MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmsadd Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tsmsadd 23642
Description: The sum of two infinite group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 24-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsadd.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
tsmsadd.p + = (+gβ€˜πΊ)
tsmsadd.1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
tsmsadd.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopMnd)
tsmsadd.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmsadd.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
tsmsadd.h (πœ‘ β†’ 𝐻:𝐴⟢𝐡)
tsmsadd.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
tsmsadd.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝐺 tsums 𝐻))
Assertion
Ref Expression
tsmsadd (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ∘f + 𝐻)))
Proof of Theorem tsmsadd
Dummy variables 𝑦 𝑧 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsadd.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
2 tsmsadd.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
3 tsmsadd.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopMnd)
4 tmdtps 23571 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ TopMnd β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
6 tsmsadd.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
7 tsmsadd.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
81, 2, 5, 6, 7tsmscl 23630 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums 𝐹) βŠ† 𝐡)
9 tsmsadd.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
108, 9sseldd 3982 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
11 tsmsadd.h . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐻:𝐴⟢𝐡)
121, 2, 5, 6, 11tsmscl 23630 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums 𝐻) βŠ† 𝐡)
13 tsmsadd.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝐺 tsums 𝐻))
1412, 13sseldd 3982 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
15 tsmsadd.p . . . . 5 + = (+gβ€˜πΊ)
16 eqid 2732 . . . . 5 (+π‘“β€˜πΊ) = (+π‘“β€˜πΊ)
171, 15, 16plusfval 18564 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(+π‘“β€˜πΊ)π‘Œ) = (𝑋 + π‘Œ))
1810, 14, 17syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋(+π‘“β€˜πΊ)π‘Œ) = (𝑋 + π‘Œ))
19 eqid 2732 . . . . . 6 (TopOpenβ€˜πΊ) = (TopOpenβ€˜πΊ)
201, 19istps 22427 . . . . 5 (𝐺 ∈ TopSp ↔ (TopOpenβ€˜πΊ) ∈ (TopOnβ€˜π΅))
215, 20sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜πΊ) ∈ (TopOnβ€˜π΅))
22 eqid 2732 . . . . . 6 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
23 eqid 2732 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧}) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})
24 eqid 2732 . . . . . 6 ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧}) = ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})
2522, 23, 24, 6tsmsfbas 23623 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧}) ∈ (fBasβ€˜(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
26 fgcl 23373 . . . . 5 (ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧}) ∈ (fBasβ€˜(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})) ∈ (Filβ€˜(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
2725, 26syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})) ∈ (Filβ€˜(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
281, 22, 2, 6, 7tsmslem1 23624 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝐡)
291, 22, 2, 6, 11tsmslem1 23624 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝐡)
301, 19, 22, 24, 2, 6, 7tsmsval 23626 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums 𝐹) = (((TopOpenβ€˜πΊ) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})))β€˜(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))))
319, 30eleqtrd 2835 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (((TopOpenβ€˜πΊ) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})))β€˜(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))))
321, 19, 22, 24, 2, 6, 11tsmsval 23626 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums 𝐻) = (((TopOpenβ€˜πΊ) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})))β€˜(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝑧)))))
3313, 32eleqtrd 2835 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (((TopOpenβ€˜πΊ) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})))β€˜(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝑧)))))
3419, 16tmdcn 23578 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopMnd β†’ (+π‘“β€˜πΊ) ∈ (((TopOpenβ€˜πΊ) Γ—t (TopOpenβ€˜πΊ)) Cn (TopOpenβ€˜πΊ)))
353, 34syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (+π‘“β€˜πΊ) ∈ (((TopOpenβ€˜πΊ) Γ—t (TopOpenβ€˜πΊ)) Cn (TopOpenβ€˜πΊ)))
3610, 14opelxpd 5713 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐡))
37 txtopon 23086 . . . . . . . 8 (((TopOpenβ€˜πΊ) ∈ (TopOnβ€˜π΅) ∧ (TopOpenβ€˜πΊ) ∈ (TopOnβ€˜π΅)) β†’ ((TopOpenβ€˜πΊ) Γ—t (TopOpenβ€˜πΊ)) ∈ (TopOnβ€˜(𝐡 Γ— 𝐡)))
3821, 21, 37syl2anc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((TopOpenβ€˜πΊ) Γ—t (TopOpenβ€˜πΊ)) ∈ (TopOnβ€˜(𝐡 Γ— 𝐡)))
39 toponuni 22407 . . . . . . 7 (((TopOpenβ€˜πΊ) Γ—t (TopOpenβ€˜πΊ)) ∈ (TopOnβ€˜(𝐡 Γ— 𝐡)) β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) = βˆͺ ((TopOpenβ€˜πΊ) Γ—t (TopOpenβ€˜πΊ)))
4038, 39syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) = βˆͺ ((TopOpenβ€˜πΊ) Γ—t (TopOpenβ€˜πΊ)))
4136, 40eleqtrd 2835 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ βˆͺ ((TopOpenβ€˜πΊ) Γ—t (TopOpenβ€˜πΊ)))
42 eqid 2732 . . . . . 6 βˆͺ ((TopOpenβ€˜πΊ) Γ—t (TopOpenβ€˜πΊ)) = βˆͺ ((TopOpenβ€˜πΊ) Γ—t (TopOpenβ€˜πΊ))
4342cncnpi 22773 . . . . 5 (((+π‘“β€˜πΊ) ∈ (((TopOpenβ€˜πΊ) Γ—t (TopOpenβ€˜πΊ)) Cn (TopOpenβ€˜πΊ)) ∧ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ βˆͺ ((TopOpenβ€˜πΊ) Γ—t (TopOpenβ€˜πΊ))) β†’ (+π‘“β€˜πΊ) ∈ ((((TopOpenβ€˜πΊ) Γ—t (TopOpenβ€˜πΊ)) CnP (TopOpenβ€˜πΊ))β€˜βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©))
4435, 41, 43syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ (+π‘“β€˜πΊ) ∈ ((((TopOpenβ€˜πΊ) Γ—t (TopOpenβ€˜πΊ)) CnP (TopOpenβ€˜πΊ))β€˜βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©))
4521, 21, 27, 28, 29, 31, 33, 44flfcnp2 23502 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋(+π‘“β€˜πΊ)π‘Œ) ∈ (((TopOpenβ€˜πΊ) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})))β€˜(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))(+π‘“β€˜πΊ)(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝑧))))))
