Theorem tfin0c 4497

Description: The finite T operator is fixed at 0_c. (Contributed by SF, 29-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tfin0c	⊢ Tfin 0c = 0c

Proof of Theorem tfin0c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 4402	. . 3 ⊢ 0c ∈ Nn
2		tfincl 4492	. . 3 ⊢ (0c ∈ Nn → Tfin 0c ∈ Nn )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ Tfin 0c ∈ Nn
4		pw10 4161	. . 3 ⊢ ℘1∅ = ∅
5		nulel0c 4422	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 0c
6		tfinpw1 4494	. . . 4 ⊢ ((0c ∈ Nn ∧ ∅ ∈ 0c) → ℘1∅ ∈ Tfin 0c)
7	1, 5, 6	mp2an 653	. . 3 ⊢ ℘1∅ ∈ Tfin 0c
8	4, 7	eqeltrri 2424	. 2 ⊢ ∅ ∈ Tfin 0c
9		nnceleq 4430	. 2 ⊢ ((( Tfin 0c ∈ Nn ∧ 0c ∈ Nn ) ∧ (∅ ∈ Tfin 0c ∧ ∅ ∈ 0c)) → Tfin 0c = 0c)
10	3, 1, 8, 5, 9	mp4an 654	1 ⊢ Tfin 0c = 0c

Syntax hints:   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  ∅c0 3550  ℘₁cpw1 4135   Nn cnnc 4373  0_cc0c 4374   T_fin ctfin 4435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-tfin 4443

This theorem is referenced by:  tfin1c  4499  sfintfin  4532  tfinnn  4534