MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmsadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tsmsadd 23450
Description: The sum of two infinite group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 24-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsadd.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
tsmsadd.p + = (+gβ€˜πΊ)
tsmsadd.1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
tsmsadd.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopMnd)
tsmsadd.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmsadd.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
tsmsadd.h (πœ‘ β†’ 𝐻:𝐴⟢𝐡)
tsmsadd.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
tsmsadd.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝐺 tsums 𝐻))
Assertion
Ref Expression
tsmsadd (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ∘f + 𝐻)))

Proof of Theorem tsmsadd
Dummy variables 𝑦 𝑧 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsadd.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
2 tsmsadd.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
3 tsmsadd.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopMnd)
4 tmdtps 23379 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ TopMnd β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
6 tsmsadd.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
7 tsmsadd.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
81, 2, 5, 6, 7tsmscl 23438 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums 𝐹) βŠ† 𝐡)
9 tsmsadd.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
108, 9sseldd 3943 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
11 tsmsadd.h . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐻:𝐴⟢𝐡)
121, 2, 5, 6, 11tsmscl 23438 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums 𝐻) βŠ† 𝐡)
13 tsmsadd.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝐺 tsums 𝐻))
1412, 13sseldd 3943 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
15 tsmsadd.p . . . . 5 + = (+gβ€˜πΊ)
16 eqid 2737 . . . . 5 (+π‘“β€˜πΊ) = (+π‘“β€˜πΊ)
171, 15, 16plusfval 18464 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(+π‘“β€˜πΊ)π‘Œ) = (𝑋 + π‘Œ))
1810, 14, 17syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋(+π‘“β€˜πΊ)π‘Œ) = (𝑋 + π‘Œ))
19 eqid 2737 . . . . . 6 (TopOpenβ€˜πΊ) = (TopOpenβ€˜πΊ)
201, 19istps 22235 . . . . 5 (𝐺 ∈ TopSp ↔ (TopOpenβ€˜πΊ) ∈ (TopOnβ€˜π΅))
215, 20sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜πΊ) ∈ (TopOnβ€˜π΅))
22 eqid 2737 . . . . . 6 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
23 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧}) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})
24 eqid 2737 . . . . . 6 ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧}) = ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})
2522, 23, 24, 6tsmsfbas 23431 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧}) ∈ (fBasβ€˜(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
26 fgcl 23181 . . . . 5 (ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧}) ∈ (fBasβ€˜(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})) ∈ (Filβ€˜(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
2725, 26syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})) ∈ (Filβ€˜(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
281, 22, 2, 6, 7tsmslem1 23432 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝐡)
291, 22, 2, 6, 11tsmslem1 23432 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝐡)
301, 19, 22, 24, 2, 6, 7tsmsval 23434 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums 𝐹) = (((TopOpenβ€˜πΊ) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})))β€˜(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))))
319, 30eleqtrd 2840 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (((TopOpenβ€˜πΊ) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})))β€˜(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))))
321, 19, 22, 24, 2, 6, 11tsmsval 23434 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums 𝐻) = (((TopOpenβ€˜πΊ) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})))β€˜(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝑧)))))
3313, 32eleqtrd 2840 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (((TopOpenβ€˜πΊ) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})))β€˜(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝑧)))))
