Theorem pw10 4161

Description: Compute the unit power class of ∅ (Contributed by SF, 22-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pw10	⊢ ℘1∅ = ∅

Proof of Theorem pw10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pw1 4137	. 2 ⊢ ℘1∅ = (℘∅ ∩ 1c)
2		pw0 4160	. . 3 ⊢ ℘∅ = {∅}
3	2	ineq1i 3453	. 2 ⊢ (℘∅ ∩ 1c) = ({∅} ∩ 1c)
4		disj 3591	. . 3 ⊢ (({∅} ∩ 1c) = ∅ ↔ ∀x ∈ {∅} ¬ x ∈ 1c)
5		0nel1c 4159	. . . 4 ⊢ ¬ ∅ ∈ 1c
6		elsn 3748	. . . . 5 ⊢ (x ∈ {∅} ↔ x = ∅)
7		eleq1 2413	. . . . 5 ⊢ (x = ∅ → (x ∈ 1c ↔ ∅ ∈ 1c))
8	6, 7	sylbi 187	. . . 4 ⊢ (x ∈ {∅} → (x ∈ 1c ↔ ∅ ∈ 1c))
9	5, 8	mtbiri 294	. . 3 ⊢ (x ∈ {∅} → ¬ x ∈ 1c)
10	4, 9	mprgbir 2684	. 2 ⊢ ({∅} ∩ 1c) = ∅
11	1, 3, 10	3eqtri 2377	1 ⊢ ℘1∅ = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 176   = wceq 1642   ∈ wcel 1710   ∩ cin 3208  ∅c0 3550  ℘cpw 3722  {csn 3737  1_cc1c 4134  ℘₁cpw1 4135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-v 2861  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-ss 3259  df-nul 3551  df-pw 3724  df-sn 3741  df-1c 4136  df-pw1 4137

This theorem is referenced by:  pw10b  4166  ncfinraise  4481  tfindi  4496  tfin0c  4497  sfin01  4528  tc0c  6163  tcdi  6164  ce0nnul  6177  ce0addcnnul  6179  ce0nn  6180  ce0nulnc  6184  ce0  6190