MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmssplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tsmssplit 23383
Description: Split a topological group sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 24-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmssplit.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmssplit.p + = (+g𝐺)
tsmssplit.1 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
tsmssplit.2 (𝜑𝐺 ∈ TopMnd)
tsmssplit.a (𝜑𝐴𝑉)
tsmssplit.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
tsmssplit.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐺 tsums (𝐹𝐶)))
tsmssplit.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐺 tsums (𝐹𝐷)))
tsmssplit.i (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
tsmssplit.u (𝜑𝐴 = (𝐶𝐷))
Assertion
Ref Expression
tsmssplit (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐺 tsums 𝐹))

Proof of Theorem tsmssplit
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmssplit.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 tsmssplit.p . . 3 + = (+g𝐺)
3 tsmssplit.1 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 tsmssplit.2 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TopMnd)
5 tsmssplit.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
6 tsmssplit.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
76ffvelcdmda 7000 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ 𝐵)
8 cmnmnd 19474 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
93, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
10 eqid 2736 . . . . . . . 8 (0g𝐺) = (0g𝐺)
111, 10mndidcl 18474 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Mnd → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
129, 11syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
1312adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
147, 13ifcld 4516 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) ∈ 𝐵)
1514fmpttd 7028 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))):𝐴𝐵)
167, 13ifcld 4516 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) ∈ 𝐵)
1716fmpttd 7028 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))):𝐴𝐵)
18 tsmssplit.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝐺 tsums (𝐹𝐶)))
196feqmptd 6876 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 = (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))
2019reseq1d 5909 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐶) = ((𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ↾ 𝐶))
21 ssun1 4116 . . . . . . . . 9 𝐶 ⊆ (𝐶𝐷)
22 tsmssplit.u . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 = (𝐶𝐷))
2321, 22sseqtrrid 3983 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶𝐴)
24 iftrue 4476 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝐶 → if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) = (𝐹𝑘))
2524mpteq2ia 5189 . . . . . . . . 9 (𝑘𝐶 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) = (𝑘𝐶 ↦ (𝐹𝑘))
26 resmpt 5964 . . . . . . . . 9 (𝐶𝐴 → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ↾ 𝐶) = (𝑘𝐶 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))))
27 resmpt 5964 . . . . . . . . 9 (𝐶𝐴 → ((𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ↾ 𝐶) = (𝑘𝐶 ↦ (𝐹𝑘)))
2825, 26, 273eqtr4a 2802 . . . . . . . 8 (𝐶𝐴 → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ↾ 𝐶) = ((𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ↾ 𝐶))
2923, 28syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ↾ 𝐶) = ((𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ↾ 𝐶))
3020, 29eqtr4d 2779 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐶) = ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ↾ 𝐶))
3130oveq2d 7332 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹𝐶)) = (𝐺 tsums ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ↾ 𝐶)))
32 tmdtps 23307 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ TopSp)
334, 32syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
34 eldifn 4072 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝐴𝐶) → ¬ 𝑘𝐶)
3534adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐶)) → ¬ 𝑘𝐶)
3635iffalsed 4481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐶)) → if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) = (0g𝐺))
3736, 5suppss2 8064 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) supp (0g𝐺)) ⊆ 𝐶)
381, 10, 3, 33, 5, 15, 37tsmsres 23375 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 tsums ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ↾ 𝐶)) = (𝐺 tsums (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)))))
3931, 38eqtrd 2776 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹𝐶)) = (𝐺 tsums (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)))))
4018, 39eleqtrd 2839 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝐺 tsums (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)))))
