Theorem mdslmd1i 30106

Description: Preservation of the modular pair property in the one-to-one onto mapping between the two sublattices in Lemma 1.3 of [MaedaMaeda] p. 2 (meet version). (Contributed by NM, 27-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdslmd.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
mdslmd.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
mdslmd.3	⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
mdslmd.4	⊢ 𝐷 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
mdslmd1i	⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ (𝐶 ∩ 𝐷) ∧ (𝐶 ∨ℋ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → (𝐶 𝑀ℋ 𝐷 ↔ (𝐶 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ (𝐷 ∩ 𝐵)))

Proof of Theorem mdslmd1i

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssin 4207	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ↔ 𝐴 ⊆ (𝐶 ∩ 𝐷))
2		mdslmd.3	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
3		mdslmd.4	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ Cℋ
4		mdslmd.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
5		mdslmd.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
6	4, 5	chjcli 29234	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ
7	2, 3, 6	chlubi 29248	. . 3 ⊢ ((𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ (𝐶 ∨ℋ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
8	1, 7	anbi12i 628	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ↔ (𝐴 ⊆ (𝐶 ∩ 𝐷) ∧ (𝐶 ∨ℋ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
9		chjcl 29134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∈ Cℋ )
10	4, 9	mpan2 689	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∈ Cℋ )
11		sseq1 3992	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑥 ∨ℋ 𝐴) → (𝑦 ⊆ 𝐷 ↔ (𝑥 ∨ℋ 𝐴) ⊆ 𝐷))
12		oveq1 7163	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = (𝑥 ∨ℋ 𝐴) → (𝑦 ∨ℋ 𝐶) = ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶))
13	12	ineq1d 4188	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝑥 ∨ℋ 𝐴) → ((𝑦 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) = (((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷))
14		oveq1 7163	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝑥 ∨ℋ 𝐴) → (𝑦 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) = ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)))
15	13, 14	sseq12d 4000	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑥 ∨ℋ 𝐴) → (((𝑦 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ↔ (((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))))
16	11, 15	imbi12d 347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑥 ∨ℋ 𝐴) → ((𝑦 ⊆ 𝐷 → ((𝑦 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))) ↔ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ⊆ 𝐷 → (((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)))))
17	16	rspcv 3618	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∈ Cℋ → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐷 → ((𝑦 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ⊆ 𝐷 → (((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)))))
18	10, 17	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐷 → ((𝑦 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ⊆ 𝐷 → (((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)))))
19	18	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))) → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐷 → ((𝑦 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ⊆ 𝐷 → (((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)))))
20	4, 5, 2, 3	mdslmd1lem3 30104	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))) → (((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ⊆ 𝐷 → (((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))) → ((((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵)) → ((𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵))))))
21	19, 20	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))) → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐷 → ((𝑦 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))) → ((((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵)) → ((𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵))))))
22	21	ex 415	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐷 → ((𝑦 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))) → ((((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵)) → ((𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)))))))
23	22	com3l 89	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐷 → ((𝑦 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))) → (𝑥 ∈ Cℋ → ((((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵)) → ((𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)))))))
24	23	ralrimdv 3188	. . . 4 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐷 → ((𝑦 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))) → ∀𝑥 ∈ Cℋ ((((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵)) → ((𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵))))))
25		mdbr2 30073	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐷 ∈ Cℋ ) → (𝐶 𝑀ℋ 𝐷 ↔ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐷 → ((𝑦 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)))))
26	2, 3, 25	mp2an 690	. . . 4 ⊢ (𝐶 𝑀ℋ 𝐷 ↔ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐷 → ((𝑦 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))))
27	2, 5	chincli 29237	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ
28	3, 5	chincli 29237	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ
29	27, 28	mdsl2i 30099	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ (𝐷 ∩ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ ((((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵)) → ((𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)))))
30	24, 26, 29	3imtr4g 298	. . 3 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (𝐶 𝑀ℋ 𝐷 → (𝐶 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ (𝐷 ∩ 𝐵)))
31		chincl 29276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ )
32	5, 31	mpan2 689	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ )
33		sseq1 3992	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑥 ∩ 𝐵) → (𝑦 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵) ↔ (𝑥 ∩ 𝐵) ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵)))
34		oveq1 7163	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = (𝑥 ∩ 𝐵) → (𝑦 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) = ((𝑥 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)))
35	34	ineq1d 4188	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝑥 ∩ 𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) = (((𝑥 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)))
36		oveq1 7163	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝑥 ∩ 𝐵) → (𝑦 ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵))) = ((𝑥 ∩ 𝐵) ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵))))
37	35, 36	sseq12d 4000	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑥 ∩ 𝐵) → (((𝑦 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑦 ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵))) ↔ (((𝑥 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐵) ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)))))
38	33, 37	imbi12d 347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑥 ∩ 𝐵) → ((𝑦 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑦 ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)))) ↔ ((𝑥 ∩ 𝐵) ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵) → (((𝑥 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐵) ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵))))))
39	38	rspcv 3618	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑦 ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)))) → ((𝑥 ∩ 𝐵) ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵) → (((𝑥 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐵) ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵))))))
40	32, 39	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑦 ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)))) → ((𝑥 ∩ 𝐵) ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵) → (((𝑥 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐵) ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵))))))
41	40	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))) → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑦 ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)))) → ((𝑥 ∩ 𝐵) ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵) → (((𝑥 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐵) ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵))))))
42	4, 5, 2, 3	mdslmd1lem4 30105	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))) → (((𝑥 ∩ 𝐵) ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵) → (((𝑥 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ ((𝑥 ∩ 𝐵) ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)))) → (((𝐶 ∩ 𝐷) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐷) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)))))
43	41, 42	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))) → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑦 ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)))) → (((𝐶 ∩ 𝐷) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐷) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)))))
44	43	ex 415	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑦 ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)))) → (((𝐶 ∩ 𝐷) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐷) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))))))
45	44	com3l 89	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑦 ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)))) → (𝑥 ∈ Cℋ → (((𝐶 ∩ 𝐷) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐷) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))))))
46	45	ralrimdv 3188	. . . 4 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑦 ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)))) → ∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝐶 ∩ 𝐷) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐷) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)))))
47		mdbr2 30073	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ (𝐷 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ) → ((𝐶 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ (𝐷 ∩ 𝐵) ↔ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑦 ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵))))))
48	27, 28, 47	mp2an 690	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ (𝐷 ∩ 𝐵) ↔ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑦 ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)))))
49	2, 3	mdsl2i 30099	. . . 4 ⊢ (𝐶 𝑀ℋ 𝐷 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝐶 ∩ 𝐷) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐷) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))))
50	46, 48, 49	3imtr4g 298	. . 3 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → ((𝐶 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ (𝐷 ∩ 𝐵) → 𝐶 𝑀ℋ 𝐷))
51	30, 50	impbid 214	. 2 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (𝐶 𝑀ℋ 𝐷 ↔ (𝐶 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ (𝐷 ∩ 𝐵)))
52	8, 51	sylan2br 596	1 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ (𝐶 ∩ 𝐷) ∧ (𝐶 ∨ℋ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → (𝐶 𝑀ℋ 𝐷 ↔ (𝐶 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ (𝐷 ∩ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3138   ∩ cin 3935   ⊆ wss 3936   class class class wbr 5066  (class class class)co 7156   C_ℋ cch 28706   ∨_ℋ chj 28710   𝑀_ℋ cmd 28743   𝑀_ℋ^* cdmd 28744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104  ax-cc 9857  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615  ax-addf 10616  ax-mulf 10617  ax-hilex 28776  ax-hfvadd 28777  ax-hvcom 28778  ax-hvass 28779  ax-hv0cl 28780  ax-hvaddid 28781  ax-hfvmul 28782  ax-hvmulid 28783  ax-hvmulass 28784  ax-hvdistr1 28785  ax-hvdistr2 28786  ax-hvmul0 28787  ax-hfi 28856  ax-his1 28859  ax-his2 28860  ax-his3 28861  ax-his4 28862  ax-hcompl 28979

