Theorem phi011lem1 4599

Description: Lemma for phi011 4600. (Contributed by SF, 3-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
phi011lem1	⊢ (( Phi A ∪ {0c}) = ( Phi B ∪ {0c}) → Phi A ⊆ Phi B)

Proof of Theorem phi011lem1

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun1 3427	. . . . 5 ⊢ Phi A ⊆ ( Phi A ∪ {0c})
2	1	sseli 3270	. . . 4 ⊢ (z ∈ Phi A → z ∈ ( Phi A ∪ {0c}))
3		eleq2 2414	. . . 4 ⊢ (( Phi A ∪ {0c}) = ( Phi B ∪ {0c}) → (z ∈ ( Phi A ∪ {0c}) ↔ z ∈ ( Phi B ∪ {0c})))
4	2, 3	syl5ib 210	. . 3 ⊢ (( Phi A ∪ {0c}) = ( Phi B ∪ {0c}) → (z ∈ Phi A → z ∈ ( Phi B ∪ {0c})))
5		0cnelphi 4598	. . . . . 6 ⊢ ¬ 0c ∈ Phi A
6		eleq1 2413	. . . . . 6 ⊢ (z = 0c → (z ∈ Phi A ↔ 0c ∈ Phi A))
7	5, 6	mtbiri 294	. . . . 5 ⊢ (z = 0c → ¬ z ∈ Phi A)
8	7	con2i 112	. . . 4 ⊢ (z ∈ Phi A → ¬ z = 0c)
9	8	a1i 10	. . 3 ⊢ (( Phi A ∪ {0c}) = ( Phi B ∪ {0c}) → (z ∈ Phi A → ¬ z = 0c))
10		elun 3221	. . . . . . 7 ⊢ (z ∈ ( Phi B ∪ {0c}) ↔ (z ∈ Phi B ∨ z ∈ {0c}))
11		df-sn 3742	. . . . . . . . 9 ⊢ {0c} = {z ∣ z = 0c}
12	11	abeq2i 2461	. . . . . . . 8 ⊢ (z ∈ {0c} ↔ z = 0c)
13	12	orbi2i 505	. . . . . . 7 ⊢ ((z ∈ Phi B ∨ z ∈ {0c}) ↔ (z ∈ Phi B ∨ z = 0c))
14	10, 13	bitri 240	. . . . . 6 ⊢ (z ∈ ( Phi B ∪ {0c}) ↔ (z ∈ Phi B ∨ z = 0c))
15	14	biimpi 186	. . . . 5 ⊢ (z ∈ ( Phi B ∪ {0c}) → (z ∈ Phi B ∨ z = 0c))
16	15	orcomd 377	. . . 4 ⊢ (z ∈ ( Phi B ∪ {0c}) → (z = 0c ∨ z ∈ Phi B))
17	16	ord 366	. . 3 ⊢ (z ∈ ( Phi B ∪ {0c}) → (¬ z = 0c → z ∈ Phi B))
18	4, 9, 17	ee22 1362	. 2 ⊢ (( Phi A ∪ {0c}) = ( Phi B ∪ {0c}) → (z ∈ Phi A → z ∈ Phi B))
19	18	ssrdv 3279	1 ⊢ (( Phi A ∪ {0c}) = ( Phi B ∪ {0c}) → Phi A ⊆ Phi B)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 357   = wceq 1642   ∈ wcel 1710   ∪ cun 3208   ⊆ wss 3258  {csn 3738  0_cc0c 4375   Phi cphi 4563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-v 2862  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-ss 3260  df-nul 3552  df-if 3664  df-sn 3742  df-int 3928  df-1c 4137  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-phi 4566

This theorem is referenced by:  phi011  4600