Theorem tsmsadd 24176

Description: The sum of two infinite group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 24-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmsadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmsadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
tsmsadd.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
tsmsadd.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopMnd)
tsmsadd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmsadd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
tsmsadd.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝐵)
tsmsadd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
tsmsadd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐺 tsums 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
tsmsadd	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ∘f + 𝐻)))

Proof of Theorem tsmsadd

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmsadd.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		tsmsadd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
3		tsmsadd.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopMnd)
4		tmdtps 24105	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ TopSp)
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
6		tsmsadd.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
7		tsmsadd.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
8	1, 2, 5, 6, 7	tsmscl 24164	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ⊆ 𝐵)
9		tsmsadd.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
10	8, 9	sseldd 4009	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11		tsmsadd.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝐵)
12	1, 2, 5, 6, 11	tsmscl 24164	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐻) ⊆ 𝐵)
13		tsmsadd.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐺 tsums 𝐻))
14	12, 13	sseldd 4009	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
15		tsmsadd.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
16		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (+𝑓‘𝐺) = (+𝑓‘𝐺)
17	1, 15, 16	plusfval 18685	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(+𝑓‘𝐺)𝑌) = (𝑋 + 𝑌))
18	10, 14, 17	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+𝑓‘𝐺)𝑌) = (𝑋 + 𝑌))
19		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
20	1, 19	istps 22961	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵))
21	5, 20	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵))
22		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
23		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧}) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})
24		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧}) = ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})
25	22, 23, 24, 6	tsmsfbas 24157	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧}) ∈ (fBas‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
26		fgcl 23907	. . . . 5 ⊢ (ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧}) ∈ (fBas‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})) ∈ (Fil‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
27	25, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})) ∈ (Fil‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
28	1, 22, 2, 6, 7	tsmslem1 24158	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝐵)
29	1, 22, 2, 6, 11	tsmslem1 24158	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧)) ∈ 𝐵)
30	1, 19, 22, 24, 2, 6, 7	tsmsval 24160	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))))
31	9, 30	eleqtrd 2846	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))))
32	1, 19, 22, 24, 2, 6, 11	tsmsval 24160	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐻) = (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧)))))
33	13, 32	eleqtrd 2846	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧)))))
34	19, 16	tmdcn 24112	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → (+𝑓‘𝐺) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
35	3, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (+𝑓‘𝐺) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
36	10, 14	opelxpd 5739	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
37		txtopon 23620	. . . . . . . 8 ⊢ (((TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵)) → ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) ∈ (TopOn‘(𝐵 × 𝐵)))
38	21, 21, 37	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) ∈ (TopOn‘(𝐵 × 𝐵)))
39		toponuni 22941	. . . . . . 7 ⊢ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) ∈ (TopOn‘(𝐵 × 𝐵)) → (𝐵 × 𝐵) = ∪ ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)))
40	38, 39	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × 𝐵) = ∪ ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)))
41	36, 40	eleqtrd 2846	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ∪ ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)))
42		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ ∪ ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) = ∪ ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺))
43	42	cncnpi 23307	. . . . 5 ⊢ (((+𝑓‘𝐺) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)) ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ∪ ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺))) → (+𝑓‘𝐺) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) CnP (TopOpen‘𝐺))‘⟨𝑋, 𝑌⟩))
44	35, 41, 43	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+𝑓‘𝐺) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) CnP (TopOpen‘𝐺))‘⟨𝑋, 𝑌⟩))
