HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cvexchlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvexchlem 28405
Description: Lemma for cvexchi 28406. (Contributed by NM, 10-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
chpssat.1 𝐴C
chpssat.2 𝐵C
Assertion
Ref Expression
cvexchlem ((𝐴𝐵) ⋖ 𝐵𝐴 (𝐴 𝐵))

Proof of Theorem cvexchlem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chpssat.1 . . . . 5 𝐴C
2 chpssat.2 . . . . 5 𝐵C
31, 2chincli 27497 . . . 4 (𝐴𝐵) ∈ C
4 cvpss 28322 . . . 4 (((𝐴𝐵) ∈ C𝐵C ) → ((𝐴𝐵) ⋖ 𝐵 → (𝐴𝐵) ⊊ 𝐵))
53, 2, 4mp2an 704 . . 3 ((𝐴𝐵) ⋖ 𝐵 → (𝐴𝐵) ⊊ 𝐵)
63, 2chpssati 28400 . . 3 ((𝐴𝐵) ⊊ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴𝐵)))
75, 6syl 17 . 2 ((𝐴𝐵) ⋖ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴𝐵)))
8 ssin 3797 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐴𝑥𝐵) ↔ 𝑥 ⊆ (𝐴𝐵))
9 ancom 465 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐴𝑥𝐵) ↔ (𝑥𝐵𝑥𝐴))
108, 9bitr3i 265 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ⊆ (𝐴𝐵) ↔ (𝑥𝐵𝑥𝐴))
1110baibr 943 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐵 → (𝑥𝐴𝑥 ⊆ (𝐴𝐵)))
1211notbid 307 . . . . . . . 8 (𝑥𝐵 → (¬ 𝑥𝐴 ↔ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴𝐵)))
1312biimpar 501 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴𝐵)) → ¬ 𝑥𝐴)
14 chcv1 28392 . . . . . . . . 9 ((𝐴C𝑥 ∈ HAtoms) → (¬ 𝑥𝐴𝐴 (𝐴 𝑥)))
151, 14mpan 702 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ HAtoms → (¬ 𝑥𝐴𝐴 (𝐴 𝑥)))
1615biimpa 500 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 𝐴 (𝐴 𝑥))
1713, 16sylan2 490 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴𝐵))) → 𝐴 (𝐴 𝑥))
1817adantrr 749 . . . . 5 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ ((𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴𝐵)) ∧ (𝐴𝐵) ⋖ 𝐵)) → 𝐴 (𝐴 𝑥))
19 atelch 28381 . . . . . 6 (𝑥 ∈ HAtoms → 𝑥C )
201, 2chabs1i 27555 . . . . . . . . . 10 (𝐴 (𝐴𝐵)) = 𝐴
2120oveq1i 6537 . . . . . . . . 9 ((𝐴 (𝐴𝐵)) ∨ 𝑥) = (𝐴 𝑥)
22 chjass 27570 . . . . . . . . . 10 ((𝐴C ∧ (𝐴𝐵) ∈ C𝑥C ) → ((𝐴 (𝐴𝐵)) ∨ 𝑥) = (𝐴 ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥)))
231, 3, 22mp3an12 1406 . . . . . . . . 9 (𝑥C → ((𝐴 (𝐴𝐵)) ∨ 𝑥) = (𝐴 ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥)))
2421, 23syl5reqr 2659 . . . . . . . 8 (𝑥C → (𝐴 ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥)) = (𝐴 𝑥))
2524adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑥C ∧ ((𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴𝐵)) ∧ (𝐴𝐵) ⋖ 𝐵)) → (𝐴 ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥)) = (𝐴 𝑥))
26 ancom 465 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴𝐵)) ↔ (¬ 𝑥 ⊆ (𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐵))
27 chnle 27551 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐵) ∈ C𝑥C ) → (¬ 𝑥 ⊆ (𝐴𝐵) ↔ (𝐴𝐵) ⊊ ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥)))
283, 27mpan 702 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥C → (¬ 𝑥 ⊆ (𝐴𝐵) ↔ (𝐴𝐵) ⊊ ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥)))
29 inss2 3796 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵
3029biantrur 526 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐵 ↔ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝐵𝑥𝐵))
31 chlub 27546 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐵) ∈ C𝑥C𝐵C ) → (((𝐴𝐵) ⊆ 𝐵𝑥𝐵) ↔ ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) ⊆ 𝐵))
