MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmssplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tsmssplit 24147
Description: Split a topological group sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 24-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmssplit.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmssplit.p + = (+g𝐺)
tsmssplit.1 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
tsmssplit.2 (𝜑𝐺 ∈ TopMnd)
tsmssplit.a (𝜑𝐴𝑉)
tsmssplit.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
tsmssplit.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐺 tsums (𝐹𝐶)))
tsmssplit.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐺 tsums (𝐹𝐷)))
tsmssplit.i (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
tsmssplit.u (𝜑𝐴 = (𝐶𝐷))
Assertion
Ref Expression
tsmssplit (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐺 tsums 𝐹))

Proof of Theorem tsmssplit
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmssplit.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 tsmssplit.p . . 3 + = (+g𝐺)
3 tsmssplit.1 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 tsmssplit.2 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TopMnd)
5 tsmssplit.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
6 tsmssplit.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
76ffvelcdmda 7098 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ 𝐵)
8 cmnmnd 19795 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
93, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
10 eqid 2726 . . . . . . . 8 (0g𝐺) = (0g𝐺)
111, 10mndidcl 18742 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Mnd → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
129, 11syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
1312adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
147, 13ifcld 4579 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) ∈ 𝐵)
1514fmpttd 7129 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))):𝐴𝐵)
167, 13ifcld 4579 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) ∈ 𝐵)
1716fmpttd 7129 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))):𝐴𝐵)
18 tsmssplit.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝐺 tsums (𝐹𝐶)))
196feqmptd 6971 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 = (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))
2019reseq1d 5988 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐶) = ((𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ↾ 𝐶))
21 ssun1 4173 . . . . . . . . 9 𝐶 ⊆ (𝐶𝐷)
22 tsmssplit.u . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 = (𝐶𝐷))
2321, 22sseqtrrid 4033 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶𝐴)
24 iftrue 4539 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝐶 → if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) = (𝐹𝑘))
2524mpteq2ia 5256 . . . . . . . . 9 (𝑘𝐶 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) = (𝑘𝐶 ↦ (𝐹𝑘))
26 resmpt 6046 . . . . . . . . 9 (𝐶𝐴 → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ↾ 𝐶) = (𝑘𝐶 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))))
27 resmpt 6046 . . . . . . . . 9 (𝐶𝐴 → ((𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ↾ 𝐶) = (𝑘𝐶 ↦ (𝐹𝑘)))
2825, 26, 273eqtr4a 2792 . . . . . . . 8 (𝐶𝐴 → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ↾ 𝐶) = ((𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ↾ 𝐶))
2923, 28syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ↾ 𝐶) = ((𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ↾ 𝐶))
3020, 29eqtr4d 2769 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐶) = ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ↾ 𝐶))
3130oveq2d 7440 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹𝐶)) = (𝐺 tsums ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ↾ 𝐶)))
32 tmdtps 24071 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ TopSp)
334, 32syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
34 eldifn 4127 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝐴𝐶) → ¬ 𝑘𝐶)
3534adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐶)) → ¬ 𝑘𝐶)
3635iffalsed 4544 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐶)) → if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) = (0g𝐺))
3736, 5suppss2 8215 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) supp (0g𝐺)) ⊆ 𝐶)
381, 10, 3, 33, 5, 15, 37tsmsres 24139 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 tsums ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ↾ 𝐶)) = (𝐺 tsums (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)))))
3931, 38eqtrd 2766 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹𝐶)) = (𝐺 tsums (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)))))
4018, 39eleqtrd 2828 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝐺 tsums (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)))))
41 tsmssplit.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (𝐺 tsums (𝐹𝐷)))
4219reseq1d 5988 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐷) = ((𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ↾ 𝐷))
43 ssun2 4174 . . . . . . . . 9 𝐷 ⊆ (𝐶𝐷)
4443, 22sseqtrrid 4033 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷𝐴)
45 iftrue 4539 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝐷 → if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) = (𝐹𝑘))
4645mpteq2ia 5256 . . . . . . . . 9 (𝑘𝐷 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) = (𝑘𝐷 ↦ (𝐹𝑘))
47 resmpt 6046 . . . . . . . . 9 (𝐷𝐴 → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ↾ 𝐷) = (𝑘𝐷 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))))
48 resmpt 6046 . . . . . . . . 9 (𝐷𝐴 → ((𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ↾ 𝐷) = (𝑘𝐷 ↦ (𝐹𝑘)))
4946, 47, 483eqtr4a 2792 . . . . . . . 8 (𝐷𝐴 → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ↾ 𝐷) = ((𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ↾ 𝐷))
5044, 49syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ↾ 𝐷) = ((𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ↾ 𝐷))
5142, 50eqtr4d 2769 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐷) = ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ↾ 𝐷))
5251oveq2d 7440 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹𝐷)) = (𝐺 tsums ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ↾ 𝐷)))
53 eldifn 4127 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝐴𝐷) → ¬ 𝑘𝐷)
5453adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐷)) → ¬ 𝑘𝐷)
5554iffalsed 4544 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐷)) → if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) = (0g𝐺))
5655, 5suppss2 8215 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) supp (0g𝐺)) ⊆ 𝐷)