45	21, 21, 27, 28, 29, 31, 33, 44	flfcnp2 24036	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+𝑓‘𝐺)𝑌) ∈ (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))(+𝑓‘𝐺)(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧))))))
46	18, 45	eqeltrrd 2845	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))(+𝑓‘𝐺)(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧))))))
47		cmnmnd 19839	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
48	2, 47	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
49	1, 15	mndcl 18780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
50	49	3expb 1120	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
51	48, 50	sylan 579	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
52		inidm 4248	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
53	51, 7, 11, 6, 6, 52	off 7732	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f + 𝐻):𝐴⟶𝐵)
54	1, 19, 22, 24, 2, 6, 53	tsmsval 24160	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹 ∘f + 𝐻)) = (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg ((𝐹 ∘f + 𝐻) ↾ 𝑧)))))
55		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
56	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐺 ∈ CMnd)
57		elinel2 4225	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑧 ∈ Fin)
58	57	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑧 ∈ Fin)
59		elfpw 9424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ Fin))
60	59	simplbi 497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑧 ⊆ 𝐴)
61		fssres 6787	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝑧):𝑧⟶𝐵)
62	7, 60, 61	syl2an 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑧):𝑧⟶𝐵)
63		fssres 6787	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → (𝐻 ↾ 𝑧):𝑧⟶𝐵)
64	11, 60, 63	syl2an 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐻 ↾ 𝑧):𝑧⟶𝐵)
65		fvexd 6935	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (0g‘𝐺) ∈ V)
66	62, 58, 65	fdmfifsupp 9444	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑧) finSupp (0g‘𝐺))
67	64, 58, 65	fdmfifsupp 9444	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐻 ↾ 𝑧) finSupp (0g‘𝐺))
68	1, 55, 15, 56, 58, 62, 64, 66, 67	gsumadd 19965	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑧) ∘f + (𝐻 ↾ 𝑧))) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) + (𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧))))
69	7, 6	fexd 7264	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
70	11, 6	fexd 7264	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ V)
71		offres 8024	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) → ((𝐹 ∘f + 𝐻) ↾ 𝑧) = ((𝐹 ↾ 𝑧) ∘f + (𝐻 ↾ 𝑧)))
72	69, 70, 71	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f + 𝐻) ↾ 𝑧) = ((𝐹 ↾ 𝑧) ∘f + (𝐻 ↾ 𝑧)))
73	72	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐹 ∘f + 𝐻) ↾ 𝑧) = ((𝐹 ↾ 𝑧) ∘f + (𝐻 ↾ 𝑧)))
74	73	oveq2d 7464	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg ((𝐹 ∘f + 𝐻) ↾ 𝑧)) = (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑧) ∘f + (𝐻 ↾ 𝑧))))
75	1, 15, 16	plusfval 18685	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧)) ∈ 𝐵) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))(+𝑓‘𝐺)(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧))) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) + (𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧))))
76	28, 29, 75	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))(+𝑓‘𝐺)(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧))) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) + (𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧))))
77	68, 74, 76	3eqtr4d 2790	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg ((𝐹 ∘f + 𝐻) ↾ 𝑧)) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))(+𝑓‘𝐺)(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧))))
78	77	mpteq2dva 5266	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg ((𝐹 ∘f + 𝐻) ↾ 𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))(+𝑓‘𝐺)(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧)))))
79	78	fveq2d 6924	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg ((𝐹 ∘f + 𝐻) ↾ 𝑧)))) = (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))(+𝑓‘𝐺)(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧))))))
80	54, 79	eqtrd 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹 ∘f + 𝐻)) = (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))(+𝑓‘𝐺)(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧))))))
81	46, 80	eleqtrrd 2847	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ∘f + 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {crab 3443  Vcvv 3488   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  𝒫 cpw 4622  ⟨cop 4654  ∪ cuni 4931   ↦ cmpt 5249   × cxp 5698  ran crn 5701   ↾ cres 5702  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∘_f cof 7712  Fincfn 9003  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  TopOpenctopn 17481  0_gc0g 17499   Σ_g cgsu 17500  +_𝑓cplusf 18675  Mndcmnd 18772  CMndccmn 19822  fBascfbas 21375  filGencfg 21376  TopOnctopon 22937  TopSpctps 22959   Cn ccn 23253   CnP ccnp 23254   ×_t ctx 23589  Filcfil 23874   fLimf cflf 23964  TopMndctmd 24099   tsums ctsu 24155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-hash 14380  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-plusf 18677  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-ntr 23049  df-nei 23127  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-tx 23591  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-tmd 24101  df-tsms 24156

This theorem is referenced by:  tsmssub  24178  tsmssplit  24181  esumadd  34021  esumaddf  34025