Theorem submtmd 24069

Description: A submonoid of a topological monoid is a topological monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subgtgp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
submtmd	⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝐻 ∈ TopMnd)

Proof of Theorem submtmd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subgtgp.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
2	1	submmnd 18781	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐻 ∈ Mnd)
3	2	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝐻 ∈ Mnd)
4		tmdtps 24041	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ TopSp)
5		resstps 23152	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ TopSp)
6	4, 5	sylan 581	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ TopSp)
7	1, 6	eqeltrid 2840	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝐻 ∈ TopSp)
8		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
9		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
10		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (+𝑓‘𝐻) = (+𝑓‘𝐻)
11	8, 9, 10	plusffval 18614	. . . . 5 ⊢ (+𝑓‘𝐻) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
12	1	submbas 18782	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
13	12	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
14		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
15	1, 14	ressplusg 17254	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
16	15	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
17	16	oveqd 7384	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
18	13, 13, 17	mpoeq123dv 7442	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝑥 ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (𝑥(+g‘𝐻)𝑦)))
19	11, 18	eqtr4id 2790	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (+𝑓‘𝐻) = (𝑥 ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)))
20		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) = ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)
21		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
22		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
23	21, 22	tmdtopon 24046	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
24	23	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
25	22	submss 18777	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
26	25	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
27		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (+𝑓‘𝐺) = (+𝑓‘𝐺)
28	22, 14, 27	plusffval 18614	. . . . . . 7 ⊢ (+𝑓‘𝐺) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
29	21, 27	tmdcn 24048	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → (+𝑓‘𝐺) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
30	28, 29	eqeltrrid 2841	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
31	30	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
32	20, 24, 26, 20, 24, 26, 31	cnmpt2res 23642	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝑥 ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ×t ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
33	19, 32	eqeltrd 2836	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (+𝑓‘𝐻) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ×t ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
34	8, 10	mndplusf 18720	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ Mnd → (+𝑓‘𝐻):((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))⟶(Base‘𝐻))
35		frn 6675	. . . . . 6 ⊢ ((+𝑓‘𝐻):((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))⟶(Base‘𝐻) → ran (+𝑓‘𝐻) ⊆ (Base‘𝐻))
36	3, 34, 35	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → ran (+𝑓‘𝐻) ⊆ (Base‘𝐻))
37	36, 13	sseqtrrd 3959	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → ran (+𝑓‘𝐻) ⊆ 𝑆)
38		cnrest2 23251	. . . 4 ⊢ (((TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)) ∧ ran (+𝑓‘𝐻) ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → ((+𝑓‘𝐻) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ×t ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)) Cn (TopOpen‘𝐺)) ↔ (+𝑓‘𝐻) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ×t ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)) Cn ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆))))
39	24, 37, 26, 38	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → ((+𝑓‘𝐻) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ×t ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)) Cn (TopOpen‘𝐺)) ↔ (+𝑓‘𝐻) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ×t ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)) Cn ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆))))
40	33, 39	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (+𝑓‘𝐻) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ×t ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)) Cn ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)))
41	1, 21	resstopn 23151	. . 3 ⊢ ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) = (TopOpen‘𝐻)
42	10, 41	istmd 24039	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ TopMnd ↔ (𝐻 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ TopSp ∧ (+𝑓‘𝐻) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ×t ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)) Cn ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆))))
43	3, 7, 40, 42	syl3anbrc 1345	1 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝐻 ∈ TopMnd)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3889   × cxp 5629  ran crn 5632  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ∈ cmpo 7369  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  +_gcplusg 17220   ↾_t crest 17383  TopOpenctopn 17384  +_𝑓cplusf 18605  Mndcmnd 18702  SubMndcsubmnd 18750  TopOnctopon 22875  TopSpctps 22897   Cn ccn 23189   ×_t ctx 23525  TopMndctmd 24035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fi 9324  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-tset 17239  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-topgen 17406  df-plusf 18607  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cn 23192  df-tx 23527  df-tmd 24037

This theorem is referenced by:  subgtgp  24070  symgtgp  24071  nrgtdrg  24658  iistmd  34046