Theorem chincli 27509

Description: Closure of Hilbert lattice intersection. (Contributed by NM, 15-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ch0le.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
chjcl.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
chincli	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ

Proof of Theorem chincli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ch0le.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	elexi 3185	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		chjcl.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
4	3	elexi 3185	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	2, 4	intpr 4439	. 2 ⊢ ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵)
6	1, 3	pm3.2i 469	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )
7	2, 4	prss 4290	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ )
8	6, 7	mpbi 218	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ
9	2	prnz 4252	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅
10	8, 9	pm3.2i 469	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ ∧ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
11	10	chintcli 27380	. 2 ⊢ ∩ {𝐴, 𝐵} ∈ Cℋ
12	5, 11	eqeltrri 2684	1 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ

Syntax hints:   ∧ wa 382   ∈ wcel 1976   ≠ wne 2779   ∩ cin 3538   ⊆ wss 3539  ∅c0 3873  {cpr 4126  ∩ cint 4404   C_ℋ cch 26976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-hilex 27046  ax-hfvadd 27047  ax-hv0cl 27050  ax-hfvmul 27052

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-map 7723  df-nn 10868  df-sh 27254  df-ch 27268

This theorem is referenced by:  chdmm1i  27526  chdmj1i  27530  chincl  27548  ledii  27585  lejdii  27587  lejdiri  27588  pjoml2i  27634  pjoml3i  27635  pjoml4i  27636  pjoml6i  27638  cmcmlem  27640  cmcm2i  27642  cmbr2i  27645  cmbr3i  27649  cmm1i  27655  fh3i  27672  fh4i  27673  cm2mi  27675  qlaxr3i  27685  osumcori  27692  osumcor2i  27693  spansnm0i  27699  5oai  27710  3oalem5  27715  3oalem6  27716  3oai  27717  pjssmii  27730  pjssge0ii  27731  pjcji  27733  pjocini  27747  mayetes3i  27778  pjssdif2i  28223  pjssdif1i  28224  pjin1i  28241  pjin3i  28243  pjclem1  28244  pjclem4  28248  pjci  28249  pjcmul1i  28250  pjcmul2i  28251  pj3si  28256  pj3cor1i  28258  stji1i  28291  stm1i  28292  stm1add3i  28296  jpi  28319  golem1  28320  golem2  28321  goeqi  28322  stcltrlem2  28326  mdslle1i  28366  mdslj1i  28368  mdslj2i  28369  mdsl1i  28370  mdsl2i  28371  mdsl2bi  28372  cvmdi  28373  mdslmd1lem1  28374  mdslmd1lem2  28375  mdslmd1i  28378  mdsldmd1i  28380  mdslmd3i  28381  mdslmd4i  28382  csmdsymi  28383  mdexchi  28384  hatomistici  28411  chrelat2i  28414  cvexchlem  28417  cvexchi  28418  sumdmdlem2  28468  mdcompli  28478  dmdcompli  28479  mddmdin0i  28480