Theorem tsmssplit 24192

Description: Split a topological group sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 24-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmssplit.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmssplit.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
tsmssplit.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
tsmssplit.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopMnd)
tsmssplit.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmssplit.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
tsmssplit.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ↾ 𝐶)))
tsmssplit.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ↾ 𝐷)))
tsmssplit.i	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
tsmssplit.u	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐶 ∪ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
tsmssplit	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐺 tsums 𝐹))

Proof of Theorem tsmssplit

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmssplit.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		tsmssplit.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		tsmssplit.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		tsmssplit.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopMnd)
5		tsmssplit.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		tsmssplit.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
7	6	ffvelcdmda 7061	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
8		cmnmnd 19820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
9	3, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
10		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
11	1, 10	mndidcl 18766	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
12	9, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
13	12	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
14	7, 13	ifcld 4526	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) ∈ 𝐵)
15	14	fmpttd 7092	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))):𝐴⟶𝐵)
16	7, 13	ifcld 4526	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) ∈ 𝐵)
17	16	fmpttd 7092	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))):𝐴⟶𝐵)
18		tsmssplit.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ↾ 𝐶)))
19	6	feqmptd 6931	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
20	19	reseq1d 5962	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↾ 𝐶))
21		ssun1 4130	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 ⊆ (𝐶 ∪ 𝐷)
22		tsmssplit.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐶 ∪ 𝐷))
23	21, 22	sseqtrrid 3979	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
24		iftrue 4485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐶 → if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) = (𝐹‘𝑘))
25	24	mpteq2ia 5194	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) = (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑘))
26		resmpt 6023	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐴 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ↾ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))))
27		resmpt 6023	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐴 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↾ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑘)))
28	25, 26, 27	3eqtr4a 2822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐴 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ↾ 𝐶) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↾ 𝐶))
29	23, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ↾ 𝐶) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↾ 𝐶))
30	20, 29	eqtr4d 2799	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ↾ 𝐶))
31	30	oveq2d 7408	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹 ↾ 𝐶)) = (𝐺 tsums ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ↾ 𝐶)))
32		tmdtps 24116	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ TopSp)
33	4, 32	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
34		eldifn 4085	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐶)
35	34	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐶)
36	35	iffalsed 4490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) → if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
37	36, 5	suppss2 8175	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) supp (0g‘𝐺)) ⊆ 𝐶)
38	1, 10, 3, 33, 5, 15, 37	tsmsres 24184	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ↾ 𝐶)) = (𝐺 tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)))))
39	31, 38	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹 ↾ 𝐶)) = (𝐺 tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)))))
40	18, 39	eleqtrd 2863	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐺 tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)))))
41		tsmssplit.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ↾ 𝐷)))
42	19	reseq1d 5962	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐷) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↾ 𝐷))
43		ssun2 4131	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 ⊆ (𝐶 ∪ 𝐷)
44	43, 22	sseqtrrid 3979	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ 𝐴)
45		iftrue 4485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐷 → if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) = (𝐹‘𝑘))
46	45	mpteq2ia 5194	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑘))
47		resmpt 6023	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ⊆ 𝐴 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ↾ 𝐷) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))))
48		resmpt 6023	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ⊆ 𝐴 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↾ 𝐷) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑘)))
49	46, 47, 48	3eqtr4a 2822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ⊆ 𝐴 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ↾ 𝐷) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↾ 𝐷))
50	44, 49	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ↾ 𝐷) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↾ 𝐷))
51	42, 50	eqtr4d 2799	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐷) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ↾ 𝐷))
52	51	oveq2d 7408	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹 ↾ 𝐷)) = (𝐺 tsums ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ↾ 𝐷)))
53		eldifn 4085	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐷)
54	53	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷)) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐷)
