Theorem tfin0c 4498

Description: The finite T operator is fixed at 0_c. (Contributed by SF, 29-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tfin0c	⊢ Tfin 0c = 0c

Proof of Theorem tfin0c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 4403	. . 3 ⊢ 0c ∈ Nn
2		tfincl 4493	. . 3 ⊢ (0c ∈ Nn → Tfin 0c ∈ Nn )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ Tfin 0c ∈ Nn
4		pw10 4162	. . 3 ⊢ ℘1∅ = ∅
5		nulel0c 4423	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 0c
6		tfinpw1 4495	. . . 4 ⊢ ((0c ∈ Nn ∧ ∅ ∈ 0c) → ℘1∅ ∈ Tfin 0c)
7	1, 5, 6	mp2an 653	. . 3 ⊢ ℘1∅ ∈ Tfin 0c
8	4, 7	eqeltrri 2424	. 2 ⊢ ∅ ∈ Tfin 0c
9		nnceleq 4431	. 2 ⊢ ((( Tfin 0c ∈ Nn ∧ 0c ∈ Nn ) ∧ (∅ ∈ Tfin 0c ∧ ∅ ∈ 0c)) → Tfin 0c = 0c)
10	3, 1, 8, 5, 9	mp4an 654	1 ⊢ Tfin 0c = 0c

Syntax hints:   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  ∅c0 3551  ℘₁cpw1 4136   Nn cnnc 4374  0_cc0c 4375   T_fin ctfin 4436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-tfin 4444

This theorem is referenced by:  tfin1c  4500  sfintfin  4533  tfinnn  4535