Theorem tsmssplit 24147

Description: Split a topological group sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 24-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmssplit.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmssplit.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
tsmssplit.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
tsmssplit.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopMnd)
tsmssplit.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmssplit.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
tsmssplit.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ↾ 𝐶)))
tsmssplit.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ↾ 𝐷)))
tsmssplit.i	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
tsmssplit.u	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐶 ∪ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
tsmssplit	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐺 tsums 𝐹))

Proof of Theorem tsmssplit

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmssplit.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		tsmssplit.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		tsmssplit.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		tsmssplit.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopMnd)
5		tsmssplit.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		tsmssplit.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
7	6	ffvelcdmda 7098	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
8		cmnmnd 19795	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
9	3, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
10		eqid 2726	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
11	1, 10	mndidcl 18742	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
12	9, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
13	12	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
14	7, 13	ifcld 4579	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) ∈ 𝐵)
15	14	fmpttd 7129	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))):𝐴⟶𝐵)
16	7, 13	ifcld 4579	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) ∈ 𝐵)
17	16	fmpttd 7129	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))):𝐴⟶𝐵)
18		tsmssplit.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ↾ 𝐶)))
19	6	feqmptd 6971	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
20	19	reseq1d 5988	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↾ 𝐶))
21		ssun1 4173	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 ⊆ (𝐶 ∪ 𝐷)
22		tsmssplit.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐶 ∪ 𝐷))
23	21, 22	sseqtrrid 4033	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
24		iftrue 4539	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐶 → if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) = (𝐹‘𝑘))
25	24	mpteq2ia 5256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) = (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑘))
26		resmpt 6046	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐴 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ↾ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))))
27		resmpt 6046	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐴 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↾ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑘)))
28	25, 26, 27	3eqtr4a 2792	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐴 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ↾ 𝐶) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↾ 𝐶))
29	23, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ↾ 𝐶) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↾ 𝐶))
30	20, 29	eqtr4d 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ↾ 𝐶))
31	30	oveq2d 7440	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹 ↾ 𝐶)) = (𝐺 tsums ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ↾ 𝐶)))
32		tmdtps 24071	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ TopSp)
33	4, 32	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
34		eldifn 4127	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐶)
35	34	adantl 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐶)
36	35	iffalsed 4544	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) → if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
37	36, 5	suppss2 8215	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) supp (0g‘𝐺)) ⊆ 𝐶)
38	1, 10, 3, 33, 5, 15, 37	tsmsres 24139	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ↾ 𝐶)) = (𝐺 tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)))))
39	31, 38	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹 ↾ 𝐶)) = (𝐺 tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)))))
40	18, 39	eleqtrd 2828	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐺 tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)))))
41		tsmssplit.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ↾ 𝐷)))
42	19	reseq1d 5988	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐷) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↾ 𝐷))
43		ssun2 4174	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 ⊆ (𝐶 ∪ 𝐷)
44	43, 22	sseqtrrid 4033	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ 𝐴)
45		iftrue 4539	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐷 → if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) = (𝐹‘𝑘))
46	45	mpteq2ia 5256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑘))
47		resmpt 6046	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ⊆ 𝐴 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ↾ 𝐷) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))))
48		resmpt 6046	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ⊆ 𝐴 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↾ 𝐷) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑘)))
49	46, 47, 48	3eqtr4a 2792	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ⊆ 𝐴 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ↾ 𝐷) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↾ 𝐷))
50	44, 49	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ↾ 𝐷) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↾ 𝐷))
51	42, 50	eqtr4d 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐷) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ↾ 𝐷))
52	51	oveq2d 7440	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹 ↾ 𝐷)) = (𝐺 tsums ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ↾ 𝐷)))
53		eldifn 4127	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐷)
