Theorem tmdtopon 24076

Description: The topology of a topological monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgpcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
tgptopon.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
tmdtopon	⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Proof of Theorem tmdtopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tmdtps 24071	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ TopSp)
2		tgptopon.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		tgpcn.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
4	2, 3	istps 22927	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5	1, 4	sylib 217	1 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6554  Basecbs 17213  TopOpenctopn 17436  TopOnctopon 22903  TopSpctps 22925  TopMndctmd 24065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fv 6562  df-ov 7427  df-top 22887  df-topon 22904  df-topsp 22926  df-tmd 24067

This theorem is referenced by:  cnmpt1plusg  24082  cnmpt2plusg  24083  tmdcn2  24084  tmdmulg  24087  tmdgsum  24090  tmdgsum2  24091  oppgtmd  24092  tmdlactcn  24097  submtmd  24099  ghmcnp  24110  prdstgpd  24120  tsmsxp  24150  mhmhmeotmd  33742