Theorem chirredi 30171

Description: The Hilbert lattice is irreducible: any element that commutes with all elements must be zero or one. Theorem 14.8.4 of [BeltramettiCassinelli] p. 166. (Contributed by NM, 15-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
chirred.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
chirred.2	⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → 𝐴 𝐶ℋ 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
chirredi	⊢ (𝐴 = 0ℋ ∨ 𝐴 = ℋ)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem chirredi

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2821	. . 3 ⊢ 0ℋ = 0ℋ
2		ioran 980	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐴 = 0ℋ ∨ (⊥‘𝐴) = 0ℋ) ↔ (¬ 𝐴 = 0ℋ ∧ ¬ (⊥‘𝐴) = 0ℋ))
3		df-ne 3017	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≠ 0ℋ ↔ ¬ 𝐴 = 0ℋ)
4		df-ne 3017	. . . . . 6 ⊢ ((⊥‘𝐴) ≠ 0ℋ ↔ ¬ (⊥‘𝐴) = 0ℋ)
5	3, 4	anbi12i 628	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ 0ℋ ∧ (⊥‘𝐴) ≠ 0ℋ) ↔ (¬ 𝐴 = 0ℋ ∧ ¬ (⊥‘𝐴) = 0ℋ))
6	2, 5	bitr4i 280	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐴 = 0ℋ ∨ (⊥‘𝐴) = 0ℋ) ↔ (𝐴 ≠ 0ℋ ∧ (⊥‘𝐴) ≠ 0ℋ))
7		chirred.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
8	7	hatomici 30136	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ 0ℋ → ∃𝑝 ∈ HAtoms 𝑝 ⊆ 𝐴)
9	7	choccli 29084	. . . . . . . 8 ⊢ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ
10	9	hatomici 30136	. . . . . . 7 ⊢ ((⊥‘𝐴) ≠ 0ℋ → ∃𝑞 ∈ HAtoms 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))
11	8, 10	anim12i 614	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ 0ℋ ∧ (⊥‘𝐴) ≠ 0ℋ) → (∃𝑝 ∈ HAtoms 𝑝 ⊆ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ HAtoms 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)))
12		reeanv 3367	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑝 ∈ HAtoms ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) ↔ (∃𝑝 ∈ HAtoms 𝑝 ⊆ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ HAtoms 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)))
13	11, 12	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ 0ℋ ∧ (⊥‘𝐴) ≠ 0ℋ) → ∃𝑝 ∈ HAtoms ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)))
14		simpll 765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → 𝑝 ∈ HAtoms)
15		simprl 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → 𝑞 ∈ HAtoms)
16		atelch 30121	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 ∈ HAtoms → 𝑝 ∈ Cℋ )
17		chsscon3 29277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝑝 ⊆ 𝐴 ↔ (⊥‘𝐴) ⊆ (⊥‘𝑝)))
18	16, 7, 17	sylancl 588	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ HAtoms → (𝑝 ⊆ 𝐴 ↔ (⊥‘𝐴) ⊆ (⊥‘𝑝)))
19	18	biimpa 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) → (⊥‘𝐴) ⊆ (⊥‘𝑝))
20		sstr 3975	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴) ∧ (⊥‘𝐴) ⊆ (⊥‘𝑝)) → 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝))
21	19, 20	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴) ∧ (𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝))
22	21	ancoms 461	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) → 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝))
23		atne0 30122	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ HAtoms → 𝑝 ≠ 0ℋ)
24	23	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)) → 𝑝 ≠ 0ℋ)
25		sseq1 3992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑝 ⊆ (⊥‘𝑝) ↔ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)))
26	25	bicomd 225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝) ↔ 𝑝 ⊆ (⊥‘𝑝)))
