Theorem submtmd 22709

Description: A submonoid of a topological monoid is a topological monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subgtgp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
submtmd	⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝐻 ∈ TopMnd)

Proof of Theorem submtmd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subgtgp.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
2	1	submmnd 17970	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐻 ∈ Mnd)
3	2	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝐻 ∈ Mnd)
4		tmdtps 22681	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ TopSp)
5		resstps 21792	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ TopSp)
6	4, 5	sylan 583	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ TopSp)
7	1, 6	eqeltrid 2894	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝐻 ∈ TopSp)
8		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
9		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
10		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (+𝑓‘𝐻) = (+𝑓‘𝐻)
11	8, 9, 10	plusffval 17850	. . . . 5 ⊢ (+𝑓‘𝐻) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
12	1	submbas 17971	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
13	12	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
14		eqid 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
15	1, 14	ressplusg 16604	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
16	15	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
17	16	oveqd 7152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
18	13, 13, 17	mpoeq123dv 7208	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝑥 ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (𝑥(+g‘𝐻)𝑦)))
19	11, 18	eqtr4id 2852	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (+𝑓‘𝐻) = (𝑥 ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)))
20		eqid 2798	. . . . 5 ⊢ ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) = ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)
21		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
22		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
23	21, 22	tmdtopon 22686	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
24	23	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
25	22	submss 17966	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
26	25	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
27		eqid 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (+𝑓‘𝐺) = (+𝑓‘𝐺)
28	22, 14, 27	plusffval 17850	. . . . . . 7 ⊢ (+𝑓‘𝐺) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
29	21, 27	tmdcn 22688	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → (+𝑓‘𝐺) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
30	28, 29	eqeltrrid 2895	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
31	30	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
32	20, 24, 26, 20, 24, 26, 31	cnmpt2res 22282	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝑥 ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ×t ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
33	19, 32	eqeltrd 2890	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (+𝑓‘𝐻) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ×t ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
34	8, 10	mndplusf 17921	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ Mnd → (+𝑓‘𝐻):((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))⟶(Base‘𝐻))
35		frn 6493	. . . . . 6 ⊢ ((+𝑓‘𝐻):((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))⟶(Base‘𝐻) → ran (+𝑓‘𝐻) ⊆ (Base‘𝐻))
36	3, 34, 35	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → ran (+𝑓‘𝐻) ⊆ (Base‘𝐻))
37	36, 13	sseqtrrd 3956	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → ran (+𝑓‘𝐻) ⊆ 𝑆)
38		cnrest2 21891	. . . 4 ⊢ (((TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)) ∧ ran (+𝑓‘𝐻) ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → ((+𝑓‘𝐻) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ×t ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)) Cn (TopOpen‘𝐺)) ↔ (+𝑓‘𝐻) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ×t ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)) Cn ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆))))
39	24, 37, 26, 38	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → ((+𝑓‘𝐻) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ×t ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)) Cn (TopOpen‘𝐺)) ↔ (+𝑓‘𝐻) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ×t ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)) Cn ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆))))
40	33, 39	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (+𝑓‘𝐻) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ×t ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)) Cn ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)))
41	1, 21	resstopn 21791	. . 3 ⊢ ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) = (TopOpen‘𝐻)
42	10, 41	istmd 22679	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ TopMnd ↔ (𝐻 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ TopSp ∧ (+𝑓‘𝐻) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ×t ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)) Cn ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆))))
43	3, 7, 40, 42	syl3anbrc 1340	1 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝐻 ∈ TopMnd)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881   × cxp 5517  ran crn 5520  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ∈ cmpo 7137  Basecbs 16475   ↾_s cress 16476  +_gcplusg 16557   ↾_t crest 16686  TopOpenctopn 16687  +_𝑓cplusf 17841  Mndcmnd 17903  SubMndcsubmnd 17947  TopOnctopon 21515  TopSpctps 21537   Cn ccn 21829   ×_t ctx 22165  TopMndctmd 22675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fi 8859  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-tset 16576  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-topgen 16709  df-plusf 17843  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-cn 21832  df-tx 22167  df-tmd 22677

This theorem is referenced by:  subgtgp  22710  symgtgp  22711  nrgtdrg  23299  iistmd  31255