Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  submtmd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem submtmd 22707
 Description: A submonoid of a topological monoid is a topological monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgtgp.h 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
Assertion
Ref Expression
submtmd ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝐻 ∈ TopMnd)

Proof of Theorem submtmd
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subgtgp.h . . . 4 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
21submmnd 17969 . . 3 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐻 ∈ Mnd)
32adantl 485 . 2 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝐻 ∈ Mnd)
4 tmdtps 22679 . . . 4 (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ TopSp)
5 resstps 21790 . . . 4 ((𝐺 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝐺s 𝑆) ∈ TopSp)
64, 5sylan 583 . . 3 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝐺s 𝑆) ∈ TopSp)
71, 6eqeltrid 2918 . 2 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝐻 ∈ TopSp)
81submbas 17970 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
98adantl 485 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
10 eqid 2822 . . . . . . . . 9 (+g𝐺) = (+g𝐺)
111, 10ressplusg 16603 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (+g𝐺) = (+g𝐻))
1211adantl 485 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (+g𝐺) = (+g𝐻))
1312oveqd 7157 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑥(+g𝐻)𝑦))
149, 9, 13mpoeq123dv 7213 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝑥𝑆, 𝑦𝑆 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (𝑥(+g𝐻)𝑦)))
15 eqid 2822 . . . . . 6 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
16 eqid 2822 . . . . . 6 (+g𝐻) = (+g𝐻)
17 eqid 2822 . . . . . 6 (+𝑓𝐻) = (+𝑓𝐻)
1815, 16, 17plusffval 17849 . . . . 5 (+𝑓𝐻) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (𝑥(+g𝐻)𝑦))
1914, 18syl6reqr 2876 . . . 4 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (+𝑓𝐻) = (𝑥𝑆, 𝑦𝑆 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)))
20 eqid 2822 . . . . 5 ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) = ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)
21 eqid 2822 . . . . . . 7 (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
22 eqid 2822 . . . . . . 7 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2321, 22tmdtopon 22684 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopMnd → (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
2423adantr 484 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
2522submss 17965 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
2625adantl 485 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
27 eqid 2822 . . . . . . . 8 (+𝑓𝐺) = (+𝑓𝐺)
2822, 10, 27plusffval 17849 . . . . . . 7 (+𝑓𝐺) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦))
2921, 27tmdcn 22686 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ TopMnd → (+𝑓𝐺) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
3028, 29eqeltrrid 2919 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
3130adantr 484 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
3220, 24, 26, 20, 24, 26, 31cnmpt2res 22280 . . . 4 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝑥𝑆, 𝑦𝑆 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ×t ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
3319, 32eqeltrd 2914 . . 3 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (+𝑓𝐻) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ×t ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
3415, 17mndplusf 17920 . . . . . 6 (𝐻 ∈ Mnd → (+𝑓𝐻):((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))⟶(Base‘𝐻))
35 frn 6500 . . . . . 6 ((+𝑓𝐻):((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))⟶(Base‘𝐻) → ran (+𝑓𝐻) ⊆ (Base‘𝐻))
363, 34, 353syl 18 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → ran (+𝑓𝐻) ⊆ (Base‘𝐻))
3736, 9sseqtrrd 3983 . . . 4 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → ran (+𝑓𝐻) ⊆ 𝑆)
38 cnrest2 21889 . . . 4 (((TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)) ∧ ran (+𝑓𝐻) ⊆ 𝑆𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → ((+𝑓𝐻) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ×t ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)) Cn (TopOpen‘𝐺)) ↔ (+𝑓𝐻) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ×t ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)) Cn ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆))))
3924, 37, 26, 38syl3anc 1368 . . 3 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → ((+𝑓𝐻) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ×t ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)) Cn (TopOpen‘𝐺)) ↔ (+𝑓𝐻) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ×t ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)) Cn ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆))))
4033, 39mpbid 235 . 2 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (+𝑓𝐻) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ×t ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)) Cn ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)))
411, 21resstopn 21789 . . 3 ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) = (TopOpen‘𝐻)
4217, 41istmd 22677 . 2 (𝐻 ∈ TopMnd ↔ (𝐻 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ TopSp ∧ (+𝑓𝐻) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ×t ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)) Cn ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆))))
433, 7, 40, 42syl3anbrc 1340 1 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝐻 ∈ TopMnd)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3908   × cxp 5530  ran crn 5533  ⟶wf 6330  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140   ∈ cmpo 7142  Basecbs 16474   ↾s cress 16475  +gcplusg 16556   ↾t crest 16685  TopOpenctopn 16686  +𝑓cplusf 17840  Mndcmnd 17902  SubMndcsubmnd 17946  TopOnctopon 21513  TopSpctps 21535   Cn ccn 21827   ×t ctx 22163  TopMndctmd 22673 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fi 8863  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-tset 16575  df-rest 16687  df-topn 16688  df-0g 16706  df-topgen 16708  df-plusf 17842  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17948  df-top 21497  df-topon 21514  df-topsp 21536  df-bases 21549  df-cn 21830  df-tx 22165  df-tmd 22675 This theorem is referenced by:  subgtgp  22708  symgtgp  22709  nrgtdrg  23297  iistmd  31219
 Copyright terms: Public domain W3C validator