323, 2, 31mp3an13 1407 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥C → (((𝐴𝐵) ⊆ 𝐵𝑥𝐵) ↔ ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) ⊆ 𝐵))
3330, 32syl5bb 271 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥C → (𝑥𝐵 ↔ ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) ⊆ 𝐵))
3428, 33anbi12d 743 . . . . . . . . . . 11 (𝑥C → ((¬ 𝑥 ⊆ (𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐵) ↔ ((𝐴𝐵) ⊊ ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) ∧ ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) ⊆ 𝐵)))
3526, 34syl5bb 271 . . . . . . . . . 10 (𝑥C → ((𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴𝐵)) ↔ ((𝐴𝐵) ⊊ ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) ∧ ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) ⊆ 𝐵)))
36 chjcl 27394 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐵) ∈ C𝑥C ) → ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) ∈ C )
373, 36mpan 702 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥C → ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) ∈ C )
38 cvnbtwn2 28324 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐵) ∈ C𝐵C ∧ ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) ∈ C ) → ((𝐴𝐵) ⋖ 𝐵 → (((𝐴𝐵) ⊊ ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) ∧ ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) ⊆ 𝐵) → ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) = 𝐵)))
393, 2, 38mp3an12 1406 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) ∈ C → ((𝐴𝐵) ⋖ 𝐵 → (((𝐴𝐵) ⊊ ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) ∧ ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) ⊆ 𝐵) → ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) = 𝐵)))
4037, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑥C → ((𝐴𝐵) ⋖ 𝐵 → (((𝐴𝐵) ⊊ ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) ∧ ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) ⊆ 𝐵) → ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) = 𝐵)))
4140com23 84 . . . . . . . . . 10 (𝑥C → (((𝐴𝐵) ⊊ ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) ∧ ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) ⊆ 𝐵) → ((𝐴𝐵) ⋖ 𝐵 → ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) = 𝐵)))
4235, 41sylbid 229 . . . . . . . . 9 (𝑥C → ((𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴𝐵)) → ((𝐴𝐵) ⋖ 𝐵 → ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) = 𝐵)))
4342imp32 448 . . . . . . . 8 ((𝑥C ∧ ((𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴𝐵)) ∧ (𝐴𝐵) ⋖ 𝐵)) → ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) = 𝐵)
4443oveq2d 6543 . . . . . . 7 ((𝑥C ∧ ((𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴𝐵)) ∧ (𝐴𝐵) ⋖ 𝐵)) → (𝐴 ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥)) = (𝐴 𝐵))
4525, 44eqtr3d 2646 . . . . . 6 ((𝑥C ∧ ((𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴𝐵)) ∧ (𝐴𝐵) ⋖ 𝐵)) → (𝐴 𝑥) = (𝐴 𝐵))
4619, 45sylan 487 . . . . 5 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ ((𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴𝐵)) ∧ (𝐴𝐵) ⋖ 𝐵)) → (𝐴 𝑥) = (𝐴 𝐵))
4718, 46breqtrd 4604 . . . 4 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ ((𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴𝐵)) ∧ (𝐴𝐵) ⋖ 𝐵)) → 𝐴 (𝐴 𝐵))
4847exp32 629 . . 3 (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴𝐵)) → ((𝐴𝐵) ⋖ 𝐵𝐴 (𝐴 𝐵))))
