MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmsadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tsmsadd 24155
Description: The sum of two infinite group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 24-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsadd.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmsadd.p + = (+g𝐺)
tsmsadd.1 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
tsmsadd.2 (𝜑𝐺 ∈ TopMnd)
tsmsadd.a (𝜑𝐴𝑉)
tsmsadd.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
tsmsadd.h (𝜑𝐻:𝐴𝐵)
tsmsadd.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
tsmsadd.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐺 tsums 𝐻))
Assertion
Ref Expression
tsmsadd (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐺 tsums (𝐹f + 𝐻)))

Proof of Theorem tsmsadd
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsadd.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 tsmsadd.1 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
3 tsmsadd.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ TopMnd)
4 tmdtps 24084 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ TopSp)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
6 tsmsadd.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑉)
7 tsmsadd.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
81, 2, 5, 6, 7tsmscl 24143 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ⊆ 𝐵)
9 tsmsadd.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
108, 9sseldd 3984 . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
11 tsmsadd.h . . . . . 6 (𝜑𝐻:𝐴𝐵)
121, 2, 5, 6, 11tsmscl 24143 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐻) ⊆ 𝐵)
13 tsmsadd.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (𝐺 tsums 𝐻))
1412, 13sseldd 3984 . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
15 tsmsadd.p . . . . 5 + = (+g𝐺)
16 eqid 2737 . . . . 5 (+𝑓𝐺) = (+𝑓𝐺)
171, 15, 16plusfval 18660 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋(+𝑓𝐺)𝑌) = (𝑋 + 𝑌))
1810, 14, 17syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝑋(+𝑓𝐺)𝑌) = (𝑋 + 𝑌))
19 eqid 2737 . . . . . 6 (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
201, 19istps 22940 . . . . 5 (𝐺 ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵))
215, 20sylib 218 . . . 4 (𝜑 → (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵))
22 eqid 2737 . . . . . 6 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
23 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧}) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})
24 eqid 2737 . . . . . 6 ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧}) = ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})
2522, 23, 24, 6tsmsfbas 24136 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧}) ∈ (fBas‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
26 fgcl 23886 . . . . 5 (ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧}) ∈ (fBas‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})) ∈ (Fil‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
2725, 26syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})) ∈ (Fil‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
281, 22, 2, 6, 7tsmslem1 24137 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝐵)
291, 22, 2, 6, 11tsmslem1 24137 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐻𝑧)) ∈ 𝐵)
301, 19, 22, 24, 2, 6, 7tsmsval 24139 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))))
319, 30eleqtrd 2843 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))))
321, 19, 22, 24, 2, 6, 11tsmsval 24139 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐻) = (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐻𝑧)))))
3313, 32eleqtrd 2843 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐻𝑧)))))
3419, 16tmdcn 24091 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopMnd → (+𝑓𝐺) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
353, 34syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (+𝑓𝐺) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
3610, 14opelxpd 5724 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
37 txtopon 23599 . . . . . . . 8 (((TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵)) → ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) ∈ (TopOn‘(𝐵 × 𝐵)))
3821, 21, 37syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) ∈ (TopOn‘(𝐵 × 𝐵)))
39 toponuni 22920 . . . . . . 7 (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) ∈ (TopOn‘(𝐵 × 𝐵)) → (𝐵 × 𝐵) = ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)))
4038, 39syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 × 𝐵) = ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)))
4136, 40eleqtrd 2843 . . . . 5 (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)))
42 eqid 2737 . . . . . 6 ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) = ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺))
