  tsmssub  24074  tsmssplit  24077  esumadd  34081  esumaddf  34085