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7409  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-supp 7831  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-oadd 8106  df-omul 8107  df-er 8289  df-map 8408  df-pm 8409  df-ixp 8462  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-fsupp 8834  df-fi 8875  df-sup 8906  df-inf 8907  df-oi 8974  df-card 9368  df-acn 9371  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-q 12350  df-rp 12391  df-xneg 12508  df-xadd 12509  df-xmul 12510  df-ioo 12743  df-ico 12745  df-icc 12746  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-fl 13163  df-seq 13371  df-exp 13431  df-hash 13692  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-sum 15043  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-rest 16696  df-topn 16697  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-topgen 16717  df-pt 16718  df-prds 16721  df-xrs 16775  df-qtop 16780  df-imas 16781  df-xps 16783  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-mulg 18225  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-psmet 20537  df-xmet 20538  df-met 20539  df-bl 20540  df-mopn 20541  df-fbas 20542  df-fg 20543  df-cnfld 20546  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-lm 21837  df-haus 21923  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-cfil 23858  df-cau 23859  df-cmet 23860  df-grpo 28270  df-gid 28271  df-ginv 28272  df-gdiv 28273  df-ablo 28322  df-vc 28336  df-nv 28369  df-va 28372  df-ba 28373  df-sm 28374  df-0v 28375  df-vs 28376  df-nmcv 28377  df-ims 28378  df-dip 28478  df-ssp 28499  df-ph 28590  df-cbn 28640  df-hnorm 28745  df-hba 28746  df-hvsub 28748  df-hlim 28749  df-hcau 28750  df-sh 28984  df-ch 28998  df-oc 29029  df-ch0 29030  df-shs 29085  df-chj 29087  df-md 30057  df-dmd 30058

This theorem is referenced by:  mdslmd2i  30107  mdcompli  30206