Theorem tmdtopon 24064

Description: The topology of a topological monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgpcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
tgptopon.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
tmdtopon	⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Proof of Theorem tmdtopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tmdtps 24059	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ TopSp)
2		tgptopon.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		tgpcn.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
4	2, 3	istps 22917	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5	1, 4	sylib 219	1 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6485  Basecbs 17170  TopOpenctopn 17375  TopOnctopon 22893  TopSpctps 22915  TopMndctmd 24053

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fv 6493  df-ov 7359  df-top 22877  df-topon 22894  df-topsp 22916  df-tmd 24055

This theorem is referenced by:  cnmpt1plusg  24070  cnmpt2plusg  24071  tmdcn2  24072  tmdmulg  24075  tmdgsum  24078  tmdgsum2  24079  oppgtmd  24080  tmdlactcn  24085  submtmd  24087  ghmcnp  24098  prdstgpd  24108  tsmsxp  24138  mhmhmeotmd  34111