54	53	adantl 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷)) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐷)
55	54	iffalsed 4544	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷)) → if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
56	55, 5	suppss2 8215	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) supp (0g‘𝐺)) ⊆ 𝐷)
57	1, 10, 3, 33, 5, 17, 56	tsmsres 24139	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ↾ 𝐷)) = (𝐺 tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)))))
58	52, 57	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹 ↾ 𝐷)) = (𝐺 tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)))))
59	41, 58	eleqtrd 2828	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐺 tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)))))
60	1, 2, 3, 4, 5, 15, 17, 40, 59	tsmsadd 24142	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐺 tsums ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ∘f + (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))))))
61	24	adantl 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) = (𝐹‘𝑘))
62		tsmssplit.i	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
63		noel 4333	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ¬ 𝑘 ∈ ∅
64		eleq2 2815	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐶 ∩ 𝐷) = ∅ → (𝑘 ∈ (𝐶 ∩ 𝐷) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
65	63, 64	mtbiri 326	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 ∩ 𝐷) = ∅ → ¬ 𝑘 ∈ (𝐶 ∩ 𝐷))
66	62, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑘 ∈ (𝐶 ∩ 𝐷))
67	66	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑘 ∈ (𝐶 ∩ 𝐷))
68		elin 3963	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐶 ∩ 𝐷) ↔ (𝑘 ∈ 𝐶 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷))
69	67, 68	sylnib 327	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ¬ (𝑘 ∈ 𝐶 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷))
70		imnan 398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐶 → ¬ 𝑘 ∈ 𝐷) ↔ ¬ (𝑘 ∈ 𝐶 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷))
71	69, 70	sylibr 233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ 𝐶 → ¬ 𝑘 ∈ 𝐷))
72	71	imp 405	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐷)
73	72	iffalsed 4544	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
74	61, 73	oveq12d 7442	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → (if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) + if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) = ((𝐹‘𝑘) + (0g‘𝐺)))
75	1, 2, 10	mndrid 18748	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑘) + (0g‘𝐺)) = (𝐹‘𝑘))
76	9, 7, 75	syl2an2r 683	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑘) + (0g‘𝐺)) = (𝐹‘𝑘))
77	76	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → ((𝐹‘𝑘) + (0g‘𝐺)) = (𝐹‘𝑘))
78	74, 77	eqtrd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → (if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) + if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) = (𝐹‘𝑘))
79	71	con2d 134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ 𝐷 → ¬ 𝑘 ∈ 𝐶))
80	79	imp 405	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐶)
81	80	iffalsed 4544	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
82	45	adantl 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) = (𝐹‘𝑘))
83	81, 82	oveq12d 7442	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) + if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) = ((0g‘𝐺) + (𝐹‘𝑘)))
84	1, 2, 10	mndlid 18747	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + (𝐹‘𝑘)) = (𝐹‘𝑘))
85	9, 7, 84	syl2an2r 683	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((0g‘𝐺) + (𝐹‘𝑘)) = (𝐹‘𝑘))
86	85	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → ((0g‘𝐺) + (𝐹‘𝑘)) = (𝐹‘𝑘))
87	83, 86	eqtrd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) + if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) = (𝐹‘𝑘))
88	22	eleq2d 2812	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ (𝐶 ∪ 𝐷)))
89		elun 4148	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐶 ∪ 𝐷) ↔ (𝑘 ∈ 𝐶 ∨ 𝑘 ∈ 𝐷))
90	88, 89	bitrdi 286	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ (𝑘 ∈ 𝐶 ∨ 𝑘 ∈ 𝐷)))
91	90	biimpa 475	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ 𝐶 ∨ 𝑘 ∈ 𝐷))
92	78, 87, 91	mpjaodan 956	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) + if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) = (𝐹‘𝑘))
93	92	mpteq2dva 5253	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) + if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)))) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
94	19, 93	eqtr4d 2769	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) + if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)))))
95		eqidd 2727	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))))
96		eqidd 2727	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))))
97	5, 14, 16, 95, 96	offval2 7710	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ∘f + (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)))) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) + if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)))))
98	94, 97	eqtr4d 2769	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ∘f + (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)))))
99	98	oveq2d 7440	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = (𝐺 tsums ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ∘f + (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))))))
100	60, 99	eleqtrrd 2829	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐺 tsums 𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∖ cdif 3944   ∪ cun 3945   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947  ∅c0 4325  ifcif 4533   ↦ cmpt 5236   ↾ cres 5684  ⟶wf 6550  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424   ∘_f cof 7688  Basecbs 17213  +_gcplusg 17266  0_gc0g 17454  Mndcmnd 18727  CMndccmn 19778  TopSpctps 22925  TopMndctmd 24065   tsums ctsu 24121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-oi 9553  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-seq 14022  df-hash 14348  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-topgen 17458  df-plusf 18632  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-submnd 18774  df-cntz 19311  df-cmn 19780  df-fbas 21340  df-fg 21341  df-top 22887  df-topon 22904  df-topsp 22926  df-bases 22940  df-ntr 23015  df-nei 23093  df-cn 23222  df-cnp 23223  df-tx 23557  df-fil 23841  df-fm 23933  df-flim 23934  df-flf 23935  df-tmd 24067  df-tsms 24122

This theorem is referenced by:  esumsplit  33886