MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abssinper Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abssinper 24208
Description: The absolute value of sine has period π. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
abssinper ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (abs‘(sin‘(𝐴 + (𝐾 · π)))) = (abs‘(sin‘𝐴)))

Proof of Theorem abssinper
StepHypRef Expression
1 zcn 11342 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
2 halfcl 11217 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℂ → (𝐾 / 2) ∈ ℂ)
3 2cn 11051 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℂ
4 picn 24149 . . . . . . . . . . . . 13 π ∈ ℂ
5 mulass 9984 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (((𝐾 / 2) · 2) · π) = ((𝐾 / 2) · (2 · π)))
63, 4, 5mp3an23 1413 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 / 2) ∈ ℂ → (((𝐾 / 2) · 2) · π) = ((𝐾 / 2) · (2 · π)))
72, 6syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℂ → (((𝐾 / 2) · 2) · π) = ((𝐾 / 2) · (2 · π)))
8 2ne0 11073 . . . . . . . . . . . . 13 2 ≠ 0
9 divcan1 10654 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((𝐾 / 2) · 2) = 𝐾)
103, 8, 9mp3an23 1413 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℂ → ((𝐾 / 2) · 2) = 𝐾)
1110oveq1d 6630 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℂ → (((𝐾 / 2) · 2) · π) = (𝐾 · π))
127, 11eqtr3d 2657 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℂ → ((𝐾 / 2) · (2 · π)) = (𝐾 · π))
131, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 / 2) · (2 · π)) = (𝐾 · π))
1413adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 / 2) · (2 · π)) = (𝐾 · π))
1514oveq2d 6631 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐴 + ((𝐾 / 2) · (2 · π))) = (𝐴 + (𝐾 · π)))
1615fveq2d 6162 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + ((𝐾 / 2) · (2 · π)))) = (sin‘(𝐴 + (𝐾 · π))))
1716eqcomd 2627 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + (𝐾 · π))) = (sin‘(𝐴 + ((𝐾 / 2) · (2 · π)))))
1817adantr 481 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 / 2) ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + (𝐾 · π))) = (sin‘(𝐴 + ((𝐾 / 2) · (2 · π)))))
19 sinper 24171 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐾 / 2) ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + ((𝐾 / 2) · (2 · π)))) = (sin‘𝐴))
2019adantlr 750 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 / 2) ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + ((𝐾 / 2) · (2 · π)))) = (sin‘𝐴))
2118, 20eqtrd 2655 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 / 2) ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + (𝐾 · π))) = (sin‘𝐴))
2221fveq2d 6162 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 / 2) ∈ ℤ) → (abs‘(sin‘(𝐴 + (𝐾 · π)))) = (abs‘(sin‘𝐴)))
23 peano2cn 10168 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℂ → (𝐾 + 1) ∈ ℂ)
24 halfcl 11217 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 + 1) ∈ ℂ → ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℂ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℂ → ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℂ)
263, 4mulcli 10005 . . . . . . . . . . 11 (2 · π) ∈ ℂ
27 mulcl 9980 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ∈ ℂ) → (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) ∈ ℂ)
2825, 26, 27sylancl 693 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℂ → (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) ∈ ℂ)
29 subadd23 10253 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ∧ (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) ∈ ℂ) → ((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π))) = (𝐴 + ((((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) − π)))
304, 29mp3an2 1409 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) ∈ ℂ) → ((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π))) = (𝐴 + ((((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) − π)))
3128, 30sylan2 491 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π))) = (𝐴 + ((((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) − π)))
32 divcan1 10654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐾 + 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (((𝐾 + 1) / 2) · 2) = (𝐾 + 1))
333, 8, 32mp3an23 1413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 + 1) ∈ ℂ → (((𝐾 + 1) / 2) · 2) = (𝐾 + 1))
3423, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ ℂ → (((𝐾 + 1) / 2) · 2) = (𝐾 + 1))
3534oveq1d 6630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ ℂ → ((((𝐾 + 1) / 2) · 2) · π) = ((𝐾 + 1) · π))
36 ax-1cn 9954 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℂ
37 adddir 9991 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → ((𝐾 + 1) · π) = ((𝐾 · π) + (1 · π)))
3836, 4, 37mp3an23 1413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ ℂ → ((𝐾 + 1) · π) = ((𝐾 · π) + (1 · π)))
3935, 38eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ ℂ → ((((𝐾 + 1) / 2) · 2) · π) = ((𝐾 · π) + (1 · π)))
404mulid2i 10003 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 · π) = π
4140oveq2i 6626 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 · π) + (1 · π)) = ((𝐾 · π) + π)
4239, 41syl6req 2672 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ ℂ → ((𝐾 · π) + π) = ((((𝐾 + 1) / 2) · 2) · π))
43 mulass 9984 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → ((((𝐾 + 1) / 2) · 2) · π) = (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))
443, 4, 43mp3an23 1413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℂ → ((((𝐾 + 1) / 2) · 2) · π) = (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))
