Theorem tsmsadd 24377

Description: The sum of two infinite group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 24-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmsadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmsadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
tsmsadd.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
tsmsadd.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopMnd)
tsmsadd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmsadd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
tsmsadd.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝐵)
tsmsadd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
tsmsadd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐺 tsums 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
tsmsadd	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ∘f + 𝐻)))

Proof of Theorem tsmsadd

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmsadd.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		tsmsadd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
3		tsmsadd.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopMnd)
4		tmdtps 24306	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ TopSp)
5	3, 4	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
6		tsmsadd.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
7		tsmsadd.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
8	1, 2, 5, 6, 7	tsmscl 24365	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ⊆ 𝐵)
9		tsmsadd.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
10	8, 9	sseldd 3935	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11		tsmsadd.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝐵)
12	1, 2, 5, 6, 11	tsmscl 24365	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐻) ⊆ 𝐵)
13		tsmsadd.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐺 tsums 𝐻))
14	12, 13	sseldd 3935	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
15		tsmsadd.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
16		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (+𝑓‘𝐺) = (+𝑓‘𝐺)
17	1, 15, 16	plusfval 18741	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(+𝑓‘𝐺)𝑌) = (𝑋 + 𝑌))
18	10, 14, 17	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+𝑓‘𝐺)𝑌) = (𝑋 + 𝑌))
19		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
20	1, 19	istps 23163	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵))
21	5, 20	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵))
22		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
23		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧}) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})
24		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧}) = ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})
25	22, 23, 24, 6	tsmsfbas 24358	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧}) ∈ (fBas‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
26		fgcl 24108	. . . . 5 ⊢ (ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧}) ∈ (fBas‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})) ∈ (Fil‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
27	25, 26	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})) ∈ (Fil‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
28	1, 22, 2, 6, 7	tsmslem1 24359	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝐵)
29	1, 22, 2, 6, 11	tsmslem1 24359	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧)) ∈ 𝐵)
30	1, 19, 22, 24, 2, 6, 7	tsmsval 24361	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))))
31	9, 30	eleqtrd 2864	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))))
32	1, 19, 22, 24, 2, 6, 11	tsmsval 24361	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐻) = (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧)))))
33	13, 32	eleqtrd 2864	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧)))))
34	19, 16	tmdcn 24313	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → (+𝑓‘𝐺) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
35	3, 34	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (+𝑓‘𝐺) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
36	10, 14	opelxpd 5698	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
37		txtopon 23821	. . . . . . . 8 ⊢ (((TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵)) → ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) ∈ (TopOn‘(𝐵 × 𝐵)))
38	21, 21, 37	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) ∈ (TopOn‘(𝐵 × 𝐵)))
39		toponuni 23143	. . . . . . 7 ⊢ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) ∈ (TopOn‘(𝐵 × 𝐵)) → (𝐵 × 𝐵) = ∪ ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)))
40	38, 39	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × 𝐵) = ∪ ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)))
41	36, 40	eleqtrd 2864	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ∪ ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)))
42		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ ∪ ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) = ∪ ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺))
43	42	cncnpi 23507	. . . . 5 ⊢ (((+𝑓‘𝐺) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)) ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ∪ ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺))) → (+𝑓‘𝐺) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) CnP (TopOpen‘𝐺))‘⟨𝑋, 𝑌⟩))
44	35, 41, 43	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+𝑓‘𝐺) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) CnP (TopOpen‘𝐺))‘⟨𝑋, 𝑌⟩))
