Theorem tsmssplit 23647

Description: Split a topological group sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 24-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmssplit.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmssplit.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
tsmssplit.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
tsmssplit.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopMnd)
tsmssplit.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmssplit.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
tsmssplit.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ↾ 𝐶)))
tsmssplit.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ↾ 𝐷)))
tsmssplit.i	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
tsmssplit.u	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐶 ∪ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
tsmssplit	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐺 tsums 𝐹))

Proof of Theorem tsmssplit

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmssplit.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		tsmssplit.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		tsmssplit.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		tsmssplit.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopMnd)
5		tsmssplit.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		tsmssplit.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
7	6	ffvelcdmda 7083	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
8		cmnmnd 19659	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
9	3, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
10		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
11	1, 10	mndidcl 18636	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
12	9, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
13	12	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
14	7, 13	ifcld 4573	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) ∈ 𝐵)
15	14	fmpttd 7111	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))):𝐴⟶𝐵)
16	7, 13	ifcld 4573	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) ∈ 𝐵)
17	16	fmpttd 7111	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))):𝐴⟶𝐵)
18		tsmssplit.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ↾ 𝐶)))
19	6	feqmptd 6957	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
20	19	reseq1d 5978	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↾ 𝐶))
21		ssun1 4171	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 ⊆ (𝐶 ∪ 𝐷)
22		tsmssplit.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐶 ∪ 𝐷))
23	21, 22	sseqtrrid 4034	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
24		iftrue 4533	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐶 → if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) = (𝐹‘𝑘))
25	24	mpteq2ia 5250	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) = (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑘))
26		resmpt 6035	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐴 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ↾ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))))
27		resmpt 6035	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐴 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↾ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑘)))
28	25, 26, 27	3eqtr4a 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐴 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ↾ 𝐶) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↾ 𝐶))
29	23, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ↾ 𝐶) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↾ 𝐶))
30	20, 29	eqtr4d 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ↾ 𝐶))
31	30	oveq2d 7421	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹 ↾ 𝐶)) = (𝐺 tsums ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ↾ 𝐶)))
32		tmdtps 23571	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ TopSp)
33	4, 32	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
34		eldifn 4126	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐶)
35	34	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐶)
36	35	iffalsed 4538	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) → if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
37	36, 5	suppss2 8181	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) supp (0g‘𝐺)) ⊆ 𝐶)
38	1, 10, 3, 33, 5, 15, 37	tsmsres 23639	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ↾ 𝐶)) = (𝐺 tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)))))
39	31, 38	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹 ↾ 𝐶)) = (𝐺 tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)))))
40	18, 39	eleqtrd 2835	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐺 tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)))))
41		tsmssplit.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ↾ 𝐷)))
42	19	reseq1d 5978	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐷) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↾ 𝐷))
43		ssun2 4172	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 ⊆ (𝐶 ∪ 𝐷)
44	43, 22	sseqtrrid 4034	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ 𝐴)
45		iftrue 4533	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐷 → if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) = (𝐹‘𝑘))
46	45	mpteq2ia 5250	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑘))
47		resmpt 6035	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ⊆ 𝐴 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ↾ 𝐷) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))))
48		resmpt 6035	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ⊆ 𝐴 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↾ 𝐷) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑘)))
49	46, 47, 48	3eqtr4a 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ⊆ 𝐴 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ↾ 𝐷) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↾ 𝐷))
50	44, 49	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ↾ 𝐷) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↾ 𝐷))
51	42, 50	eqtr4d 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐷) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ↾ 𝐷))
52	51	oveq2d 7421	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹 ↾ 𝐷)) = (𝐺 tsums ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ↾ 𝐷)))
