Theorem tsmssplit 24451

Description: Split a topological group sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 24-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmssplit.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmssplit.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
tsmssplit.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
tsmssplit.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopMnd)
tsmssplit.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmssplit.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
tsmssplit.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ↾ 𝐶)))
tsmssplit.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ↾ 𝐷)))
tsmssplit.i	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
tsmssplit.u	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐶 ∪ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
tsmssplit	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐺 tsums 𝐹))

Proof of Theorem tsmssplit

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmssplit.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		tsmssplit.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		tsmssplit.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		tsmssplit.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopMnd)
5		tsmssplit.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		tsmssplit.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
7	6	ffvelcdmda 7076	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
8		cmnmnd 19991	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
9	3, 8	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
10		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
11	1, 10	mndidcl 18919	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
12	9, 11	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
13	12	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
14	7, 13	ifcld 4529	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) ∈ 𝐵)
15	14	fmpttd 7107	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))):𝐴⟶𝐵)
16	7, 13	ifcld 4529	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) ∈ 𝐵)
17	16	fmpttd 7107	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))):𝐴⟶𝐵)
18		tsmssplit.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ↾ 𝐶)))
19	6	feqmptd 6945	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
20	19	reseq1d 5969	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↾ 𝐶))
21		ssun1 4124	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 ⊆ (𝐶 ∪ 𝐷)
22		tsmssplit.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐶 ∪ 𝐷))
23	21, 22	sseqtrrid 3974	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
24		iftrue 4488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐶 → if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) = (𝐹‘𝑘))
25	24	mpteq2ia 5200	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) = (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑘))
26		resmpt 6031	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐴 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ↾ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))))
27		resmpt 6031	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐴 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↾ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑘)))
28	25, 26, 27	3eqtr4a 2822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐴 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ↾ 𝐶) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↾ 𝐶))
29	23, 28	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ↾ 𝐶) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↾ 𝐶))
30	20, 29	eqtr4d 2799	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ↾ 𝐶))
31	30	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹 ↾ 𝐶)) = (𝐺 tsums ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ↾ 𝐶)))
32		tmdtps 24375	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ TopSp)
33	4, 32	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
34		eldifn 4079	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐶)
35	34	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐶)
36	35	iffalsed 4493	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) → if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
37	36, 5	suppss2 8201	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) supp (0g‘𝐺)) ⊆ 𝐶)
38	1, 10, 3, 33, 5, 15, 37	tsmsres 24443	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ↾ 𝐶)) = (𝐺 tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)))))
39	31, 38	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹 ↾ 𝐶)) = (𝐺 tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)))))
40	18, 39	eleqtrd 2863	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐺 tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)))))
41		tsmssplit.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ↾ 𝐷)))
42	19	reseq1d 5969	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐷) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↾ 𝐷))
43		ssun2 4125	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 ⊆ (𝐶 ∪ 𝐷)
44	43, 22	sseqtrrid 3974	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ 𝐴)
45		iftrue 4488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐷 → if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) = (𝐹‘𝑘))
46	45	mpteq2ia 5200	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑘))
47		resmpt 6031	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ⊆ 𝐴 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ↾ 𝐷) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))))
48		resmpt 6031	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ⊆ 𝐴 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↾ 𝐷) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑘)))
49	46, 47, 48	3eqtr4a 2822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ⊆ 𝐴 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ↾ 𝐷) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↾ 𝐷))
50	44, 49	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ↾ 𝐷) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) ↾ 𝐷))
51	42, 50	eqtr4d 2799	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐷) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ↾ 𝐷))
52	51	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹 ↾ 𝐷)) = (𝐺 tsums ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ↾ 𝐷)))
53		eldifn 4079	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐷)
