Theorem tmdtopon 23991

Description: The topology of a topological monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgpcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
tgptopon.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
tmdtopon	⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Proof of Theorem tmdtopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tmdtps 23986	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ TopSp)
2		tgptopon.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		tgpcn.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
4	2, 3	istps 22844	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5	1, 4	sylib 218	1 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6476  Basecbs 17115  TopOpenctopn 17320  TopOnctopon 22820  TopSpctps 22842  TopMndctmd 23980

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fv 6484  df-ov 7344  df-top 22804  df-topon 22821  df-topsp 22843  df-tmd 23982

This theorem is referenced by:  cnmpt1plusg  23997  cnmpt2plusg  23998  tmdcn2  23999  tmdmulg  24002  tmdgsum  24005  tmdgsum2  24006  oppgtmd  24007  tmdlactcn  24012  submtmd  24014  ghmcnp  24025  prdstgpd  24035  tsmsxp  24065  mhmhmeotmd  33932