MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmsadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tsmsadd 24171
Description: The sum of two infinite group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 24-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsadd.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmsadd.p + = (+g𝐺)
tsmsadd.1 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
tsmsadd.2 (𝜑𝐺 ∈ TopMnd)
tsmsadd.a (𝜑𝐴𝑉)
tsmsadd.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
tsmsadd.h (𝜑𝐻:𝐴𝐵)
tsmsadd.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
tsmsadd.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐺 tsums 𝐻))
Assertion
Ref Expression
tsmsadd (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐺 tsums (𝐹f + 𝐻)))

Proof of Theorem tsmsadd
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsadd.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 tsmsadd.1 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
3 tsmsadd.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ TopMnd)
4 tmdtps 24100 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ TopSp)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
6 tsmsadd.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑉)
7 tsmsadd.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
81, 2, 5, 6, 7tsmscl 24159 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ⊆ 𝐵)
9 tsmsadd.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
108, 9sseldd 3996 . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
11 tsmsadd.h . . . . . 6 (𝜑𝐻:𝐴𝐵)
121, 2, 5, 6, 11tsmscl 24159 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐻) ⊆ 𝐵)
13 tsmsadd.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (𝐺 tsums 𝐻))
1412, 13sseldd 3996 . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
15 tsmsadd.p . . . . 5 + = (+g𝐺)
16 eqid 2735 . . . . 5 (+𝑓𝐺) = (+𝑓𝐺)
171, 15, 16plusfval 18673 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋(+𝑓𝐺)𝑌) = (𝑋 + 𝑌))
1810, 14, 17syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝑋(+𝑓𝐺)𝑌) = (𝑋 + 𝑌))
19 eqid 2735 . . . . . 6 (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
201, 19istps 22956 . . . . 5 (𝐺 ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵))
215, 20sylib 218 . . . 4 (𝜑 → (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵))
22 eqid 2735 . . . . . 6 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
23 eqid 2735 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧}) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})
24 eqid 2735 . . . . . 6 ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧}) = ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})
2522, 23, 24, 6tsmsfbas 24152 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧}) ∈ (fBas‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
26 fgcl 23902 . . . . 5 (ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧}) ∈ (fBas‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})) ∈ (Fil‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
2725, 26syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})) ∈ (Fil‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
281, 22, 2, 6, 7tsmslem1 24153 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝐵)
291, 22, 2, 6, 11tsmslem1 24153 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐻𝑧)) ∈ 𝐵)
301, 19, 22, 24, 2, 6, 7tsmsval 24155 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))))
319, 30eleqtrd 2841 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))))
321, 19, 22, 24, 2, 6, 11tsmsval 24155 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐻) = (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐻𝑧)))))
3313, 32eleqtrd 2841 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐻𝑧)))))
3419, 16tmdcn 24107 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopMnd → (+𝑓𝐺) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
353, 34syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (+𝑓𝐺) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
3610, 14opelxpd 5728 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
37 txtopon 23615 . . . . . . . 8 (((TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵)) → ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) ∈ (TopOn‘(𝐵 × 𝐵)))
3821, 21, 37syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) ∈ (TopOn‘(𝐵 × 𝐵)))
39 toponuni 22936 . . . . . . 7 (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) ∈ (TopOn‘(𝐵 × 𝐵)) → (𝐵 × 𝐵) = ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)))
4038, 39syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 × 𝐵) = ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)))
4136, 40eleqtrd 2841 . . . . 5 (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)))
42 eqid 2735 . . . . . 6 ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) = ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺))