4525, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ ℂ → ((((𝐾 + 1) / 2) · 2) · π) = (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))
4642, 45eqtr2d 2656 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℂ → (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) = ((𝐾 · π) + π))
4746oveq1d 6630 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℂ → ((((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) − π) = (((𝐾 · π) + π) − π))
48 mulcl 9980 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (𝐾 · π) ∈ ℂ)
494, 48mpan2 706 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℂ → (𝐾 · π) ∈ ℂ)
50 pncan 10247 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 · π) ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (((𝐾 · π) + π) − π) = (𝐾 · π))
5149, 4, 50sylancl 693 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℂ → (((𝐾 · π) + π) − π) = (𝐾 · π))
5247, 51eqtrd 2655 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℂ → ((((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) − π) = (𝐾 · π))
5352adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) − π) = (𝐾 · π))
5453oveq2d 6631 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝐴 + ((((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) − π)) = (𝐴 + (𝐾 · π)))
5531, 54eqtr2d 2656 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐾 · π)) = ((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π))))
561, 55sylan2 491 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐴 + (𝐾 · π)) = ((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π))))
5756fveq2d 6162 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + (𝐾 · π))) = (sin‘((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))))
5857adantr 481 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + (𝐾 · π))) = (sin‘((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))))
59 subcl 10240 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (𝐴 − π) ∈ ℂ)
604, 59mpan2 706 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − π) ∈ ℂ)
61 sinper 24171 . . . . . . . 8 (((𝐴 − π) ∈ ℂ ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (sin‘((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))) = (sin‘(𝐴 − π)))
6260, 61sylan 488 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (sin‘((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))) = (sin‘(𝐴 − π)))
6362adantlr 750 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (sin‘((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))) = (sin‘(𝐴 − π)))
64 sinmpi 24177 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(𝐴 − π)) = -(sin‘𝐴))
6564ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 − π)) = -(sin‘𝐴))
6663, 65eqtrd 2655 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (sin‘((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))) = -(sin‘𝐴))
6758, 66eqtrd 2655 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + (𝐾 · π))) = -(sin‘𝐴))
6867fveq2d 6162 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (abs‘(sin‘(𝐴 + (𝐾 · π)))) = (abs‘-(sin‘𝐴)))
69 sincl 14800 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
7069absnegd 14138 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-(sin‘𝐴)) = (abs‘(sin‘𝐴)))
7170ad2antrr 761 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (abs‘-(sin‘𝐴)) = (abs‘(sin‘𝐴)))
7268, 71eqtrd 2655 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (abs‘(sin‘(𝐴 + (𝐾 · π)))) = (abs‘(sin‘𝐴)))
73 zeo 11423 . . 3 (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ))
7473adantl 482 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ))
7522, 72, 74mpjaodan 826 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (abs‘(sin‘(𝐴 + (𝐾 · π)))) = (abs‘(sin‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  cfv 5857  (class class class)co 6615  cc 9894  0cc0 9896  1c1 9897   + caddc 9899   · cmul 9901  cmin 10226  -cneg 10227   / cdiv 10644  2c2 11030  cz 11337  abscabs 13924  sincsin 14738  πcpi 14741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974  ax-addf 9975  ax-mulf 9976
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-ixp 7869  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-fi 8277  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-xneg 11906  df-xadd 11907  df-xmul 11908  df-ioo 12137  df-ioc 12138  df-ico 12139  df-icc 12140  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-fl 12549  df-seq 12758  df-exp 12817  df-fac 13017  df-bc 13046  df-hash 13074  df-shft 13757  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-limsup 14152  df-clim 14169  df-rlim 14170  df-sum 14367  df-ef 14742  df-sin 14744  df-cos 14745  df-pi 14747  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-ip 15899  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-hom 15906  df-cco 15907  df-rest 16023  df-topn 16024  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-topgen 16044  df-pt 16045  df-prds 16048  df-xrs 16102  df-qtop 16107  df-imas 16108  df-xps 16110  df-mre 16186  df-mrc 16187  df-acs 16189  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-submnd 17276  df-mulg 17481  df-cntz 17690  df-cmn 18135  df-psmet 19678  df-xmet 19679  df-met 19680  df-bl 19681  df-mopn 19682  df-fbas 19683  df-fg 19684  df-cnfld 19687  df-top 20639  df-topon 20656  df-topsp 20677  df-bases 20690  df-cld 20763  df-ntr 20764  df-cls 20765  df-nei 20842  df-lp 20880  df-perf 20881  df-cn 20971  df-cnp 20972  df-haus 21059  df-tx 21305  df-hmeo 21498  df-fil 21590  df-fm 21682  df-flim 21683  df-flf 21684  df-xms 22065  df-ms 22066  df-tms 22067  df-cncf 22621  df-limc 23570  df-dv 23571
This theorem is referenced by:  sinkpi  24209  sineq0  24211  sineq0ALT  38695
  Copyright terms: Public domain W3C validator