Theorem eqpw1 4163

Description: A condition for equality to unit power class. (Contributed by SF, 21-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eqpw1	⊢ (A = ℘1B ↔ (A ⊆ 1c ∧ ∀x({x} ∈ A ↔ x ∈ B)))

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem eqpw1

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw1ss1c 4159	. . 3 ⊢ ℘1B ⊆ 1c
2		sseq1 3293	. . 3 ⊢ (A = ℘1B → (A ⊆ 1c ↔ ℘1B ⊆ 1c))
3	1, 2	mpbiri 224	. 2 ⊢ (A = ℘1B → A ⊆ 1c)
4		ssofeq 4078	. . . 4 ⊢ ((A ⊆ 1c ∧ ℘1B ⊆ 1c) → (A = ℘1B ↔ ∀y ∈ 1c (y ∈ A ↔ y ∈ ℘1B)))
5	1, 4	mpan2 652	. . 3 ⊢ (A ⊆ 1c → (A = ℘1B ↔ ∀y ∈ 1c (y ∈ A ↔ y ∈ ℘1B)))
6		df-ral 2620	. . . . 5 ⊢ (∀y ∈ 1c (y ∈ A ↔ y ∈ ℘1B) ↔ ∀y(y ∈ 1c → (y ∈ A ↔ y ∈ ℘1B)))
7		el1c 4140	. . . . . . . . 9 ⊢ (y ∈ 1c ↔ ∃x y = {x})
8	7	imbi1i 315	. . . . . . . 8 ⊢ ((y ∈ 1c → (y ∈ A ↔ y ∈ ℘1B)) ↔ (∃x y = {x} → (y ∈ A ↔ y ∈ ℘1B)))
9		19.23v 1891	. . . . . . . 8 ⊢ (∀x(y = {x} → (y ∈ A ↔ y ∈ ℘1B)) ↔ (∃x y = {x} → (y ∈ A ↔ y ∈ ℘1B)))
10	8, 9	bitr4i 243	. . . . . . 7 ⊢ ((y ∈ 1c → (y ∈ A ↔ y ∈ ℘1B)) ↔ ∀x(y = {x} → (y ∈ A ↔ y ∈ ℘1B)))
11	10	albii 1566	. . . . . 6 ⊢ (∀y(y ∈ 1c → (y ∈ A ↔ y ∈ ℘1B)) ↔ ∀y∀x(y = {x} → (y ∈ A ↔ y ∈ ℘1B)))
12		alcom 1737	. . . . . 6 ⊢ (∀x∀y(y = {x} → (y ∈ A ↔ y ∈ ℘1B)) ↔ ∀y∀x(y = {x} → (y ∈ A ↔ y ∈ ℘1B)))
13	11, 12	bitr4i 243	. . . . 5 ⊢ (∀y(y ∈ 1c → (y ∈ A ↔ y ∈ ℘1B)) ↔ ∀x∀y(y = {x} → (y ∈ A ↔ y ∈ ℘1B)))
14	6, 13	bitri 240	. . . 4 ⊢ (∀y ∈ 1c (y ∈ A ↔ y ∈ ℘1B) ↔ ∀x∀y(y = {x} → (y ∈ A ↔ y ∈ ℘1B)))
15		snex 4112	. . . . . . 7 ⊢ {x} ∈ V
16		eleq1 2413	. . . . . . . 8 ⊢ (y = {x} → (y ∈ A ↔ {x} ∈ A))
17		eleq1 2413	. . . . . . . 8 ⊢ (y = {x} → (y ∈ ℘1B ↔ {x} ∈ ℘1B))
18	16, 17	bibi12d 312	. . . . . . 7 ⊢ (y = {x} → ((y ∈ A ↔ y ∈ ℘1B) ↔ ({x} ∈ A ↔ {x} ∈ ℘1B)))
19	15, 18	ceqsalv 2886	. . . . . 6 ⊢ (∀y(y = {x} → (y ∈ A ↔ y ∈ ℘1B)) ↔ ({x} ∈ A ↔ {x} ∈ ℘1B))
20		snelpw1 4147	. . . . . . 7 ⊢ ({x} ∈ ℘1B ↔ x ∈ B)
21	20	bibi2i 304	. . . . . 6 ⊢ (({x} ∈ A ↔ {x} ∈ ℘1B) ↔ ({x} ∈ A ↔ x ∈ B))
22	19, 21	bitri 240	. . . . 5 ⊢ (∀y(y = {x} → (y ∈ A ↔ y ∈ ℘1B)) ↔ ({x} ∈ A ↔ x ∈ B))
23	22	albii 1566	. . . 4 ⊢ (∀x∀y(y = {x} → (y ∈ A ↔ y ∈ ℘1B)) ↔ ∀x({x} ∈ A ↔ x ∈ B))
24	14, 23	bitri 240	. . 3 ⊢ (∀y ∈ 1c (y ∈ A ↔ y ∈ ℘1B) ↔ ∀x({x} ∈ A ↔ x ∈ B))
25	5, 24	syl6bb 252	. 2 ⊢ (A ⊆ 1c → (A = ℘1B ↔ ∀x({x} ∈ A ↔ x ∈ B)))
26	3, 25	biadan2 623	1 ⊢ (A = ℘1B ↔ (A ⊆ 1c ∧ ∀x({x} ∈ A ↔ x ∈ B)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358  ∀wal 1540  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  ∀wral 2615   ⊆ wss 3258  {csn 3738  1_cc1c 4135  ℘₁cpw1 4136

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-sn 4088

This proof depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-v 2862  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-ss 3260  df-nul 3552  df-pw 3725  df-sn 3742  df-1c 4137  df-pw1 4138

This theorem is used by:  eqpw1relk  4480