41 tsmssplit.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (𝐺 tsums (𝐹𝐷)))
4219reseq1d 5909 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐷) = ((𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ↾ 𝐷))
43 ssun2 4117 . . . . . . . . 9 𝐷 ⊆ (𝐶𝐷)
4443, 22sseqtrrid 3983 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷𝐴)
45 iftrue 4476 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝐷 → if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) = (𝐹𝑘))
4645mpteq2ia 5189 . . . . . . . . 9 (𝑘𝐷 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) = (𝑘𝐷 ↦ (𝐹𝑘))
47 resmpt 5964 . . . . . . . . 9 (𝐷𝐴 → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ↾ 𝐷) = (𝑘𝐷 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))))
48 resmpt 5964 . . . . . . . . 9 (𝐷𝐴 → ((𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ↾ 𝐷) = (𝑘𝐷 ↦ (𝐹𝑘)))
4946, 47, 483eqtr4a 2802 . . . . . . . 8 (𝐷𝐴 → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ↾ 𝐷) = ((𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ↾ 𝐷))
5044, 49syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ↾ 𝐷) = ((𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ↾ 𝐷))
5142, 50eqtr4d 2779 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐷) = ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ↾ 𝐷))
5251oveq2d 7332 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹𝐷)) = (𝐺 tsums ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ↾ 𝐷)))
53 eldifn 4072 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝐴𝐷) → ¬ 𝑘𝐷)
5453adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐷)) → ¬ 𝑘𝐷)
5554iffalsed 4481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐷)) → if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) = (0g𝐺))
5655, 5suppss2 8064 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) supp (0g𝐺)) ⊆ 𝐷)
571, 10, 3, 33, 5, 17, 56tsmsres 23375 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 tsums ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ↾ 𝐷)) = (𝐺 tsums (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺)))))
5852, 57eqtrd 2776 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹𝐷)) = (𝐺 tsums (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺)))))
5941, 58eleqtrd 2839 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (𝐺 tsums (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺)))))
601, 2, 3, 4, 5, 15, 17, 40, 59tsmsadd 23378 . 2 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐺 tsums ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ∘f + (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))))))
6124adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐶) → if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) = (𝐹𝑘))
62 tsmssplit.i . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
63 noel 4274 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ¬ 𝑘 ∈ ∅
64 eleq2 2825 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶𝐷) = ∅ → (𝑘 ∈ (𝐶𝐷) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
6563, 64mtbiri 326 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶𝐷) = ∅ → ¬ 𝑘 ∈ (𝐶𝐷))
6662, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ¬ 𝑘 ∈ (𝐶𝐷))
6766adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝐴) → ¬ 𝑘 ∈ (𝐶𝐷))
68 elin 3912 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (𝐶𝐷) ↔ (𝑘𝐶𝑘𝐷))
6967, 68sylnib 327 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐴) → ¬ (𝑘𝐶𝑘𝐷))
70 imnan 400 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘𝐶 → ¬ 𝑘𝐷) ↔ ¬ (𝑘𝐶𝑘𝐷))
7169, 70sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑘𝐶 → ¬ 𝑘𝐷))
7271imp 407 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐶) → ¬ 𝑘𝐷)
7372iffalsed 4481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐶) → if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) = (0g𝐺))
7461, 73oveq12d 7334 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐶) → (if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) + if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) = ((𝐹𝑘) + (0g𝐺)))
751, 2, 10mndrid 18480 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝐹𝑘) + (0g𝐺)) = (𝐹𝑘))
769, 7, 75syl2an2r 682 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝐹𝑘) + (0g𝐺)) = (𝐹𝑘))
7776adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐶) → ((𝐹𝑘) + (0g𝐺)) = (𝐹𝑘))
7874, 77eqtrd 2776 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐶) → (if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) + if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) = (𝐹𝑘))
7971con2d 134 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑘𝐷 → ¬ 𝑘𝐶))
8079imp 407 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐷) → ¬ 𝑘𝐶)
8180iffalsed 4481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐷) → if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) = (0g𝐺))
8245adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐷) → if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) = (𝐹𝑘))
