MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmssplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tsmssplit 24175
Description: Split a topological group sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 24-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmssplit.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmssplit.p + = (+g𝐺)
tsmssplit.1 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
tsmssplit.2 (𝜑𝐺 ∈ TopMnd)
tsmssplit.a (𝜑𝐴𝑉)
tsmssplit.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
tsmssplit.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐺 tsums (𝐹𝐶)))
tsmssplit.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐺 tsums (𝐹𝐷)))
tsmssplit.i (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
tsmssplit.u (𝜑𝐴 = (𝐶𝐷))
Assertion
Ref Expression
tsmssplit (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐺 tsums 𝐹))

Proof of Theorem tsmssplit
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmssplit.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 tsmssplit.p . . 3 + = (+g𝐺)
3 tsmssplit.1 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 tsmssplit.2 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TopMnd)
5 tsmssplit.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
6 tsmssplit.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
76ffvelcdmda 7103 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ 𝐵)
8 cmnmnd 19829 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
93, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
10 eqid 2734 . . . . . . . 8 (0g𝐺) = (0g𝐺)
111, 10mndidcl 18774 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Mnd → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
129, 11syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
1312adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
147, 13ifcld 4576 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) ∈ 𝐵)
1514fmpttd 7134 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))):𝐴𝐵)
167, 13ifcld 4576 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) ∈ 𝐵)
1716fmpttd 7134 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))):𝐴𝐵)
18 tsmssplit.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝐺 tsums (𝐹𝐶)))
196feqmptd 6976 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 = (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))
2019reseq1d 5998 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐶) = ((𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ↾ 𝐶))
21 ssun1 4187 . . . . . . . . 9 𝐶 ⊆ (𝐶𝐷)
22 tsmssplit.u . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 = (𝐶𝐷))
2321, 22sseqtrrid 4048 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶𝐴)
24 iftrue 4536 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝐶 → if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) = (𝐹𝑘))
2524mpteq2ia 5250 . . . . . . . . 9 (𝑘𝐶 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) = (𝑘𝐶 ↦ (𝐹𝑘))
26 resmpt 6056 . . . . . . . . 9 (𝐶𝐴 → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ↾ 𝐶) = (𝑘𝐶 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))))
27 resmpt 6056 . . . . . . . . 9 (𝐶𝐴 → ((𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ↾ 𝐶) = (𝑘𝐶 ↦ (𝐹𝑘)))
2825, 26, 273eqtr4a 2800 . . . . . . . 8 (𝐶𝐴 → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ↾ 𝐶) = ((𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ↾ 𝐶))
2923, 28syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ↾ 𝐶) = ((𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ↾ 𝐶))
3020, 29eqtr4d 2777 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐶) = ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ↾ 𝐶))
3130oveq2d 7446 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹𝐶)) = (𝐺 tsums ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ↾ 𝐶)))
32 tmdtps 24099 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ TopSp)
334, 32syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
34 eldifn 4141 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝐴𝐶) → ¬ 𝑘𝐶)
3534adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐶)) → ¬ 𝑘𝐶)
3635iffalsed 4541 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐶)) → if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) = (0g𝐺))
3736, 5suppss2 8223 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) supp (0g𝐺)) ⊆ 𝐶)
381, 10, 3, 33, 5, 15, 37tsmsres 24167 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 tsums ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ↾ 𝐶)) = (𝐺 tsums (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)))))
3931, 38eqtrd 2774 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹𝐶)) = (𝐺 tsums (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)))))
4018, 39eleqtrd 2840 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝐺 tsums (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)))))
41 tsmssplit.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (𝐺 tsums (𝐹𝐷)))
4219reseq1d 5998 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐷) = ((𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ↾ 𝐷))
43 ssun2 4188 . . . . . . . . 9 𝐷 ⊆ (𝐶𝐷)
4443, 22sseqtrrid 4048 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷𝐴)
45 iftrue 4536 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝐷 → if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) = (𝐹𝑘))
4645mpteq2ia 5250 . . . . . . . . 9 (𝑘𝐷 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) = (𝑘𝐷 ↦ (𝐹𝑘))
47 resmpt 6056 . . . . . . . . 9 (𝐷𝐴 → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ↾ 𝐷) = (𝑘𝐷 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))))
48 resmpt 6056 . . . . . . . . 9 (𝐷𝐴 → ((𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ↾ 𝐷) = (𝑘𝐷 ↦ (𝐹𝑘)))
4946, 47, 483eqtr4a 2800 . . . . . . . 8 (𝐷𝐴 → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ↾ 𝐷) = ((𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ↾ 𝐷))
5044, 49syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ↾ 𝐷) = ((𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ↾ 𝐷))
5142, 50eqtr4d 2777 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐷) = ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ↾ 𝐷))
5251oveq2d 7446 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹𝐷)) = (𝐺 tsums ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ↾ 𝐷)))
53 eldifn 4141 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝐴𝐷) → ¬ 𝑘𝐷)
5453adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐷)) → ¬ 𝑘𝐷)
5554iffalsed 4541 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐷)) → if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) = (0g𝐺))
5655, 5suppss2 8223 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) supp (0g𝐺)) ⊆ 𝐷)
