MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tmdtopon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tmdtopon 23940
Description: The topology of a topological monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpcn.j ๐ฝ = (TopOpenโ€˜๐บ)
tgptopon.x ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
tmdtopon (๐บ โˆˆ TopMnd โ†’ ๐ฝ โˆˆ (TopOnโ€˜๐‘‹))

Proof of Theorem tmdtopon
StepHypRef Expression
1 tmdtps 23935 . 2 (๐บ โˆˆ TopMnd โ†’ ๐บ โˆˆ TopSp)
2 tgptopon.x . . 3 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
3 tgpcn.j . . 3 ๐ฝ = (TopOpenโ€˜๐บ)
42, 3istps 22791 . 2 (๐บ โˆˆ TopSp โ†” ๐ฝ โˆˆ (TopOnโ€˜๐‘‹))
51, 4sylib 217 1 (๐บ โˆˆ TopMnd โ†’ ๐ฝ โˆˆ (TopOnโ€˜๐‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6537  Basecbs 17153  TopOpenctopn 17376  TopOnctopon 22767  TopSpctps 22789  TopMndctmd 23929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fv 6545  df-ov 7408  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-tmd 23931
This theorem is referenced by:  cnmpt1plusg  23946  cnmpt2plusg  23947  tmdcn2  23948  tmdmulg  23951  tmdgsum  23954  tmdgsum2  23955  oppgtmd  23956  tmdlactcn  23961  submtmd  23963  ghmcnp  23974  prdstgpd  23984  tsmsxp  24014  mhmhmeotmd  33437
  Copyright terms: Public domain W3C validator