MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  submtmd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem submtmd 24128
Description: A submonoid of a topological monoid is a topological monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgtgp.h 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
Assertion
Ref Expression
submtmd ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝐻 ∈ TopMnd)

Proof of Theorem submtmd
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subgtgp.h . . . 4 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
21submmnd 18839 . . 3 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐻 ∈ Mnd)
32adantl 481 . 2 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝐻 ∈ Mnd)
4 tmdtps 24100 . . . 4 (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ TopSp)
5 resstps 23211 . . . 4 ((𝐺 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝐺s 𝑆) ∈ TopSp)
64, 5sylan 580 . . 3 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝐺s 𝑆) ∈ TopSp)
71, 6eqeltrid 2843 . 2 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝐻 ∈ TopSp)
8 eqid 2735 . . . . . 6 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
9 eqid 2735 . . . . . 6 (+g𝐻) = (+g𝐻)
10 eqid 2735 . . . . . 6 (+𝑓𝐻) = (+𝑓𝐻)
118, 9, 10plusffval 18672 . . . . 5 (+𝑓𝐻) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (𝑥(+g𝐻)𝑦))
121submbas 18840 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
1312adantl 481 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
14 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (+g𝐺) = (+g𝐺)
151, 14ressplusg 17336 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (+g𝐺) = (+g𝐻))
1615adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (+g𝐺) = (+g𝐻))
1716oveqd 7448 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑥(+g𝐻)𝑦))
1813, 13, 17mpoeq123dv 7508 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝑥𝑆, 𝑦𝑆 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (𝑥(+g𝐻)𝑦)))
1911, 18eqtr4id 2794 . . . 4 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (+𝑓𝐻) = (𝑥𝑆, 𝑦𝑆 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)))
20 eqid 2735 . . . . 5 ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) = ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)
21 eqid 2735 . . . . . . 7 (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
22 eqid 2735 . . . . . . 7 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2321, 22tmdtopon 24105 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopMnd → (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
2423adantr 480 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
2522submss 18835 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
2625adantl 481 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
27 eqid 2735 . . . . . . . 8 (+𝑓𝐺) = (+𝑓𝐺)
2822, 14, 27plusffval 18672 . . . . . . 7 (+𝑓𝐺) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦))
2921, 27tmdcn 24107 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ TopMnd → (+𝑓𝐺) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
3028, 29eqeltrrid 2844 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
3130adantr 480 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
3220, 24, 26, 20, 24, 26, 31cnmpt2res 23701 . . . 4 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝑥𝑆, 𝑦𝑆 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ×t ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
3319, 32eqeltrd 2839 . . 3 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (+𝑓𝐻) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ×t ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
348, 10mndplusf 18778 . . . . . 6 (𝐻 ∈ Mnd → (+𝑓𝐻):((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))⟶(Base‘𝐻))
35 frn 6744 . . . . . 6 ((+𝑓𝐻):((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))⟶(Base‘𝐻) → ran (+𝑓𝐻) ⊆ (Base‘𝐻))
363, 34, 353syl 18 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → ran (+𝑓𝐻) ⊆ (Base‘𝐻))
3736, 13sseqtrrd 4037 . . . 4 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → ran (+𝑓𝐻) ⊆ 𝑆)
38 cnrest2 23310 . . . 4 (((TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)) ∧ ran (+𝑓𝐻) ⊆ 𝑆𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → ((+𝑓𝐻) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ×t ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)) Cn (TopOpen‘𝐺)) ↔ (+𝑓𝐻) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ×t ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)) Cn ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆))))
3924, 37, 26, 38syl3anc 1370 . . 3 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → ((+𝑓𝐻) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ×t ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)) Cn (TopOpen‘𝐺)) ↔ (+𝑓𝐻) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ×t ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)) Cn ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆))))
4033, 39mpbid 232 . 2 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (+𝑓𝐻) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ×t ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)) Cn ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)))
411, 21resstopn 23210 . . 3 ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) = (TopOpen‘𝐻)
4210, 41istmd 24098 . 2 (𝐻 ∈ TopMnd ↔ (𝐻 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ TopSp ∧ (+𝑓𝐻) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ×t ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)) Cn ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆))))
433, 7, 40, 42syl3anbrc 1342 1 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝐻 ∈ TopMnd)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wss 3963   × cxp 5687  ran crn 5690  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  Basecbs 17245  s cress 17274  +gcplusg 17298  t crest 17467  TopOpenctopn 17468  +𝑓cplusf 18663  Mndcmnd 18760  SubMndcsubmnd 18808  TopOnctopon 22932  TopSpctps 22954   Cn ccn 23248   ×t ctx 23584  TopMndctmd 24094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fi 9449  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-tset 17317  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-topgen 17490  df-plusf 18665  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cn 23251  df-tx 23586  df-tmd 24096
This theorem is referenced by:  subgtgp  24129  symgtgp  24130  nrgtdrg  24730  iistmd  33863
  Copyright terms: Public domain W3C validator