4618, 45eqeltrrd 2834 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ (((TopOpenβ€˜πΊ) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})))β€˜(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))(+π‘“β€˜πΊ)(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝑧))))))
47 cmnmnd 19659 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ CMnd β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
482, 47syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
491, 15mndcl 18629 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝐡)
50493expb 1120 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝐡)
5148, 50sylan 580 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝐡)
52 inidm 4217 . . . . 5 (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
5351, 7, 11, 6, 6, 52off 7684 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f + 𝐻):𝐴⟢𝐡)
541, 19, 22, 24, 2, 6, 53tsmsval 23626 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums (𝐹 ∘f + 𝐻)) = (((TopOpenβ€˜πΊ) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})))β€˜(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 ∘f + 𝐻) β†Ύ 𝑧)))))
55 eqid 2732 . . . . . . 7 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
562adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
57 elinel2 4195 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝑧 ∈ Fin)
5857adantl 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝑧 ∈ Fin)
59 elfpw 9350 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑧 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ Fin))
6059simplbi 498 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝑧 βŠ† 𝐴)
61 fssres 6754 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝑧 βŠ† 𝐴) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑧):π‘§βŸΆπ΅)
627, 60, 61syl2an 596 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑧):π‘§βŸΆπ΅)
63 fssres 6754 . . . . . . . 8 ((𝐻:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝑧 βŠ† 𝐴) β†’ (𝐻 β†Ύ 𝑧):π‘§βŸΆπ΅)
6411, 60, 63syl2an 596 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐻 β†Ύ 𝑧):π‘§βŸΆπ΅)
65 fvexd 6903 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ V)
6662, 58, 65fdmfifsupp 9369 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑧) finSupp (0gβ€˜πΊ))
6764, 58, 65fdmfifsupp 9369 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐻 β†Ύ 𝑧) finSupp (0gβ€˜πΊ))
681, 55, 15, 56, 58, 62, 64, 66, 67gsumadd 19785 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ 𝑧) ∘f + (𝐻 β†Ύ 𝑧))) = ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) + (𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝑧))))
697, 6fexd 7225 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
7011, 6fexd 7225 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ V)
71 offres 7966 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐻) β†Ύ 𝑧) = ((𝐹 β†Ύ 𝑧) ∘f + (𝐻 β†Ύ 𝑧)))
7269, 70, 71syl2anc 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐻) β†Ύ 𝑧) = ((𝐹 β†Ύ 𝑧) ∘f + (𝐻 β†Ύ 𝑧)))
7372adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐻) β†Ύ 𝑧) = ((𝐹 β†Ύ 𝑧) ∘f + (𝐻 β†Ύ 𝑧)))
7473oveq2d 7421 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 ∘f + 𝐻) β†Ύ 𝑧)) = (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ 𝑧) ∘f + (𝐻 β†Ύ 𝑧))))
751, 15, 16plusfval 18564 . . . . . . 7 (((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝐡 ∧ (𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝐡) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))(+π‘“β€˜πΊ)(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝑧))) = ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) + (𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝑧))))
7628, 29, 75syl2anc 584 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))(+π‘“β€˜πΊ)(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝑧))) = ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) + (𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝑧))))
7768, 74, 763eqtr4d 2782 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 ∘f + 𝐻) β†Ύ 𝑧)) = ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))(+π‘“β€˜πΊ)(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝑧))))
7877mpteq2dva 5247 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 ∘f + 𝐻) β†Ύ 𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))(+π‘“β€˜πΊ)(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝑧)))))
7978fveq2d 6892 . . 3 (πœ‘ β†’ (((TopOpenβ€˜πΊ) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})))β€˜(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 ∘f + 𝐻) β†Ύ 𝑧)))) = (((TopOpenβ€˜πΊ) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})))β€˜(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))(+π‘“β€˜πΊ)(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝑧))))))
8054, 79eqtrd 2772 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums (𝐹 ∘f + 𝐻)) = (((TopOpenβ€˜πΊ) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})))β€˜(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))(+π‘“β€˜πΊ)(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ 𝑧))))))
8146, 80eleqtrrd 2836 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ∘f + 𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432  Vcvv 3474   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601  βŸ¨cop 4633  βˆͺ cuni 4907   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∘f cof 7664  Fincfn 8935  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  TopOpenctopn 17363  0gc0g 17381   Ξ£g cgsu 17382  +𝑓cplusf 18554  Mndcmnd 18621  CMndccmn 19642  fBascfbas 20924  filGencfg 20925  TopOnctopon 22403  TopSpctps 22425   Cn ccn 22719   CnP ccnp 22720   Γ—t ctx 23055  Filcfil 23340   fLimf cflf 23430  TopMndctmd 23565   tsums ctsu 23621
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-plusf 18556  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-ntr 22515  df-nei 22593  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-tx 23057  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-tmd 23567  df-tsms 23622
This theorem is referenced by:  tsmssub  23644  tsmssplit  23647  esumadd  33043  esumaddf  33047
  Copyright terms: Public domain W3C validator