571, 10, 3, 33, 5, 17, 56tsmsres 24167 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 tsums ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ↾ 𝐷)) = (𝐺 tsums (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺)))))
5852, 57eqtrd 2774 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹𝐷)) = (𝐺 tsums (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺)))))
5941, 58eleqtrd 2840 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (𝐺 tsums (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺)))))
601, 2, 3, 4, 5, 15, 17, 40, 59tsmsadd 24170 . 2 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐺 tsums ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ∘f + (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))))))
6124adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐶) → if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) = (𝐹𝑘))
62 tsmssplit.i . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
63 noel 4343 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ¬ 𝑘 ∈ ∅
64 eleq2 2827 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶𝐷) = ∅ → (𝑘 ∈ (𝐶𝐷) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
6563, 64mtbiri 327 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶𝐷) = ∅ → ¬ 𝑘 ∈ (𝐶𝐷))
6662, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ¬ 𝑘 ∈ (𝐶𝐷))
6766adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝐴) → ¬ 𝑘 ∈ (𝐶𝐷))
68 elin 3978 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (𝐶𝐷) ↔ (𝑘𝐶𝑘𝐷))
6967, 68sylnib 328 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐴) → ¬ (𝑘𝐶𝑘𝐷))
70 imnan 399 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘𝐶 → ¬ 𝑘𝐷) ↔ ¬ (𝑘𝐶𝑘𝐷))
7169, 70sylibr 234 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑘𝐶 → ¬ 𝑘𝐷))
7271imp 406 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐶) → ¬ 𝑘𝐷)
7372iffalsed 4541 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐶) → if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) = (0g𝐺))
7461, 73oveq12d 7448 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐶) → (if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) + if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) = ((𝐹𝑘) + (0g𝐺)))
751, 2, 10mndrid 18780 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝐹𝑘) + (0g𝐺)) = (𝐹𝑘))
769, 7, 75syl2an2r 685 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝐹𝑘) + (0g𝐺)) = (𝐹𝑘))
7776adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐶) → ((𝐹𝑘) + (0g𝐺)) = (𝐹𝑘))
7874, 77eqtrd 2774 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐶) → (if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) + if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) = (𝐹𝑘))
7971con2d 134 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑘𝐷 → ¬ 𝑘𝐶))
8079imp 406 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐷) → ¬ 𝑘𝐶)
8180iffalsed 4541 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐷) → if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) = (0g𝐺))
8245adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐷) → if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) = (𝐹𝑘))
8381, 82oveq12d 7448 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐷) → (if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) + if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) = ((0g𝐺) + (𝐹𝑘)))
841, 2, 10mndlid 18779 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝐵) → ((0g𝐺) + (𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘))
859, 7, 84syl2an2r 685 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → ((0g𝐺) + (𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘))
8685adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐷) → ((0g𝐺) + (𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘))
8783, 86eqtrd 2774 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘𝐷) → (if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) + if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) = (𝐹𝑘))
8822eleq2d 2824 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘𝐴𝑘 ∈ (𝐶𝐷)))
89 elun 4162 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝐶𝐷) ↔ (𝑘𝐶𝑘𝐷))
9088, 89bitrdi 287 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↔ (𝑘𝐶𝑘𝐷)))
9190biimpa 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑘𝐶𝑘𝐷))
9278, 87, 91mpjaodan 960 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) + if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) = (𝐹𝑘))
9392mpteq2dva 5247 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ (if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) + if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺)))) = (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))
9419, 93eqtr4d 2777 . . . 4 (𝜑𝐹 = (𝑘𝐴 ↦ (if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) + if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺)))))
95 eqidd 2735 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) = (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))))
96 eqidd 2735 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) = (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))))
975, 14, 16, 95, 96offval2 7716 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ∘f + (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺)))) = (𝑘𝐴 ↦ (if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺)) + if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺)))))
9894, 97eqtr4d 2777 . . 3 (𝜑𝐹 = ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ∘f + (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺)))))
9998oveq2d 7446 . 2 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = (𝐺 tsums ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐶, (𝐹𝑘), (0g𝐺))) ∘f + (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), (0g𝐺))))))
10060, 99eleqtrrd 2841 1 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 847   = wceq 1536  wcel 2105  cdif 3959  cun 3960  cin 3961  wss 3962  c0 4338  ifcif 4530  cmpt 5230  cres 5690  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  f cof 7694  Basecbs 17244  +gcplusg 17297  0gc0g 17485  Mndcmnd 18759  CMndccmn 19812  TopSpctps 22953  TopMndctmd 24093   tsums ctsu 24149
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-hash 14366  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-plusf 18664  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-ntr 23043  df-nei 23121  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-tx 23585  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-tmd 24095  df-tsms 24150
This theorem is referenced by:  esumsplit  34033
  Copyright terms: Public domain W3C validator