8381, 82oveq12d 7334 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐷) → (if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) + if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) = ((0g𝐺) + (𝐹𝑘)))
841, 2, 10mndlid 18479 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝐵) → ((0g𝐺) + (𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘))
859, 7, 84syl2an2r 682 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → ((0g𝐺) + (𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘))
8685adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐷) → ((0g𝐺) + (𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘))
8783, 86eqtrd 2776 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐷) → (if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) + if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) = (𝐹𝑘))
8822eleq2d 2822 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘𝐴𝑘 ∈ (𝐶𝐷)))
89 elun 4093 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝐶𝐷) ↔ (𝑘𝐶𝑘𝐷))
9088, 89bitrdi 286 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↔ (𝑘𝐶𝑘𝐷)))
9190biimpa 477 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑘𝐶𝑘𝐷))
9278, 87, 91mpjaodan 956 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) + if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) = (𝐹𝑘))
9392mpteq2dva 5186 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ (if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) + if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺)))) = (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))
9419, 93eqtr4d 2779 . . . 4 (𝜑𝐹 = (𝑘𝐴 ↦ (if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) + if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺)))))
95 eqidd 2737 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) = (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))))
96 eqidd 2737 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) = (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))))
975, 14, 16, 95, 96offval2 7594 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ∘f + (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺)))) = (𝑘𝐴 ↦ (if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) + if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺)))))
9894, 97eqtr4d 2779 . . 3 (𝜑𝐹 = ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ∘f + (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺)))))
9998oveq2d 7332 . 2 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = (𝐺 tsums ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ∘f + (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))))))
10060, 99eleqtrrd 2840 1 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 844   = wceq 1540  wcel 2105  cdif 3893  cun 3894  cin 3895  wss 3896  c0 4266  ifcif 4470  cmpt 5169  cres 5609  wf 6461  cfv 6465  (class class class)co 7316  f cof 7572  Basecbs 16986  +gcplusg 17036  0gc0g 17224  Mndcmnd 18459  CMndccmn 19458  TopSpctps 22161  TopMndctmd 23301   tsums ctsu 23357
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629  ax-cnex 11006  ax-resscn 11007  ax-1cn 11008  ax-icn 11009  ax-addcl 11010  ax-addrcl 11011  ax-mulcl 11012  ax-mulrcl 11013  ax-mulcom 11014  ax-addass 11015  ax-mulass 11016  ax-distr 11017  ax-i2m1 11018  ax-1ne0 11019  ax-1rid 11020  ax-rnegex 11021  ax-rrecex 11022  ax-cnre 11023  ax-pre-lttri 11024  ax-pre-lttrn 11025  ax-pre-ltadd 11026  ax-pre-mulgt0 11027
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4850  df-int 4892  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-tr 5204  df-id 5506  df-eprel 5512  df-po 5520  df-so 5521  df-fr 5562  df-se 5563  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-isom 6474  df-riota 7273  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-of 7574  df-om 7759  df-1st 7877  df-2nd 7878  df-supp 8026  df-frecs 8145  df-wrecs 8176  df-recs 8250  df-rdg 8289  df-1o 8345  df-er 8547  df-map 8666  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-fin 8786  df-fsupp 9205  df-oi 9345  df-card 9774  df-pnf 11090  df-mnf 11091  df-xr 11092  df-ltxr 11093  df-le 11094  df-sub 11286  df-neg 11287  df-nn 12053  df-2 12115  df-n0 12313  df-z 12399  df-uz 12662  df-fz 13319  df-fzo 13462  df-seq 13801  df-hash 14124  df-sets 16939  df-slot 16957  df-ndx 16969  df-base 16987  df-ress 17016  df-plusg 17049  df-0g 17226  df-gsum 17227  df-topgen 17228  df-plusf 18399  df-mgm 18400  df-sgrp 18449  df-mnd 18460  df-submnd 18505  df-cntz 18996  df-cmn 19460  df-fbas 20674  df-fg 20675  df-top 22123  df-topon 22140  df-topsp 22162  df-bases 22176  df-ntr 22251  df-nei 22329  df-cn 22458  df-cnp 22459  df-tx 22793  df-fil 23077  df-fm 23169  df-flim 23170  df-flf 23171  df-tmd 23303  df-tsms 23358
This theorem is referenced by:  esumsplit  32157
  Copyright terms: Public domain W3C validator