4342cncnpi 23286 . . . . 5 (((+𝑓𝐺) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)) ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺))) → (+𝑓𝐺) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) CnP (TopOpen‘𝐺))‘⟨𝑋, 𝑌⟩))
4435, 41, 43syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (+𝑓𝐺) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) CnP (TopOpen‘𝐺))‘⟨𝑋, 𝑌⟩))
4521, 21, 27, 28, 29, 31, 33, 44flfcnp2 24015 . . 3 (𝜑 → (𝑋(+𝑓𝐺)𝑌) ∈ (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Σg (𝐹𝑧))(+𝑓𝐺)(𝐺 Σg (𝐻𝑧))))))
4618, 45eqeltrrd 2842 . 2 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Σg (𝐹𝑧))(+𝑓𝐺)(𝐺 Σg (𝐻𝑧))))))
47 cmnmnd 19815 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
482, 47syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
491, 15mndcl 18755 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
50493expb 1121 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
5148, 50sylan 580 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
52 inidm 4227 . . . . 5 (𝐴𝐴) = 𝐴
5351, 7, 11, 6, 6, 52off 7715 . . . 4 (𝜑 → (𝐹f + 𝐻):𝐴𝐵)
541, 19, 22, 24, 2, 6, 53tsmsval 24139 . . 3 (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹f + 𝐻)) = (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg ((𝐹f + 𝐻) ↾ 𝑧)))))
55 eqid 2737 . . . . . . 7 (0g𝐺) = (0g𝐺)
562adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐺 ∈ CMnd)
57 elinel2 4202 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑧 ∈ Fin)
5857adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑧 ∈ Fin)
59 elfpw 9394 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑧𝐴𝑧 ∈ Fin))
6059simplbi 497 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑧𝐴)
61 fssres 6774 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴𝐵𝑧𝐴) → (𝐹𝑧):𝑧𝐵)
627, 60, 61syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑧):𝑧𝐵)
63 fssres 6774 . . . . . . . 8 ((𝐻:𝐴𝐵𝑧𝐴) → (𝐻𝑧):𝑧𝐵)
6411, 60, 63syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐻𝑧):𝑧𝐵)
65 fvexd 6921 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (0g𝐺) ∈ V)
6662, 58, 65fdmfifsupp 9415 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑧) finSupp (0g𝐺))
6764, 58, 65fdmfifsupp 9415 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐻𝑧) finSupp (0g𝐺))
681, 55, 15, 56, 58, 62, 64, 66, 67gsumadd 19941 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg ((𝐹𝑧) ∘f + (𝐻𝑧))) = ((𝐺 Σg (𝐹𝑧)) + (𝐺 Σg (𝐻𝑧))))
697, 6fexd 7247 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ V)
7011, 6fexd 7247 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻 ∈ V)
71 offres 8008 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) → ((𝐹f + 𝐻) ↾ 𝑧) = ((𝐹𝑧) ∘f + (𝐻𝑧)))
7269, 70, 71syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹f + 𝐻) ↾ 𝑧) = ((𝐹𝑧) ∘f + (𝐻𝑧)))
7372adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐹f + 𝐻) ↾ 𝑧) = ((𝐹𝑧) ∘f + (𝐻𝑧)))
7473oveq2d 7447 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg ((𝐹f + 𝐻) ↾ 𝑧)) = (𝐺 Σg ((𝐹𝑧) ∘f + (𝐻𝑧))))
751, 15, 16plusfval 18660 . . . . . . 7 (((𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺 Σg (𝐻𝑧)) ∈ 𝐵) → ((𝐺 Σg (𝐹𝑧))(+𝑓𝐺)(𝐺 Σg (𝐻𝑧))) = ((𝐺 Σg (𝐹𝑧)) + (𝐺 Σg (𝐻𝑧))))
7628, 29, 75syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐺 Σg (𝐹𝑧))(+𝑓𝐺)(𝐺 Σg (𝐻𝑧))) = ((𝐺 Σg (𝐹𝑧)) + (𝐺 Σg (𝐻𝑧))))
7768, 74, 763eqtr4d 2787 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg ((𝐹f + 𝐻) ↾ 𝑧)) = ((𝐺 Σg (𝐹𝑧))(+𝑓𝐺)(𝐺 Σg (𝐻𝑧))))
7877mpteq2dva 5242 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg ((𝐹f + 𝐻) ↾ 𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Σg (𝐹𝑧))(+𝑓𝐺)(𝐺 Σg (𝐻𝑧)))))
7978fveq2d 6910 . . 3 (𝜑 → (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg ((𝐹f + 𝐻) ↾ 𝑧)))) = (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Σg (𝐹𝑧))(+𝑓𝐺)(𝐺 Σg (𝐻𝑧))))))
8054, 79eqtrd 2777 . 2 (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹f + 𝐻)) = (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Σg (𝐹𝑧))(+𝑓𝐺)(𝐺 Σg (𝐻𝑧))))))
8146, 80eleqtrrd 2844 1 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐺 tsums (𝐹f + 𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  {crab 3436  Vcvv 3480  cin 3950  wss 3951  𝒫 cpw 4600  cop 4632   cuni 4907  cmpt 5225   × cxp 5683  ran crn 5686  cres 5687  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  f cof 7695  Fincfn 8985  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  TopOpenctopn 17466  0gc0g 17484   Σg cgsu 17485  +𝑓cplusf 18650  Mndcmnd 18747  CMndccmn 19798  fBascfbas 21352  filGencfg 21353  TopOnctopon 22916  TopSpctps 22938   Cn ccn 23232   CnP ccnp 23233   ×t ctx 23568  Filcfil 23853   fLimf cflf 23943  TopMndctmd 24078   tsums ctsu 24134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-plusf 18652  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-ntr 23028  df-nei 23106  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-tx 23570  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-tmd 24080  df-tsms 24135
This theorem is referenced by:  tsmssub  24157  tsmssplit  24160  esumadd  34058  esumaddf  34062
  Copyright terms: Public domain W3C validator