MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmsadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tsmsadd 23498
Description: The sum of two infinite group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 24-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsadd.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmsadd.p + = (+g𝐺)
tsmsadd.1 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
tsmsadd.2 (𝜑𝐺 ∈ TopMnd)
tsmsadd.a (𝜑𝐴𝑉)
tsmsadd.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
tsmsadd.h (𝜑𝐻:𝐴𝐵)
tsmsadd.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
tsmsadd.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐺 tsums 𝐻))
Assertion
Ref Expression
tsmsadd (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐺 tsums (𝐹f + 𝐻)))

Proof of Theorem tsmsadd
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsadd.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 tsmsadd.1 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
3 tsmsadd.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ TopMnd)
4 tmdtps 23427 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ TopSp)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
6 tsmsadd.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑉)
7 tsmsadd.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
81, 2, 5, 6, 7tsmscl 23486 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ⊆ 𝐵)
9 tsmsadd.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
108, 9sseldd 3945 . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
11 tsmsadd.h . . . . . 6 (𝜑𝐻:𝐴𝐵)
121, 2, 5, 6, 11tsmscl 23486 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐻) ⊆ 𝐵)
13 tsmsadd.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (𝐺 tsums 𝐻))
1412, 13sseldd 3945 . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
15 tsmsadd.p . . . . 5 + = (+g𝐺)
16 eqid 2736 . . . . 5 (+𝑓𝐺) = (+𝑓𝐺)
171, 15, 16plusfval 18504 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋(+𝑓𝐺)𝑌) = (𝑋 + 𝑌))
1810, 14, 17syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝑋(+𝑓𝐺)𝑌) = (𝑋 + 𝑌))
19 eqid 2736 . . . . . 6 (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
201, 19istps 22283 . . . . 5 (𝐺 ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵))
215, 20sylib 217 . . . 4 (𝜑 → (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵))
22 eqid 2736 . . . . . 6 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
23 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧}) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})
24 eqid 2736 . . . . . 6 ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧}) = ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})
2522, 23, 24, 6tsmsfbas 23479 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧}) ∈ (fBas‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
26 fgcl 23229 . . . . 5 (ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧}) ∈ (fBas‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})) ∈ (Fil‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
2725, 26syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})) ∈ (Fil‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
281, 22, 2, 6, 7tsmslem1 23480 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝐵)
291, 22, 2, 6, 11tsmslem1 23480 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐻𝑧)) ∈ 𝐵)
301, 19, 22, 24, 2, 6, 7tsmsval 23482 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))))
319, 30eleqtrd 2840 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))))
321, 19, 22, 24, 2, 6, 11tsmsval 23482 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐻) = (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐻𝑧)))))
3313, 32eleqtrd 2840 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐻𝑧)))))
3419, 16tmdcn 23434 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopMnd → (+𝑓𝐺) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
353, 34syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (+𝑓𝐺) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
3610, 14opelxpd 5671 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
37 txtopon 22942 . . . . . . . 8 (((TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵)) → ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) ∈ (TopOn‘(𝐵 × 𝐵)))
3821, 21, 37syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) ∈ (TopOn‘(𝐵 × 𝐵)))
39 toponuni 22263 . . . . . . 7 (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) ∈ (TopOn‘(𝐵 × 𝐵)) → (𝐵 × 𝐵) = ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)))
4038, 39syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 × 𝐵) = ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)))
4136, 40eleqtrd 2840 . . . . 5 (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)))
42 eqid 2736 . . . . . 6 ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) = ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺))
