MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmssplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tsmssplit 24043
Description: Split a topological group sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 24-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmssplit.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmssplit.p + = (+g𝐺)
tsmssplit.1 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
tsmssplit.2 (𝜑𝐺 ∈ TopMnd)
tsmssplit.a (𝜑𝐴𝑉)
tsmssplit.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
tsmssplit.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐺 tsums (𝐹𝐶)))
tsmssplit.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐺 tsums (𝐹𝐷)))
tsmssplit.i (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
tsmssplit.u (𝜑𝐴 = (𝐶𝐷))
Assertion
Ref Expression
tsmssplit (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐺 tsums 𝐹))

Proof of Theorem tsmssplit
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmssplit.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 tsmssplit.p . . 3 + = (+g𝐺)
3 tsmssplit.1 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 tsmssplit.2 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TopMnd)
5 tsmssplit.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
6 tsmssplit.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
76ffvelcdmda 7088 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ 𝐵)
8 cmnmnd 19743 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
93, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
10 eqid 2727 . . . . . . . 8 (0g𝐺) = (0g𝐺)
111, 10mndidcl 18700 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Mnd → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
129, 11syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
1312adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
147, 13ifcld 4570 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) ∈ 𝐵)
1514fmpttd 7119 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))):𝐴𝐵)
167, 13ifcld 4570 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) ∈ 𝐵)
1716fmpttd 7119 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))):𝐴𝐵)
18 tsmssplit.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝐺 tsums (𝐹𝐶)))
196feqmptd 6961 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 = (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))
2019reseq1d 5978 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐶) = ((𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ↾ 𝐶))
21 ssun1 4168 . . . . . . . . 9 𝐶 ⊆ (𝐶𝐷)
22 tsmssplit.u . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 = (𝐶𝐷))
2321, 22sseqtrrid 4031 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶𝐴)
24 iftrue 4530 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝐶 → if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) = (𝐹𝑘))
2524mpteq2ia 5245 . . . . . . . . 9 (𝑘𝐶 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) = (𝑘𝐶 ↦ (𝐹𝑘))
26 resmpt 6035 . . . . . . . . 9 (𝐶𝐴 → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ↾ 𝐶) = (𝑘𝐶 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))))
27 resmpt 6035 . . . . . . . . 9 (𝐶𝐴 → ((𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ↾ 𝐶) = (𝑘𝐶 ↦ (𝐹𝑘)))
2825, 26, 273eqtr4a 2793 . . . . . . . 8 (𝐶𝐴 → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ↾ 𝐶) = ((𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ↾ 𝐶))
2923, 28syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ↾ 𝐶) = ((𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ↾ 𝐶))
3020, 29eqtr4d 2770 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐶) = ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ↾ 𝐶))
3130oveq2d 7430 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹𝐶)) = (𝐺 tsums ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ↾ 𝐶)))
32 tmdtps 23967 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ TopSp)
334, 32syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
34 eldifn 4123 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝐴𝐶) → ¬ 𝑘𝐶)
3534adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐶)) → ¬ 𝑘𝐶)
3635iffalsed 4535 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐶)) → if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) = (0g𝐺))
3736, 5suppss2 8199 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) supp (0g𝐺)) ⊆ 𝐶)
381, 10, 3, 33, 5, 15, 37tsmsres 24035 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 tsums ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ↾ 𝐶)) = (𝐺 tsums (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)))))
3931, 38eqtrd 2767 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹𝐶)) = (𝐺 tsums (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)))))
4018, 39eleqtrd 2830 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝐺 tsums (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)))))
41 tsmssplit.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (𝐺 tsums (𝐹𝐷)))
4219reseq1d 5978 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐷) = ((𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ↾ 𝐷))
43 ssun2 4169 . . . . . . . . 9 𝐷 ⊆ (𝐶𝐷)
4443, 22sseqtrrid 4031 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷𝐴)
45 iftrue 4530 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝐷 → if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) = (𝐹𝑘))
4645mpteq2ia 5245 . . . . . . . . 9 (𝑘𝐷 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) = (𝑘𝐷 ↦ (𝐹𝑘))
47 resmpt 6035 . . . . . . . . 9 (𝐷𝐴 → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ↾ 𝐷) = (𝑘𝐷 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))))
48 resmpt 6035 . . . . . . . . 9 (𝐷𝐴 → ((𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ↾ 𝐷) = (𝑘𝐷 ↦ (𝐹𝑘)))
4946, 47, 483eqtr4a 2793 . . . . . . . 8 (𝐷𝐴 → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ↾ 𝐷) = ((𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ↾ 𝐷))
5044, 49syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ↾ 𝐷) = ((𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ↾ 𝐷))
5142, 50eqtr4d 2770 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐷) = ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ↾ 𝐷))
5251oveq2d 7430 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹𝐷)) = (𝐺 tsums ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ↾ 𝐷)))
53 eldifn 4123 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝐴𝐷) → ¬ 𝑘𝐷)
5453adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐷)) → ¬ 𝑘𝐷)
5554iffalsed 4535 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐷)) → if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) = (0g𝐺))
5655, 5suppss2 8199 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) supp (0g𝐺)) ⊆ 𝐷)