4342cncnpi 23302 . . . . 5 (((+𝑓𝐺) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)) ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺))) → (+𝑓𝐺) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) CnP (TopOpen‘𝐺))‘⟨𝑋, 𝑌⟩))
4435, 41, 43syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (+𝑓𝐺) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) CnP (TopOpen‘𝐺))‘⟨𝑋, 𝑌⟩))
4521, 21, 27, 28, 29, 31, 33, 44flfcnp2 24031 . . 3 (𝜑 → (𝑋(+𝑓𝐺)𝑌) ∈ (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Σg (𝐹𝑧))(+𝑓𝐺)(𝐺 Σg (𝐻𝑧))))))
4618, 45eqeltrrd 2840 . 2 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Σg (𝐹𝑧))(+𝑓𝐺)(𝐺 Σg (𝐻𝑧))))))
47 cmnmnd 19830 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
482, 47syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
491, 15mndcl 18768 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
50493expb 1119 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
5148, 50sylan 580 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
52 inidm 4235 . . . . 5 (𝐴𝐴) = 𝐴
5351, 7, 11, 6, 6, 52off 7715 . . . 4 (𝜑 → (𝐹f + 𝐻):𝐴𝐵)
541, 19, 22, 24, 2, 6, 53tsmsval 24155 . . 3 (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹f + 𝐻)) = (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg ((𝐹f + 𝐻) ↾ 𝑧)))))
55 eqid 2735 . . . . . . 7 (0g𝐺) = (0g𝐺)
562adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐺 ∈ CMnd)
57 elinel2 4212 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑧 ∈ Fin)
5857adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑧 ∈ Fin)
59 elfpw 9392 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑧𝐴𝑧 ∈ Fin))
6059simplbi 497 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑧𝐴)
61 fssres 6775 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴𝐵𝑧𝐴) → (𝐹𝑧):𝑧𝐵)
627, 60, 61syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑧):𝑧𝐵)
63 fssres 6775 . . . . . . . 8 ((𝐻:𝐴𝐵𝑧𝐴) → (𝐻𝑧):𝑧𝐵)
6411, 60, 63syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐻𝑧):𝑧𝐵)
65 fvexd 6922 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (0g𝐺) ∈ V)
6662, 58, 65fdmfifsupp 9413 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑧) finSupp (0g𝐺))
6764, 58, 65fdmfifsupp 9413 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐻𝑧) finSupp (0g𝐺))
681, 55, 15, 56, 58, 62, 64, 66, 67gsumadd 19956 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg ((𝐹𝑧) ∘f + (𝐻𝑧))) = ((𝐺 Σg (𝐹𝑧)) + (𝐺 Σg (𝐻𝑧))))
697, 6fexd 7247 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ V)
7011, 6fexd 7247 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻 ∈ V)
71 offres 8007 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) → ((𝐹f + 𝐻) ↾ 𝑧) = ((𝐹𝑧) ∘f + (𝐻𝑧)))
7269, 70, 71syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹f + 𝐻) ↾ 𝑧) = ((𝐹𝑧) ∘f + (𝐻𝑧)))
7372adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐹f + 𝐻) ↾ 𝑧) = ((𝐹𝑧) ∘f + (𝐻𝑧)))
7473oveq2d 7447 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg ((𝐹f + 𝐻) ↾ 𝑧)) = (𝐺 Σg ((𝐹𝑧) ∘f + (𝐻𝑧))))
751, 15, 16plusfval 18673 . . . . . . 7 (((𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺 Σg (𝐻𝑧)) ∈ 𝐵) → ((𝐺 Σg (𝐹𝑧))(+𝑓𝐺)(𝐺 Σg (𝐻𝑧))) = ((𝐺 Σg (𝐹𝑧)) + (𝐺 Σg (𝐻𝑧))))
7628, 29, 75syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐺 Σg (𝐹𝑧))(+𝑓𝐺)(𝐺 Σg (𝐻𝑧))) = ((𝐺 Σg (𝐹𝑧)) + (𝐺 Σg (𝐻𝑧))))
7768, 74, 763eqtr4d 2785 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg ((𝐹f + 𝐻) ↾ 𝑧)) = ((𝐺 Σg (𝐹𝑧))(+𝑓𝐺)(𝐺 Σg (𝐻𝑧))))
7877mpteq2dva 5248 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg ((𝐹f + 𝐻) ↾ 𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Σg (𝐹𝑧))(+𝑓𝐺)(𝐺 Σg (𝐻𝑧)))))
7978fveq2d 6911 . . 3 (𝜑 → (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg ((𝐹f + 𝐻) ↾ 𝑧)))) = (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Σg (𝐹𝑧))(+𝑓𝐺)(𝐺 Σg (𝐻𝑧))))))
8054, 79eqtrd 2775 . 2 (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹f + 𝐻)) = (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Σg (𝐹𝑧))(+𝑓𝐺)(𝐺 Σg (𝐻𝑧))))))
8146, 80eleqtrrd 2842 1 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐺 tsums (𝐹f + 𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {crab 3433  Vcvv 3478  cin 3962  wss 3963  𝒫 cpw 4605  cop 4637   cuni 4912  cmpt 5231   × cxp 5687  ran crn 5690  cres 5691  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  f cof 7695  Fincfn 8984  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  TopOpenctopn 17468  0gc0g 17486   Σg cgsu 17487  +𝑓cplusf 18663  Mndcmnd 18760  CMndccmn 19813  fBascfbas 21370  filGencfg 21371  TopOnctopon 22932  TopSpctps 22954   Cn ccn 23248   CnP ccnp 23249   ×t ctx 23584  Filcfil 23869   fLimf cflf 23959  TopMndctmd 24094   tsums ctsu 24150
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-plusf 18665  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-ntr 23044  df-nei 23122  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-tx 23586  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-tmd 24096  df-tsms 24151
This theorem is referenced by:  tsmssub  24173  tsmssplit  24176  esumadd  34038  esumaddf  34042
  Copyright terms: Public domain W3C validator