27		chssoc 29273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 ∈ Cℋ → (𝑝 ⊆ (⊥‘𝑝) ↔ 𝑝 = 0ℋ))
28	16, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 ∈ HAtoms → (𝑝 ⊆ (⊥‘𝑝) ↔ 𝑝 = 0ℋ))
29	26, 28	sylan9bbr 513	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 = 𝑞) → (𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝) ↔ 𝑝 = 0ℋ))
30	29	biimpa 479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 = 𝑞) ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)) → 𝑝 = 0ℋ)
31	30	an32s 650	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)) ∧ 𝑝 = 𝑞) → 𝑝 = 0ℋ)
32	31	ex 415	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)) → (𝑝 = 𝑞 → 𝑝 = 0ℋ))
33	32	necon3d 3037	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)) → (𝑝 ≠ 0ℋ → 𝑝 ≠ 𝑞))
34	24, 33	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)) → 𝑝 ≠ 𝑞)
35	34	adantlr 713	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)) → 𝑝 ≠ 𝑞)
36	22, 35	syldan 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) → 𝑝 ≠ 𝑞)
37	36	adantrl 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → 𝑝 ≠ 𝑞)
38		superpos 30131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑟 ≠ 𝑝 ∧ 𝑟 ≠ 𝑞 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)))
39	14, 15, 37, 38	syl3anc 1367	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑟 ≠ 𝑝 ∧ 𝑟 ≠ 𝑞 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)))
40		df-3an 1085	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑟 ≠ 𝑝 ∧ 𝑟 ≠ 𝑞 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) ↔ ((𝑟 ≠ 𝑝 ∧ 𝑟 ≠ 𝑞) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)))
41		neanior 3109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑟 ≠ 𝑝 ∧ 𝑟 ≠ 𝑞) ↔ ¬ (𝑟 = 𝑝 ∨ 𝑟 = 𝑞))
42	41	anbi1i 625	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑟 ≠ 𝑝 ∧ 𝑟 ≠ 𝑞) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) ↔ (¬ (𝑟 = 𝑝 ∨ 𝑟 = 𝑞) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)))
43	40, 42	bitri 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑟 ≠ 𝑝 ∧ 𝑟 ≠ 𝑞 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) ↔ (¬ (𝑟 = 𝑝 ∨ 𝑟 = 𝑞) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)))
44		chirred.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → 𝐴 𝐶ℋ 𝑥)
45	7, 44	chirredlem4 30170	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝑟 = 𝑝 ∨ 𝑟 = 𝑞))
46	45	anassrs 470	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → (𝑟 = 𝑝 ∨ 𝑟 = 𝑞))
47	46	pm2.24d 154	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → (¬ (𝑟 = 𝑝 ∨ 𝑟 = 𝑞) → ¬ 0ℋ = 0ℋ))
48	47	ex 415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞) → (¬ (𝑟 = 𝑝 ∨ 𝑟 = 𝑞) → ¬ 0ℋ = 0ℋ)))
49	48	com23 86	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (¬ (𝑟 = 𝑝 ∨ 𝑟 = 𝑞) → (𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞) → ¬ 0ℋ = 0ℋ)))
50	49	impd 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((¬ (𝑟 = 𝑝 ∨ 𝑟 = 𝑞) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → ¬ 0ℋ = 0ℋ))
51	43, 50	syl5bi 244	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((𝑟 ≠ 𝑝 ∧ 𝑟 ≠ 𝑞 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → ¬ 0ℋ = 0ℋ))
52	51	rexlimdva 3284	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → (∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑟 ≠ 𝑝 ∧ 𝑟 ≠ 𝑞 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → ¬ 0ℋ = 0ℋ))
53	39, 52	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → ¬ 0ℋ = 0ℋ)