53		eldifn 4126	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐷)
54	53	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷)) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐷)
55	54	iffalsed 4538	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷)) → if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
56	55, 5	suppss2 8181	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) supp (0g‘𝐺)) ⊆ 𝐷)
57	1, 10, 3, 33, 5, 17, 56	tsmsres 23639	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ↾ 𝐷)) = (𝐺 tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)))))
58	52, 57	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹 ↾ 𝐷)) = (𝐺 tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)))))
59	41, 58	eleqtrd 2835	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐺 tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)))))
60	1, 2, 3, 4, 5, 15, 17, 40, 59	tsmsadd 23642	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐺 tsums ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ∘f + (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))))))
61	24	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) = (𝐹‘𝑘))
62		tsmssplit.i	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
63		noel 4329	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ¬ 𝑘 ∈ ∅
64		eleq2 2822	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐶 ∩ 𝐷) = ∅ → (𝑘 ∈ (𝐶 ∩ 𝐷) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
65	63, 64	mtbiri 326	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 ∩ 𝐷) = ∅ → ¬ 𝑘 ∈ (𝐶 ∩ 𝐷))
66	62, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑘 ∈ (𝐶 ∩ 𝐷))
67	66	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑘 ∈ (𝐶 ∩ 𝐷))
68		elin 3963	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐶 ∩ 𝐷) ↔ (𝑘 ∈ 𝐶 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷))
69	67, 68	sylnib 327	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ¬ (𝑘 ∈ 𝐶 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷))
70		imnan 400	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐶 → ¬ 𝑘 ∈ 𝐷) ↔ ¬ (𝑘 ∈ 𝐶 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷))
71	69, 70	sylibr 233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ 𝐶 → ¬ 𝑘 ∈ 𝐷))
72	71	imp 407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐷)
73	72	iffalsed 4538	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
74	61, 73	oveq12d 7423	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → (if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) + if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) = ((𝐹‘𝑘) + (0g‘𝐺)))
75	1, 2, 10	mndrid 18642	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑘) + (0g‘𝐺)) = (𝐹‘𝑘))
76	9, 7, 75	syl2an2r 683	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑘) + (0g‘𝐺)) = (𝐹‘𝑘))
77	76	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → ((𝐹‘𝑘) + (0g‘𝐺)) = (𝐹‘𝑘))
78	74, 77	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → (if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) + if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) = (𝐹‘𝑘))
79	71	con2d 134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ 𝐷 → ¬ 𝑘 ∈ 𝐶))
80	79	imp 407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐶)
81	80	iffalsed 4538	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
82	45	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) = (𝐹‘𝑘))
83	81, 82	oveq12d 7423	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) + if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) = ((0g‘𝐺) + (𝐹‘𝑘)))
84	1, 2, 10	mndlid 18641	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + (𝐹‘𝑘)) = (𝐹‘𝑘))
85	9, 7, 84	syl2an2r 683	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((0g‘𝐺) + (𝐹‘𝑘)) = (𝐹‘𝑘))
86	85	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → ((0g‘𝐺) + (𝐹‘𝑘)) = (𝐹‘𝑘))
87	83, 86	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) + if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) = (𝐹‘𝑘))
88	22	eleq2d 2819	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ (𝐶 ∪ 𝐷)))
89		elun 4147	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐶 ∪ 𝐷) ↔ (𝑘 ∈ 𝐶 ∨ 𝑘 ∈ 𝐷))
90	88, 89	bitrdi 286	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ (𝑘 ∈ 𝐶 ∨ 𝑘 ∈ 𝐷)))
91	90	biimpa 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ 𝐶 ∨ 𝑘 ∈ 𝐷))
92	78, 87, 91	mpjaodan 957	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) + if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) = (𝐹‘𝑘))
93	92	mpteq2dva 5247	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) + if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)))) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
94	19, 93	eqtr4d 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) + if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)))))
95		eqidd 2733	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))))
96		eqidd 2733	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))))
97	5, 14, 16, 95, 96	offval2 7686	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ∘f + (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)))) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) + if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)))))
98	94, 97	eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ∘f + (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)))))
99	98	oveq2d 7421	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = (𝐺 tsums ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ∘f + (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))))))
100	60, 99	eleqtrrd 2836	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐺 tsums 𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3944   ∪ cun 3945   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321  ifcif 4527   ↦ cmpt 5230   ↾ cres 5677  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405   ∘_f cof 7664  Basecbs 17140  +_gcplusg 17193  0_gc0g 17381  Mndcmnd 18621  CMndccmn 19642  TopSpctps 22425  TopMndctmd 23565   tsums ctsu 23621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-plusf 18556  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-ntr 22515  df-nei 22593  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-tx 23057  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-tmd 23567  df-tsms 23622

This theorem is referenced by:  esumsplit  33039