3419, 16tmdcn 23386 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopMnd β†’ (+π‘“β€˜πΊ) ∈ (((TopOpenβ€˜πΊ) Γ—t (TopOpenβ€˜πΊ)) Cn (TopOpenβ€˜πΊ)))
353, 34syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (+π‘“β€˜πΊ) ∈ (((TopOpenβ€˜πΊ) Γ—t (TopOpenβ€˜πΊ)) Cn (TopOpenβ€˜πΊ)))
3610, 14opelxpd 5669 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐡))
37 txtopon 22894 . . . . . . . 8 (((TopOpenβ€˜πΊ) ∈ (TopOnβ€˜π΅) ∧ (TopOpenβ€˜πΊ) ∈ (TopOnβ€˜π΅)) β†’ ((TopOpenβ€˜πΊ) Γ—t (TopOpenβ€˜πΊ)) ∈ (TopOnβ€˜(𝐡 Γ— 𝐡)))
3821, 21, 37syl2anc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((TopOpenβ€˜πΊ) Γ—t (TopOpenβ€˜πΊ)) ∈ (TopOnβ€˜(𝐡 Γ— 𝐡)))
39 toponuni 22215 . . . . . . 7 (((TopOpenβ€˜πΊ) Γ—t (TopOpenβ€˜πΊ)) ∈ (TopOnβ€˜(𝐡 Γ— 𝐡)) β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) = βˆͺ ((TopOpenβ€˜πΊ) Γ—t (TopOpenβ€˜πΊ)))
4038, 39syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) = βˆͺ ((TopOpenβ€˜πΊ) Γ—t (TopOpenβ€˜πΊ)))
4136, 40eleqtrd 2840 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ βˆͺ ((TopOpenβ€˜πΊ) Γ—t (TopOpenβ€˜πΊ)))
42 eqid 2737 . . . . . 6 βˆͺ ((TopOpenβ€˜πΊ) Γ—t (TopOpenβ€˜πΊ)) = βˆͺ ((TopOpenβ€˜πΊ) Γ—t (TopOpenβ€˜πΊ))
4342cncnpi 22581 . . . . 5 (((+π‘“β€˜πΊ) ∈ (((TopOpenβ€˜πΊ) Γ—t (TopOpenβ€˜πΊ)) Cn (TopOpenβ€˜πΊ)) ∧ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ βˆͺ ((TopOpenβ€˜πΊ) Γ—t (TopOpenβ€˜πΊ))) β†’ (+π‘“β€˜πΊ) ∈ ((((TopOpenβ€˜πΊ) Γ—t (TopOpenβ€˜πΊ)) CnP (TopOpenβ€˜πΊ))β€˜βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©))
4435, 41, 43syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ (+π‘“β€˜πΊ) ∈ ((((TopOpenβ€˜πΊ) Γ—t (TopOpenβ€˜πΊ)) CnP (TopOpenβ€˜πΊ))β€˜βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©))
4521, 21, 27, 28, 29, 31, 33, 44flfcnp2 23310 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋(+π‘“β€˜πΊ)π‘Œ) ∈ (((TopOpenβ€˜πΊ) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})))β€˜(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))(+π‘“β€˜πΊ)(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝑧))))))
4618, 45eqeltrrd 2839 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ (((TopOpenβ€˜πΊ) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})))β€˜(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))(+π‘“β€˜πΊ)(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝑧))))))
47 cmnmnd 19538 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ CMnd β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
482, 47syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
491, 15mndcl 18524 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝐡)
50493expb 1120 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝐡)
5148, 50sylan 580 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝐡)
52 inidm 4176 . . . . 5 (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
5351, 7, 11, 6, 6, 52off 7627 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f + 𝐻):𝐴⟢𝐡)
541, 19, 22, 24, 2, 6, 53tsmsval 23434 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums (𝐹 ∘f + 𝐻)) = (((TopOpenβ€˜πΊ) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})))β€˜(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 ∘f + 𝐻) β†Ύ 𝑧)))))
55 eqid 2737 . . . . . . 7 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
562adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
57 elinel2 4154 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝑧 ∈ Fin)
5857adantl 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝑧 ∈ Fin)
59 elfpw 9256 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑧 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ Fin))
6059simplbi 498 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝑧 βŠ† 𝐴)
61 fssres 6705 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝑧 βŠ† 𝐴) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑧):π‘§βŸΆπ΅)
627, 60, 61syl2an 596 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑧):π‘§βŸΆπ΅)
63 fssres 6705 . . . . . . . 8 ((𝐻:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝑧 βŠ† 𝐴) β†’ (𝐻 β†Ύ 𝑧):π‘§βŸΆπ΅)
6411, 60, 63syl2an 596 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐻 β†Ύ 𝑧):π‘§βŸΆπ΅)
65 fvexd 6854 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ V)
6662, 58, 65fdmfifsupp 9273 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑧) finSupp (0gβ€˜πΊ))
6764, 58, 65fdmfifsupp 9273 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐻 β†Ύ 𝑧) finSupp (0gβ€˜πΊ))
