New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  ce0nnul GIF version

Theorem ce0nnul 6177
 Description: A condition for cardinal exponentiation being nonempty. Theorem XI.2.42 of [Rosser] p. 382. (Contributed by SF, 6-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
ce0nnul (M NC → ((Mc 0c) ≠ a1a M))
Distinct variable group:   M,a

Proof of Theorem ce0nnul
Dummy variables b g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cnc 6138 . . . 4 0c NC
2 elce 6175 . . . 4 ((M NC 0c NC ) → (g (Mc 0c) ↔ ab(1a M 1b 0c g ≈ (am b))))
31, 2mpan2 652 . . 3 (M NC → (g (Mc 0c) ↔ ab(1a M 1b 0c g ≈ (am b))))
43exbidv 1626 . 2 (M NC → (g g (Mc 0c) ↔ gab(1a M 1b 0c g ≈ (am b))))
5 n0 3559 . 2 ((Mc 0c) ≠ g g (Mc 0c))
6 19.42vv 1907 . . . . 5 (gb(1a M (1b 0c g ≈ (am b))) ↔ (1a M gb(1b 0c g ≈ (am b))))
7 3anass 938 . . . . . 6 ((1a M 1b 0c g ≈ (am b)) ↔ (1a M (1b 0c g ≈ (am b))))
872exbii 1583 . . . . 5 (gb(1a M 1b 0c g ≈ (am b)) ↔ gb(1a M (1b 0c g ≈ (am b))))
9 nulel0c 4422 . . . . . . 7 0c
10 ovex 5551 . . . . . . . 8 (am ) V
1110enrflx 6035 . . . . . . 7 (am ) ≈ (am )
12 0ex 4110 . . . . . . . 8 V
13 pw1eq 4143 . . . . . . . . . . . 12 (b = 1b = 1)
14 pw10 4161 . . . . . . . . . . . 12 1 =
1513, 14syl6eq 2401 . . . . . . . . . . 11 (b = 1b = )
1615eleq1d 2419 . . . . . . . . . 10 (b = → (1b 0c 0c))
1716adantl 452 . . . . . . . . 9 ((g = (am ) b = ) → (1b 0c 0c))
18 id 19 . . . . . . . . . 10 (g = (am ) → g = (am ))
19 oveq2 5531 . . . . . . . . . 10 (b = → (am b) = (am ))
2018, 19breqan12d 4654 . . . . . . . . 9 ((g = (am ) b = ) → (g ≈ (am b) ↔ (am ) ≈ (am )))
2117, 20anbi12d 691 . . . . . . . 8 ((g = (am ) b = ) → ((1b 0c g ≈ (am b)) ↔ ( 0c (am ) ≈ (am ))))
2210, 12, 21spc2ev 2947 . . . . . . 7 (( 0c (am ) ≈ (am )) → gb(1b 0c g ≈ (am b)))
239, 11, 22mp2an 653 . . . . . 6 gb(1b 0c g ≈ (am b))
2423biantru 491 . . . . 5 (1a M ↔ (1a M gb(1b 0c g ≈ (am b))))
256, 8, 243bitr4ri 269 . . . 4 (1a Mgb(1a M 1b 0c g ≈ (am b)))
2625exbii 1582 . . 3 (a1a Magb(1a M 1b 0c g ≈ (am b)))
27 excom 1741 . . 3 (agb(1a M 1b 0c g ≈ (am b)) ↔ gab(1a M 1b 0c g ≈ (am b)))
2826, 27bitri 240 . 2 (a1a Mgab(1a M 1b 0c g ≈ (am b)))
294, 5, 283bitr4g 279 1 (M NC → ((Mc 0c) ≠ a1a M))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358   ∧ w3a 934  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710   ≠ wne 2516  ∅c0 3550  ℘1cpw1 4135  0cc0c 4374   class class class wbr 4639  (class class class)co 5525   ↑m cmap 5999   ≈ cen 6028   NC cncs 6088   ↑c cce 6096 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-si 4728  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-f1 4792  df-fo 4793  df-f1o 4794  df-fv 4795  df-2nd 4797  df-ov 5526  df-oprab 5528  df-mpt 5652  df-mpt2 5654  df-txp 5736  df-ins2 5750  df-ins3 5752  df-image 5754  df-ins4 5756  df-si3 5758  df-funs 5760  df-fns 5762  df-pw1fn 5766  df-ec 5947  df-qs 5951  df-map 6001  df-en 6029  df-ncs 6098  df-nc 6101  df-ce 6106 This theorem is referenced by:  ce0nnuli  6178  ce0addcnnul  6179  ce0nnulb  6182  ceclb  6183  ce0nulnc  6184  ce0ncpw1  6185  te0c  6237
 Copyright terms: Public domain W3C validator