4342cncnpi 22629 . . . . 5 (((+𝑓𝐺) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)) ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺))) → (+𝑓𝐺) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) CnP (TopOpen‘𝐺))‘⟨𝑋, 𝑌⟩))
4435, 41, 43syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (+𝑓𝐺) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) CnP (TopOpen‘𝐺))‘⟨𝑋, 𝑌⟩))
4521, 21, 27, 28, 29, 31, 33, 44flfcnp2 23358 . . 3 (𝜑 → (𝑋(+𝑓𝐺)𝑌) ∈ (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Σg (𝐹𝑧))(+𝑓𝐺)(𝐺 Σg (𝐻𝑧))))))
4618, 45eqeltrrd 2839 . 2 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Σg (𝐹𝑧))(+𝑓𝐺)(𝐺 Σg (𝐻𝑧))))))
47 cmnmnd 19579 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
482, 47syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
491, 15mndcl 18564 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
50493expb 1120 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
5148, 50sylan 580 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
52 inidm 4178 . . . . 5 (𝐴𝐴) = 𝐴
5351, 7, 11, 6, 6, 52off 7635 . . . 4 (𝜑 → (𝐹f + 𝐻):𝐴𝐵)
541, 19, 22, 24, 2, 6, 53tsmsval 23482 . . 3 (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹f + 𝐻)) = (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg ((𝐹f + 𝐻) ↾ 𝑧)))))
55 eqid 2736 . . . . . . 7 (0g𝐺) = (0g𝐺)
562adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐺 ∈ CMnd)
57 elinel2 4156 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑧 ∈ Fin)
5857adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑧 ∈ Fin)
59 elfpw 9298 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑧𝐴𝑧 ∈ Fin))
6059simplbi 498 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑧𝐴)
61 fssres 6708 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴𝐵𝑧𝐴) → (𝐹𝑧):𝑧𝐵)
627, 60, 61syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑧):𝑧𝐵)
63 fssres 6708 . . . . . . . 8 ((𝐻:𝐴𝐵𝑧𝐴) → (𝐻𝑧):𝑧𝐵)
6411, 60, 63syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐻𝑧):𝑧𝐵)
65 fvexd 6857 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (0g𝐺) ∈ V)
6662, 58, 65fdmfifsupp 9315 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑧) finSupp (0g𝐺))
6764, 58, 65fdmfifsupp 9315 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐻𝑧) finSupp (0g𝐺))
681, 55, 15, 56, 58, 62, 64, 66, 67gsumadd 19700 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg ((𝐹𝑧) ∘f + (𝐻𝑧))) = ((𝐺 Σg (𝐹𝑧)) + (𝐺 Σg (𝐻𝑧))))
697, 6fexd 7177 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ V)
7011, 6fexd 7177 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻 ∈ V)
71 offres 7916 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) → ((𝐹f + 𝐻) ↾ 𝑧) = ((𝐹𝑧) ∘f + (𝐻𝑧)))
7269, 70, 71syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹f + 𝐻) ↾ 𝑧) = ((𝐹𝑧) ∘f + (𝐻𝑧)))
7372adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐹f + 𝐻) ↾ 𝑧) = ((𝐹𝑧) ∘f + (𝐻𝑧)))
7473oveq2d 7373 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg ((𝐹f + 𝐻) ↾ 𝑧)) = (𝐺 Σg ((𝐹𝑧) ∘f + (𝐻𝑧))))
751, 15, 16plusfval 18504 . . . . . . 7 (((𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺 Σg (𝐻𝑧)) ∈ 𝐵) → ((𝐺 Σg (𝐹𝑧))(+𝑓𝐺)(𝐺 Σg (𝐻𝑧))) = ((𝐺 Σg (𝐹𝑧)) + (𝐺 Σg (𝐻𝑧))))
7628, 29, 75syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐺 Σg (𝐹𝑧))(+𝑓𝐺)(𝐺 Σg (𝐻𝑧))) = ((𝐺 Σg (𝐹𝑧)) + (𝐺 Σg (𝐻𝑧))))
7768, 74, 763eqtr4d 2786 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg ((𝐹f + 𝐻) ↾ 𝑧)) = ((𝐺 Σg (𝐹𝑧))(+𝑓𝐺)(𝐺 Σg (𝐻𝑧))))
7877mpteq2dva 5205 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg ((𝐹f + 𝐻) ↾ 𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Σg (𝐹𝑧))(+𝑓𝐺)(𝐺 Σg (𝐻𝑧)))))
7978fveq2d 6846 . . 3 (𝜑 → (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg ((𝐹f + 𝐻) ↾ 𝑧)))) = (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Σg (𝐹𝑧))(+𝑓𝐺)(𝐺 Σg (𝐻𝑧))))))
8054, 79eqtrd 2776 . 2 (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹f + 𝐻)) = (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Σg (𝐹𝑧))(+𝑓𝐺)(𝐺 Σg (𝐻𝑧))))))
8146, 80eleqtrrd 2841 1 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐺 tsums (𝐹f + 𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  {crab 3407  Vcvv 3445  cin 3909  wss 3910  𝒫 cpw 4560  cop 4592   cuni 4865  cmpt 5188   × cxp 5631  ran crn 5634  cres 5635  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  f cof 7615  Fincfn 8883  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  TopOpenctopn 17303  0gc0g 17321   Σg cgsu 17322  +𝑓cplusf 18494  Mndcmnd 18556  CMndccmn 19562  fBascfbas 20784  filGencfg 20785  TopOnctopon 22259  TopSpctps 22281   Cn ccn 22575   CnP ccnp 22576   ×t ctx 22911  Filcfil 23196   fLimf cflf 23286  TopMndctmd 23421   tsums ctsu 23477
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-plusf 18496  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-ntr 22371  df-nei 22449  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-tx 22913  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-tmd 23423  df-tsms 23478
This theorem is referenced by:  tsmssub  23500  tsmssplit  23503  esumadd  32656  esumaddf  32660
  Copyright terms: Public domain W3C validator