54	53	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷)) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐷)
55	54	iffalsed 4493	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷)) → if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
56	55, 5	suppss2 8201	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) supp (0g‘𝐺)) ⊆ 𝐷)
57	1, 10, 3, 33, 5, 17, 56	tsmsres 24443	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ↾ 𝐷)) = (𝐺 tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)))))
58	52, 57	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹 ↾ 𝐷)) = (𝐺 tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)))))
59	41, 58	eleqtrd 2863	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐺 tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)))))
60	1, 2, 3, 4, 5, 15, 17, 40, 59	tsmsadd 24446	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐺 tsums ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ∘f + (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))))))
61	24	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) = (𝐹‘𝑘))
62		tsmssplit.i	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
63		noel 4284	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ¬ 𝑘 ∈ ∅
64		eleq2 2850	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐶 ∩ 𝐷) = ∅ → (𝑘 ∈ (𝐶 ∩ 𝐷) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
65	63, 64	mtbiri 330	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 ∩ 𝐷) = ∅ → ¬ 𝑘 ∈ (𝐶 ∩ 𝐷))
66	62, 65	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑘 ∈ (𝐶 ∩ 𝐷))
67	66	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑘 ∈ (𝐶 ∩ 𝐷))
68		elin 3915	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐶 ∩ 𝐷) ↔ (𝑘 ∈ 𝐶 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷))
69	67, 68	sylnib 331	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ¬ (𝑘 ∈ 𝐶 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷))
70		imnan 405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐶 → ¬ 𝑘 ∈ 𝐷) ↔ ¬ (𝑘 ∈ 𝐶 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷))
71	69, 70	sylibr 237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ 𝐶 → ¬ 𝑘 ∈ 𝐷))
72	71	imp 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐷)
73	72	iffalsed 4493	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
74	61, 73	oveq12d 7430	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → (if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) + if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) = ((𝐹‘𝑘) + (0g‘𝐺)))
75	1, 2, 10	mndrid 18925	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑘) + (0g‘𝐺)) = (𝐹‘𝑘))
76	9, 7, 75	syl2an2r 698	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑘) + (0g‘𝐺)) = (𝐹‘𝑘))
77	76	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → ((𝐹‘𝑘) + (0g‘𝐺)) = (𝐹‘𝑘))
78	74, 77	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → (if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) + if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) = (𝐹‘𝑘))
79	71	con2d 135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ 𝐷 → ¬ 𝑘 ∈ 𝐶))
80	79	imp 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐶)
81	80	iffalsed 4493	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
82	45	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) = (𝐹‘𝑘))
83	81, 82	oveq12d 7430	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) + if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) = ((0g‘𝐺) + (𝐹‘𝑘)))
84	1, 2, 10	mndlid 18924	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + (𝐹‘𝑘)) = (𝐹‘𝑘))
85	9, 7, 84	syl2an2r 698	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((0g‘𝐺) + (𝐹‘𝑘)) = (𝐹‘𝑘))
86	85	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → ((0g‘𝐺) + (𝐹‘𝑘)) = (𝐹‘𝑘))
87	83, 86	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) + if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) = (𝐹‘𝑘))
88	22	eleq2d 2847	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ (𝐶 ∪ 𝐷)))
89		elun 4100	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐶 ∪ 𝐷) ↔ (𝑘 ∈ 𝐶 ∨ 𝑘 ∈ 𝐷))
90	88, 89	bitrdi 290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ (𝑘 ∈ 𝐶 ∨ 𝑘 ∈ 𝐷)))
91	90	biimpa 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ 𝐶 ∨ 𝑘 ∈ 𝐷))
92	78, 87, 91	mpjaodan 973	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) + if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) = (𝐹‘𝑘))
93	92	mpteq2dva 5198	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) + if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)))) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
94	19, 93	eqtr4d 2799	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) + if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)))))
95		eqidd 2762	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))))
96		eqidd 2762	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))))
97	5, 14, 16, 95, 96	offval2 7702	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ∘f + (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)))) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)) + if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)))))
98	94, 97	eqtr4d 2799	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ∘f + (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺)))))
99	98	oveq2d 7428	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = (𝐺 tsums ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐶, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))) ∘f + (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), (0g‘𝐺))))))
100	60, 99	eleqtrrd 2864	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐺 tsums 𝐹))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ifcif 4482   ↦ cmpt 5186   ↾ cres 5653  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   ∘_f cof 7680  Basecbs 17367  +_gcplusg 17408  0_gc0g 17590  Mndcmnd 18903  CMndccmn 19974  TopSpctps 23230  TopMndctmd 24369   tsums ctsu 24425

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-seq 14125  df-hash 14455  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-0g 17592  df-gsum 17593  df-topgen 17594  df-plusf 18795  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-submnd 18959  df-cntz 19511  df-cmn 19976  df-fbas 21655  df-fg 21656  df-top 23192  df-topon 23209  df-topsp 23231  df-bases 23244  df-ntr 23318  df-nei 23396  df-cn 23525  df-cnp 23526  df-tx 23861  df-fil 24145  df-fm 24237  df-flim 24238  df-flf 24239  df-tmd 24371  df-tsms 24426

This theorem is used by:  esumsplit  34667