Theorem submtmd 24094

Description: A submonoid of a topological monoid is a topological monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subgtgp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
submtmd	⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝐻 ∈ TopMnd)

Proof of Theorem submtmd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subgtgp.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
2	1	submmnd 18779	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐻 ∈ Mnd)
3	2	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝐻 ∈ Mnd)
4		tmdtps 24066	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ TopSp)
5		resstps 23177	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ TopSp)
6	4, 5	sylan 586	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ TopSp)
7	1, 6	eqeltrid 2844	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝐻 ∈ TopSp)
8		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
9		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
10		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (+𝑓‘𝐻) = (+𝑓‘𝐻)
11	8, 9, 10	plusffval 18612	. . . . 5 ⊢ (+𝑓‘𝐻) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
12	1	submbas 18780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
13	12	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
14		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
15	1, 14	ressplusg 17252	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
16	15	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
17	16	oveqd 7380	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
18	13, 13, 17	mpoeq123dv 7438	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝑥 ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (𝑥(+g‘𝐻)𝑦)))
19	11, 18	eqtr4id 2794	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (+𝑓‘𝐻) = (𝑥 ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)))
20		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) = ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)
21		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
22		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
23	21, 22	tmdtopon 24071	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
24	23	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
25	22	submss 18775	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
26	25	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
27		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (+𝑓‘𝐺) = (+𝑓‘𝐺)
28	22, 14, 27	plusffval 18612	. . . . . . 7 ⊢ (+𝑓‘𝐺) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
29	21, 27	tmdcn 24073	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → (+𝑓‘𝐺) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
30	28, 29	eqeltrrid 2845	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
31	30	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
32	20, 24, 26, 20, 24, 26, 31	cnmpt2res 23667	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝑥 ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ×t ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
33	19, 32	eqeltrd 2840	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (+𝑓‘𝐻) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ×t ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
34	8, 10	mndplusf 18718	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ Mnd → (+𝑓‘𝐻):((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))⟶(Base‘𝐻))
35		frn 6669	. . . . . 6 ⊢ ((+𝑓‘𝐻):((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))⟶(Base‘𝐻) → ran (+𝑓‘𝐻) ⊆ (Base‘𝐻))
36	3, 34, 35	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → ran (+𝑓‘𝐻) ⊆ (Base‘𝐻))
37	36, 13	sseqtrrd 3959	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → ran (+𝑓‘𝐻) ⊆ 𝑆)
38		cnrest2 23276	. . . 4 ⊢ (((TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)) ∧ ran (+𝑓‘𝐻) ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → ((+𝑓‘𝐻) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ×t ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)) Cn (TopOpen‘𝐺)) ↔ (+𝑓‘𝐻) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ×t ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)) Cn ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆))))
39	24, 37, 26, 38	syl3anc 1379	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → ((+𝑓‘𝐻) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ×t ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)) Cn (TopOpen‘𝐺)) ↔ (+𝑓‘𝐻) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ×t ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)) Cn ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆))))
40	33, 39	mpbid 233	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (+𝑓‘𝐻) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ×t ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)) Cn ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)))
41	1, 21	resstopn 23176	. . 3 ⊢ ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) = (TopOpen‘𝐻)
42	10, 41	istmd 24064	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ TopMnd ↔ (𝐻 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ TopSp ∧ (+𝑓‘𝐻) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ×t ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)) Cn ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆))))
43	3, 7, 40, 42	syl3anbrc 1350	1 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝐻 ∈ TopMnd)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3890   × cxp 5623  ran crn 5626  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ∈ cmpo 7365  Basecbs 17177   ↾_s cress 17198  +_gcplusg 17218   ↾_t crest 17381  TopOpenctopn 17382  +_𝑓cplusf 18603  Mndcmnd 18700  SubMndcsubmnd 18748  TopOnctopon 22900  TopSpctps 22922   Cn ccn 23214   ×_t ctx 23550  TopMndctmd 24060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fi 9321  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-tset 17237  df-rest 17383  df-topn 17384  df-0g 17402  df-topgen 17404  df-plusf 18605  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-submnd 18750  df-top 22884  df-topon 22901  df-topsp 22923  df-bases 22936  df-cn 23217  df-tx 23552  df-tmd 24062

This theorem is referenced by:  subgtgp  24095  symgtgp  24096  nrgtdrg  24683  iistmd  34093