571, 10, 3, 33, 5, 17, 56tsmsres 24035 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 tsums ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ↾ 𝐷)) = (𝐺 tsums (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺)))))
5852, 57eqtrd 2767 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹𝐷)) = (𝐺 tsums (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺)))))
5941, 58eleqtrd 2830 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (𝐺 tsums (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺)))))
601, 2, 3, 4, 5, 15, 17, 40, 59tsmsadd 24038 . 2 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐺 tsums ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ∘f + (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))))))
6124adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐶) → if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) = (𝐹𝑘))
62 tsmssplit.i . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
63 noel 4326 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ¬ 𝑘 ∈ ∅
64 eleq2 2817 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶𝐷) = ∅ → (𝑘 ∈ (𝐶𝐷) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
6563, 64mtbiri 327 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶𝐷) = ∅ → ¬ 𝑘 ∈ (𝐶𝐷))
6662, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ¬ 𝑘 ∈ (𝐶𝐷))
6766adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝐴) → ¬ 𝑘 ∈ (𝐶𝐷))
68 elin 3960 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (𝐶𝐷) ↔ (𝑘𝐶𝑘𝐷))
6967, 68sylnib 328 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐴) → ¬ (𝑘𝐶𝑘𝐷))
70 imnan 399 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘𝐶 → ¬ 𝑘𝐷) ↔ ¬ (𝑘𝐶𝑘𝐷))
7169, 70sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑘𝐶 → ¬ 𝑘𝐷))
7271imp 406 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐶) → ¬ 𝑘𝐷)
7372iffalsed 4535 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐶) → if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) = (0g𝐺))
7461, 73oveq12d 7432 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐶) → (if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) + if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) = ((𝐹𝑘) + (0g𝐺)))
751, 2, 10mndrid 18706 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝐹𝑘) + (0g𝐺)) = (𝐹𝑘))
769, 7, 75syl2an2r 684 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝐹𝑘) + (0g𝐺)) = (𝐹𝑘))
7776adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐶) → ((𝐹𝑘) + (0g𝐺)) = (𝐹𝑘))
7874, 77eqtrd 2767 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐶) → (if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) + if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) = (𝐹𝑘))
7971con2d 134 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑘𝐷 → ¬ 𝑘𝐶))
8079imp 406 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐷) → ¬ 𝑘𝐶)
8180iffalsed 4535 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐷) → if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) = (0g𝐺))
8245adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐷) → if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) = (𝐹𝑘))
8381, 82oveq12d 7432 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐷) → (if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) + if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) = ((0g𝐺) + (𝐹𝑘)))
841, 2, 10mndlid 18705 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝐵) → ((0g𝐺) + (𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘))
859, 7, 84syl2an2r 684 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → ((0g𝐺) + (𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘))
8685adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐷) → ((0g𝐺) + (𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘))
8783, 86eqtrd 2767 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐷) → (if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) + if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) = (𝐹𝑘))
8822eleq2d 2814 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘𝐴𝑘 ∈ (𝐶𝐷)))
89 elun 4144 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝐶𝐷) ↔ (𝑘𝐶𝑘𝐷))
9088, 89bitrdi 287 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↔ (𝑘𝐶𝑘𝐷)))
9190biimpa 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑘𝐶𝑘𝐷))
9278, 87, 91mpjaodan 957 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) + if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) = (𝐹𝑘))
9392mpteq2dva 5242 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ (if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) + if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺)))) = (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))
9419, 93eqtr4d 2770 . . . 4 (𝜑𝐹 = (𝑘𝐴 ↦ (if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) + if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺)))))
95 eqidd 2728 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) = (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))))
96 eqidd 2728 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) = (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))))
975, 14, 16, 95, 96offval2 7699 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ∘f + (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺)))) = (𝑘𝐴 ↦ (if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) + if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺)))))
9894, 97eqtr4d 2770 . . 3 (𝜑𝐹 = ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ∘f + (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺)))))
9998oveq2d 7430 . 2 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = (𝐺 tsums ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ∘f + (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))))))
10060, 99eleqtrrd 2831 1 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 846   = wceq 1534  wcel 2099  cdif 3941  cun 3942  cin 3943  wss 3944  c0 4318  ifcif 4524  cmpt 5225  cres 5674  wf 6538  cfv 6542  (class class class)co 7414  f cof 7677  Basecbs 17171  +gcplusg 17224  0gc0g 17412  Mndcmnd 18685  CMndccmn 19726  TopSpctps 22821  TopMndctmd 23961   tsums ctsu 24017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-hash 14314  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-topgen 17416  df-plusf 18590  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-fbas 21263  df-fg 21264  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-ntr 22911  df-nei 22989  df-cn 23118  df-cnp 23119  df-tx 23453  df-fil 23737  df-fm 23829  df-flim 23830  df-flf 23831  df-tmd 23963  df-tsms 24018
This theorem is referenced by:  esumsplit  33608
  Copyright terms: Public domain W3C validator