45	21, 21, 27, 28, 29, 31, 33, 44	flfcnp2 24237	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+𝑓‘𝐺)𝑌) ∈ (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))(+𝑓‘𝐺)(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧))))))
46	18, 45	eqeltrrd 2863	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))(+𝑓‘𝐺)(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧))))))
47		cmnmnd 19928	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
48	2, 47	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
49	1, 15	mndcl 18848	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
50	49	3expb 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
51	48, 50	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
52		inidm 4175	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
53	51, 7, 11, 6, 6, 52	off 7699	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f + 𝐻):𝐴⟶𝐵)
54	1, 19, 22, 24, 2, 6, 53	tsmsval 24361	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹 ∘f + 𝐻)) = (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg ((𝐹 ∘f + 𝐻) ↾ 𝑧)))))
55		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
56	2	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐺 ∈ CMnd)
57		elinel2 4151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑧 ∈ Fin)
58	57	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑧 ∈ Fin)
59		elfpw 9324	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ Fin))
60	59	simplbi 502	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑧 ⊆ 𝐴)
61		fssres 6745	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝑧):𝑧⟶𝐵)
62	7, 60, 61	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑧):𝑧⟶𝐵)
63		fssres 6745	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → (𝐻 ↾ 𝑧):𝑧⟶𝐵)
64	11, 60, 63	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐻 ↾ 𝑧):𝑧⟶𝐵)
65		fvexd 6897	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (0g‘𝐺) ∈ V)
66	62, 58, 65	fdmfifsupp 9348	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑧) finSupp (0g‘𝐺))
67	64, 58, 65	fdmfifsupp 9348	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐻 ↾ 𝑧) finSupp (0g‘𝐺))
68	1, 55, 15, 56, 58, 62, 64, 66, 67	gsumadd 20054	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑧) ∘f + (𝐻 ↾ 𝑧))) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) + (𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧))))
69	7, 6	fexd 7229	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
70	11, 6	fexd 7229	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ V)
71		offres 7983	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) → ((𝐹 ∘f + 𝐻) ↾ 𝑧) = ((𝐹 ↾ 𝑧) ∘f + (𝐻 ↾ 𝑧)))
72	69, 70, 71	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f + 𝐻) ↾ 𝑧) = ((𝐹 ↾ 𝑧) ∘f + (𝐻 ↾ 𝑧)))
73	72	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐹 ∘f + 𝐻) ↾ 𝑧) = ((𝐹 ↾ 𝑧) ∘f + (𝐻 ↾ 𝑧)))
74	73	oveq2d 7432	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg ((𝐹 ∘f + 𝐻) ↾ 𝑧)) = (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑧) ∘f + (𝐻 ↾ 𝑧))))
75	1, 15, 16	plusfval 18741	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧)) ∈ 𝐵) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))(+𝑓‘𝐺)(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧))) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) + (𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧))))
76	28, 29, 75	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))(+𝑓‘𝐺)(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧))) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) + (𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧))))
77	68, 74, 76	3eqtr4d 2807	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg ((𝐹 ∘f + 𝐻) ↾ 𝑧)) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))(+𝑓‘𝐺)(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧))))
78	77	mpteq2dva 5202	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg ((𝐹 ∘f + 𝐻) ↾ 𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))(+𝑓‘𝐺)(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧)))))
79	78	fveq2d 6886	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg ((𝐹 ∘f + 𝐻) ↾ 𝑧)))) = (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))(+𝑓‘𝐺)(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧))))))
80	54, 79	eqtrd 2797	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹 ∘f + 𝐻)) = (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))(+𝑓‘𝐺)(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧))))))
81	46, 80	eleqtrrd 2865	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ∘f + 𝐻)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3414  Vcvv 3453   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  𝒫 cpw 4560  ⟨cop 4593  ∪ cuni 4870   ↦ cmpt 5190   × cxp 5657  ran crn 5660   ↾ cres 5661  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ∘_f cof 7679  Fincfn 8955  Basecbs 17305  +_gcplusg 17346  TopOpenctopn 17510  0_gc0g 17528   Σ_g cgsu 17529  +_𝑓cplusf 18731  Mndcmnd 18840  CMndccmn 19911  fBascfbas 21577  filGencfg 21578  TopOnctopon 23139  TopSpctps 23161   Cn ccn 23453   CnP ccnp 23454   ×_t ctx 23790  Filcfil 24075   fLimf cflf 24165  TopMndctmd 24300   tsums ctsu 24356

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-seq 14068  df-hash 14397  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-topgen 17532  df-plusf 18733  df-mgm 18734  df-sgrp 18825  df-mnd 18841  df-submnd 18896  df-cntz 19448  df-cmn 19913  df-fbas 21586  df-fg 21587  df-top 23123  df-topon 23140  df-topsp 23162  df-bases 23175  df-ntr 23249  df-nei 23327  df-cn 23456  df-cnp 23457  df-tx 23792  df-fil 24076  df-fm 24168  df-flim 24169  df-flf 24170  df-tmd 24302  df-tsms 24357

This theorem is used by:  tsmssub  24379  tsmssplit  24382  esumadd  34569  esumaddf  34573