Theorem submtmd 24403

Description: A submonoid of a topological monoid is a topological monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subgtgp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
submtmd	⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝐻 ∈ TopMnd)

Proof of Theorem submtmd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subgtgp.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
2	1	submmnd 18989	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐻 ∈ Mnd)
3	2	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝐻 ∈ Mnd)
4		tmdtps 24375	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ TopSp)
5		resstps 23485	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ TopSp)
6	4, 5	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ TopSp)
7	1, 6	eqeltrid 2865	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝐻 ∈ TopSp)
8		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
9		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
10		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (+𝑓‘𝐻) = (+𝑓‘𝐻)
11	8, 9, 10	plusffval 18802	. . . . 5 ⊢ (+𝑓‘𝐻) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
12	1	submbas 18990	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
13	12	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
14		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
15	1, 14	ressplusg 17442	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
16	15	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
17	16	oveqd 7429	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
18	13, 13, 17	mpoeq123dv 7487	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝑥 ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (𝑥(+g‘𝐻)𝑦)))
19	11, 18	eqtr4id 2815	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (+𝑓‘𝐻) = (𝑥 ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)))
20		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) = ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)
21		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
22		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
23	21, 22	tmdtopon 24380	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
24	23	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
25	22	submss 18984	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
26	25	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
27		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (+𝑓‘𝐺) = (+𝑓‘𝐺)
28	22, 14, 27	plusffval 18802	. . . . . . 7 ⊢ (+𝑓‘𝐺) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
29	21, 27	tmdcn 24382	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → (+𝑓‘𝐺) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
30	28, 29	eqeltrrid 2866	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
31	30	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
32	20, 24, 26, 20, 24, 26, 31	cnmpt2res 23976	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝑥 ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ×t ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
33	19, 32	eqeltrd 2861	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (+𝑓‘𝐻) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ×t ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
34	8, 10	mndplusf 18922	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ Mnd → (+𝑓‘𝐻):((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))⟶(Base‘𝐻))
35		frn 6709	. . . . . 6 ⊢ ((+𝑓‘𝐻):((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))⟶(Base‘𝐻) → ran (+𝑓‘𝐻) ⊆ (Base‘𝐻))
36	3, 34, 35	3syl 19	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → ran (+𝑓‘𝐻) ⊆ (Base‘𝐻))
37	36, 13	sseqtrrd 3968	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → ran (+𝑓‘𝐻) ⊆ 𝑆)
38		cnrest2 23584	. . . 4 ⊢ (((TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)) ∧ ran (+𝑓‘𝐻) ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → ((+𝑓‘𝐻) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ×t ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)) Cn (TopOpen‘𝐺)) ↔ (+𝑓‘𝐻) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ×t ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)) Cn ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆))))
39	24, 37, 26, 38	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → ((+𝑓‘𝐻) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ×t ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)) Cn (TopOpen‘𝐺)) ↔ (+𝑓‘𝐻) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ×t ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)) Cn ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆))))
40	33, 39	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (+𝑓‘𝐻) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ×t ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)) Cn ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)))
41	1, 21	resstopn 23484	. . 3 ⊢ ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) = (TopOpen‘𝐻)
42	10, 41	istmd 24373	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ TopMnd ↔ (𝐻 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ TopSp ∧ (+𝑓‘𝐻) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ×t ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)) Cn ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆))))
43	3, 7, 40, 42	syl3anbrc 1362	1 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝐻 ∈ TopMnd)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899   × cxp 5649  ran crn 5652  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  Basecbs 17367   ↾_s cress 17388  +_gcplusg 17408   ↾_t crest 17571  TopOpenctopn 17572  +_𝑓cplusf 18793  Mndcmnd 18903  SubMndcsubmnd 18957  TopOnctopon 23208  TopSpctps 23230   Cn ccn 23522   ×_t ctx 23859  TopMndctmd 24369

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fi 9387  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-tset 17427  df-rest 17573  df-topn 17574  df-0g 17592  df-topgen 17594  df-plusf 18795  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-submnd 18959  df-top 23192  df-topon 23209  df-topsp 23231  df-bases 23244  df-cn 23525  df-tx 23861  df-tmd 24371

This theorem is used by:  subgtgp  24404  symgtgp  24405  nrgtdrg  24992  iistmd  34516