4948rexlimiv 3009 . 2 (∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴𝐵)) → ((𝐴𝐵) ⋖ 𝐵𝐴 (𝐴 𝐵)))
507, 49mpcom 37 1 ((𝐴𝐵) ⋖ 𝐵𝐴 (𝐴 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wrex 2897  cin 3539  wss 3540  wpss 3541   class class class wbr 4578  (class class class)co 6527   C cch 26964   chj 26968   ccv 26999  HAtomscat 27000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cc 9118  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871  ax-addf 9872  ax-mulf 9873  ax-hilex 27034  ax-hfvadd 27035  ax-hvcom 27036  ax-hvass 27037  ax-hv0cl 27038  ax-hvaddid 27039  ax-hfvmul 27040  ax-hvmulid 27041  ax-hvmulass 27042  ax-hvdistr1 27043  ax-hvdistr2 27044  ax-hvmul0 27045  ax-hfi 27114  ax-his1 27117  ax-his2 27118  ax-his3 27119  ax-his4 27120  ax-hcompl 27237
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-int 4406  df-iun 4452  df-iin 4453  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6773  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-supp 7161  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-2o 7426  df-oadd 7429  df-omul 7430  df-er 7607  df-map 7724  df-pm 7725  df-ixp 7773  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-fsupp 8137  df-fi 8178  df-sup 8209  df-inf 8210  df-oi 8276  df-card 8626  df-acn 8629  df-cda 8851  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-5 10932  df-6 10933  df-7 10934  df-8 10935  df-9 10936  df-n0 11143  df-z 11214  df-dec 11329  df-uz 11523  df-q 11624  df-rp 11668  df-xneg 11781  df-xadd 11782  df-xmul 11783  df-ioo 12009  df-ico 12011  df-icc 12012  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-fl 12413  df-seq 12622  df-exp 12681  df-hash 12938  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-clim 14016  df-rlim 14017  df-sum 14214  df-struct 15646  df-ndx 15647  df-slot 15648  df-base 15649  df-sets 15650  df-ress 15651  df-plusg 15730  df-mulr 15731  df-starv 15732  df-sca 15733  df-vsca 15734  df-ip 15735  df-tset 15736  df-ple 15737  df-ds 15740  df-unif 15741  df-hom 15742  df-cco 15743  df-rest 15855  df-topn 15856  df-0g 15874  df-gsum 15875  df-topgen 15876  df-pt 15877  df-prds 15880  df-xrs 15934  df-qtop 15939  df-imas 15940  df-xps 15942  df-mre 16018  df-mrc 16019  df-acs 16021  df-mgm 17014  df-sgrp 17056  df-mnd 17067  df-submnd 17108  df-mulg 17313  df-cntz 17522  df-cmn 17967  df-psmet 19508  df-xmet 19509  df-met 19510  df-bl 19511  df-mopn 19512  df-fbas 19513  df-fg 19514  df-cnfld 19517  df-top 20469  df-bases 20470  df-topon 20471  df-topsp 20472  df-cld 20581  df-ntr 20582  df-cls 20583  df-nei 20660  df-cn 20789  df-cnp 20790  df-lm 20791  df-haus 20877  df-tx 21123  df-hmeo 21316  df-fil 21408  df-fm 21500  df-flim 21501  df-flf 21502  df-xms 21883  df-ms 21884  df-tms 21885  df-cfil 22806  df-cau 22807  df-cmet 22808  df-grpo 26525  df-gid 26526  df-ginv 26527  df-gdiv 26528  df-ablo 26577  df-vc 26592  df-nv 26625  df-va 26628  df-ba 26629  df-sm 26630  df-0v 26631  df-vs 26632  df-nmcv 26633  df-ims 26634  df-dip 26734  df-ssp 26755  df-ph 26846  df-cbn 26897  df-hnorm 27003  df-hba 27004  df-hvsub 27006  df-hlim 27007  df-hcau 27008  df-sh 27242  df-ch 27256  df-oc 27287  df-ch0 27288  df-shs 27345  df-span 27346  df-chj 27347  df-chsup 27348  df-pjh 27432  df-cv 28316  df-at 28375
This theorem is referenced by:  cvexchi  28406
  Copyright terms: Public domain W3C validator