55	54	iffalsed 4490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷)) → if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
56	55, 5	suppss2 8175	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) supp (0g‘𝐺)) ⊆ 𝐷)
57	1, 10, 3, 33, 5, 17, 56	tsmsres 24184	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ↾ 𝐷)) = (𝐺 tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)))))
58	52, 57	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹 ↾ 𝐷)) = (𝐺 tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)))))
59	41, 58	eleqtrd 2863	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐺 tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)))))
60	1, 2, 3, 4, 5, 15, 17, 40, 59	tsmsadd 24187	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐺 tsums ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ∘f + (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))))))
61	24	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) = (𝐹‘𝑘))
62		tsmssplit.i	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
63		noel 4290	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ¬ 𝑘 ∈ ∅
64		eleq2 2850	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐶 ∩ 𝐷) = ∅ → (𝑘 ∈ (𝐶 ∩ 𝐷) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
65	63, 64	mtbiri 329	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 ∩ 𝐷) = ∅ → ¬ 𝑘 ∈ (𝐶 ∩ 𝐷))
66	62, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑘 ∈ (𝐶 ∩ 𝐷))
67	66	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑘 ∈ (𝐶 ∩ 𝐷))
68		elin 3920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐶 ∩ 𝐷) ↔ (𝑘 ∈ 𝐶 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷))
69	67, 68	sylnib 330	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ¬ (𝑘 ∈ 𝐶 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷))
70		imnan 403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐶 → ¬ 𝑘 ∈ 𝐷) ↔ ¬ (𝑘 ∈ 𝐶 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷))
71	69, 70	sylibr 236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ 𝐶 → ¬ 𝑘 ∈ 𝐷))
72	71	imp 410	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐷)
73	72	iffalsed 4490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
74	61, 73	oveq12d 7410	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → (if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) + if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) = ((𝐹‘𝑘) + (0g‘𝐺)))
75	1, 2, 10	mndrid 18772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑘) + (0g‘𝐺)) = (𝐹‘𝑘))
76	9, 7, 75	syl2an2r 695	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑘) + (0g‘𝐺)) = (𝐹‘𝑘))
77	76	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → ((𝐹‘𝑘) + (0g‘𝐺)) = (𝐹‘𝑘))
78	74, 77	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → (if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) + if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) = (𝐹‘𝑘))
79	71	con2d 134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ 𝐷 → ¬ 𝑘 ∈ 𝐶))
80	79	imp 410	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐶)
81	80	iffalsed 4490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
82	45	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) = (𝐹‘𝑘))
83	81, 82	oveq12d 7410	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) + if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) = ((0g‘𝐺) + (𝐹‘𝑘)))
84	1, 2, 10	mndlid 18771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + (𝐹‘𝑘)) = (𝐹‘𝑘))
85	9, 7, 84	syl2an2r 695	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((0g‘𝐺) + (𝐹‘𝑘)) = (𝐹‘𝑘))
86	85	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → ((0g‘𝐺) + (𝐹‘𝑘)) = (𝐹‘𝑘))
87	83, 86	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) + if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) = (𝐹‘𝑘))
88	22	eleq2d 2847	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ (𝐶 ∪ 𝐷)))
89		elun 4106	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐶 ∪ 𝐷) ↔ (𝑘 ∈ 𝐶 ∨ 𝑘 ∈ 𝐷))
90	88, 89	bitrdi 289	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ (𝑘 ∈ 𝐶 ∨ 𝑘 ∈ 𝐷)))
91	90	biimpa 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ 𝐶 ∨ 𝑘 ∈ 𝐷))
92	78, 87, 91	mpjaodan 971	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) + if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) = (𝐹‘𝑘))
93	92	mpteq2dva 5192	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) + if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)))) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
94	19, 93	eqtr4d 2799	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) + if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)))))
95		eqidd 2762	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))))
96		eqidd 2762	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))))
97	5, 14, 16, 95, 96	offval2 7676	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ∘f + (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)))) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) + if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)))))
98	94, 97	eqtr4d 2799	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ∘f + (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)))))
99	98	oveq2d 7408	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = (𝐺 tsums ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ∘f + (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))))))
100	60, 99	eleqtrrd 2864	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐺 tsums 𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ∖ cdif 3901   ∪ cun 3902   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  ifcif 4479   ↦ cmpt 5180   ↾ cres 5647  ⟶wf 6513  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392   ∘_f cof 7654  Basecbs 17228  +_gcplusg 17269  0_gc0g 17451  Mndcmnd 18751  CMndccmn 19803  TopSpctps 22972  TopMndctmd 24110   tsums ctsu 24166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7656  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-supp 8136  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-map 8805  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-fsupp 9305  df-oi 9455  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-seq 14012  df-hash 14341  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-topgen 17455  df-plusf 18656  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-submnd 18801  df-cntz 19340  df-cmn 19805  df-fbas 21401  df-fg 21402  df-top 22934  df-topon 22951  df-topsp 22973  df-bases 22986  df-ntr 23060  df-nei 23138  df-cn 23267  df-cnp 23268  df-tx 23602  df-fil 23886  df-fm 23978  df-flim 23979  df-flf 23980  df-tmd 24112  df-tsms 24167

This theorem is referenced by:  esumsplit  34311