Theorem chincli 28447

Description: Closure of Hilbert lattice intersection. (Contributed by NM, 15-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ch0le.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
chjcl.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
chincli	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ

Proof of Theorem chincli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ch0le.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	elexi 3244	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		chjcl.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
4	3	elexi 3244	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	2, 4	intpr 4542	. 2 ⊢ ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵)
6	1, 3	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )
7	2, 4	prss 4383	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ )
8	6, 7	mpbi 220	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ
9	2	prnz 4341	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅
10	8, 9	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ ∧ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
11	10	chintcli 28318	. 2 ⊢ ∩ {𝐴, 𝐵} ∈ Cℋ
12	5, 11	eqeltrri 2727	1 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ

Syntax hints:   ∧ wa 383   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948  {cpr 4212  ∩ cint 4507   C_ℋ cch 27914

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-hilex 27984  ax-hfvadd 27985  ax-hv0cl 27988  ax-hfvmul 27990

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-map 7901  df-nn 11059  df-sh 28192  df-ch 28206

This theorem is referenced by:  chdmm1i  28464  chdmj1i  28468  chincl  28486  ledii  28523  lejdii  28525  lejdiri  28526  pjoml2i  28572  pjoml3i  28573  pjoml4i  28574  pjoml6i  28576  cmcmlem  28578  cmcm2i  28580  cmbr2i  28583  cmbr3i  28587  cmm1i  28593  fh3i  28610  fh4i  28611  cm2mi  28613  qlaxr3i  28623  osumcori  28630  osumcor2i  28631  spansnm0i  28637  5oai  28648  3oalem5  28653  3oalem6  28654  3oai  28655  pjssmii  28668  pjssge0ii  28669  pjcji  28671  pjocini  28685  mayetes3i  28716  pjssdif2i  29161  pjssdif1i  29162  pjin1i  29179  pjin3i  29181  pjclem1  29182  pjclem4  29186  pjci  29187  pjcmul1i  29188  pjcmul2i  29189  pj3si  29194  pj3cor1i  29196  stji1i  29229  stm1i  29230  stm1add3i  29234  jpi  29257  golem1  29258  golem2  29259  goeqi  29260  stcltrlem2  29264  mdslle1i  29304  mdslj1i  29306  mdslj2i  29307  mdsl1i  29308  mdsl2i  29309  mdsl2bi  29310  cvmdi  29311  mdslmd1lem1  29312  mdslmd1lem2  29313  mdslmd1i  29316  mdsldmd1i  29318  mdslmd3i  29319  mdslmd4i  29320  csmdsymi  29321  mdexchi  29322  hatomistici  29349  chrelat2i  29352  cvexchlem  29355  cvexchi  29356  sumdmdlem2  29406  mdcompli  29416  dmdcompli  29417  mddmdin0i  29418