571, 10, 3, 33, 5, 17, 56tsmsres 24139 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 tsums ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ↾ 𝐷)) = (𝐺 tsums (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺)))))
5852, 57eqtrd 2766 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹𝐷)) = (𝐺 tsums (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺)))))
5941, 58eleqtrd 2828 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (𝐺 tsums (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺)))))
601, 2, 3, 4, 5, 15, 17, 40, 59tsmsadd 24142 . 2 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐺 tsums ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ∘f + (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))))))
6124adantl 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐶) → if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) = (𝐹𝑘))
62 tsmssplit.i . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
63 noel 4333 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ¬ 𝑘 ∈ ∅
64 eleq2 2815 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶𝐷) = ∅ → (𝑘 ∈ (𝐶𝐷) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
6563, 64mtbiri 326 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶𝐷) = ∅ → ¬ 𝑘 ∈ (𝐶𝐷))
6662, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ¬ 𝑘 ∈ (𝐶𝐷))
6766adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝐴) → ¬ 𝑘 ∈ (𝐶𝐷))
68 elin 3963 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (𝐶𝐷) ↔ (𝑘𝐶𝑘𝐷))
6967, 68sylnib 327 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐴) → ¬ (𝑘𝐶𝑘𝐷))
70 imnan 398 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘𝐶 → ¬ 𝑘𝐷) ↔ ¬ (𝑘𝐶𝑘𝐷))
7169, 70sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑘𝐶 → ¬ 𝑘𝐷))
7271imp 405 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐶) → ¬ 𝑘𝐷)
7372iffalsed 4544 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐶) → if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) = (0g𝐺))
7461, 73oveq12d 7442 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐶) → (if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) + if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) = ((𝐹𝑘) + (0g𝐺)))
751, 2, 10mndrid 18748 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝐹𝑘) + (0g𝐺)) = (𝐹𝑘))
769, 7, 75syl2an2r 683 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝐹𝑘) + (0g𝐺)) = (𝐹𝑘))
7776adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐶) → ((𝐹𝑘) + (0g𝐺)) = (𝐹𝑘))
7874, 77eqtrd 2766 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐶) → (if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) + if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) = (𝐹𝑘))
7971con2d 134 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑘𝐷 → ¬ 𝑘𝐶))
8079imp 405 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐷) → ¬ 𝑘𝐶)
8180iffalsed 4544 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐷) → if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) = (0g𝐺))
8245adantl 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐷) → if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) = (𝐹𝑘))
8381, 82oveq12d 7442 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐷) → (if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) + if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) = ((0g𝐺) + (𝐹𝑘)))
841, 2, 10mndlid 18747 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝐵) → ((0g𝐺) + (𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘))
859, 7, 84syl2an2r 683 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → ((0g𝐺) + (𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘))
8685adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐷) → ((0g𝐺) + (𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘))
8783, 86eqtrd 2766 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐷) → (if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) + if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) = (𝐹𝑘))
8822eleq2d 2812 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘𝐴𝑘 ∈ (𝐶𝐷)))
89 elun 4148 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝐶𝐷) ↔ (𝑘𝐶𝑘𝐷))
9088, 89bitrdi 286 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↔ (𝑘𝐶𝑘𝐷)))
9190biimpa 475 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑘𝐶𝑘𝐷))
9278, 87, 91mpjaodan 956 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) + if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) = (𝐹𝑘))
9392mpteq2dva 5253 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ (if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) + if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺)))) = (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))
9419, 93eqtr4d 2769 . . . 4 (𝜑𝐹 = (𝑘𝐴 ↦ (if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) + if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺)))))
95 eqidd 2727 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) = (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))))
96 eqidd 2727 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) = (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))))
975, 14, 16, 95, 96offval2 7710 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ∘f + (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺)))) = (𝑘𝐴 ↦ (if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) + if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺)))))
9894, 97eqtr4d 2769 . . 3 (𝜑𝐹 = ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ∘f + (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺)))))
9998oveq2d 7440 . 2 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = (𝐺 tsums ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ∘f + (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))))))
10060, 99eleqtrrd 2829 1 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394  wo 845   = wceq 1534  wcel 2099  cdif 3944  cun 3945  cin 3946  wss 3947  c0 4325  ifcif 4533  cmpt 5236  cres 5684  wf 6550  cfv 6554  (class class class)co 7424  f cof 7688  Basecbs 17213  +gcplusg 17266  0gc0g 17454  Mndcmnd 18727  CMndccmn 19778  TopSpctps 22925  TopMndctmd 24065   tsums ctsu 24121
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-oi 9553  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-seq 14022  df-hash 14348  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-topgen 17458  df-plusf 18632  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-submnd 18774  df-cntz 19311  df-cmn 19780  df-fbas 21340  df-fg 21341  df-top 22887  df-topon 22904  df-topsp 22926  df-bases 22940  df-ntr 23015  df-nei 23093  df-cn 23222  df-cnp 23223  df-tx 23557  df-fil 23841  df-fm 23933  df-flim 23934  df-flf 23935  df-tmd 24067  df-tsms 24122
This theorem is referenced by:  esumsplit  33886
  Copyright terms: Public domain W3C validator