54	53	an4s 658	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) ∧ (𝑝 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → ¬ 0ℋ = 0ℋ)
55	54	ex 415	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) → ¬ 0ℋ = 0ℋ))
56	55	rexlimivv 3292	. . . . 5 ⊢ (∃𝑝 ∈ HAtoms ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) → ¬ 0ℋ = 0ℋ)
57	13, 56	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 0ℋ ∧ (⊥‘𝐴) ≠ 0ℋ) → ¬ 0ℋ = 0ℋ)
58	6, 57	sylbi 219	. . 3 ⊢ (¬ (𝐴 = 0ℋ ∨ (⊥‘𝐴) = 0ℋ) → ¬ 0ℋ = 0ℋ)
59	1, 58	mt4 116	. 2 ⊢ (𝐴 = 0ℋ ∨ (⊥‘𝐴) = 0ℋ)
60		fveq2 6670	. . . 4 ⊢ ((⊥‘𝐴) = 0ℋ → (⊥‘(⊥‘𝐴)) = (⊥‘0ℋ))
61	7	ococi 29182	. . . 4 ⊢ (⊥‘(⊥‘𝐴)) = 𝐴
62		choc0 29103	. . . 4 ⊢ (⊥‘0ℋ) = ℋ
63	60, 61, 62	3eqtr3g 2879	. . 3 ⊢ ((⊥‘𝐴) = 0ℋ → 𝐴 = ℋ)
64	63	orim2i 907	. 2 ⊢ ((𝐴 = 0ℋ ∨ (⊥‘𝐴) = 0ℋ) → (𝐴 = 0ℋ ∨ 𝐴 = ℋ))
65	59, 64	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 = 0ℋ ∨ 𝐴 = ℋ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ∃wrex 3139   ⊆ wss 3936   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   ℋchba 28696   C_ℋ cch 28706  ⊥cort 28707   ∨_ℋ chj 28710  0_ℋc0h 28712   𝐶_ℋ ccm 28713  HAtomscat 28742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104  ax-cc 9857  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615  ax-addf 10616  ax-mulf 10617  ax-hilex 28776  ax-hfvadd 28777  ax-hvcom 28778  ax-hvass 28779  ax-hv0cl 28780  ax-hvaddid 28781  ax-hfvmul 28782  ax-hvmulid 28783  ax-hvmulass 28784  ax-hvdistr1 28785  ax-hvdistr2 28786  ax-hvmul0 28787  ax-hfi 28856  ax-his1 28859  ax-his2 28860  ax-his3 28861  ax-his4 28862  ax-hcompl 28979

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7409  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-supp 7831  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-oadd 8106  df-omul 8107  df-er 8289  df-map 8408  df-pm 8409  df-ixp 8462  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-fsupp 8834  df-fi 8875  df-sup 8906  df-inf 8907  df-oi 8974  df-card 9368  df-acn 9371  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-q 12350  df-rp 12391  df-xneg 12508  df-xadd 12509  df-xmul 12510  df-ioo 12743  df-ico 12745  df-icc 12746  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-fl 13163  df-seq 13371  df-exp 13431  df-hash 13692  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-sum 15043  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-rest 16696  df-topn 16697  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-topgen 16717  df-pt 16718  df-prds 16721  df-xrs 16775  df-qtop 16780  df-imas 16781  df-xps 16783  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-mulg 18225  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-psmet 20537  df-xmet 20538  df-met 20539  df-bl 20540  df-mopn 20541  df-fbas 20542  df-fg 20543  df-cnfld 20546  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-lm 21837  df-haus 21923  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-cfil 23858  df-cau 23859  df-cmet 23860  df-grpo 28270  df-gid 28271  df-ginv 28272  df-gdiv 28273  df-ablo 28322  df-vc 28336  df-nv 28369  df-va 28372  df-ba 28373  df-sm 28374  df-0v 28375  df-vs 28376  df-nmcv 28377  df-ims 28378  df-dip 28478  df-ssp 28499  df-ph 28590  df-cbn 28640  df-hnorm 28745  df-hba 28746  df-hvsub 28748  df-hlim 28749  df-hcau 28750  df-sh 28984  df-ch 28998  df-oc 29029  df-ch0 29030  df-shs 29085  df-span 29086  df-chj 29087  df-chsup 29088  df-pjh 29172  df-cm 29360  df-cv 30056  df-at 30115

This theorem is referenced by:  chirred  30172