681, 55, 15, 56, 58, 62, 64, 66, 67gsumadd 19659 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ 𝑧) ∘f + (𝐻 β†Ύ 𝑧))) = ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) + (𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝑧))))
697, 6fexd 7173 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
7011, 6fexd 7173 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ V)
71 offres 7908 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐻) β†Ύ 𝑧) = ((𝐹 β†Ύ 𝑧) ∘f + (𝐻 β†Ύ 𝑧)))
7269, 70, 71syl2anc 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐻) β†Ύ 𝑧) = ((𝐹 β†Ύ 𝑧) ∘f + (𝐻 β†Ύ 𝑧)))
7372adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐻) β†Ύ 𝑧) = ((𝐹 β†Ύ 𝑧) ∘f + (𝐻 β†Ύ 𝑧)))
7473oveq2d 7367 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 ∘f + 𝐻) β†Ύ 𝑧)) = (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ 𝑧) ∘f + (𝐻 β†Ύ 𝑧))))
751, 15, 16plusfval 18464 . . . . . . 7 (((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝐡 ∧ (𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝐡) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))(+π‘“β€˜πΊ)(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝑧))) = ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) + (𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝑧))))
7628, 29, 75syl2anc 584 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))(+π‘“β€˜πΊ)(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝑧))) = ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) + (𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝑧))))
7768, 74, 763eqtr4d 2787 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 ∘f + 𝐻) β†Ύ 𝑧)) = ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))(+π‘“β€˜πΊ)(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝑧))))
7877mpteq2dva 5203 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 ∘f + 𝐻) β†Ύ 𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))(+π‘“β€˜πΊ)(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝑧)))))
7978fveq2d 6843 . . 3 (πœ‘ β†’ (((TopOpenβ€˜πΊ) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})))β€˜(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 ∘f + 𝐻) β†Ύ 𝑧)))) = (((TopOpenβ€˜πΊ) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})))β€˜(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))(+π‘“β€˜πΊ)(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝑧))))))
8054, 79eqtrd 2777 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums (𝐹 ∘f + 𝐻)) = (((TopOpenβ€˜πΊ) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})))β€˜(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))(+π‘“β€˜πΊ)(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝑧))))))
8146, 80eleqtrrd 2841 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ∘f + 𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3405  Vcvv 3443   ∩ cin 3907   βŠ† wss 3908  π’« cpw 4558  βŸ¨cop 4590  βˆͺ cuni 4863   ↦ cmpt 5186   Γ— cxp 5629  ran crn 5632   β†Ύ cres 5633  βŸΆwf 6489  β€˜cfv 6493  (class class class)co 7351   ∘f cof 7607  Fincfn 8841  Basecbs 17043  +gcplusg 17093  TopOpenctopn 17263  0gc0g 17281   Ξ£g cgsu 17282  +𝑓cplusf 18454  Mndcmnd 18516  CMndccmn 19521  fBascfbas 20737  filGencfg 20738  TopOnctopon 22211  TopSpctps 22233   Cn ccn 22527   CnP ccnp 22528   Γ—t ctx 22863  Filcfil 23148   fLimf cflf 23238  TopMndctmd 23373   tsums ctsu 23429
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-of 7609  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-supp 8085  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-map 8725  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-fsupp 9264  df-oi 9404  df-card 9833  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-2 12174  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-fz 13379  df-fzo 13522  df-seq 13861  df-hash 14185  df-sets 16996  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-ress 17073  df-plusg 17106  df-0g 17283  df-gsum 17284  df-topgen 17285  df-plusf 18456  df-mgm 18457  df-sgrp 18506  df-mnd 18517  df-submnd 18562  df-cntz 19056  df-cmn 19523  df-fbas 20746  df-fg 20747  df-top 22195  df-topon 22212  df-topsp 22234  df-bases 22248  df-ntr 22323  df-nei 22401  df-cn 22530  df-cnp 22531  df-tx 22865  df-fil 23149  df-fm 23241  df-flim 23242  df-flf 23243  df-tmd 23375  df-tsms 23430
This theorem is referenced by:  tsmssub  23452  tsmssplit  23455  esumadd  32468  esumaddf  32472
  Copyright terms: Public domain W3C validator